2.1等式性质与不等式性质 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦等式性质与不等式性质核心知识点，系统梳理用不等式（组）表示不等关系、作差法比较大小、重要不等式a²＋b²≥2ab及不等式七条性质，为后续基本不等式、一元二次不等式求解及高中数学不等式问题提供基础支撑。 资料以赵爽弦图引入重要不等式培养数学眼光，通过作差变形判号强化数学思维推理，结合实际情境转化不等式发展数学语言表达。分层设计题型与易错点辨析，课中助力教师落实重点，课后帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

2.1　等式性质与不等式性质 讲义（教师案头全量资料）　2026—2027学年高一上学期　数学　人教A版必修第一册 一、课标要求与教材位置 本节是人教A版必修第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》的第一节，页码37—43。课程标准的要求分三层：了解现实中的不等关系，会用不等式（组）表示；理解两个实数大小关系的基本事实，会用作差法比较大小；掌握不等式的基本性质，能用它们证明简单不等式、判断命题真假。三个动词层级不同，"掌握"落在不等式性质上，是本节的硬核。 从章内看，这一节是整章的地基。后面2.2基本不等式要用到本节的重要不等式a²＋b²≥2ab和作差法；2.3一元二次不等式的求解，每一步变形都靠不等式的性质撑着。从三年看，不等式的性质是高中一切不等式问题的公共工具——数列、导数、解析几何里比较大小、放缩、求最值，反复回到这几条性质。 高考里本节很少单独命题，多是"隐性"出现：一道函数最值题的作差判号、一道数列题的放缩、一道选择题让你判断"a＞b能否推出某式"。真正要练的不是背性质，而是每一步变形都说得清依据。 二、知识精讲 （一）用不等式（组）表示不等关系 现实里的多与少、大与小、快与慢、不超过与不少于，落到数量上就是相等与不等。相等用等式，不等用不等式。把一句实际语言翻译成不等式，关键在两处：一是抓住比较的两个量，二是把"程度词"对应到正确的不等号。 教材问题1给了四个情境，逐个看清楚："限速40km/h"是速度v的上界，且v本身为正，写成0＜v≤40（既有下界又含上界，"限速40"含40这个端点）；"脂肪含量不少于2.5%、蛋白质不少于2.3%"是两个条件同时满足，用不等式组f≥2.5%、p≥2.3%；三角形两边之和大于第三边、之差小于第三边，写成a＋b＞c且a－b＜c；点到直线的所有连线中垂线段最短，写成CD＜CE。 教材问题2（杂志定价）把不等关系嵌进了一个二次式：定价x元，"销售总收入不低于20万元"写成含x的不等式。这道题不要求解，它的作用是告诉学生：解这个不等式要用不等式的性质，所以先得研究性质——这是全节的动机。 程度词与不等号的对应（要学生记牢）："不超过／不大于／至多"用≤；"不少于／不低于／至少"用≥；"超过／多于／高于"用＞；"低于／少于／不足"用＜。含"不"字的多半带等号，端点要不要一并想清楚。 （二）两个实数大小关系的基本事实（作差法的依据） 数轴上的点与实数一一对应，点的左右就是数的大小。由此规定：数轴上A在B左边则a＜b，A在B右边则a＞b。把这件事翻译成"差"的语言，就得到比较大小的基本事实： 　　a＞b a－b＞0；　a＝b a－b＝0；　a＜b a－b＜0。 这三行是本节的第一块基石。它把"比较两个数（式）的大小"转化成"判断一个差与0的大小"，而判断一个式子的正负，我们有因式分解、配方等一整套代数手段。0是正负的分界点，它给实数比较大小提供了"标杆"。 作差比较大小的固定步骤：①作差——写出a－b；②变形——把差化成积的形式（因式分解）或完全平方加常数的形式；③判号——根据变形结果判断差的正负；④结论——回到a与b的大小。四步里"变形"是关键，变到能一眼看出正负为止。 例1　比较（x＋2）（x＋3）和（x＋1）（x＋4）的大小。 解：（x＋2）（x＋3）－（x＋1）（x＋4） 　　＝（x²＋5x＋6）－（x²＋5x＋4） 　　＝2＞0， 所以（x＋2）（x＋3）＞（x＋1）（x＋4）。 这里借助多项式减法得到一个明显大于0的常数，是作差法最干净的一类。教学时强调：差算出来是个正数2，与x无关，说明对一切实数x原不等式都成立。 （三）一个重要不等式：a²＋b²≥2ab 教材用第24届国际数学家大会会标（赵爽弦图）引出。正方形ABCD由4个全等直角三角形拼成，直角边为a、b（ab），大正方形边长，面积a²＋b²；4个三角形面积和2ab。大正方形面积大于三角形面积和，得a²＋b²＞2ab。当a＝b时，中间小正方形缩为一点，取等，于是： 　　a²＋b²≥2ab（a，bR），当且仅当a＝b时等号成立。 证明只用一步：a²＋b²－2ab＝（a－b）²≥0，且当且仅当a＝b时（a－b）²＝0。再由基本事实即得。这个不等式是2.2基本不等式的源头，本节先把它证出来、把"当且仅当a＝b取等"的说法立住。 （四）等式的基本性质（类比的出发点） 研究不等式性质之前，先把等式的性质梳理一遍，因为不等式与等式都是对大小关系的刻画，方法上可以类比。等式有五条基本性质： 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c0，那么＝。 性质1、2反映相等关系自身的特性（对称、传递），性质3、4、5是从运算角度提出的，反映等式在运算中的不变性。抓住这条线索——"自身特性＋运算不变性"——去猜想不等式的性质，就有了方向。 （五）不等式的基本性质（本节核心） 类比等式，不等式有如下性质。前四条是基本性质，后三条由前面推出，也是常用的。 性质1（对称性）　a＞b b＜a。 性质2（传递性）　a＞b，b＞c a＞c。 证明：由基本事实，a＞b得a－b＞0，b＞c得b－c＞0，两个正数相加（a－b）＋（b－c）＞0，即a－c＞0，所以a＞c。 性质3（可加性）　a＞b a＋c＞b＋c。 即不等式两边同加一个实数，方向不变。它有一个极常用的推论——移项：由a＋b＞c，两边加（－b）得a＞c－b，这说明不等式中任一项可以变号后移到另一边。 性质4（可乘性）　a＞b，c＞0 ac＞bc；　a＞b，c＜0 ac＜bc。 两边同乘正数方向不变，同乘负数方向要反过来。这是最容易错的一条，务必让学生把"乘负数变号"当成条件反射。除以一个数等于乘它的倒数，所以同除正数不变号、同除负数变号。 性质5（同向可加）　a＞b，c＞d a＋c＞b＋d。 证明：由a＞b和性质3得a＋c＞b＋c；由c＞d和性质3得b＋c＞b＋d；再由性质2（传递）得a＋c＞b＋d。 性质6（同向同正可乘）　a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd。 性质7（可乘方）　a＞b＞0 ＞（nN，n≥2）。 性质5、6注意"同向"：只有同向不等式才能相加；同向且两边都为正才能相乘。性质6、7都带"＞0"的前提，这是平方、开方、乘方能保序的门槛，丢了前提就会出错。 例2　已知a＞b＞0，c＜0，求证 ＞。 分析：要证 ＞，因为c＜0，可先证 ＜，再乘以负数c变号即可。 证明：因为a＞b＞0，所以ab＞0，＞0。 于是 a·＞b·，即 ＞，也就是 ＜。 又c＜0，两边同乘c（负数）变号，得 c·＞c·，即 ＞。 这道题把"倒数关系"和"乘负数变号"串在一起，是性质4的典型应用。倒数结论 a＞b＞0 ＜ 单独拎出来记，学生极易记反。 三、概念辨析与易错点 易错1（关键词丢端点）　"不超过""不少于""至多""至少"都含等号，对应≤或≥；只有"超过""低于""大于""小于"才不含端点。"限速40km/h"是0＜v≤40，既别丢下界v＞0，也别把上界写成＜40。 易错2（作差不变形／不判号）　作差后必须变形到能判号为止：化成因式的积或完全平方加常数。只写出差、不判正负，等于没做；差里还带着未确定符号的项就下结论，也是错的。 易错3（乘除负数不变号）　a＞b，两边乘c，只有c＞0才得ac＞bc；c＜0要写ac＜bc；c＝0则ac＝bc。最高频错误就是同乘负数忘了变号。 易错4（丢"＞0"前提）　性质6、7要求两边都大于0。a＞b直接推a²＞b²是错的（如－1＞－2，但1＜4）；只有a＞b＞0才有a²＞b²。开方、乘方、比较倒数前，先看清是否同正。 易错5（倒数关系记反）　a＞b＞0 ＜（方向相反）。学生常写成＞。前提是a、b同号（ab＞0）；若a＞0＞b，则＞0＞，另当别论。 易错6（同向不能相减、异向不能相加）　a＞b，c＞d只能得a＋c＞b＋d，不能得a－c＞b－d。要减，先把c＞d变成－c＜－d，再用同向可加。 易错7（用性质判命题真假靠反例）　"a＞b ac²＞bc²"是假命题，c＝0时两边相等，成立。判断这类命题，成立的给证明，不成立的举一个反例即可，反例常取0或负数。 四、题型归纳 题型一　用不等式（组）表示不等关系 例　某高速公路规定车货总高度h（m）从地面算起不能超过4m；a与b的和是非负实数。分别表示。 解：前者"不能超过4"含端点，且高度为正，h的实际范围写0＜h≤4；后者"非负"即≥0，写a＋b≥0。 方法点拨：先定比较的量，再把程度词对号入座；多个条件同时成立用不等式组；别忘量本身的隐含范围（长度、速度为正）。 题型二　作差法比较大小 例　比较x²＋y²＋1与2（x＋y－1）的大小。 解：（x²＋y²＋1）－2（x＋y－1）＝x²－2x＋y²－2y＋3 　　＝（x－1）²＋（y－1）²＋1≥1＞0， 所以x²＋y²＋1＞2（x＋y－1）。 方法点拨：作差→配方（把二次式凑成若干完全平方加常数）→由平方非负判号。凑方后加的常数只要为正，整个差就恒正。 题型三　用不等式性质判断命题真假 例　下列命题为真命题的是（　）。（A）若a＞b＞0，则ac²＞bc²；（B）若a＞b＞0，则a²＞b²；（C）若a＜b＜0，则a²＜ab＜b²；（D）若a＜b＜0，则＜。 解：选B。A中c＝0时ac²＝bc²，假；B由性质6（a·a＞b·b）成立，真；C取a＝－2，b＝－1，则a²＝4，ab＝2，b²＝1，实为a²＞ab＞b²，假；D取同样的值，＝－0.5＞＝－1，假。 方法点拨：真命题给依据（用哪条性质），假命题举反例，反例优先试0、负数、同号异号的边界。 题型四　用不等式性质证明不等式 例　已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证 ＞。 证明：由c＜d得－c＞－d，与a＞b同向相加（性质5），得a－c＞b－d。 又a＞0，－c＞0，故a－c＞0；同理b－d＞0，所以a－c＞b－d＞0。 由a－c＞b－d＞0得 ＜。两边乘e（负数）变号，得 ＞。 方法点拨：拆成"先比较分母、再取倒数、最后乘负数"三步，每步注明所用性质；含负因子时最后用性质4变号收尾。 题型五　用不等式性质求取值范围（★优生班） 例　已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，求2a＋b的取值范围。 解：由2＜a＜3得4＜2a＜6；与－2＜b＜－1同向相加，得4＋（－2）＜2a＋b＜6＋（－1），即2＜2a＋b＜5。 方法点拨：把待求式拆成已知范围的量的"同向可加"组合，一次性加完。切忌对同一个字母的范围反复相减或相除，那样会把范围放大或算错——每个已知条件只用一次。 五、附：常见书写错误例析 ①　作差比较，结论要写全："所以a＞b"，不能停在"a－b＞0"就完事——那只是中间步骤。 ②　取等条件要带全称限定："当且仅当a＝b时等号成立"，漏掉"当且仅当"意思就不严密。 ③　用性质要点名："由性质4，两边乘负数c变号"，证明题里每一步的依据都写出来，这是数学证明的规矩，也是阅卷给分点。 ④　不等式组用大括号联立，表示"同时成立"；若干个不等式若是"或"的关系，不能写成组。 六、与考试的对应 月考、期中直接考的，多是作差比较大小、用性质判断命题真假、简单证明这三类，属于送分题，错在符号方向和前提条件上最可惜。求取值范围一类常作为填空压轴的一个小设问，"每个条件只用一次"是拿分关键。 高考里本节几乎不单独成题，但作差判号、放缩、比较大小的手法会出现在函数、数列、导数题的某一步。把本节的性质用熟，是后面一切不等式变形的底气。重要不等式a²＋b²≥2ab则直接为2.2基本不等式铺路。 七、初高中衔接与教学提醒 衔接　初中已用具体实例归纳过不等式的部分性质（两边加同数、乘正数），学生有直觉但没证明。高中的任务是"给理由"——用两个实数大小关系的基本事实把每条性质证出来，从"会用"升到"知道为什么"。 进度　本节内容偏多（不等关系表示、作差比较、重要不等式、等式性质、不等式性质七条），建议按内容分两段落实：第一段到重要不等式，第二段专攻性质与证明；若课时紧，作差比较与性质证明各留足时间，其余快过。 分层　普通班重点落实：关键词对号、作差四步、性质4的变号、性质6、7的前提。优生班加做求取值范围、糖水不等式、作差证较复杂不等式（如＞、圆面积大于等周长正方形面积）。 当堂过关　口答：把"不超过／不少于／至多／至少"翻成不等号；默写：不等式七条性质及各自前提。这两项当堂清。 八、题型精练（附详解） 1.（　）用不等式或不等式组表示"a与b的和是非负实数，且a不小于b"。 2.（　）比较（x＋3）（x＋7）和（x＋4）（x＋6）的大小。 3.（　）当x＞1时，比较x²与x²－x＋1的大小。 4.（　）已知a＞b，c＜d，则下列一定成立的是（　）。（A）a＋c＞b＋d　（B）a－c＞b－d　（C）ac＞bd　（D）＞ 5.（　）若a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是（　）。（A）＜　（B）a²＜b²　（C）ab＜b²　（D）a²＞ab 6.（　）设a＞b＞0，则下列一定成立的是（　）。（A）a²＜b²　（B）＞　（C）＞　（D）a＋＜b＋ 7.（　）"a＞b"是"ac²＞bc²"的（　）条件。（A）充分不必要　（B）必要不充分　（C）充要　（D）既不充分也不必要 8.（　）已知－1＜a＜3，1＜b＜2，求a－b的取值范围。 9.（　）已知a＞b＞0，m＞0，判断 与 的大小并说明理由。 10.（　）已知b＞a＞0，m＞0，求证 ＜。 详解 1．a＋b≥0且a≥b，写成不等式组a＋b≥0、a≥b。"非负"含0用≥，"不小于"也含端点用≥。 2．作差：（x＋3）（x＋7）－（x＋4）（x＋6）＝（x²＋10x＋21）－（x²＋10x＋24）＝－3＜0，所以（x＋3）（x＋7）＜（x＋4）（x＋6）。 3．作差：x²－（x²－x＋1）＝x－1。当x＞1时x－1＞0，所以x²＞x²－x＋1。（坑：不给"x＞1"就无法定号。） 4．选B。a＞b，c＜d即－c＞－d，同向相加得a－c＞b－d，B真；A异向不能直接相加，假；C、D缺正号前提，假。 5．选D。a＜b＜0，取a＝－2、b＝－1对照。A：＝－0.5＞＝－1，假；B：|a|＞|b|故a²＞b²，假；C：a＜b两边乘b（b＜0）变号得ab＞b²，假；D：a＜b两边乘a（a＜0）变号得a²＞ab，真。这四项都在考"同乘负数要变号"。 6．选C。a＞b＞0。A：a²＞b²，假；B：＜，假；C：a＞b＞0 ＞，真；D：作差（a＋）－（b＋）＝（a－b）＋（－）＝（a－b）＋＞0，故a＋＞b＋，D假。 7．选B。由ac²＞bc²得c²（a－b）＞0，必有c²＞0且a－b＞0，所以ac²＞bc² a＞b，"a＞b"是必要条件；但a＞b时若c＝0则ac²＝bc²，ac²＞bc²，故不充分。所以"a＞b"是"ac²＞bc²"的必要不充分条件。 8．－1＜a＜3，1＜b＜2得－2＜－b＜－1；与a同向相加：－1＋（－2）＜a－b＜3＋（－1），即－3＜a－b＜2。（要减b，先把b的范围变号成－b的范围，再同向相加。） 9．＞。作差 －＝＝。由a＞b＞0，m＞0知分子分母皆正，差＞0，所以 ＞。 10．作差 －＝＝。由b＞a＞0，m＞0知分子m（b－a）＞0，分母b（b＋m）＞0，差＞0，所以 ＜。这就是"糖水加糖更甜"的不等式。 学科网（北京）股份有限公司 $