2.1 等式性质与不等式性质 教案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该教案聚焦等式与不等式性质，通过生活实例（如身高购票、限速）引入不等关系，衔接初中已有不等式认知，搭建“作差比较—重要不等式—性质证明”的学习支架，为后续基本不等式等内容奠基。 以问题串驱动类比探究，用赵爽弦图直观推导重要不等式，强调作差四步与性质前提（如乘负数变号），培养数学抽象与推理能力。分层作业适配不同学情，详细预设与板书设计助力教师高效教学，提升学生用数学语言表达现实问题的能力。

2.1　等式性质与不等式性质 教案（本节共2课时）　2026—2027学年高一上学期　数学　人教A版必修第一册 一、教材分析 本节是人教A版必修第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》的第一节（教材37—43页），是整章乃至高中不等式内容的地基。它做两件事：一是从实际问题中抽象出不等关系，用不等式（组）表示；二是给出两个实数大小关系的基本事实，并由此证明不等式的一系列基本性质。作差法和重要不等式a²＋b²≥2ab在这里立起来，直接支撑后面2.2基本不等式与2.3一元二次不等式。最值得教的有三处：作差比较大小的四步操作、不等式性质4"乘负数变号"、性质6和7"两边为正"的前提。全节内容偏多，安排2课时：第一课时到重要不等式，第二课时专攻性质与应用。 二、学情分析 学生在初中已通过具体实例接触过不等式的部分性质（两边加同数、乘正数），有直觉但没证明过，"为什么成立"是空白。预计的困难有三：一是把"不超过""不少于"等程度词准确对应到≤、≥并想清端点，"限速40"容易漏掉v＞0或把上界写成＜40；二是作差后不会变形，只写出差就下结论，或差里还带未定符号的项；三是性质4同乘负数忘变号、性质6和7丢掉"＞0"前提，用a＞b直接推a²＞b²。对策分别是：程度词当堂口答对号入座；作差固定"作差—变形—判号—结论"四步、变到因式积或完全平方为止；性质证明每步点名依据，错例上板对照。优生班加做求取值范围与糖水不等式，普通班这两项选做。 三、教学目标 1. 能从实际问题所含的不等关系中抽象出不等式（组），会用≤、≥、＞、＜准确表示"不超过""不少于"等关系并处理端点。 2. 理解两个实数大小关系的基本事实，会用作差法（作差—变形—判号—结论）比较两个数或式的大小。 3. 经历重要不等式a²＋b²≥2ab的发现与证明，会说明"当且仅当a＝b取等"。 4. 掌握不等式的基本性质（性质1—7），能说清每条的前提，会用性质判断命题真假、证明简单不等式、求代数式的取值范围。 四、教学重难点 重点：两个实数大小关系的基本事实及作差法；不等式的基本性质及其应用。 难点：从实际问题抽象出不等关系；作差后的变形判号；类比等式性质猜想并证明不等式性质，用性质求取值范围。 五、教学方法与教具准备 以问题串驱动、类比推进：从等式性质类比出不等式性质，每条都回到基本事实去证。教具准备多媒体课件（约40页，问答与例题解答用单击浮入，逐步呈现）、导学案（附参考答案）、分层课时作业（A组必做、B组优生班必做）、四个全等直角三角形纸片（拼弦图用）。板书主张：例题与性质证明的每一步都在黑板上一步步写出来，不用课件翻页代替演算，让学生看清推理链条。 六、教学过程 【第一课时】不等关系与不等式·作差比较·重要不等式 环节一　情境引入（约5分钟） 问题1　现实里哪些地方存在"不等"？买火车票时"身高超过1.1m而不超过1.5m购儿童票"，"超过""不超过"在数学里怎么表示？ 师生活动：多媒体出示购票规定，学生举例（限速、限重、及格线）；教师引导：相等用等式，不等用不等式，本节就来研究不等式怎么表示、有哪些性质。 设计意图：从生活语言起步，让学生感到不等关系随处可见，引出用不等式表示的需要。 环节二　用不等式（组）表示不等关系（约10分钟） 问题2　你能用不等式或不等式组表示下列不等关系吗？（1）某路段限速40km/h；（2）酸奶脂肪含量不少于2.5%、蛋白质不少于2.3%；（3）三角形两边之和大于第三边、之差小于第三边。 师生活动：限时3分钟独立完成，指名三生回答，全班订正。教师追问："限速40，能不能等于40？"（能，含端点）"速度有没有下界？"（v＞0） 明确：（1）设速度v km/h，0＜v≤40；（2）脂肪f、蛋白质p，列不等式组 f≥2.5%、p≥2.3%（同时成立用组）；（3）设三边a、b、c，a＋b＞c且a－b＜c。 预设：有学生把（1）写成v＜40或v≤40（漏下界）。板书对照：限速含40、速度为正，应是0＜v≤40。借此立规矩——"不超过"含端点用≤，量本身的隐含范围别丢。 归纳："不超过／至多"用≤，"不少于／至少"用≥，"超过／低于"用＞、＜；含"不"字多半带等号，端点想清楚。 环节三　两个实数大小关系的基本事实与作差比较（约18分钟） 问题3　要比较两个实数a、b的大小，除了在数轴上看位置，能不能用代数的办法？它们的差a－b藏着什么信息？ 师生活动：教师在数轴上标A、B两点，引导学生发现：A在B右边即a＞b，对应a－b＞0。归纳出基本事实并板书。 明确：a＞b a－b＞0；a＝b a－b＝0；a＜b a－b＜0。比较两数大小可转化为判断它们的差与0的大小。 讲授并板书：作差比较四步——作差、变形（因式分解或配方）、判号、结论。 例1　比较（x＋2）（x＋3）和（x＋1）（x＋4）的大小。 师生活动：学生独立完成，一生板演，教师订正每一步依据。 解：（x＋2）（x＋3）－（x＋1）（x＋4） 　　＝（x²＋5x＋6）－（x²＋5x＋4）＝2＞0， 所以（x＋2）（x＋3）＞（x＋1）（x＋4）。 预设：有学生算到差＝2就停笔，不写结论。强调：作差法的落点是回到a、b的大小，"所以……＞……"必须写全。 练习1：比较x²＋y²＋1与2（x＋y－1）的大小（作差后配方）。学生完成学案探究三，同桌互批。 设计意图：把"比较大小"转化为"判断差的正负"，让作差四步成为固定动作。 环节四　重要不等式a²＋b²≥2ab（约10分钟） 问题4　（出示赵爽弦图）大正方形由4个全等直角三角形拼成，直角边a、b。大正方形面积与4个三角形面积和，谁大？相等时是什么情形？ 师生活动：学生用纸片拼摆，发现大正方形面积a²＋b²，三角形面积和2ab，一般情况前者大；当a＝b时中间小正方形缩为一点，两者相等。 明确：a²＋b²≥2ab（a，bR），当且仅当a＝b时等号成立。证明：a²＋b²－2ab＝（a－b）²≥0，当且仅当a＝b时取0，由基本事实即得。 预设：学生漏说"当且仅当a＝b"。强调取等条件要带全，这是后面基本不等式的规矩。 环节五　小结与作业（约2分钟） 归纳：本课时学了三件事——用不等式（组）表示不等关系、作差法比较大小、重要不等式a²＋b²≥2ab。作差四步、取等条件是关键。 布置：完成课时作业A组第1—4题（全体），B组第9题（优生班）。 【第二课时】不等式的基本性质及其应用 环节一　复习引入（约5分钟） 问题5　上节课的基本事实是什么？用作差法比较大小分几步？（口答）解上节问题2留下的不等式，要用什么？ 师生活动：指名口答基本事实与作差四步；教师指出：解不等式要用不等式的性质，先梳理等式的性质，再类比猜想不等式的性质。 明确：等式性质：a＝bb＝a；a＝b,b＝ca＝c；a＝ba±c＝b±c；a＝bac＝bc；a＝b,c0＝。前两条是自身特性，后三条是运算不变性。 环节二　类比猜想并证明不等式性质（约20分钟） 问题6　类比等式性质1、2，不等式的对称性、传递性该怎么写？能证明吗？ 师生活动：学生类比写出性质1、2；教师带全班用基本事实证性质2，板书证明过程。 明确：性质1（对称）a＞bb＜a；性质2（传递）a＞b,b＞ca＞c。证明：a－b＞0，b－c＞0，相加得a－c＞0，故a＞c。 问题7　类比等式性质3、4、5，不等式两边加同一个数、乘同一个数，方向会怎样？ 师生活动：学生猜想，教师追问关键处："两边乘一个负数，方向变不变？"举例a＞b，取c＝－1，比较－a与－b，学生发现要变号。 明确：性质3（可加）a＞ba＋c＞b＋c（推论：移项变号）；性质4（可乘）a＞b,c＞0ac＞bc，a＞b,c＜0ac＜bc；性质5（同向可加）a＞b,c＞da＋c＞b＋d；性质6（同向同正可乘）a＞b＞0,c＞d＞0ac＞bd；性质7（可乘方）a＞b＞0＞（nN,n≥2）。 预设：学生把性质4同乘负数仍写成ac＞bc。黑板写出错例，取a＝2,b＝1,c＝－1：ac＝－2,bc＝－1,得ac＜bc，立规矩——乘负数必变号。另有学生用a＞b直接推a²＞b²，用－1＞－2但1＜4的反例否掉，强调性质6、7的"＞0"前提。 设计意图：每条性质都从等式类比来、回基本事实去证，让学生知道性质"从哪来、为什么对"，而不是死记。 环节三　性质的应用（约15分钟） 例2　已知a＞b＞0，c＜0，求证 ＞。 师生活动：教师引导分析：c＜0，先证 ＜，再乘负数c变号。一生板演，全班订正。 证明：因为a＞b＞0，所以ab＞0，＞0。 于是 a·＞b·，即 ＞，也就是 ＜。 又c＜0，两边乘c变号，得 ＞。 预设：学生把倒数关系写成 a＞b＞（记反）。板书对照 a＞b＞0时 ＜，前提是同号。 练习2：判断真假（学案探究五）：若a＞b＞0则ac²＞bc²；若a＞b＞0则a²＞b²。学生口答并说依据/反例。 ★拔高探究（优生班）　已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，求2a＋b的取值范围。引导：拆成4＜2a＜6与b同向相加，得2＜2a＋b＜5；强调每个条件只用一次，不能反复相减。 （普通班替代）：改做"用＞或＜填空：a＞b,c＜d，则a－c□b－d"，只练同向可加，不涉及范围求解。 环节四　当堂检测与小结（约5分钟） 当堂检测（与学案一致）：①用不等式组表示"a与b的和非负且a不小于b"；②比较（x＋3）（x＋7）与（x＋4）（x＋6）；③下列真命题是（　）：A. a＞bac²＞bc²，B. a＞b＞0a²＞b²；④已知－1＜a＜3，1＜b＜2，求a－b的范围。限时5分钟。 归纳：不等式七条性质，重点记性质4乘负数变号、性质6和7两边为正的前提；作差比较、判命题真假、求范围是三类基本应用。 布置：课时作业A组第5—8题（全体），B组第10—11题（优生班必做，普通班选做）。 七、板书设计 【主板　左】　　　　　　　　　　　　　　【主板　右】 2.1 等式性质与不等式性质　　　　　　　不等式的基本性质 基本事实：　　　　　　　　　　　　　　1 对称 a＞bb＜a 　a＞ba－b＞0　　　　　　　　　　2 传递 a＞b,b＞ca＞c 　a＝ba－b＝0　　　　　　　　　　3 可加 a＞ba＋c＞b＋c（移项） 　a＜ba－b＜0　　　　　　　　　　4 可乘 c＞0同向 / c＜0变号 作差四步：作差—变形—判号—结论　　　5 同向可加 6 同正可乘 7 可乘方 重要不等式：a²＋b²≥2ab（a＝b取等）　前提：6、7需两边＞0 【副板　演算区】　例1作差＝2　例2先证＜再乘c变号　错例对照 八、附：课堂预设 1. 表示不等关系时漏端点或漏隐含范围（限速写成v＜40）——板书对照，强调含"不"字带等号、量本身的正负范围。 2. 作差后不写结论或差里带未定符号项——要求变形到因式积或完全平方，结论写全。 3. 性质4同乘负数忘变号——错例上板，取具体数否掉。 4. 用a＞b推a²＞b²、倒数记反——用反例和"＞0前提"纠正。 5. 求范围时对同一条件反复相减导致范围错——立规矩：每个已知条件只用一次，只做同向相加。 九、备教手记（课后填写） 这节内容多，两课时是否都留足了作差和性质证明的板演时间？下节课前重点核对三件事：一是学生表示不等关系时端点漏得多不多；二是性质4乘负数变号的当堂检测正确率；三是求取值范围一题，优生班里有几个人还在用反复相减。默写不等式七条性质及前提的通过情况也记一下，通不过的下节补默。 学科网（北京）股份有限公司 $