11几何法、空间向量法解决空间距离问题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何空间距离问题，系统整合点到直线、点到平面、线面及面面距离等核心考点，以几何法与空间向量法为双主线，通过知识梳理构建定义公式体系，回归教材例题夯实基础，考点梳理结合高考真题提炼解题模型，形成“基础-应用-提升”的复习链条。 讲义突出“教材-考点-素养”三位一体设计，创新采用“定义推导-教材例析-高考题解”递进式教学，如通过正方体模型训练空间向量法求距离，小结提炼向量法四步解题流程，配合分层跟踪练习实现能力梯度提升。培养学生空间观念与逻辑推理能力，助力教师精准把握复习节奏，高效提升学生高考实战解题能力。

2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——11 几何法、空间向量法解决空间距离问题 知识梳理 1、空间向量与距离 直线外一点到直线的距离 如图，直线的单位方向向量为，设，则向量在直线上的投影向量，则点到直线的距离为 平面外一点到平面的距离 如图，已知平面 的法向量为，为平面 内的定点，是平面 外一点，过点作平面 的垂线，交平面 于点，是直线的方向向量，则点到平面 的距离 2．求点到直线的距离的向量方法 (1)设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d＝ . (2)若能求出点在直线上的投影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离． 3．求平面α外一点P到平面α的距离的向量方法 设平面α的一个法向量为n，A是α内任意一点，则点P到α的距离为d＝. 注意：线面距离和面面距离可以转化为点到平面的距离进行求解． 回归教材： 【人教A版选择性必修一第1.4.2节例6】如图, 在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． （1）求点B到直线的距离； （2）求直线到平面的距离． 【人教A版选择性必修一第1.4.2节35页练习第1题】在棱长为1的正方体中，点A到平面的距离等于__________；直线DC到平面的距离等于_________；平面到平面的距离等于__________． 【人教A版选择性必修一第1.4.2节35页练习第2题】 如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求直线到直线的距离； （3）求点到平面的距离； （4）求直线到平面的距离． 【人教A版选择性必修一第1.4.2节35页练习第3题】如图，在棱长为1的正方体中，求平面与平面的距离． 【人教A版选择性必修一习题1.4第6题】如图，在棱长为1的正方体中，O为平面的中心，E为BC的中点，求点O到直线的距离． 【人教A版选择性必修一习题1.4第7题】如图，四面体OABC的所有棱长都是1，D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE． （1）计算DE的长； （2）求点O到平面ABC的距离． 【人教A版选择性必修一习题1.4第13题】如图，已知正方体的棱长为1，E为CD的中点，求点到平面的距离． 【人教A版选择性必修一习题1.4第14题】如图，正方体的棱长为1，M是棱的中点，O是的中点．求证：OM分别与异面直线，垂直，并求OM的长． 【人教B版必修四03参考题C组第7题】已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，求球心到截面ABC的距离． 【人教A版必修二第6.6.2节例5】已知直线平面，求证：直线上任意两点到平面的距离都相等. 【人教A版必修二第6.6.2节练习第2题P155】已知两点在平面的同侧，且它们与的距离相等，求证：直线. 考点梳理： 例．如图，在直三棱柱中，，，点P为棱的中点，则点P到直线AB的距离为（   ） A． B． C． D． 例．在三棱柱中，侧棱底面，且三棱柱的体积为，的面积为．则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 例．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（ ） A． B． C． D． 例．（多选）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，P在正方体内部且满足＝＋＋，则下列说法正确的是(　　) A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面ABC1D1的距离是 C．平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 例、如图，在正三棱柱中，各棱长均为4，是的中点. （1） 求点到直线的距离； （2） 求点到平面的距离； （3） “”是的中点”，求直线到平面的距离. 例．（2026·江苏南京·一模）如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是菱形，平面平面，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 小结： 1、用向量法求点线距的三个步骤 （1）求出直线的单位方向向量； （2）求出所求点到直线上一点的向量及其在直线方向向量上的投影向量； （3）代入公式计算. 2、用向量法求点面距的四个步骤 （1）建系：建立恰当的空间直角坐标系； （2）求点坐标：写出（求出）相关点的坐标； （3）求向量：求出相关向量的坐标,平面 内两个不共线的向量，平面 的法向量； （4）求距离：. 【注意】用向量法求线面距，先利用平行转化为求点面距，再参照上述四个步骤. 跟踪练习： 1．（2026·江西萍乡·一模）在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2、若正方体的棱长为1，是的中点，则点到平面的距离为( ) A. B. C. D. 3．（2026·广西柳州·二模）某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面.若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．已知四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝1，E是BC的中点，则点E到直线PD的距离是(　　) A． B． C． D． 5．在正四棱锥P－ABCD中，AB＝2，PA与平面ABCD所成的角为，则点D到平面PBC的距离为(　　) A． B． C． D． 6．已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为______. 7．（2026·四川凉山·二模）若，则点到平面的距离______. 8．（2026·河北邢台·二模）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，平面经过直线且平行于直线，则点到平面的距离为______. 9．（2026·山西临汾·二模）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______. 10．如图，直三棱柱中，，，，点D是中点，则点到直线的距离是_______. 11．在空间直角坐标系中，一四面体的四个顶点坐标分别为(1，2，3)，(4，1，5)，(2，3，4)，(6，6，1)，则其体积为________． 12、如图，已知正方形的边长为1， 平面，且，，分别为，的中点. （1） 求点到平面的距离；（2） 求直线到平面的距离. 13、已知在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝. (1)求点C到直线AE的距离； (2)求点C到平面AED1的距离． 14、如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AE⊥平面ABCD，AE∥BF，AB＝AE＝2BF＝2. (1)证明：平面EAC⊥平面EFC； (2)在棱EC上有一点M，使得平面MBD与平面ABCD的夹角为45°，求点M到平面BCF的距离． 15. 如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝AD＝2，BD＝2，BC＝4. (1)证明：A1B1⊥AD1； (2)若直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值为，点M为线段BD上一点，求点M到平面B1CD1的距离． 16．（2026·河北石家庄·一模）如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是棱上的一点. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)若平面平面，是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 17．（2026·江苏·一模）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，为的中点，，，. (1)证明：； (2)若点在棱上，二面角的正切值为，求点到平面的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——11 几何法、空间向量法解决空间距离问题 知识梳理 1、空间向量与距离 直线外一点到直线的距离 如图，直线的单位方向向量为，设，则向量在直线上的投影向量，则点到直线的距离为 平面外一点到平面的距离 如图，已知平面 的法向量为，为平面 内的定点，是平面 外一点，过点作平面 的垂线，交平面 于点，是直线的方向向量，则点到平面 的距离 2．求点到直线的距离的向量方法 (1)设过点P的直线l的单位方向向量为n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d＝. (2)若能求出点在直线上的投影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离． 3．求平面α外一点P到平面α的距离的向量方法 设平面α的一个法向量为n，A是α内任意一点，则点P到α的距离为d＝. 注意：线面距离和面面距离可以转化为点到平面的距离进行求解． 回归教材： 【人教A版选择性必修一第1.4.2节例6】如图, 在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． （1）求点B到直线的距离； （2）求直线到平面的距离． 分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离． 解：以为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-18所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以 ，，，，，． （1），，则，．所以，点B到直线的距离为． （2）因为，所以，所以平面．所以点F到平面的距离即为直线到平面的距离．设平面的法向量为，则, 所以所以取，则，，所以，是平面的一个法向量．又因为，所以点F到平面的距离为． 即直线到平面的距离为． 【人教A版选择性必修一第1.4.2节35页练习第1题】在棱长为1的正方体中，点A到平面的距离等于__________；直线DC到平面的距离等于_________；平面到平面的距离等于__________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】根据点面距、线面距、面面距的定义及正方体的性质计算可得； 【详解】在棱长为的正方体中，面，所以即为点A到平面的距离，故点A到平面的距离为，因为，面，面，所以面，所以即为直线DC到平面的距离，故直线DC到平面的距离为，又平面平面，所以平面到平面的距离为 【人教A版选择性必修一第1.4.2节35页练习第2题】 如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求直线到直线的距离； （3）求点到平面的距离； （4）求直线到平面的距离． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】（1）建立坐标系，求出向量在单位向量上的投影，结合勾股定理可得点到直线的距离；（2）先证明再转化为点到直线的距离求解；（3）求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解；（4）把直线到平面的距离转化为到平面的距离，利用法向量进行求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则 （1）因为，所以. 所以点到直线的距离为. （2）因为所以，即所以点到直线的距离即为直线到直线的距离. 所以直线到直线的距离为 （3）设平面的一个法向量为，. 由，令，则，即. 设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离为. （4）因为所以平面，所以直线到平面的距离等于到平面的距离.，由（3）得平面的一个法向量为， 所以到平面的距离为，所以直线到平面的距离为. 【人教A版选择性必修一第1.4.2节35页练习第3题】如图，在棱长为1的正方体中，求平面与平面的距离． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，计算平面的法向量为，再由可得解. 【详解】 如图所示建立空间直角坐标系，，,设平面的法向量为 ，则，不妨令，则， 所以，所以平面与平面间的距离. 【人教A版选择性必修一习题1.4第6题】如图，在棱长为1的正方体中，O为平面的中心，E为BC的中点，求点O到直线的距离． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间坐标系，求解直线的单位方向向量，结合勾股定理进行求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为， 所以.所以点到直线的距离为. 【人教A版选择性必修一习题1.4第7题】如图，四面体OABC的所有棱长都是1，D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE． （1）计算DE的长； （2）求点O到平面ABC的距离． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用基底表示出向量，再根据向量数量积求长度的方法即可求出； （2）由该几何体特征可知，点O在平面ABC的射影为的中心，即可求出． 【详解】（1）因为四面体OABC的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体， ，而且，所以，即，所以DE的长为． （2）因为四面体OABC为正四面体，所以点O在平面ABC的射影为的中心， 的外接圆半径为，所以点O到平面ABC的距离为． 【人教A版选择性必修一习题1.4第13题】如图，已知正方体的棱长为1，E为CD的中点，求点到平面的距离． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间坐标系，求解平面的法向量，结合点到平面的距离公式求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则.设平面的一个法向量为， .由， 令，则，即.设点到平面的距离为， 则，即点到平面的距离为. 【人教A版选择性必修一习题1.4第14题】如图，正方体的棱长为1，M是棱的中点，O是的中点．求证：OM分别与异面直线，垂直，并求OM的长． 【答案】见解析. 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积为0可证得垂直，利用模长公式可求线段长. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 因为，所以，. 【人教B版必修四03参考题C组第7题】已知正三棱锥ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，求球心到截面ABC的距离． 【答案】 【详解】正三棱锥P-ABC可看作由正方体PADC-BEFG截得，如图所示， PF为三棱锥P-ABC的外接球的直径，且,设正方体棱长为a， 则， 由，得，所以，因为球心到平面ABC的距离为. 考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的几何性质，意在考查考生作图的能力和空间想象能力 【人教A版必修二第6.6.2节例5】已知直线平面，求证：直线上任意两点到平面的距离都相等. 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的性质定理推得与确定平面，再利用线面平行的性质定理推得四边形为平行四边形，进而得到，从而得证. 【详解】在直线上任取两点A、B，过作，垂足为，过作，垂足为， 则，则与确定平面，因为直线平面，则平面，又平面，平面，所以，所以四边形为平行四边形，则，又，，即为到平面的距离，所以直线上任意两点到平面的距离都相等. 【人教A版必修二第6.6.2节练习第2题P155】已知两点在平面的同侧，且它们与的距离相等，求证：直线. 【答案】证明见解析 【分析】欲证直线，即在平面中找出一条直线平行于即可，适当构造辅助线即可得到。 【详解】证明：如图，作，，垂足分别为，则， 又，∴四边形为平行四边形.又平面，平面.. 【点睛】本题考查了线面平行的问题，要证明线面平行，必须满足两个条件，第一：线线平行；第二：直线在平面外，缺一不可。 考点梳理： 例．如图，在直三棱柱中，，，点P为棱的中点，则点P到直线AB的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直三棱柱条件，可判断为等腰三角形，进而可求出点P到直线的距离. 【详解】因为，，点P为棱的中点， 所以，所以，，所以为等腰三角形.设点P到直线AB的距离为h，因为，，则.故选：A. 例．在三棱柱中，侧棱底面，且三棱柱的体积为，的面积为．则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用等体积法求解，先用直三棱柱体积为，得出三棱锥的体积为，设点到平面的距离为，结合的面积为，根据三棱锥体积公式即可得出结果． 【详解】 设点到平面的距离为，因为, , 所以，因为， 所以，即点到平面的距离为． 例．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，分析出球心O是的中点，且，求出，利用勾股定理证明，再利用线面垂直的判定定理证明平面，进而得到平面，即可求出点到底面的距离. 【详解】 设球的半径为，取的中点，连接.三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球O的直径且，球心O是的中点，，. 在中，，，在中，，，在中，，.又，平面，平面，，平面，点到底面的距离为. 例．（多选）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点E，O分别是A1B1，A1C1的中点，P在正方体内部且满足＝＋＋，则下列说法正确的是(　　) A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面ABC1D1的距离是 C．平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 答案：BCD 解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，E，所以＝(－1，0，0)，＝.设∠ABE＝θ，则cosθ＝＝，sinθ＝＝.故点A到直线BE的距离d1＝||sinθ＝1×＝，故A错误；易知＝＝，平面ABC1D1的一个法向量为＝(0，－1，1)，则点O到平面ABC1D1的距离d2＝＝＝，故B正确；＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(0，1，0)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则所以令z＝1，得y＝1，x＝1，所以n＝(1，1，1)．所以点D1到平面A1BD的距离d3＝＝＝.因为平面A1BD∥平面B1CD1，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为，故C正确；因为＝＋＋，＝(1，0，0)，＝(0，1，0)，＝(0，0，1)，所以＝，则＝，所以点P到直线AB的距离d4＝＝＝，故D正确．故选BCD. 例、如图，在正三棱柱中，各棱长均为4，是的中点. （1） 求点到直线的距离； （2） 求点到平面的距离； （3） “”是的中点”，求直线到平面的距离. [解析]（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，. ，，则,.设点到直线的距离为， 则. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，. 由是的中点，则，,, 设平面的一个法向量为，则 令，则，，得,,，而， 设点到平面的距离为，则. （3）易知,则直线到平面的距离等于点到平面的距离.后同（1）. 例．（2026·江苏南京·一模）如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是菱形，平面平面，，是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，结合等边三角形的性质，利用线面垂直的判定定理证明平面，进而由线面垂直的性质定理得，然后利用面面垂直的判定定理证明即可． （2）法一：利用线面垂直的判定定理证明平面，在平面内，作于，由线面垂直的性质定理和判定定理得平面，然后在中求解即可； 法二：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后点面距的向量公式求解即可． 【详解】（1）连接，因为是等边三角形，是中点，所以．又因为，，平面，，所以平面．因为平面，所以． 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面． （2）法一：在菱形中，，又因为，，所以，． 因为，平面，，所以平面．在平面内，作于． 因为平面，平面，所以．又因为，，平面，，所以平面，所以的长度为点到平面的距离． 在中，因为，，，所以，同理． 因为平面，平面，所以． 在中，因为，所以边上的高．即点到平面的距离为． 法二：因为平面，平面，所以．由（1）得、、两两垂直， 故以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，． 设平面的法向量为，所以所以 所以是平面的一个法向量．所以点到平面的距离． 小结： 1、用向量法求点线距的三个步骤 （1）求出直线的单位方向向量； （2）求出所求点到直线上一点的向量及其在直线方向向量上的投影向量； （3）代入公式计算. 2、用向量法求点面距的四个步骤 （1）建系：建立恰当的空间直角坐标系； （2）求点坐标：写出（求出）相关点的坐标； （3）求向量：求出相关向量的坐标,平面 内两个不共线的向量，平面 的法向量； （4）求距离：. 【注意】用向量法求线面距，先利用平行转化为求点面距，再参照上述四个步骤. 跟踪练习： 1．（2026·江西萍乡·一模）在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用距离公式求解即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，所以点到直线的距离为，故选：D 2、若正方体的棱长为1，是的中点，则点到平面的距离为( ) A. B. C. D. 【答案】B [解析]建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，,，，，所以，，.设平面的一个法向量为，则令，得，故点到平面的距离.选. 3．（2026·广西柳州·二模）某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，，，，为该正方体的顶点，，，为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面.若平面与平面平行，且直绳索的长度为米，则点到平面的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】利用等体积法求得点到平面的距离，可求点到平面的距离. 【详解】设点到平面的距离为，根据正方体的性质可知：点到平面的距离为，因为，所以，由正方体可得，所以，解得，所以点到平面的距离为，又因为平面与平面平行，直绳索的长度为米，所以点到平面的距离为. 4．已知四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝1，E是BC的中点，则点E到直线PD的距离是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：如图，建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，D(0，1，0)，E，所以＝(0，1，－1)，＝，所以||＝，||＝，＝＝－，所以点E到直线PD的距离是 ＝＝.故选D. 5．在正四棱锥P－ABCD中，AB＝2，PA与平面ABCD所成的角为，则点D到平面PBC的距离为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：依题意，设AC∩BD＝O，则PO⊥平面ABCD，所以∠PAO为PA与平面ABCD所成的角，即∠PAO＝，因为AB＝2，所以OA＝OC＝OB＝OD＝，则PO＝OA＝，以O为原点，建立空间直角坐标系，如图，则C(0，，0)，B(，0，0)，D(－，0，0)，P(0，0，)，所以＝(－，－，0)，＝(，0，－)，＝(0，，－)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则令z＝1，则x＝y＝1，故n＝(1，1，1)，所以点D到平面PBC的距离为＝＝.故选B. 6．已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为______. 【答案】1 【详解】连接交于点E， 由四边形为正方形，得，且为中点，由⊥底面，平面，得⊥，而，平面，则平面，因此AE的长即为点到平面的距离，又正方体棱长为，则，而平面，平面，则平面，故直线到平面的距离，即点到平面的距离. 7．（2026·四川凉山·二模）若，则点到平面的距离______. 【答案】 【分析】利用空间向量坐标公式计算出、可求出平面法向量，再利用空间中点到平面距离公式计算即可得. 【详解】，，设平面的法向量为， 则，取，则,，故，则. 8．（2026·河北邢台·二模）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，平面经过直线且平行于直线，则点到平面的距离为______. 【答案】 【分析】如图，取的中点，连接，，，过作，垂足为点，可证平面，从而可求点到平面的距离. 【详解】如图，取的中点，连接，，，则，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理.又，所以， 所以，确定一个平面，即为平面.过作，垂足为点，因为平面，平面，所以，又，平面,所以平面，即.在中，，所以. 9．（2026·山西临汾·二模）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______. 【答案】 【分析】设到平面的距离为，根据，列出方程，即可求解. 【详解】在棱长为的正方体中，由平面，即到平面的距离为，即三棱锥的高，所以三棱锥的体积为， 设到平面的距离为，由，可得, 所以，因为，可得，解得， 所以点到平面的距离为. 10．如图，直三棱柱中，，，，点D是中点，则点到直线的距离是_______. 【答案】/ 【分析】连接,易得是边长为的等边三角形，取的中点，连接,则的长即为点到直线的距离，在等边三角形中，求解即可. 【详解】连接, 因为，，点D是中点，，所以，,又因为,, 所以是边长为的等边三角形，取的中点，连接,则,所以的长即为点到直线的距离，又因为是边长为的等边三角形，所以. 11．在空间直角坐标系中，一四面体的四个顶点坐标分别为(1，2，3)，(4，1，5)，(2，3，4)，(6，6，1)，则其体积为________． 答案： 解析：设A(1，2，3)，B(4，1，5)，C(2，3，4)，D(6，6，1)，则AB2＝14，BC2＝9，AC2＝3，cos∠ABC＝＝，∴sin∠ABC＝＝，S△ABC＝AB·BCsin∠ABC＝.设平面ABC的法向量为m＝(x，y，z)，＝(3，－1，2)，＝(－2，2，－1)，则即令z＝－4，则x＝3，y＝1，m＝(3，1，－4)，＝(2，5，－4)，点D到平面ABC的距离h＝＝，四面体D－ABC的体积V＝S△ABC·h＝. 12、如图，已知正方形的边长为1， 平面，且，，分别为，的中点. （1） 求点到平面的距离；（2） 求直线到平面的距离. [解析]（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则,，,,，,1,，， ,,，,,，,,， 设平面的一个法向量为， 则令,则,,故， 点到平面的距离. （2）， 直线到平面的距离即点到平面的距离， 又,,， 点到平面的距离， 直线到平面的距离为. 13、已知在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝. (1)求点C到直线AE的距离； (2)求点C到平面AED1的距离． 解：(1)根据正方体的性质，可以建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，＝， 则C(0，4，0)，A(4，0，0)，D1(0，0，4)，E(3，1，4)，D(0，0，0)． ＝(－1，1，4)，＝(4，－4，0)，·＝＝－， 则点C到直线AE的距离d1＝＝＝. (2)由(1)知，＝(4，－4，0)，＝(－1，1，4)，＝(－4，0，4)， 设平面AED1的法向量为m＝(x，y，z)，则即 令z＝1，则x＝1，y＝－3，所以m＝(1，－3，1)，则点C到平面AED1的距离d2＝＝＝. 14、如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AE⊥平面ABCD，AE∥BF，AB＝AE＝2BF＝2. (1)证明：平面EAC⊥平面EFC； (2)在棱EC上有一点M，使得平面MBD与平面ABCD的夹角为45°，求点M到平面BCF的距离． 解：(1)证明：取EC的中点G，连接BD交AC于点N，连接GN，GF，因为四边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD，且N是AC的中点，所以GN∥AE且GN＝AE， 又AE∥BF，AE＝2BF＝2，所以GN∥BF且GN＝BF， 所以四边形BNGF是平行四边形，所以GF∥BN，又AE⊥平面ABCD，BN⊂平面ABCD，所以AE⊥BN， 又因为AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面EAC， 所以BN⊥平面EAC，所以GF⊥平面EAC，又GF⊂平面EFC，所以平面EAC⊥平面EFC. (2)取CD的中点H，由四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，得∠ADC＝60°， 所以△ADC是正三角形，所以AH⊥CD，所以AH⊥AB，又AE⊥平面ABCD，AB，AH⊂平面ABCD， 所以AE⊥AB，AE⊥AH，所以以A为原点，AH，AB，AE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，D(，－1，0)，B(0，2，0)，C(，1，0)，E(0，0，2)，F(0，2，1)， ＝(，－3，0)，＝(，－1，0)，＝(0，0，1)，设＝λ＝λ(，1，－2)＝(λ，λ，－2λ)(0<λ<1)， 所以M(λ，λ，2－2λ)，所以＝(λ，λ－2，2－2λ)，设平面MBD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即令x＝，得y＝1，z＝， 所以n＝.，平面ABCD的一个法向量为m＝(0，0，1)， 所以|cos〈n，m〉|＝＝＝，解得λ＝，所以M， 则＝，设平面BCF的法向量为u＝(a，b，c)，则即 取a＝1，得u＝(1，，0)，所以点M到平面BCF的距离d＝＝. 15. 如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝AD＝2，BD＝2，BC＝4. (1)证明：A1B1⊥AD1； (2)若直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值为，点M为线段BD上一点，求点M到平面B1CD1的距离． 解：(1)证明：因为AB＝AD＝2，BD＝2，所以AB2＋AD2＝8＝BD2，所以AB⊥AD， 因为ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，所以A1A⊥AB， 因为A1A∩AD＝A，A1A，AD⊂平面ADD1A1，所以AB⊥平面ADD1A1， 因为A1B1∥AB，所以A1B1⊥平面ADD1A1，因为AD1⊂平面ADD1A1，所以A1B1⊥AD1. (2)由(1)及题意知，AB，AD，A1A两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AB＝AD＝2，BD＝2，BC＝4，设A1A＝h(h>0)，所以A(0，0，0)，B(2，0，0)，B1(2，0，h)， C(2，4，0)，D1(0，2，h)，D(0，2，0)， 所以＝(2，0，0)，＝(0，－4，h)，＝(－2，－2，h)，＝(0，4，0)，＝(－2，2，0)， 设平面B1CD1的法向量为n＝(x，y，z)，则 令z＝4，则x＝y＝h，所以n＝(h，h，4)． 设直线AB与平面B1CD1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝， 解得h＝2，所以n＝(2，2，4)．所以点B到平面B1CD1的距离d＝＝＝. 因为·n＝－2×2＋2×2＋0×4＝0，所以⊥n.因为BD⊄平面B1CD1，所以BD∥平面B1CD1， 因为点M在线段BD上，所以点M到平面B1CD1的距离等于点B到平面B1CD1的距离，为. 故点M到平面B1CD1的距离为. 16．（2026·河北石家庄·一模）如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是棱上的一点. (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)若平面平面，是否存在点，使得点到平面的距离为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）解法一：取的中点，连接，利用面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设，利用点面距离的向量公式列式求解即可； 解法二：取的中点，连接，利用面面垂直的性质定理得平面，利用等体积法求得，利用求解即可. 【详解】（1）在四棱锥中，连接，交于点，连接， 因为四边形为菱形，所以为的中点，因为为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）解法一：取的中点，连接， 四边形是菱形，且，为正三角形，所以， 因为为正三角形，所以，因为平面平面，平面平面， 平面，且，所以平面. 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， ，则，所以，设平面的法向量为，则，即， 令，则，，则.假设存在点，使得点到平面的距离为， 设，点到平面的距离为， 则解得， 所以存在点，当时，点到平面的距离为. 解法二：取的中点，连接， 四边形是菱形，且，所以为正三角形，所以， 因为为正三角形，所以，因为平面平面，平面平面， 平面，且，所以平面. 又平面，所以，因为为等边三角形，边长为8， 所以，所以在， 又，可以求得，所以， 因为，所以， 因为，所以，可得， 所以存在点，当时，点到平面的距离为. 17．（2026·江苏·一模）如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，为的中点，，，. (1)证明：； (2)若点在棱上，二面角的正切值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）根据勾股定理可证，根据等边三角形可证，由线面垂直的判定定理可证平面，故可证； （2）以向量，，所在方向建立空间直角坐标系，设，则可通过向量法求出面面角的余弦值，结合已知正切值可求，再根据点面距的向量法可求距离，我们也可以过做，垂足为，过做，垂足为，连接，则是二面角的平面角，根据已知正切值可求 【详解】（1）因为是边长为2的等边三角形，为的中点，所以， 在中，由余弦定理得:，所以， 因为为中点，所以， 因为是边长为2的等边三角形，所以，则，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以 （2）解法一：以向量，，所在方向建立空间直角坐标系， 则，，，，因为在线段上，设， 则，，设平面的法向量为， 则即取. 又平面的法向量为，因为二面角的正切值为， 所以， 整理得，解得或（舍去），所以， 设平面的法向量为，则即 取，则，所以点到平面的距离. 解法二：过作，垂足为，过作，垂足为，连接， 因为平面，平面，所以平面平面， 平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以，又，平面，所以平面， 平面，故，所以是二面角的平面角， 而二面角的正切值为，故， 设，，所以， 在中，，，， 故，故为等腰直角三角形，故，故， 所以，，故，故， 又， 设到平面的距离为，则可得， 故，故到平面的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $