第七十五讲 椭圆的标准方程与几何性质 导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了椭圆的定义、标准方程、几何性质及焦点三角形等核心考点，按“定义-方程-性质-应用”逻辑构建知识网络，通过问题链引导学生自主推导离心率公式、焦半径范围等结论，形成结构化认知。 亮点在于诊断性题型分类与分层训练设计，如开篇设置定义辨析、方程参数判定等基础题，进阶到焦点三角形面积、离心率范围等综合题，培养数学思维与运算能力。每个题型配方法总结与错题归因表，助力学生自主诊断提升，教师可依学情精准指导，实现高效备考。

2027届高三数学一轮复习 第七十五讲 椭圆的标准方程与几何性质 【学习目标】知道椭圆的定义、标准方程、几何性质，并会灵活应用椭圆的几何性质及焦点三角形的常见结论. 【学习重点】椭圆的标准方程与几何性质. 【学习难点】椭圆几何性质. 必掌握知识点： 一：椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 二：椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 右焦半径： 下焦半径： 上焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 解题方法总结 （1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为． ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点． 距离的最大值为，距离的最小值为． （2）椭圆的切线 ①椭圆上一点处的切线方程是； ②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是； ③椭圆 与直线 相切的条件是． 必考题型全归纳 题型一、椭圆定义类（核心：，） 1.椭圆的定义：平面内与两个定点（焦点）的距离之和等于常数（，为半焦距）的点的轨迹叫椭圆； 若，轨迹为线段； 若，无轨迹。 2.动圆相切求轨迹：两圆外切→圆心距 = 半径和；两圆内切→圆心距 = 半径差，化简得到距离和为定值，判定椭圆。 3.条件判断充分必要：“为定值” 是 “轨迹为椭圆” 的必要不充分条件，缺少限制。 1．（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·四川绵阳·期末）已知圆 和圆 ，若动圆 与圆 外切，同时与圆 内切，则该动圆圆心 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 题型二、椭圆标准方程与参数判定（关系：，） 1.焦点位置判断 ：焦点在轴，顶点； ：焦点在轴，顶点。 2.方程表示椭圆的条件 表示椭圆；若则为圆。 3.已知焦点、长短轴求椭圆方程：先求，分焦点在轴两种情况讨论。 4.长短轴关系：长轴长，短轴长，根据倍数关系列等式求参数。 5．（2025·湖北黄冈·二模）设，“曲线为椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则（    ） A． B． C．或 D．或 7．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型三、焦点三角形（）综合问题 设椭圆上点，，， 1.基本关系：； 2.余弦定理：，结合化简得； 3.椭圆焦点三角形周长：周长；过焦点的弦，周长。 4.三角形面积：； 5.最值：由基本不等式，当在短轴端点时取最大值； 6.角的最值：最大值出现在短轴端点； 7.焦半径范围：，用于存在性求离心率范围； 8.椭圆对称性：关于原点对称，则四边形为平行四边形。 8．（2026·辽宁·三模）已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·陕西商洛·三模）已知椭圆的两焦点分别为是上任意一点，则的最大值（    ） A．只与有关 B．只与有关 C．与和都有关 D．与都无关 10．（22-23高二上·江苏南京·阶段检测）已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 11．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 题型四、椭圆斜率、定点、角平分线几何性质 1.角平分线定理：平分，则，结合椭圆定义联立求解线段长度； 2.顶点斜率积定值：为椭圆左右顶点，在椭圆上，则； 3.对称点斜率：关于轴对称，直线斜率乘积为定值，用于求离心率。 12．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知椭圆的左，右焦点分别为，不在轴上的动点在上运动，的平分线交轴于点，则（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 14．（26-27高三·全国·一轮复习）椭圆C：的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 15．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 题型五、离心率（）求解与范围 1.离心率基础：，越接近 0，椭圆越接近圆；越接近 1，椭圆越扁； 2.求离心率：通过几何条件（余弦定理、斜率积、焦点三角形边长）建立齐次等式，两边除以化为关于的方程求解； 3.离心率取值范围： 存在满足条件的点→焦半径范围、线段垂直平分线、圆与椭圆有交点列不等式； 核心转化：把不等关系全部化为齐次式，除以得到关于的不等式，结合取交集。 16．（25-26高二上·四川达州·期末）已知A，B是椭圆C：上关于原点对称的两点，是椭圆C的左焦点，在中有，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 17．（2026·河北秦皇岛·二模）已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型六、椭圆参数范围、存在性问题 1.椭圆上存在点满足角度 / 线段等式：转化为焦半径最值、二次函数最值，列不等式求参数范围； 2.椭圆内点条件：点在椭圆内部； 3.轨迹综合判断：求出椭圆轨迹后，判断直线与椭圆交点、向量最值。 18．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆，，圆内有一个定点，动圆过点，且与圆内切.圆心形成的轨迹为，下列说法正确的是（   ） A．的轨迹方程是 B．直线与无公共点 C．点是直线与所产生的相交弦中点，则的方程是 D．是上一个动点，则的最大值为6 20．（2026高二·全国·专题练习）已知椭圆：的右焦点为，点为椭圆内一点．若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 巩固提升： 1．（2026·广东广州·模拟预测）若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（广东深圳市宝安区2026届高三5月数学考前自测卷）已知椭圆：，是右焦点．设为椭圆上任意一点，以为直径的圆记为，则恒与下列哪个圆相切（    ） A． B． C． D． 3．（2026·福建福州·模拟预测）已知椭圆C的两个焦点分别为，，点在C上.若C上一点M与的距离为6，则M与的距离为（   ） A．10 B．14 C．20 D．26 4．（25-26高三下·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）在椭圆上有一点，左、右焦点分别为和，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为8 B．存在点使得 C．满足的点有且只有4个 D．如果线段的中点在轴上，此时的面积为 7．（2026·广西·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，点M在C上，若周长的最大值为8，则C的焦距为（    ） A．3 B． C．1 D．2 8．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 9．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数在区间上的最小值恰为，方程表示焦点在轴上的椭圆，记所有满足条件的为集合，实数的取值集合为，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 11．（2026高三·全国·专题练习）为椭圆的右焦点，第一象限内的点在椭圆上，若轴，直线与圆相切于第四象限内的点，则等于（   ） A． B． C． D． 12．（15-16高二上·上海松江·阶段检测）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 13．（2026·甘肃兰州·一模）已知曲线，则曲线上的点到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆，其一个顶点是，一个焦点是，以下为椭圆顶点的是（   ） A． B． C． D． 15．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的两个焦点是，若在椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·江苏无锡·期末）下列椭圆的方程中，形状最接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 17．（2026·海南海口·一模）下列椭圆中，形状最接近圆的是（   ） A． B． C． D． 18．（2026·安徽·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的离心率，则（    ） A．4 B． C．2 D． 19．（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为，则椭圆方程为（    ） A．或 B． C．或 D．或 20．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1，内外两圈骨架是由两个离心率相同的椭圆组成的对称结构.成都某校体育馆钢结构与“鸟巢”类似，平面图如图2，内外椭圆离心率皆为，由外层椭圆长轴一个端点A和短轴上一个端点B分别向内层椭圆引切线，记斜率分别为，则的最小值为​（    ） A． B． C． D． 21．（2026高三·全国·专题练习）椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第七十五讲 椭圆的标准方程与几何性质 【学习目标】知道椭圆的定义、标准方程、几何性质，并会灵活应用椭圆的几何性质及焦点三角形的常见结论. 【学习重点】椭圆的标准方程与几何性质. 【学习难点】椭圆几何性质. 必掌握知识点： 一：椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 二：椭圆的方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 右焦半径： 下焦半径： 上焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 【解题方法总结】 （1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为． ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点． 距离的最大值为，距离的最小值为． （2）椭圆的切线 ①椭圆上一点处的切线方程是； ②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是； ③椭圆 与直线 相切的条件是． 必考题型全归纳 题型一、椭圆定义类（核心：，） 1.椭圆的定义：平面内与两个定点（焦点）的距离之和等于常数（，为半焦距）的点的轨迹叫椭圆； 若，轨迹为线段； 若，无轨迹。 2.动圆相切求轨迹：两圆外切→圆心距 = 半径和；两圆内切→圆心距 = 半径差，化简得到距离和为定值，判定椭圆。 3.条件判断充分必要：“为定值” 是 “轨迹为椭圆” 的必要不充分条件，缺少限制。 1．（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义判断即可. 【详解】关系式表示点到两个定点和的距离之和，符合椭圆的定义. 则，，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 2．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知圆的圆心及半径，利用两圆相切建立等式，再利用圆锥曲线的定义求出轨迹方程. 【详解】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B 3．（25-26高三·全国·一轮复习）两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆定义可求，由焦点坐标可求，根据关系可得方程. 【详解】因为两个焦点的坐标分别是，，所以椭圆的焦点在横轴上，并且， 所以由椭圆的定义可得：，即，所以由，，的关系解得， 所以椭圆方程是． 故选：B． 4．（25-26高二上·四川绵阳·期末）已知圆 和圆 ，若动圆 与圆 外切，同时与圆 内切，则该动圆圆心 的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解 【详解】圆的圆心为， 圆的圆心为， 设动圆的圆心为，半径为， 由题意得，则， 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 设椭圆方程为，则, 得，所以, 的轨迹方程为，故选：A 题型二、椭圆标准方程与参数判定（关系：，） 1.焦点位置判断 ：焦点在轴，顶点； ：焦点在轴，顶点。 2.方程表示椭圆的条件 表示椭圆；若则为圆。 3.已知焦点、长短轴求椭圆方程：先求，分焦点在轴两种情况讨论。 4.长短轴关系：长轴长，短轴长，根据倍数关系列等式求参数。 5．（2025·湖北黄冈·二模）设，“曲线为椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据椭圆的标准方程判断充分性是否成立，再根据判断必要性是否成立，进而确定“曲线为椭圆”与“”之间的条件关系. 【详解】若曲线为椭圆，则椭圆的标准方程为（）. 因为椭圆中分母须大于，所以且，又因为，那么且，所以由“曲线为椭圆”可以推出“”，充分性成立； 当时，比如，，此时曲线方程为，它表示的是圆，而不是椭圆，所以由“”不能推出“曲线为椭圆”，必要性不成立； 所以“曲线为椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】①当椭圆的焦点在轴上时，，解得； ②当椭圆的焦点在轴上时，，解得， 所以或. 7．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，即m的取值范围为． 题型三、焦点三角形（）综合问题 设椭圆上点，，， 1.基本关系：； 2.余弦定理：，结合化简得； 3.椭圆焦点三角形周长：周长；过焦点的弦，周长。 4.三角形面积：； 5.最值：由基本不等式，当在短轴端点时取最大值； 6.角的最值：最大值出现在短轴端点； 7.焦半径范围：，用于存在性求离心率范围； 8.椭圆对称性：关于原点对称，则四边形为平行四边形。 8．（2026·辽宁·三模）已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式即可求解. 【详解】已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，所以， 则根据椭圆的定义可知， 由基本不等式得，当且仅当时取等号，此时点在椭圆的短轴的端点处，符合题意， 因此的最大值是. 9．（2026·陕西商洛·三模）已知椭圆的两焦点分别为是上任意一点，则的最大值（    ） A．只与有关 B．只与有关 C．与和都有关 D．与都无关 【答案】B 【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，且， 则，所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值只与有关. 10．（22-23高二上·江苏南京·阶段检测）已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据题意得到，然后利用余弦定理求得，接着求，最后利用三角形面积公式即可得到答案 【详解】由椭圆可得， 所以，，所以， 所以在中，， 因为，且， 所以， 设的坐标为，且， 所以， 所以点P到y轴的距离为， 故选：C 11．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】C 【详解】对于A，根据椭圆标准方程得，，，由椭圆定义知， 所以的周长为，A错误. 对于B，在中，由余弦定理可得，， 由，代入， 化简得， 所以， 在中，，所以为锐角， 且， 故，B选项错误. 对于C，由B选项知，在中，设点到的距离为， 由，得，即， 因为到的距离,就是到轴的距离，C选项正确. 对于D，根据数量积公式，，D选项错误. 题型四、椭圆斜率、定点、角平分线几何性质 1.角平分线定理：平分，则，结合椭圆定义联立求解线段长度； 2.顶点斜率积定值：为椭圆左右顶点，在椭圆上，则； 3.对称点斜率：关于轴对称，直线斜率乘积为定值，用于求离心率。 12．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知椭圆的左，右焦点分别为，不在轴上的动点在上运动，的平分线交轴于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线定理及椭圆的定义，联立求解，即可得答案. 【详解】由椭圆的方程得，，即，所以， 因为为的平分线， 所以由角平分线定理得，则，即， 由椭圆定义得，联立解得. 13．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设动点坐标得出两直线斜率公式，结合椭圆方程得到两直线斜率乘积为定值，由条件求出两直线斜率之间的等量关系，结合两个方程求出的值，通过求出的值，通过由正弦定理得到先与角之间的关系求得线段的比值. 【详解】由题意知，，设， 直线，的斜率分别为，，则， 又∵，即，∴，即， 由正弦定理得， 又，则， 联立解得，即， 所以，即. 故选：C 14．（26-27高三·全国·一轮复习）椭圆C：的左顶点为A，点P，Q均在C上且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，设， 则·， 所以椭圆的离心率=. 15．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设是椭圆上异于A，B的点，，，把代入椭圆方程， 得，， 又，，又，，， ， 故B选项正确. 题型五、离心率（）求解与范围 1.离心率基础：，越接近 0，椭圆越接近圆；越接近 1，椭圆越扁； 2.求离心率：通过几何条件（余弦定理、斜率积、焦点三角形边长）建立齐次等式，两边除以化为关于的方程求解； 3.离心率取值范围： 存在满足条件的点→焦半径范围、线段垂直平分线、圆与椭圆有交点列不等式； 核心转化：把不等关系全部化为齐次式，除以得到关于的不等式，结合取交集。 16．（25-26高二上·四川达州·期末）已知A，B是椭圆C：上关于原点对称的两点，是椭圆C的左焦点，在中有，，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性及定义求出和，再利用余弦定理列式求解. 【详解】令椭圆C：的右焦点为，设该椭圆半焦距为， 由A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，得四边形是平行四边形， 则，，由椭圆定义得， 由余弦定理得，整理得， 所以椭圆C的离心率为. 故选：C 17．（2026·河北秦皇岛·二模）已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出另一个焦点，利用椭圆的定义结合余弦定理求出基本量的关系，可得椭圆的离心率. 【详解】如图， 设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形， 所以，， 所以，所以. 又，所以. 在中，由余弦定理得：， 即. 所以椭圆的离心率为. 题型六、椭圆参数范围、存在性问题 1.椭圆上存在点满足角度 / 线段等式：转化为焦半径最值、二次函数最值，列不等式求参数范围； 2.椭圆内点条件：点在椭圆内部； 3.轨迹综合判断：求出椭圆轨迹后，判断直线与椭圆交点、向量最值。 18．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意可得，利用二次函数的最值可求得的范围. 【详解】设， ， 又因为，因为下顶点到上顶点的距离为， 令， 要存在点使得，则的最大值必须大于， 由于是开口向下的二次函数，其最大值若要大于等于， 其对称轴必须在的右侧， 所以，解得， 故选：A 19．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆，，圆内有一个定点，动圆过点，且与圆内切.圆心形成的轨迹为，下列说法正确的是（   ） A．的轨迹方程是 B．直线与无公共点 C．点是直线与所产生的相交弦中点，则的方程是 D．是上一个动点，则的最大值为6 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出轨迹方程判断A；确定直线所过定点判断B；由给定点与方程表示直线的关系判断C；利用数量积的坐标表示，结合椭圆范围求解判断D. 【详解】圆的圆心，半径， 对于A，设，依题意，，即， 因此轨迹是以为左右焦点，长轴长为4的椭圆，方程为，A错误； 对于B，直线过椭圆的焦点，与必有公共点，B错误； 对于C，依题意，点在直线上，而点不在直线上， 因此直线的方程不是，C错误； 对于D，设，则，， 因此，当且仅当时取等号，D正确. 故选：D 20．（2026高二·全国·专题练习）已知椭圆：的右焦点为，点为椭圆内一点．若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】椭圆的左焦点为，求出椭圆的两个焦点的坐标，根据椭圆定义得，结合得，根据几何关系求出的范围，从而可得到一个不等式组，进行求解可得m的一个范围；再根据A在椭圆内可得m的另外一个范围；综合两个范围即可得到答案． 【详解】设椭圆的左焦点为， 因，则，则，则，， 由椭圆的定义可知，，∴， ∴，∴， ∵， ∴，当三点共线时，等号成立， ∵椭圆上存在一点，使得， ∴，解得， 又∵点为椭圆内一点， ∴，解得或， 综上可得的取值范围为， 故选：B． 巩固提升： 1．（2026·广东广州·模拟预测）若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】根据椭圆的定义可知，只有为定值，且时， 点的轨迹才是椭圆， 因此，“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件. 2．（广东深圳市宝安区2026届高三5月数学考前自测卷）已知椭圆：，是右焦点．设为椭圆上任意一点，以为直径的圆记为，则恒与下列哪个圆相切（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用坐标计算，求出以为直径的圆的圆心和半径，发现以为直径的圆的圆心到原点的距离与半径之和为定值2，从而可以判断其与圆内切. 【详解】设，显然，右焦点，记左焦点为， 则， 则圆的圆心 ，半径， 此时 ， 即，因此圆与以原点为圆心、半径为 的圆内切， 因此恒与圆相切(内切). 3．（2026·福建福州·模拟预测）已知椭圆C的两个焦点分别为，，点在C上.若C上一点M与的距离为6，则M与的距离为（   ） A．10 B．14 C．20 D．26 【答案】B 【详解】因为椭圆C的两个焦点分别为，，点在C上， 所以，，于是. 因为，且， 所以. 4．（25-26高三下·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角的余弦值得到，从而求出，再利用椭圆的定义求出的周长为. 【详解】依题意，，，（为坐标原点）， 因为，则， 所以，，所以，所以， 解得，所以，所以， 的周长, 由于，代入得： ， 根据椭圆定义，得,， 故所求的周长为. 5．（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义结合已知求解. 【详解】因为椭圆，所以，，， 因为左、右焦点分别为，，所以利用椭圆的定义可知， ，， 的周长为， 故选：B． 6．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）在椭圆上有一点，左、右焦点分别为和，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为8 B．存在点使得 C．满足的点有且只有4个 D．如果线段的中点在轴上，此时的面积为 【答案】C 【分析】首先根据椭圆方程求，再根据椭圆的定义和性质，即可判断选项. 【详解】椭圆中，△F1PF2的周长，故A错误； 当∠F1PF2最大时此时P在椭圆短轴的端点，此时三角形为等腰三角形边长分别为2、2、此时，故B错误； 时，，由椭圆的对称性可知存在4个点，故C正确； 如果线段PF1的中点在y轴上时，设的中点为，此时是的中位线，轴，△F1PF2的面积，故D错误. 故选：C． 7．（2026·广西·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，点M在C上，若周长的最大值为8，则C的焦距为（    ） A．3 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义将周长的最大值问题转化为求的最大值即可求出，再求出焦距即可. 【详解】由题意知，，且， 则， 由椭圆的定义可知，， 则的周长为， 因为，等号成立时三点共线， 所以周长的最大值为，得，则，得， 故C的焦距为. 8．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：. 9．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数在区间上的最小值恰为，方程表示焦点在轴上的椭圆，记所有满足条件的为集合，实数的取值集合为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由满足条件的集合求，再由椭圆条件求，最后判断集合关系. 【详解】当时，， 此时的最小值为，所以，即． 若，此时能取到最小值， 即，代入可得，满足要求，即； 若取不到最小值，则需满足，即， 而在上单调递减， 所以存在唯一符合题意；所以集合. 由椭圆的焦点在轴上，得， 解得，所以实数的取值集合为， 则，即. 10．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，即，所以动点P的轨迹为椭圆，再设椭圆的标准方程，求出其中的参数即可得到动点P的轨迹方程． 【详解】如图，分别过点作直线l的垂线，垂足分别为， 则，，切点为， ∵，，∴O是AB中点， ∴是梯形的中位线， ∴， 又∵圆C的方程为，半径， ∴，∴，即， ∴动点P的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设该椭圆的方程为，则，， ∴，，， ∴动点P的轨迹方程为. 故选：D 11．（2026高三·全国·专题练习）为椭圆的右焦点，第一象限内的点在椭圆上，若轴，直线与圆相切于第四象限内的点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为轴，为椭圆的右焦点， 所以，， 由题意，存在且不为零，设，， 则到的距离，解得（负值舍去）． 又因为，解得，即， 所以． 12．（15-16高二上·上海松江·阶段检测）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由焦点和短半轴长，待定系数法求椭圆方程. 【详解】椭圆化成标准方程为，焦点在轴上， 设所求椭圆方程为， 依题意有，所以，所求椭圆方程为. 故选：B 13．（2026·甘肃兰州·一模）已知曲线，则曲线上的点到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的方程，设点为曲线的任意一点，且，进而根据点到直线的距离，结合三角恒等变换求解即可. 【详解】曲线变形得，表示轴右侧的部分椭圆， 所以，， 设点为曲线的任意一点，且， 点到直线的距离为： 因为，， 所以， 所以， 所以曲线上的点到直线的距离的取值范围是. 14．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆，其一个顶点是，一个焦点是，以下为椭圆顶点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意求出椭圆所有顶点坐标判断选项即可. 【详解】椭圆的一个顶点是，一个焦点是，椭圆的焦点在轴上， 设椭圆方程为，则有，得， 所以椭圆左顶点为，右顶点为，下顶点为，上顶点为， 只有A选项符合. 15．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的两个焦点是，若在椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义和题设等式求出焦半径，再结合椭圆中焦半径的范围，求解不等式即得离心率范围.． 【详解】由椭圆的定义，得， 又，联立解得， 因， 即 ,解得, 则离心率， 又，所以． 16．（25-26高三上·江苏无锡·期末）下列椭圆的方程中，形状最接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】需要分别计算各项中椭圆的离心率，再比较大小. 【详解】对于椭圆，其离心率，椭圆的扁平程度由离心率决定，离心率越接近0，椭圆越接近圆, 选项A，化为标准方程为，， 选项B,化为标准方程为,因此其离心率, 选项C,, 选项D,,又， 所以，因此选项D中椭圆的离心率最小，形状最接近于圆. 故选:D 17．（2026·海南海口·一模）下列椭圆中，形状最接近圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的性质：离心率越接近于0，椭圆越接近于圆，进行判断即可. 【详解】在椭圆中，，，所以，所以离心率； 在椭圆中，，，所以，所以离心率； 在椭圆中，，，所以，所以离心率； 在椭圆中，，，所以，所以离心率. 根据椭圆的性质知，离心率越接近于0，椭圆越接近于圆，又， 所以椭圆更接近于圆. 故选：. 18．（2026·安徽·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的离心率，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据离心率建立等量关系即可求出. 【详解】解：由题知椭圆焦点在轴上，所以， 因为，所以，即， 解得，所以. 19．（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为，则椭圆方程为（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由条件知，所以，，则， 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为. 综上所述，椭圆的标准方程为或. 20．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1，内外两圈骨架是由两个离心率相同的椭圆组成的对称结构.成都某校体育馆钢结构与“鸟巢”类似，平面图如图2，内外椭圆离心率皆为，由外层椭圆长轴一个端点A和短轴上一个端点B分别向内层椭圆引切线，记斜率分别为，则的最小值为​（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由离心率相同先设内外层椭圆方程，利用椭圆与直线的位置关系联立方程根据判别式含参表示，再利用离心率及基本不等式计算即可. 【详解】设外层椭圆方程为， 则内层椭圆方程为，， 联立，整理可得：， 可得， 设，联立， 整理可得：， 所以， 又因为离心率， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故选：C． 21．（2026高三·全国·专题练习）椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆的左顶点为,根据右焦点F在AP的垂直平分线上，知，得到，列出关于的不等式，求解即得的取值范围. 【详解】设椭圆的左顶点为. 由题意，即以F为圆心，为半径画圆与椭圆有交点P，如图．只需 即即 两边除以得即 得，又， ． 学科网（北京）股份有限公司 $