2.1 等式性质与不等式性质（7个题型归纳）（原卷版）2026-2027学年高一上学期人教A版必修第一册2026年暑假新高一数学预习讲义

2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【2.1 等式性质与不等式性质】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．不等关系与不等式 （1）两个实数比较大小的方法 ①作差法 横线上为______ ②作商法 （2）不等式的性质 ①对称性：________； ②传递性：，________； ③可加性：，，； ④可乘性：，；，； ⑤可乘方：________（，）； ⑥可开方：（，）． （3）不等式的倒数性质 ①，． ②． ③，． ④或． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：用不等式表示不等关系】 【练方法】 公式结论 1.五种不等符号：>（大于）、<（小于）、（大于等于/不小于）、（小于等于/不大于）、（不等于） 2.文字对应转换：至多、不超过；至少、不少于；大于、超过；不足、小于 方法技巧 1.先设变量代表题目文字描述的量 2.抓取题干关键词匹配对应不等符号 3.多重限制条件列出多个联立不等式组成不等式组 易错提醒 1.“至少”“至多”混淆符号至少错写<至多错写> 2.忽略变量隐含范围如人数、长度默认正数未标注 3.分不清“”与“>”遗漏等于的边界情况 （2026高三·全国·专题练习）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______.经典例题1例题 【答案】 【详解】提价后商品的售价为元，则提高了元，销售量减少了件， 则利润为元（）， 则，化简得. 销售量为非负，结合提价要求得， 故. （25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． （25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）某厂日生产文具盒的总成本（元）与日产量（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（　　）小试牛刀2 A．5000套 B．6000套 C．3000套 D．4000套 【答案】A 【分析】根据题意可得不等式，代入解不等式即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以要使该厂不亏本，至少日生产文具盒5000套. 故选：A. （25-26高一上·湖南娄底·期中）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意建立不等式模型即可. 【详解】“利润率降低”意味着原来的利润率大于新的利润率，故. 故选：A. 【题型2：作差法比较代数式大小】 【练方法】 公式结论 1.作差判定规则：设两式A、B 方法技巧 1.第一步计算并化简整理（因式分解、配方、通分） 2.第二步判断差式整体正负 3.配方出现平方和可直接判定恒正或恒负 易错提醒 1.化简差式计算出错因式分解配方符号写错 2.含参数差式不分类讨论参数范围直接判定正负 3.颠倒作差顺序用代替后结论不反向修正 （24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】利用作差法可判断. 【详解】 因为，， 所以，. 所以，得，即. （24-25高一上·广西河池·期中）比较与的大小.小试牛刀1 【答案】 【详解】 （25-26高一上·山东济南·期中）已知，，比较m与n的大小关系.小试牛刀2 【答案】 【分析】利用作差法，根据配方法，可得答案. 【详解】由，则. （24-25高一上·新疆喀什·期中）比较下列各题中两个代数式的大小：小试牛刀3 (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】利用作差法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以. 【题型3：作商法比较代数式大小】 【练方法】 公式结论 1.作商法前提： 方法技巧 1.仅适用于两个代数式均恒为正数的题型 2.两式相除约分简化分式再与1比较大小 3.指数、幂次型代数式优先选用作商法 易错提醒 1.代数式存在负数仍直接使用作商法无正负前提结论失效 2.分式约分漏写正负符号比值大于1但两式均负时大小颠倒 3.忘记作商法只能对比正数跨正负代数式不能用 （24-25高一上·全国·课后作业）已知，试比较和的大小.经典例题1例题 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 已知，试比较与的大小.小试牛刀1 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 设，且，比较：与的大小小试牛刀2 【答案】. 【解析】用作商法，结合已知条件，利用不等式性质即可判断大小. 【详解】 ，， ，， ， 故 设，，且，试比较，，三者的大小.小试牛刀3 【答案】 【分析】先分为和两种情形，利用作商法，结合，的符号，将其结果和1比较，综合即可得结果. 【详解】由题知，，且. 当时，，，， ∴， ∴； 当时，，，, ∴， ∴ ∴，且时，总有. 同理可得，，且时， 综上所述，. 【题型4：由不等式的性质判断不等式是否正确】 【练方法】 公式结论 1.对称性： 2.传递性： 3.可加性： 4.可乘性：； 5.同向可加： 6.同向同正可乘： 7.乘方开方： 方法技巧 1.逐条对照不等式基本性质逐条核验 2.举反例快速推翻错误命题代入正负不同数值验证 3.含负数乘除重点检查不等号是否反转 易错提醒 1.两边同乘负数不反转不等号是最常见错误 2.不同向不等式直接相加违背同向可加规则 3.含负数直接平方、开方比较大小不满足前提 4.传递性中间插入相等关系错误推导大小 （25-26高一下·广西柳州·期末）已知，，，，则下列不等式一定正确的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用举反例判断ACD，分和判断B. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，当时，由于，则， 当时，由于，则，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，当时，，D错误. （23-24高一上·云南文山·阶段检测）（多选）下列命题正确的是（    ）小试牛刀1 A．若，则 B．设，，若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AC 【分析】使用不等式的性质进行分析. 【详解】对于选项，，因为，所以， 当或时，，则，即， 当时，，，则，选项正确 对于B选项，当为正数，为负数时不成立，选项错误； 对于选项，若，，则，所以，选项正确； 对于D选项，若，，当时，，选项错误. （2026高二下·浙江温州·学业考试）（多选）已知，，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】已知，，则， ，故，A正确； ，则， ， ， ，故B正确； 取，满足，， 此时，即， 故不恒成立，故C错误； ，则， ， 则，故，故D正确． （25-26高一上·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又因为所以， 故A错误； 因为，所以， 故B错误； 因为，由糖水不等式得，故C正确； 因为，所以，因此，又因为，所以，故D错误.故选C 【题型5：由不等式的性质比较代数式大小】 【练方法】 公式结论 同题型4全部不等式基本性质 方法技巧 1.依托已知不等关系逐步利用可加、可乘、乘方变形推导目标式子 2.多变量分层传递连续使用传递性串联大小顺序 3.存在正负分类讨论后再乘除变形 易错提醒 1.乘负数时不等号方向不变推导大小完全颠倒 2.异向不等式做加法、乘法运算推导结论出错 3.忽略变量正负直接开方、平方比较 （25-26高二下·山西运城·期末）若，则“”的一个充分不必要条件是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质和充要条件的判定方法逐一判断各选项即得. 【详解】因，故A显然不合要求； 对于B，若取，显然满足，但得不出， 即不是的充分条件，不合题意； 对于C，因，故也不是的充分条件，不合题意； 对于D，，故可得，即是的充分条件； 同时，因，若取满足，但得不出， 即不是的必要条件，故D正确. （24-25高一上·江苏镇江·期末）（多选）下列不等式中成立的是（    ）小试牛刀1 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于A：当时， ，故A错误； 对于B：因为，则，故得，故B正确； 对于 C：若取，，满足， 因，，，显然不满足，故 C错误； 对于D：由，得且， 因，可得，故D正确. （25-26高一下·上海·期中）已知，则下列不等式不成立的是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 对于A，，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，，则，所以，故D正确． （24-25高一上·安徽合肥·阶段检测）已知，，，则与的大小关系为_________.小试牛刀3 【答案】 【分析】根据已知条件，利用不等式的性质进行比较大小即可. 【详解】由，， 则， 则， 又， 则. 故答案为： 【题型6：利用不等式的性质，求新的代数式的范围】 【练方法】 公式结论 1.同向不等式只能相加不能相减；同向正数不等式只能相乘不能相除 2.已知则； 3.同正区间： 方法技巧 1.已知双变量线性范围用待定系数法拆分目标式 2.严格区分加减乘除变形规则减法转化为加负数、除法转化为乘倒数 3.多次变形后合并不等式取交集得到最终取值范围 易错提醒 1.直接对不等式相减、相除扩大取值范围出现范围失真 2.忽略变量正负相乘时不调整区间边界 3.多步同向叠加后不压缩范围求出范围过于宽松 4.待定系数拆分目标代数式系数计算错误 （25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知，经典例题1例题 (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ，， ， ； （2） ， ． （25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围．小试牛刀1 （2）已知，，比较与的大小 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）利用不等式的性质求解； （2）利用作差法比较大小. 【详解】（1）由①，②，得， 由②得：③， 由①+③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故，，. （2） 因为，，则，故． （25-26高一上·安徽合肥·期中）（1）证明：，时，.小试牛刀2 （2）已知，，求，，的范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）答案详见解析 【分析】（1）利用作差法结合已知条件即可证明不等式； （2）根据不等式的性质结合已知条件即可求解. 【详解】（1）证明：， 因为，，所以， 所以，所以 （2）因为，， 所以，所以 又，所以， 因为，所以， 根据同向同正可乘性有：，所以. （25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）设，，比较，的大小；小试牛刀3 （2）已知，，求代数式和的取值范围. 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）利用作差法判断即可； （2）根据不等式的性质计算可得； 【详解】（1）因为，， 所以， 所以； （2）因为，， 所以； 又，，所以， 所以. 【题型7：由不等式的性质证明不等式】 【练方法】 方法技巧 1.从已知条件出发逐步用不等式性质单向放缩推导目标不等式 2.复杂证明可先用作差/作商法化简再结合性质推导 3.放缩全程保持同向变形不一边放大一边缩小 易错提醒 1.放缩方向混乱同时放大缩小无法推出结论 2.乘除负数未反转不等号证明逻辑不成立 3.缺少正数前提直接使用乘方、开方性质证明 4.异向不等式相加推导证明步骤违规 已知，求证:.经典例题1例题 【答案】证明：方法一：因为，所以， 所以，所以， 所以， 即，所以， 又因为，所以. 方法二： 因为，所以， 所以，所以， 所以，因此. （2026高三·全国·专题练习）已知均为正实数，且，求证：．小试牛刀1 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式的基本性质，结合已知条件，利用作差法计算证明结论． 【详解】 ，， ， 又 ， ，故， ，，， ，即． （24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，.小试牛刀2 (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. （25-26高一上·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜．小试牛刀3 (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 【答案】(1)；证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据题意分析可得，其中，，并利用作差法分析证明. （2）利用糖水不等式，结合不等式的性质推理可得. 【详解】（1）因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大，所以提炼出的不等式为: ； 证明如下：利用作差法证明 ， 所以，不等式成立. （2）因为为三角形的三边长，所以 由（1）知， ， ， 将上述三个不等式相加可得： ， 所以 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一上·湖北武汉·期中）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】B 【分析】利用特值法和不等式的性质即可一一判断各选项. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，若，由不等式的性质可知，故B正确； 对于C，若，取，得，则，故C错误； 对于D,若且，取，得，则，故D错误. 故选：B. 2．（24-25高一上·四川宜宾·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】对选项A、B、C举出反例即可，选项D由不等式的同向可加性即可求得. 【详解】对于选项A，在时不成立； 对于选项B，取时不成立； 对于选项C，取时不成立； 对于选项D，由得，又，所以两式相加得. 3．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐项分析后可得正确的选项. 【详解】对于A，因为，故，故， 故，故A成立； 对于B，因为，故，又，故，故B成立； 对于C，因为，故，又，故，故C成立； 对于D，因为，故，故，故D不成立. 4．（25-26高二下·浙江·期中）已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：因为，所以；因为，所以，正数一定大于负数，即，故A错误； 选项B：因为，所以；因为，所以，正数一定大于负数，即，故B错误； 选项C：仅知道，无法确定与的大小关系， 例如：若，则；若，则，故C不一定正确； 选项D：用作差法验证：， 因为，所以，若且（成立，因为），则分母， 因此，差，即，可得，故D一定正确． 5．（25-26高一下·浙江·期中）给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．若,则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】选项A：. 又，即，即，错误. 选项B：当时，满足，，错误. 选项C：当时，，错误. 选项D：， 代入，原式.正确. 6．（25-26高二下·安徽·期中）已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用赋值法可判断AC；利用不等式性质可判断BD. 【详解】对于A：取，，则，故A不一定成立，不合题意； 对于B：不等式 ，由于，即a与b异号，则与同号， 则与异号，故与题设矛盾，故B不成立； 对于C：即，取，，满足，但，与题设矛盾，故C错误； 对于D：，设，则，不等式转化为， 因为当时，，而，因此该不等式恒成立，D正确. 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】C 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可. 【详解】选项A，取，，，，满足条件，但，A错误； 选项B，当，时，满足，但，B错误； 选项C，当时，有，， ， 则，所以，C正确； 选项D，且，则，， 则，得，D错误. 二、多选题 8．（25-26高一上·重庆·期中）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用不等式的性质可判断ABC，作差法比较数的大小可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以. 所以 ， 因为，所以， 所以，故C正确； 对于D，， 因为，所以，所以，所以，故D错误. 故选：ABC. 9．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质及特值法逐项分析判断即可. 【详解】对于A：，，则，故，A正确. 对于B：当，，，时，，故B错误. 对于 C：因为，所以，所以，C正确. 对于D：当，，，时，，，故，D错误. 三、解答题 10．（22-23高一上·广东佛山·阶段检测）（1）已知 ，求证：. （2）已知，求代数式和的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）， 【分析】(1)根据题意，将原式变形化为完全平方式的形式，即可得证； （2）根据题意，结合不等式的性质及运算即可得到结果. 【详解】（1） （当且仅当等号成立） （2） ∴． 由，得①． 由，得②． 11．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）（1）已知______，试比较M，N的大小．从下列两个条件中选择其中一个填入横线中，并解答问题． ①，，②，． （2）若，证明：． 【答案】（1）选①：；选②：. （2）证明见解析. 【分析】（1）利用作差法和求倒数的方法比较大小；（2）作差法证明不等式. 【详解】（1） 选①：， 所以； 选②：，， 由，得，所以. （2）证明： ， 由，得， 所以. 12．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 13．（22-23高二上·宁夏银川·期中）已知b g糖水中有a g糖，往糖水中加入m g糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式 (2)证明这个不等式 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意直接列出不等式即可； （2）利用差比法进行证明即可. 【详解】（1）由题可得； （2）因为，， 所以，从而， 即. 14．（23-24高一上·湖北·期中）（1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. （2）超市里面提供两种糖：白糖每千克元，红糖每千克元.小东买了相同质量的两种糖，小华买了相同价钱的两种糖.请问谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量） 【答案】(1) 糖水变甜了得出不等式 设的三边长分别为，则有， 由上述不等式可得：， 将以上不等式左右两边分别相加得：， 所以：. (2) 小东买到的糖的平均价格较高，证明如下： 对于小东而言，他买到的糖的平均价格为（元/千克）， 对于小华而言，设小华买两种糖的费用均为元，则他买到的糖的总质量为千克， 故小华买到的糖的平均价格为（元/千克）， ，即小东买到的糖的平均价格较高. 【分析】（1）根据糖在糖水中所占的比例的变化可得出不等式，利用此结果从而求解； （2）求出两人买到的糖的平均价格，利用作差法可得出结论. 【详解】（1）略 （2）略 15．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【分析】①利用分子有理化可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】①， 因为， 所以， 即； . ②， . ③方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. . 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 16．（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 【答案】(1)，证明： 由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. (2) (3) 证明：因为， 根据（1）中的结论，可得， 同向不等式相加可得，①， 又由，同理可得， 则，② 综合①②，得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【2.1 等式性质与不等式性质】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．不等关系与不等式 （1）两个实数比较大小的方法 ①作差法 横线上为______ ②作商法 （2）不等式的性质 ①对称性：________； ②传递性：，________； ③可加性：，，； ④可乘性：，；，； ⑤可乘方：________（，）； ⑥可开方：（，）． （3）不等式的倒数性质 ①，． ②． ③，． ④或． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：用不等式表示不等关系】 【练方法】 公式结论 1.五种不等符号：>（大于）、<（小于）、（大于等于/不小于）、（小于等于/不大于）、（不等于） 2.文字对应转换：至多、不超过；至少、不少于；大于、超过；不足、小于 方法技巧 1.先设变量代表题目文字描述的量 2.抓取题干关键词匹配对应不等符号 3.多重限制条件列出多个联立不等式组成不等式组 易错提醒 1.“至少”“至多”混淆符号至少错写<至多错写> 2.忽略变量隐含范围如人数、长度默认正数未标注 3.分不清“”与“>”遗漏等于的边界情况 （2026高三·全国·专题练习）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______.经典例题1例题 （25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）某厂日生产文具盒的总成本（元）与日产量（套）之间的关系为．而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（　　）小试牛刀2 A．5000套 B．6000套 C．3000套 D．4000套 （25-26高一上·湖南娄底·期中）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：作差法比较代数式大小】 【练方法】 公式结论 1.作差判定规则：设两式A、B 方法技巧 1.第一步计算并化简整理（因式分解、配方、通分） 2.第二步判断差式整体正负 3.配方出现平方和可直接判定恒正或恒负 易错提醒 1.化简差式计算出错因式分解配方符号写错 2.含参数差式不分类讨论参数范围直接判定正负 3.颠倒作差顺序用代替后结论不反向修正 （24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D．与的大小关系不确定 （24-25高一上·广西河池·期中）比较与的大小.小试牛刀1 （25-26高一上·山东济南·期中）已知，，比较m与n的大小关系.小试牛刀2 （24-25高一上·新疆喀什·期中）比较下列各题中两个代数式的大小：小试牛刀3 (1)与； (2)与. 【题型3：作商法比较代数式大小】 【练方法】 公式结论 1.作商法前提： 方法技巧 1.仅适用于两个代数式均恒为正数的题型 2.两式相除约分简化分式再与1比较大小 3.指数、幂次型代数式优先选用作商法 易错提醒 1.代数式存在负数仍直接使用作商法无正负前提结论失效 2.分式约分漏写正负符号比值大于1但两式均负时大小颠倒 3.忘记作商法只能对比正数跨正负代数式不能用 （24-25高一上·全国·课后作业）已知，试比较和的大小.经典例题1例题 已知，试比较与的大小.小试牛刀1 设，且，比较：与的大小小试牛刀2 设，，且，试比较，，三者的大小.小试牛刀3 【题型4：由不等式的性质判断不等式是否正确】 【练方法】 公式结论 1.对称性： 2.传递性： 3.可加性： 4.可乘性：； 5.同向可加： 6.同向同正可乘： 7.乘方开方： 方法技巧 1.逐条对照不等式基本性质逐条核验 2.举反例快速推翻错误命题代入正负不同数值验证 3.含负数乘除重点检查不等号是否反转 易错提醒 1.两边同乘负数不反转不等号是最常见错误 2.不同向不等式直接相加违背同向可加规则 3.含负数直接平方、开方比较大小不满足前提 4.传递性中间插入相等关系错误推导大小 （25-26高一下·广西柳州·期末）已知，，，，则下列不等式一定正确的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （23-24高一上·云南文山·阶段检测）（多选）下列命题正确的是（    ）小试牛刀1 A．若，则 B．设，，若，则 C．若，，则 D．若，，则 （2026高二下·浙江温州·学业考试）（多选）已知，，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一上·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型5：由不等式的性质比较代数式大小】 【练方法】 公式结论 同题型4全部不等式基本性质 方法技巧 1.依托已知不等关系逐步利用可加、可乘、乘方变形推导目标式子 2.多变量分层传递连续使用传递性串联大小顺序 3.存在正负分类讨论后再乘除变形 易错提醒 1.乘负数时不等号方向不变推导大小完全颠倒 2.异向不等式做加法、乘法运算推导结论出错 3.忽略变量正负直接开方、平方比较 （25-26高二下·山西运城·期末）若，则“”的一个充分不必要条件是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高一上·江苏镇江·期末）（多选）下列不等式中成立的是（    ）小试牛刀1 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 （25-26高一下·上海·期中）已知，则下列不等式不成立的是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一上·安徽合肥·阶段检测）已知，，，则与的大小关系为_________.小试牛刀3 【题型6：利用不等式的性质，求新的代数式的范围】 【练方法】 公式结论 1.同向不等式只能相加不能相减；同向正数不等式只能相乘不能相除 2.已知则； 3.同正区间： 方法技巧 1.已知双变量线性范围用待定系数法拆分目标式 2.严格区分加减乘除变形规则减法转化为加负数、除法转化为乘倒数 3.多次变形后合并不等式取交集得到最终取值范围 易错提醒 1.直接对不等式相减、相除扩大取值范围出现范围失真 2.忽略变量正负相乘时不调整区间边界 3.多步同向叠加后不压缩范围求出范围过于宽松 4.待定系数拆分目标代数式系数计算错误 （25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知，经典例题1例题 (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． （25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围．小试牛刀1 （2）已知，，比较与的大小 （25-26高一上·安徽合肥·期中）（1）证明：，时，.小试牛刀2 （2）已知，，求，，的范围. （25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）设，，比较，的大小；小试牛刀3 （2）已知，，求代数式和的取值范围. 【题型7：由不等式的性质证明不等式】 【练方法】 方法技巧 1.从已知条件出发逐步用不等式性质单向放缩推导目标不等式 2.复杂证明可先用作差/作商法化简再结合性质推导 3.放缩全程保持同向变形不一边放大一边缩小 易错提醒 1.放缩方向混乱同时放大缩小无法推出结论 2.乘除负数未反转不等号证明逻辑不成立 3.缺少正数前提直接使用乘方、开方性质证明 4.异向不等式相加推导证明步骤违规 已知，求证:.经典例题1例题 （2026高三·全国·专题练习）已知均为正实数，且，求证：．小试牛刀1 （24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，.小试牛刀2 (1)求证：； (2)求证：. （25-26高一上·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜．小试牛刀3 (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一上·湖北武汉·期中）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 2．（24-25高一上·四川宜宾·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26高三下·安徽·开学考试）已知，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·浙江·期中）已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·浙江·期中）给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．若,则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（25-26高二下·安徽·期中）已知，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 二、多选题 8．（25-26高一上·重庆·期中）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 三、解答题 10．（22-23高一上·广东佛山·阶段检测）（1）已知 ，求证：. （2）已知，求代数式和的取值范围． 11．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）（1）已知______，试比较M，N的大小．从下列两个条件中选择其中一个填入横线中，并解答问题． ①，，②，． （2）若，证明：． 12．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 13．（22-23高二上·宁夏银川·期中）已知b g糖水中有a g糖，往糖水中加入m g糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式 (2)证明这个不等式 14．（23-24高一上·湖北·期中）（1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，不必证明.利用此结论证明：若为三角形的三边长，则. （2）超市里面提供两种糖：白糖每千克元，红糖每千克元.小东买了相同质量的两种糖，小华买了相同价钱的两种糖.请问谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的结论.（物品的平均价格物品的总价钱物品的总质量） 15．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 16．（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $