7.5 空间几何法解决夹角与距离（精讲）-备战2027届高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦空间几何夹角与距离核心考点，涵盖异面直线、线面、面面所成角及点面、线面、面面距离，按知识复习（定义、范围、转化方法）到典例精讲（分八类题型）的逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建空间几何问题的解题体系。 讲义以分层典例设计为特色，如通过正四面体、折叠问题等实例训练空间角转化，结合距离换底、中点转化策略培养数学思维与空间观念，设置基础到综合的真题演练，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供系统教学支持。

· 7.5 空间几何法解决夹角与距离（精讲） 第一部分：知识复习 1．异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围：. 2．直线和平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． ②θ的取值范围：0°≤θ≤90°. 3．二面角 (1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． (2)二面角的平面角α的取值范围：0°≤α≤180°. 4．空间中的距离问题 1．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度 叫做这个点到该平面的距离． 2．一条直线与一个平面平行时，这条直线上 任意一点 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 3．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 任意一点 到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 【注意】由直线到平面的距离与平行平面间的距离的定义知，它们都可以转化为点到平面的距离． 5．空间中距离的转化 (1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离． (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离． (3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高． 第二部分：典型例题 典例一：求异面直线中的夹角 1．（2026高三下·全国·专题练习）已知是正四面体，（由四个全等的正三角形围成的空间封闭图形）M为AB中点，则SM与BC所成角的余弦值为____________. 2．（25-26高三上·河北承德·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，，，分别是，的中点． (1)证明：平面． (2)求异面直线与所成角的正切值． 3．（25-26高三上·甘肃庆阳·期末）在长方体中，，则异面直线和所成角的大小是___________． 4．（25-26高三上·辽宁朝阳·期末）在平行四边形中，，，将沿对角线折起，使得平面平面，则直线与所成角的余弦值为__________． 典例二：由异面直线所成的角求其他量 5．（25-26高三上·陕西西安·期末）如图，四面体中，，，分别为的中点．若异面直线与互相垂直，则的长为________． 6．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，已知空间四边形中，与所成角为，且，，分别为，的中点，则________． 7．（25-26高二上·上海普陀·期末）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 8．（2026·陕西·模拟预测）在四面体中，，，，，若异面直线与所成的角为，则________． 典例三：求线面角 9．（25-26高三上·甘肃庆阳·期末）如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：； (2)求与平面所成的角的大小. 10．（25-26高三上·辽宁沈阳·期末）如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，，点为的中点，是等边三角形，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 11．（25-26高三上·广东深圳·期末）如图，四边形是圆柱的轴截面，C是下底面圆周上一点，点D是线段中点 (1)证明：直线平面； (2)若，，，求与平面所成角的正弦值． 12．（2026高三·全国·专题练习）的斜边在平面α内，且平面和平面α所成的二面角为，若直角边和平面α成，则和平面α所成角为______． 典例四：由线面角所成的角求其他量 13．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点，点是的中点. (1)证明：，，，四点共面； (2)证明：直线平面； (3)若直线与平面的夹角的正切值为，求四棱锥的体积. 14．（25-26高三上·四川宜宾·期末）在正三棱柱中，分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角为，求 15．（25-26高三上·重庆·期末）在正四棱柱中，，，为棱靠近的四等分点，为四边形内一动点，且直线与底面所成的角为，则动点的轨迹长度为_____________． 16．（25-26高三上·河北邯郸·期中）如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 典例五：求面面角 17．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）如图，四棱锥中，底面，，．    (1)若，证明：平面； (2)若，且，求二面角的正弦值． 18．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正方体的棱长为2，为棱的中点. (1)若平面平面，求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 19．（25-26高二下·上海宝山·期末）、、为圆锥的三条母线，为底面直径，. (1)证明：； (2)若圆锥的侧面积为，求二面角的大小. 20．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知平行六面体所有棱长均为2，． (1)求证：平面平面； (2)设平面与平面交于直线，求证：直线平面； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 典例六：由面面角所成的角求其他量 21．（25-26高三上·宁夏银川·期末）如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为________________． 22．（25-26高三上·安徽亳州·期末）在正四棱锥中，，二面角的余弦值为，则_______. 23．（25-26高三上·吉林长春·期末）如图，在平面四边形中，，，，，将沿折起，使二面角的大小为，此时直线与平面所成角的正切值为________； 24．（25-26高三上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，是的中点，，，设平面交于． (1)求证：为的中点； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值． 典例七：点面距离的问题 25．（25-26高三上·青海西宁·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 26．（25-26高三上·陕西铜川·期末）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，底面，．    (1)求四棱锥的表面积； (2)求点C到平面的距离． 27．（25-26高三上·内蒙古包头·阶段检测）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上的点，且. (1)记平面平面，证明：. (2)求点到平面的距离. 28．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，若侧面与侧面所成的角为． (1)求点到平面的距离； (2)侧棱上是否存在一点，使平面．若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 典例八：线面、面面距离的问题 29．（2026高三·全国·专题练习）已知正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是的中点．求： (1)点到直线的距离； (2)直线到面的距离． 30．（25-26高三上·广东·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，E、F、G分别是的中点． (1)证明：面； (2)证明：平面； (3)若平面，求直线到平面的距离． 31．（25-26高三上·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 32．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（    ） A．点到平面的距离等于1； B．直线到平面的距离等于1； C．平面到平面的距离等于1. D．点到平面的距离等于1 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ · 7.5 空间几何法解决夹角与距离（精讲） 第一部分：知识复习 1．异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围：. 2．直线和平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． ②θ的取值范围：0°≤θ≤90°. 3．二面角 (1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． (2)二面角的平面角α的取值范围：0°≤α≤180°. 4．空间中的距离问题 1．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度 叫做这个点到该平面的距离． 2．一条直线与一个平面平行时，这条直线上 任意一点 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 3．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 任意一点 到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 【注意】由直线到平面的距离与平行平面间的距离的定义知，它们都可以转化为点到平面的距离． 5．空间中距离的转化 (1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离． (2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离． (3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高． 第二部分：典型例题 典例一：求异面直线中的夹角 1．（2026高三下·全国·专题练习）已知是正四面体，（由四个全等的正三角形围成的空间封闭图形）M为AB中点，则SM与BC所成角的余弦值为____________. 【答案】/ 【分析】取AC中点N，连接MN、NS，分析可知SM与BC所成角为（或其补角），利用余弦定理运算求解即可. 【详解】设正四面体棱长为2，取AC中点N，连接MN、NS， 因为M为AB中点，则，且， 可知SM与BC所成角为（或其补角）， 在中，，， 由余弦定理可得：， 所以SM与BC所成角的余弦值为. 2．（25-26高三上·河北承德·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，，，分别是，的中点． (1)证明：平面． (2)求异面直线与所成角的正切值． 【答案】(1)证明：取的中点，连接，． 因为底面是平行四边形，所以，． 因为，分别是，的中点，所以是的中位线，所以，． 所以，． 因为是的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以． 因为平面. ，平面，所以平面． (2) 【分析】（1）取中点为，连接，通过证明结合题设可完成证明； （2）由（1）可得（或其补角）为异面直线与所成的角．然后由题目数据可得答案. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，所以（或其补角）为异面直线与所成的角． 因为平面，所以． 因为是的中点，所以，则． 设，则，， 所以异面直线与所成角的正切值为． 3．（25-26高三上·甘肃庆阳·期末）在长方体中，，则异面直线和所成角的大小是___________． 【答案】/ 【详解】由知为异面直线和所成的角． 在Rt中，，则， 即异面直线和所成角的大小是. 4．（25-26高三上·辽宁朝阳·期末）在平行四边形中，，，将沿对角线折起，使得平面平面，则直线与所成角的余弦值为__________． 【答案】/ 【分析】过点 作 ，且取 ，连接 、，将异面直线 与 所成的角，转化为直线 与 所成的角，即 （或其补角），再求其余弦值. 【详解】设 ，由 得 ，在 中，， 由余弦定理：，故 ， 由 ，根据勾股定理逆定理，得 ， 因为四边形 是平行四边形，故 且 ，因此 ， 将 沿 折起后，平面 平面 ，且两平面交线为 ， 又 平面 ，且 ，根据面面垂直的性质定理，可得， 过点 作 ，且取 ，连接 、， 由 且 ，可知四边形 是平行四边形，因此： ，且 ； 异面直线 与 所成的角，等于直线 与 所成的角， 即 （或其补角），    由 平面 ，，得 ， 因为 平面 ，故 ，即 为直角三角形， 在 中，，，由勾股定理 折叠前后边长不变，平行四边形对边相等，故 ，因此 ， 在 中，，，， 由余弦定理得， 异面直线所成角的范围为 ，余弦值取正值， 故直线 与 所成角的余弦值为 . 典例二：由异面直线所成的角求其他量 5．（25-26高三上·陕西西安·期末）如图，四面体中，，，分别为的中点．若异面直线与互相垂直，则的长为________． 【答案】/ 【分析】取中点，连接，可得，，且，根据勾股定理即可求解. 【详解】取中点，连接， 又分别为的中点，所以，， 又，，异面直线与互相垂直， 所以，，且， 所以，即. 6．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，已知空间四边形中，与所成角为，且，，分别为，的中点，则________． 【答案】1或 【分析】取一边中点构造中位线，将已知的两条异面直线所成角转化为三角形中的角，再利用余弦定理分两种情况求出所求线段的长度. 【详解】如图，取的中点，连接，，由题可知，，， ，．因为与所成的角为， 所以或，当时，为等边三角形，所以； 当时，由余弦定理得，， 所以．综上，或． 故答案为：或. 7．（25-26高二上·上海普陀·期末）空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 【答案】或 【分析】连接，由中位线定理可得为异面直线所成角或所成角补角，据此可得答案. 【详解】如图，连接，由题设及中位线定理可得， 则为异面直线所成角或所成角补角，则或. 故答案为：或. 8．（2026·陕西·模拟预测）在四面体中，，，，，若异面直线与所成的角为，则________． 【答案】 【分析】方法一：分别作和斜边上的高，，先求出值，进而判定四边形是平行四边形，进而得到故，从而求得结果；方法二：根据向量的方法和向量夹角的余弦公式求出结果即可. 【详解】法一：由题意得，均为直角三角形，故， 如图，分别作和斜边上的高，， 则在中，根据面积公式可知， 故，故． 在平面中，过作，且，连接，，故四边形是平行四边形， 则，且．因为四边形是平行四边形，且，所以四边形为矩形，所以． 又，，故，又平面， 所以平面，故， 又，所以． 法二： 因为在四面体中，，，，，所以 且．又异面直线与所成的角为， 所以，所以，所以，即． 故答案为：. 典例三：求线面角 9．（25-26高三上·甘肃庆阳·期末）如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：； (2)求与平面所成的角的大小. 【答案】(1)连接与相交于点D，如图所示， 在直棱柱中，平面，平面， ， 又，，平面， 所以，平面， 平面， ， ， 四边形为菱形，即， ，且平面， 平面， 平面， . (2) 【分析】（1）通过证明线面垂直后再证明线线垂直. （2）证明线面垂直后找出线面角进而通过线段长度求解角度. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，如图所示； ，， 平面，平面， ， ，且平面， 平面， 是在面内的射影，是与平面所成角的平面角. 在中，易知，， ， ，即与平面所成的角的大小为30°. 10．（25-26高三上·辽宁沈阳·期末）如图，在四棱锥中，，底面是平行四边形，，点为的中点，是等边三角形，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)如图，因为，点为的中点，所以，所以； 又因为是等边三角形，所以，所以，所以； 因为平面，所以平面； (2) 【分析】（1）先根据等腰三角形得出，进而结合边长得出，最后应用线面垂直判定定理证明； （2）先设点到平面的距离为，应用等体积法求出，再应用线面角正弦求解即可. 【详解】（1）略 （2）设点到平面的距离为，则， 由（1）知，平面，所以为三棱锥的高，所以， 又因为，所以，所以； 所以，； 所以，解得； 设直线与平面所成角为，则； 所以直线与平面所成角的正弦值为. 11．（25-26高三上·广东深圳·期末）如图，四边形是圆柱的轴截面，C是下底面圆周上一点，点D是线段中点 (1)证明：直线平面； (2)若，，，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)连接，令，连接，则是、的中点， 在△中， 是线段中点，是的中点，∴∥， 又∵平面，平面， ∴直线平面. (2) 【分析】（1）利用线面平行判定定理进行证明； （2）  法一，利用等体积法求出点到平面的距离，利用线面角的定义即可求得答案； 法二，建立空间直角坐标系，利用空间角的向量求法，即可求得答案； 【详解】（1）略 （2） 法一:因为，所以与平面所成角即为与平面所成角， 假设点到平面的距离为， 在三棱锥中，平面， 在中，为中点，，，， 所以三棱锥的体积， 因为为中点，所以， 又在中，所以， 同理， 又在中，所以， 又因为，即有， 解得， 假设与平面所成角的为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 12．（2026高三·全国·专题练习）的斜边在平面α内，且平面和平面α所成的二面角为，若直角边和平面α成，则和平面α所成角为______． 【答案】/ 【分析】设点在平面内的投影为，表示出直角边和平面α所成角，得到与的长度关系，再表示出平面和平面α所成的二面角的平面角，得到与的关系，再通过勾股定理与等面积法得到与的关系，最后表示出和平面α所成角，在中根据边长关系计算出，即可得解. 【详解】 设点在平面内的投影为，则平面，设，则为直线与平面的所成角，即， 又因为平面，平面，故，因此为等腰直角三角形，故. 过点作线段的垂线，垂足为，即，又因为平面，平面，故， 又因为平面，故平面，因此. 因为平面平面，平面，平面，，，， 因此为平面和平面α所成的二面角的平面角，即， 易知，故，故. 在中，，由等面积法可得：， 且，代入， 得，两边约去，再两边平方化简得：. 因为平面，故为与平面所成角，且易知， 因此，在中，， 因为线面角范围为，所以. 典例四：由线面角所成的角求其他量 13．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点，点是的中点. (1)证明：，，，四点共面； (2)证明：直线平面； (3)若直线与平面的夹角的正切值为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明：因为，分别是，的中点，所以.                          因为四边形是矩形，所以， 则，所以，，，四点共面. (2)证明：因为是等边三角形，是的中点，所以， 由四边形为矩形，得， 又平面平面，平面平面，平面 所以平面， 又平面，所以， 因，平面, 所以平面. (3) 【分析】（1）由条件证明，即得，，，四点共面； （2）先由面面垂直证明平面，得，再证，由线面垂直的判定定理即可得证； （3）取中点，连接，证明，分别过点与作，，证明平面，平面，即得是直线与平面所成的角，借助于求出，进而求得，最后利用四棱锥的体积公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）取中点，连接，则， 又因，所以，，则得，故， 分别过点与作，，垂足分别为， 因平面平面，平面平面， 平面， 故平面，平面， 所以是直线与平面所成的角，是四棱锥的高.   因为是等边三角形，，则， ，， 在中，依题意，解得. 在中，，解得，所以， 故四棱锥的体积是. 14．（25-26高三上·四川宜宾·期末）在正三棱柱中，分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，直线与平面所成角为，求 【答案】(1)证明：分别取，的中点，， 连接，，． 因为，， 所以， 所以四边形为平行四边形． 所以，因为平面平面， 所以平面． (2) 【分析】(1)根据线面平行的判定定理可得； (2)找到直线与平面所成的角，根据几何关系即可求解. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接， 所以，因为平面平面，平面平面， 所以平面， 过作交于，所以平面，连接． 所以直线与平面所成角为， 设，可得， 所以， 解得，所以． 15．（25-26高三上·重庆·期末）在正四棱柱中，，，为棱靠近的四等分点，为四边形内一动点，且直线与底面所成的角为，则动点的轨迹长度为_____________． 【答案】 【分析】根据线面角定义，确定点的运动轨迹，通过弧长计算公式即可计算得到轨迹长度. 【详解】过点作底面的垂线，垂足为，则是在底面的 投影，且， 直线与底面所成角为，根据线面角定义，可得， 在直角三角形中，，代入，得，， 因此动点的轨迹是以为圆心，半径的圆在正方形内的部分，    因此，故设点的轨迹与的交点，与的交点，轨迹如图所示，    因为，，所以，，因此, 故点的轨迹长为. 16．（25-26高三上·河北邯郸·期中）如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)设点到平面的距离为， 因为，，所以，   因为，所以，   因为，所以平面，因为平面， 所以平面平面． (2)存在， 【分析】（1）利用三棱锥的体积为，先证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）取的中点为，连接，，作交于，连接，先证明为与平面所成的角，设，则， ，由列方程，解得，即可求解. 【详解】（1）略 （2）取的中点为，连接，，作交于，连接， 因为为中点，则，所以， 因为平面，所以平面，平面， 所以为与平面所成的角.   因为为等腰三角形，，， 所以，，所以， 又，平面，所以为等腰直角三角形 . 设，则，，， ， ， ，即，解得，（舍）  ， 所以，当时，与平面所成的角的正弦值为. 典例五：求面面角 17．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）如图，四棱锥中，底面，，．    (1)若，证明：平面； (2)若，且，求二面角的正弦值． 【答案】(1)因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 所以， 又平面，平面，所以平面． (2) 【分析】（1）先证，再由勾股定理得，从而，进而证明平面； （2）作，，确定为二面角的平面角，再利用直角三角形求出，由三角函数求其正弦值即可. 【详解】（1）略 （2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接，    因为平面，且平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 所以即为二面角的平面角， 因为，则，，， 而为等腰直角三角形，所以， 故，所以. 18．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正方体的棱长为2，为棱的中点. (1)若平面平面，求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)设，则为的中点， 连接，因为为棱的中点，则， 且平面，平面，则平面， 又因为平面，平面平面，所以. (2)0 【分析】（1）作辅助线，可证平面，结合线面平行的性质定理分析证明； （2）分析可知平面与平面夹角为，利用勾股定理可知，即可得结果. 【详解】（1）略 （2）连接，，，则，， 且为的中点，则，，可知平面与平面夹角为， 在中，，，，则， 可知，平面与平面夹角余弦值为. 19．（25-26高二下·上海宝山·期末）、、为圆锥的三条母线，为底面直径，. (1)证明：； (2)若圆锥的侧面积为，求二面角的大小. 【答案】(1)设底面圆心为，则为中点，连接，，所以平面， 在底面中，，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以. (2). 【分析】（1）利用底面等腰三角形的中线性质得到 ，结合圆锥的轴 底面得到 ，从而由线面垂直判定定理完成证明； （2）取 中点 ，由等腰三角形中线性质得 ，利用底面中位线关系得 ，从而 即为所求二面角的平面角；再在直角三角形中通过边长比计算正切值即可确定角的大小． 【详解】（1）略． （2）由直径，得底面半径，且, 又，所以， 圆锥侧面积，得母线长：， 所以， 取的中点，连接，所以，， 因为为底面直径，所以，所以， 所以是二面角的平面角. 在直角中，， 因为,所以， 所以，即二面角的大小为. 20．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知平行六面体所有棱长均为2，． (1)求证：平面平面； (2)设平面与平面交于直线，求证：直线平面； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) 如图，设与交于点，连接， 在菱形中，，为中点， 因为为公共边，，， 所以，所以， 所以为等腰三角形，则， 又因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面． (2)连接，易知， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面平面，所以， 因为平面，平面， 所以平面． (3) 【分析】（1）通过证明，，可证出平面，即平面平面； （2）首先得出平面，由条件可证出直线平面； （3）通过找线面垂直可得出就是二面角的平面角，之后在中用余弦定理可求出余弦值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由题意知，则， 设，连接， 由（1）可知，平面，所以， 因为，所以， 在中，，，故，则， 所以为等腰直角三角形，且， 取中点，连接，则 过作交于，连接， 所以就是二面角的平面角， 在等腰中，， ，同理， 所以，即， 所以，即为的中点， 在中，， 即，即， 解得， 所以在中，， 因两平面夹角的余弦值为非负数，取绝对值可得， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 典例六：由面面角所成的角求其他量 21．（25-26高三上·宁夏银川·期末）如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为________________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，，利用正三角形性质及三垂线定理证明为二面角的平面角，进而在中求解侧棱长. 【详解】取的中点，连接，. 因为为正三角形，所以. 因为三棱柱为正三棱柱，所以平面. 又平面， 所以. 因为，平面， 所以平面. 又平面， 所以. 所以即为二面角的平面角，即. 在中，，， 所以. 在中，， 所以. 故侧棱长为. 22．（25-26高三上·安徽亳州·期末）在正四棱锥中，，二面角的余弦值为，则_______. 【答案】2 【分析】在棱 上确定二面角的平面角，再在两个全等的侧面三角形中求出平面角两边的长度，利用余弦定理建立关于侧棱 的方程. 【详解】设 因为正四棱锥的底面 是正方形，所以 在 中，过点 作 ，垂足为 . 又因为且 为公共边，所以 因此点 到直线 的垂足也为 ，即 于是 、 分别在平面 、平面 内，且都垂直于交线 ，所以 是二面角 的平面角. 在 中，由余弦定理， 由于 是 在 方向上的投影，所以 在直角三角形 中，由勾股定理， 由全等关系可知 .在 中，由余弦定理， 由题意，所以即 .因为 ，所以 23．（25-26高三上·吉林长春·期末）如图，在平面四边形中，，，，，将沿折起，使二面角的大小为，此时直线与平面所成角的正切值为________； 【答案】/ 【分析】过作平面，垂足为，连接，则即为直线与平面所成角，记为，利用线面垂直判定定理和性质定理得到，求出的长，过作延长线的垂线，交于点，利用勾股定理求得的长，即可求出结果. 【详解】由题知， 过作平面，垂足为，连接， 则即为直线与平面所成角，记为， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以，所以， 在中，， 过作延长线的垂线，交于点， 则， 所以， 所以， 即直线与平面所成角的正切值为. 24．（25-26高三上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，是的中点，，，设平面交于． (1)求证：为的中点； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明：连接，，因为四边形是矩形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以，所以， 因为是的中点，所以为的中点． (2)证明：因为，是的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，且， 所以平面， 又平面，所以， 因为，且，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． (3) 【分析】（1）先根据线面平行的判定证明平面，再根据线面平行的性质，及矩形的性质证明，进而根据三角形的性质即可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质证明，再根据线面垂直的判定及性质证明，从而根据线面垂直的判定及面面垂直的判定即可证明结论； （3）先确定直线与平面所成的角，再证明为二面角的平面角，从而得到，再结合余弦定理，勾股定理，正切函数的定义即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点作，垂足为，设中点为，连接，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以为直线与平面所成角， 由（1）易得，，所以四边形是平行四边形，所以， 所以为直线与平面所成角． 由（2）知平面，又平面，所以， 又，所以为二面角的平面角，即， 设，在中，由余弦定理得，解得， 所以，，， 又，所以， 所以，即直线与平面所成角的正切值为． 典例七：点面距离的问题 25．（25-26高三上·青海西宁·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：在正方形中，， 又侧平面，侧平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为△是正三角形，M是的中点，则， 又，平面，所以平面． (2) (3) 【分析】（1）先由面面垂直性质证平面得，再结合正三角形中线，利用线面垂直判定定理证平面； （2）取上下底中点构造辅助线，先证底面、平面，确定为二面角平面角，再通过边长计算直角三角形边长求出其余弦值； （3）先由面面垂直推平面得到，进而求得面积，利用等体积法，转换三棱锥与体积列方程求解点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）取，的中点分别为，连接， 则，因为，所以， 因为△PAD是正三角形，所以， 又侧面平面，侧面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以是侧面与底面所成二面角的平面角． 因为正方形的边长为2，则，， 所以，所以， 即侧面与底面所成二面角的余弦值为． （3）因为在正方形ABCD中，， 又侧面平面，侧平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以△为等腰直角三角形，， ， 设到平面的距离为d，则， 解得，即到平面的距离为． 26．（25-26高三上·陕西铜川·期末）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，底面，．    (1)求四棱锥的表面积； (2)求点C到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长度关系分析可知，，进而可求四棱锥的表面积； （2）分析可知点C到平面的距离与点A到平面的距离相等，利用等体积法结合锥体的体积公式求点到面的距离. 【详解】（1）由题意可知：，， 则，，可知，， 可得， 所以四棱锥的表面积. （2）设，则为的中点，    可知点C到平面的距离与点A到平面的距离相等，设为， 因为，即，解得， 所以点C到平面的距离． 27．（25-26高三上·内蒙古包头·阶段检测）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上的点，且. (1)记平面平面，证明：. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)因为为正方形，所以， 平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. (2) 【分析】（1）先利用线面平行的判定定理证明平面，再利用线面平行的性质定理证明； （2）可知到平面的距离即为到平面的距离，利用等体积法求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）如图， 设，连接. 因为四棱锥为正四棱锥，所以平面. 因为，所以. 因为在中，，，所以，所以. 所以. 所以. 设到平面的距离，也就是到平面的距离为， 则，， 所以. 28．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，若侧面与侧面所成的角为． (1)求点到平面的距离； (2)侧棱上是否存在一点，使平面．若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当时，平面． 【分析】（1）设平面平面,通过平面结合四边形是正方形易证得，平面，平面，那么，，为侧面与侧面所成二面角的平面角，最后通过，平面,平面,平面，转化求点到平面的距离，利用数量关系即可求解； （2）假设存在点E使平面，连接，易证得平面,平面，，要使平面，只需，通过数量关系求得，从而确定点的位置. 【详解】（1）如图所示， 设平面平面 ，平面，平面， 平面． 又平面，平面平面 ． 平面，平面, ． 又，,平面 平面，又 平面，平面, ，， 为侧面与侧面所成二面角的平面角，， 又，，为等腰直角三角形，， ，平面,平面, 平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离． 作于H， 由于平面，平面， 所以，又，平面， 所以，平面， 故为点D到平面的距离，由于为等腰直角三角形， 所以， ∴点C到平面的距离为． （2）存在点E使平面． 连接， 平面，平面， ，又，,平面 平面,平面， ， 要使平面，只需, ，，，，， ∴当时，平面． 典例八：线面、面面距离的问题 29．（2026高三·全国·专题练习）已知正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是的中点．求： (1)点到直线的距离； (2)直线到面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证，则即为所求距离；再在直角三角形中，通过勾股定理求出和，进而算出斜边. （2）先通过中位线证明平面，将线面距离转化为点到该平面的距离；再利用等体积法，以三棱锥 和体积相等列方程，由已知底面积和高求出距离. 【详解】（1）连结、， ∵平面平面，所以. 因为，平面，所以平面，因此. 就是点到直线的距离． 在中， ，， ， 即点到直线的距离为． （2）设与交于点E，连结 则，面． 又与面交于的中点D， 到平面的距离等于C点到面的距离，也就等于三棱锥的高． ， ． ， ∴直线到平面的距离是． 30．（25-26高三上·广东·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，E、F、G分别是的中点． (1)证明：面； (2)证明：平面； (3)若平面，求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明：连接，． 因为，，分别是，，的中点，四边形是矩形． 所以，，且，． 所以，． 所以四边形为平行四边形． 所以． 又平面，平面， 所以//平面． (2)证明：因为，的中点为，所以． 因为平面，平面． 所以． 因为底面是矩形． 所以．因为，，平面． 所以平面． 因为平面． 所以， 因为，，平面． 所以平面． 因为由（1）知，所以平面． (3) 【分析】（1）由线面平行的判定定理可得； （2）由线面垂直的判定定理证得平面，从而得，再由线面垂直的判定定理证得平面，最后根据，可得平面； （3）由，知直线到平面的距离即为点到平面的距离，根据等体积法可得；或先求得的长度，由平面，得点到平面的距离为，再根据是的中点，得点到平面的距离，即直线到平面的距离为. 【详解】（1）略 （2）略 （3）法一：由（1）可知，，即求点到平面的距离，设为． 因为平面，平面． 所以．又，所以， 因为平面，平面， 所以． 又是的中点． 所以，， 又因为平面，平面， 所以．在直角三角形中，，，， 所以． 所以，即． 所以，． 所以，直线到平面的距离是． 法二：因为平面，，平面． 所以． 又．所以． 因为平面，平面， 所以． 又是的中点，所以． 由（2）可知，．所以． 又由（1）可知，． 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离． 又因为是的中点，且平面， 所以点到平面的距离为． 所以，直线到平面的距离是． 31．（25-26高三上·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在长方体中，可得， 因为且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. （2）在长方体中，可得, 因为且平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， 所以直线与平面的距离为. （3）在长方体中，可得平面平面， 因为且，平面， 所以平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 32．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（    ） A．点到平面的距离等于1； B．直线到平面的距离等于1； C．平面到平面的距离等于1. D．点到平面的距离等于1 【答案】ABC 【分析】分别由平面、平面和平面、平面平面即可分析求解判断ABC；设点到平面的距离等于d，由即可求解判断D. 【详解】由正方体结构性质可知平面，所以点到平面的距离等于1，A正确； 由正方体结构性质可知，在平面外，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离等于点C到平面的距离， 又由正方体结构性质可知平面，所以直线到平面的距离为，B正确； 由正方体结构性质可知平面平面，平面且平面， 所以平面到平面的距离等于，C正确； 设点到平面的距离等于d，由题意可得， 所以，又， 所以由得，D错误. 故选：ABC 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $