第十六章 整式的乘法 单元测试 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 第十六章整式的乘法单元测试，覆盖同底数幂乘法、乘法公式等核心知识，通过几何图形验证公式（题10）、实际场景应用（题23），提升运算能力与模型意识，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|12|幂的运算（题2）、完全平方公式（题9）|结合几何直观（题10图形验证平方差）| |填空题|4|代数式求值（题13）、混合运算（题14）|注重逆向思维（题15已知x²-3x=1求代数式值）| |解答题|9|整式化简求值（题18）、公式推导证明（题21）|突出综合应用（题23用整式表示游泳池与休息区面积）|

第十六章 整式的乘法单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 单选题 1．已知，则的值是（   ） A．10 B． C．25 D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 7．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 8．已知的展开式中不含项，常数项是，则的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 9．若是一个完全平方式，则m的值为（    ） A．6 B． C． D． 10．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 11．如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是（     ）． A． B． C． D． 12．已知，，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 2、 填空题 13．已知，，则的值为_____． 14．______． 15．已知，则的值是_____． 16．________． 3、 解答题 17．计算：． 18．先化简， 再求值： ，其中， 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．计算下列各题： (1)． (2)先化简，再求值：，其中 21．设． (1)当时，求A的值； (2)当n为整数时，求证：A是8的倍数． 22．根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到：．再利用单项式与多项式相乘的法则，得：． 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： 【任务1】计算下列各式： （1）___________________； （2）___________________； （3）___________________； （4）___________________． 【任务2】由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释． 【任务3】如果其中，，均为整数，求的值． 23．如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简） (1)求长方形游泳池面积； (2)求休息区面积； (3)比较休息区与游泳池面积的大小关系． 24．【探究】（1）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，我们可以得到乘法公式：______________（用含a，b的等式表示）． 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （2）已知，，则的值为_______． （3）计算：． 【拓展】（4）计算：． 25．【教材原题】 （1）通过第章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 如图①可以得到的公式为_____； 如图②可以得到的公式为_____； 【探索发现】 （2）现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件，、和之间的等量关系为_____； 【结论应用】 （3）①若，则_____； ②当时，求的值； 【拓展提升】 （4）如图④，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，已知这两个正方形的边长之和为3，则阴影部分的面积为_____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 整式的乘法单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1、 单选题 1．已知，则的值是（   ） A．10 B． C．25 D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法、有理数的乘方，根据同底数幂的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据积的乘方公式计算即可． 【详解】解： ． 3．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，有理数比较大小，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．根据题意，将指数化为相同，底数越大，值越大，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴． 故选：D ． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减运算与幂的运算法则，需依据同类项定义、合并同类项法则、积的乘方及幂的乘方法则对各选项逐一判断． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项正确； D、，故选项错误． 故选：C． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，指数相加即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 6．已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，据此即可求出答案． 【详解】解， ， ，， ， 故选: C． 7．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可. 【详解】解：原式； 故选B 8．已知的展开式中不含项，常数项是，则的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的乘法运算． 展开多项式后，根据不含项和常数项为的条件，列方程求解和，再求和． 【详解】解：， ∵的展开式中不含项，常数项是， ∴，， 解得，， ∴． 故选：C． 9．若是一个完全平方式，则m的值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 是完全平方式， ． ． 故选：C． 10．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积为，新的图形面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】解：左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴验证的等式为， 故选∶C． 11．如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用大长方形的面积减去小长方形的面积即可得出答案． 【详解】解：将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积为： ，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了列代数式，解题的关键是理解题意，阴影部分的面积为大长方形面积减小长方形的面积． 12．已知，，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键．将两式展开后再相减即可得到结果． 【详解】解：由题意，得：， ， 两式相减，得：， 解得：， 故选：A． 2、 填空题 13．已知，，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，通过已知条件推导的值是解题的关键． 利用完全平方公式，先根据已知条件求出 的值，再计算 的值，最后开平方得到 的值． 【详解】解：∵， ∴ ，即， 又 ， ∴ ， 即 ， ∴． ∴， ∴ ． 故答案为：． 14．______． 【答案】 【分析】根据单项式与多项式的乘法运算法则解答即可． 本题考查了单项式与多项式的乘法运算，需运用分配律和指数法则进行计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 15．已知，则的值是_____． 【答案】27 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，同底数幂相乘，幂的乘方的逆用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 将转化为，再利用指数运算法则合并，结合已知条件计算． 【详解】解：由，得． 则． 故答案为：27． 16．________． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，掌握公式特点是关键；识别算式符合平方差公式形式，直接应用公式计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 3、 解答题 17．计算：． 【答案】． 【分析】先根据同底数幂的乘法法则，积的乘方与幂的乘方法则计算，最后合并同类项得到结果． 【详解】解： ． 18．先化简， 再求值： ，其中， 【答案】，6 【分析】本题考查了整式的乘法，合并同类项，代数式求值，熟练掌握整式乘法的运算法则是解题的关键．原式第一项利用多项式乘多项式、第二项利用单项式乘多项式的法则计算，然后合并同类项即可化简原式，最后将、的值代入化简后的式子即可得到原式的值． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据积的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式法则计算即可； （2）根据单项式除以单项式，积的乘方，同底数幂乘法计算即可 （3）根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，单项式除以单项式计算即可； （4）根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式． 本题考查了积的乘方，整式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解：； ． （3）解： ． （4）解： ． 20．计算下列各题： (1)． (2)先化简，再求值：，其中 【答案】(1)； (2)；． 【分析】（1）先去小括号，合并同类项，再按照多项式除以单项式的法则计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可化简，再将代入计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ， 当时，原式． 21．设． (1)当时，求A的值； (2)当n为整数时，求证：A是8的倍数． 【答案】(1)8 (2) 证明： ∵ n 为整数， ∴ 是8的倍数， 因此 A 是8的倍数． 【分析】本题考查求代数式的值，整式的化简，掌握平方差公式是解题的关键； （1）将代入原式计算即可； （2）将原式化简即可解答． 【详解】（1）解：当时，； （2）略 22．根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到：．再利用单项式与多项式相乘的法则，得：． 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： 【任务1】计算下列各式： （1）___________________； （2）___________________； （3）___________________； （4）___________________． 【任务2】由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释． 【任务3】如果其中，，均为整数，求的值． 【答案】任务1：（1）；（2）；（3）；（4）；任务2：，，；任务3：或 【分析】本题考查多项式相乘，解题关键在于利用长方形面积进行证明． 任务1∶直接根据多项式乘多项式计算即可，由面积不同的表示方法，可得等式； 任务2∶画一个长为、宽为的长方形即可求解； （3）由（2）的结论可求解． 【详解】解∶任务1∶ （1）； （2）； （3）； （4） 故答案为∶（1）；（2）；（3）；（4）； 任务2：如图所示， ， 故答案为：，，； 任务3：由任务2知：， 又， ∴，， 又，，均为整数， ∴或或或或或或或， 综上，或． 23．如图，某体育训练基地，有一块长米，宽米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区．（结果需要化简） (1)求长方形游泳池面积； (2)求休息区面积； (3)比较休息区与游泳池面积的大小关系． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 (3)休息区的面积大于游泳池面积 【分析】（1）利用长方形的面积公式和单项式乘多项式的法则解答即可； （2）利用空地的面积减去长方形游泳池的面积即可； （3）利用休息区与游泳池面积的差的大小进行解答即可． 【详解】（1）长方形游泳池面积为： 平方米； （2）∵长方形空地的面积为： 平方米， ∴休息区面积 平方米； （3）∵ ， ∴休息区的面积大于游泳池面积． 【点睛】本题主要考查了长方形的面积，多项式乘多项式，单项式乘多项式，配方法，完全平方式，熟练掌握长方形的面积公式和配方法是解题的关键． 24．【探究】（1）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，我们可以得到乘法公式：______________（用含a，b的等式表示）． 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （2）已知，，则的值为_______． （3）计算：． 【拓展】（4）计算：． 【答案】（1）；（2）3；（3）；（4） 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据题意，两个图形的面积相等，得到乘法公式； （2）根据平方差公式进行计算即可求解； （3）根据平方差公式进行计算即可求解； （4）根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：（1）； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3； （3） ； （4） ． 25．【教材原题】 （1）通过第章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 如图①可以得到的公式为_____； 如图②可以得到的公式为_____； 【探索发现】 （2）现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件，、和之间的等量关系为_____； 【结论应用】 （3）①若，则_____； ②当时，求的值； 【拓展提升】 （4）如图④，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，已知这两个正方形的边长之和为3，则阴影部分的面积为_____． 【答案】（1），；（2）；（3），；（4） 【分析】本题考查了代数式求值、完全平方公式与图形面积等知识点，掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）直接根据图形列出等式即可解答； （2）根据（1）的结论作差即可解答； （3）①由，得，即可求解，②令，则，根据题意可知，代入，即可求解； （4）由，两边平方再化简，可得，根据图形可知阴影部分的面积为两个正方形面积的一半，即，代入，即可求解． 【详解】（1）解：由①可得， 由②可得， 故答案为：，； （2），， ， 即， 故答案为：； （3）解：①， ， 故答案为：； ②令， 则， ， ； 由（2）可知， 则． （4）解：根据题意可知， ， ， 根据图形可知阴影部分的面积为两个正方形面积的一半，故阴影部分的面积为， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $