第十六章 整式的乘法 单元测试2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级数学上册第十六章整式的乘法单元卷，聚焦幂的运算与乘法公式，融合数形结合与规律探索，适配单元复习，提升运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|幂的运算、平方差公式、完全平方公式|结合杨辉三角考规律，培养抽象能力| |填空题|5|零指数幂、积的乘方、自定义运算|融入古代数学文化，体现数学眼光| |解答题|5|数形结合、公式变形、规律探究|通过图形面积推导公式，发展几何直观与模型意识|

第十六章 整式的乘法 单元测试2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．若__________，则横线上应填（    ） A． B． C． D． 3．若，则＝（    ） A．3 B．6 C．12 D．24 4．若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 5．下列多项式乘法中，可用平方差公式计算的是（ ） A． B． C． D． 6．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．下列式子用乘法公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序．b反之）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（   ） A． B．40 C．80 D． 9．若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 10．如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．当长方形的面积为时，正方形和正方形的面积之和为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．计算：__________． 12．计算： __________． 13．定义，例如．则的结果为___________ 14．我国古代数学的许多发现都位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图所示，它给出了（为非负整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如： 请利用以上规律求出的展开式，则的值是 ________ ． 15．数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为的两个正方形纸片和长为、宽为的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得．则由图3可以解释的等式是_____． 三、解答题 16．在幂的运算中规定：若，（且，x、y是正整数），则，利用上面的结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 17．先观察下列各式，再解答后面问题： ； ； ； ． (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来； (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果． ①_____________； ②_____________． 18．（1）观察下面的图形，由图1到图2的图形面积可以得到公式_______； （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：． 19．计算： (1) (2) (3) (4)． 20．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)观察图②请你写出下列三个代数式；，，之间的等量关系； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值． ②已知：求的值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B C C D C C A 1．【答案】C 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．【答案】C 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，先计算已知项的指数和，再求出未知项的指数即可解答． 【详解】解：设横线上的式子为，则 = ， ∴， ∴， 即横线上应填， 故选：C． 3．【答案】D 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法的逆运算法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 4．【答案】B 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用单项式乘多项式法则计算，根据结果中不含项，求出a的值即可． 【详解】解： ∵的计算结果中不含项， ∴， 解得：． 故选B． 5．【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】根据平方差公式形式为，要求相乘的两个二项式满足一项相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可， 【详解】解：A、不存在互为相反数的对应项，不能用平方差公式计算； B、，两项都相同，是完全平方形式，不能用平方差公式计算； C、，相同项为，和互为相反数，符合平方差公式的结构特征，可用平方差公式计算； D、，是完全平方式，不能用平方差公式计算． 6．【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的计算是解题的关键．利用完全平方公式，将展开为，然后代入已知值计算． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴ 故答案为：C． 7．【答案】D 【知识点】添括号、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，先理解题意，再把整理为，再结合选项进行分析比较，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：D． 8．【答案】C 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查整式的乘法运算规律，结合“杨辉三角”写出第五行的数得出的各项系数，第六行的数得出的各项系数，然后结合即可求解． 【详解】解：依题意，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立． ∴第行的个数分别为：，恰好对应着的展开式为， ∴第6行的6个数分别为：，恰好对应着的展开式为， 依题意， ， 则的展开式中含的系数为． 故选：C． 9．【答案】C 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查多项式乘以多项式，通过展开左边多项式并与右边比较系数，解出m和n的值，再计算即可． 【详解】解： ． ． ∴，解得；，解得； ∴， 故选C． 10．【答案】A 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了图形的面积与完全平方公式，熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积，两数和的完全平方公式是解题的关键．用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】解：设，， ∵长方形的周长是，长方形的面积为 ∴，， ∴， 故选：A． 11．【答案】 【知识点】零指数幂 【详解】解：． 12．【答案】 【知识点】积的乘方运算、同底数幂相乘、合并同类项 【分析】先依据积的乘方法则计算，再运用同底数幂的乘法法则计算乘法运算，最后合并同类项得出结果． 【详解】解：原式 13．【答案】 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查自定义运算，代数式运算，准确理解并代入新运算公式是解题关键． 根据新定义运算规则，将和代入公式进行计算即可． 【详解】解：根据定义， ， 则， 则． 故答案为：． 14．【答案】192 【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算 【分析】读懂题意并根据所给的式子寻找规律,将展开，即可求解． 【详解】解：观察发现，， ， ∴， ， ∴． 15．【答案】 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了多项式乘法的几何意义、数形结合思想以及面积法的应用．解题的关键是通过 “整体面积法” 和 “分割求和法” 计算同一图形的面积，从而建立等式关系．先计算图 3 大长方形的整体面积，再将其分割为小正方形和小长方形并求面积和，最后根据面积相等得到对应的多项式乘法等式． 【详解】解：方法一：图 3 是一个大长方形，其长为，宽为， 因此整体面积为： 方法二：将图 3 分割为各小图形，面积分别为： 边长为 的正方形：2 个，面积和为 边长为 的正方形：1 个，面积和为 长为 、宽为 的长方形：3个，面积和为 总面积为： 两种方法计算的面积相等，因此图 3 可以解释的等式为 故答案为：． 16．【答案】(1)3 (2)4 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用幂的乘方的法则变形，得到，再进行运算即可； （2）利用幂的乘方的法则和同底数幂的乘法法则变形，得到，再进行运算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 17．【答案】(1)两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项 (2) (3)①；② 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了多项式乘多项式． （1）根据乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项之间的规律作答； （2）根据（1）中呈现的规律，列出公式； （3）根据（2）中的公式代入计算． 【详解】（1）解：乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系为： 两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项； （2）解：公式为： （3）解：① ； ② ． 18．【答案】（1）；（2）①；② 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查平方差公式与几何图形，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据等积法可进行求解； （2）①由题意易得，然后代入进行求解即可； ②根据平方差公式可进行求解． 【详解】解：（1）由图可知：； 故答案为； （2）①， ， ， ； ② ． 19．【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】同底数幂相乘、运用平方差公式进行运算、同底数幂的除法运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查整式的运算和数字计算，涉及幂的运算、整式的乘法、平方差公式和完全平方公式的应用． 解题时需熟练掌握相关公式和运算法则． （1）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，再计算同底数的除法，最后合并同类项，即可求解； （2）计算幂的乘方以及单项式乘以多项式，最后合并同类项，即可求解； （3）根据平方差公式变形即可求解； （4）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 20．【答案】(1) (2)；② 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析即可． （1）理解每个代数式的意义，根据不同方法表示的阴影部分的面积相同列式即可； （2）根据（1）的结论代入进行计算即可． 【详解】（1）解： 观察图②可知为大正方形的面积，为小正方形的面积，为一个长方形面积；根据不同方法表示的阴影部分的面积相同得； （2）解：① 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $