2.1等式性质与不等式性质第2课时课前导学案——2026-2027学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

该高中数学导学案聚焦等式性质与不等式性质，通过“温故”环节回顾不等式表示、作差法比大小等旧知，再引导学生自主探究等式与不等式性质，构建从已有知识到新知的学习支架。 资料融入柯西研究不等式的历史背景，设计分层课前自测题，结合温故知新结构，帮助学生系统掌握性质，提升推理能力与应用意识，体现数学思维与数学语言的核心素养。

2.1等式性质与不等式性质第2课时 预习提要 1.回顾不等式的表示和作差法比大小； 2.阅读课本P40—P42内容，自主探究等式性质与不等式性质，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故 1．现实数量关系里，相等用等式表示，不等用表示. 2．实数大小比较的基本事实： ； ； . 比较两个实数大小，可转化为比较两者的和0的大小关系. 3．作差比较法的步骤：作差→→判断差与0的大小→得出大小结论. 4．重要不等式：对任意，有，当且仅当时，等号成立. 二、知新 1．等式性质1：如果，那么； 等式性质2：如果，那么； 等式性质3：如果，那么； 等式性质4：如果，那么； 等式性质5：如果，那么. 2．不等式性质1（对称性）：； 不等式性质2（传递性）：. 3．不等式性质3（可加性）：如果，那么；由此可推出不等式移项法则：不等式中任意一项改变后，可以移到不等号另一侧. 4．不等式性质4（可乘性）：如果，那么； 如果，那么. 5．不等式性质5（同向可加性）：如果，那么. 6．不等式性质6（同向正数可乘性）：如果，那么. 7．不等式性质7（正数乘方性）：如果，那么. 课前自测 1.若，则( ). A. B. C. D. 2.下列命题中，正确的是( ) A.若且，则 B.若，则 C.若，，则 D.若，则 3.“且”是“”的( ). A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.（多选）下列说法中正确的是( ) A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 5.已知，，，求证：. 反思 在不等式发展史上，法国大数学家奥古斯丁•路易•柯西是研究不等式性质的关键人物.在他之前，人们虽然能简单比较数字大小，但对不等式加减、乘除变形的规则没有严谨证明，经常出现推导错误.柯西在研究数列、几何极值问题时，系统对比等式与不等式的运算规律.他发现等式具有双向对称的特点：若，则；但不等式只有单向传递性，不能推出.他严格证明了不等式的传递性、可加性，同时重点指出了不等式独有的特殊规则：当不等式两边同乘或除以一个负数时，不等号方向必须改变.柯西曾举过经典例子：，两边同时乘1，得到，如果不改变不等号，就会得出的错误结论.他强调，这条性质是等式和不等式最核心的区别，也是代数变形最容易出错的地方. 答案及解析 一、温故 1．不等式 2．；差 3．化简（变形） 4． 二、知新 1． 2． 3．；符号 4．； 5． 6． 7． 课前自测 1.答案：C 解析：对于A，当，时，由可得，故A错误；对于B，当，时，则，故B错误；对于C，由于，则不等式两边同乘负数b，由不等式的性质可得，故C正确；对于D，当，时，则，，此时，故D错误.故选：C. 2.答案：D 解析：对于A选项，令，，则，所以不成立，故A错误；对于B选项，令，，则，所以不成立，故B错误；对于C选项，令，，，，则，所以不成立，故C错误；对于D选项，由及不等式的可加性可得，故D正确.故选：D. 3.答案：A 解析：且，但且. 4.答案：AB 解析：对于A，因为，不等式两边同除以，可得，故A正确； 对于B，因为，所以，又，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，又，所以，故C不正确； 对于D，令， 则，解得，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，故D不正确.故选：AB. 5.证明：，， 又， ，即， ， 又，. 学科网（北京）股份有限公司 $