专题10 二次函数与一元二次方程 暑假预习讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题10 二次函数与一元二次方程 暑假预习讲义 ✺知识框架 内在对应：建立数形关联，抛物线与x轴交点横坐标，即为对应一元二次方程的实数根 支撑原理：依托根的判别式Δ，精准区分抛物线交点个数，对应划分方程根的三种类型 必备能力：熟练判定方程根的个数、精准估算方程近似根、掌握函数与直线交点的几何含义 必考考点：涵盖数形关系辨析、交点个数判定、方程近似根求解、基础参数分析四类核心题型 ✺学习目标 基础知识：精准理解二次函数与一元二次方程的内在关联，熟记抛物线与x轴交点和方程实数根的对应规律。 能力提升：熟练运用根的判别式判断抛物线与x轴交点个数，规范掌握利用二次函数图象求解一元二次方程近似根的标准方法。 综合素养：夯实数形结合核心数学思维，养成以函数图象分析、解决方程问题的解题习惯 ✺题型归纳 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 题型3.已知二次函数的函数值求自变量的值 题型4.抛物线与x轴的交点问题 题型5.求x轴与抛物线的截线长 题型6.图象法确定一元二次方程的近似根 题型7.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型8.图象法解一元二次不等式 题型9.利用不等式求自变量或函数值的范围 题型10.根据交点确定不等式的解集 题型11.线段周长问题(二次函数综合) 题型12.面积问题(二次函数综合) 题型13.角度问题(二次函数综合) 题型14.特殊三角形问题(二次函数综合) 题型15.特殊四边形(二次函数综合) 题型16.相似三角形问题(二次函数综合) 题型17.其他问题(二次函数综合) 题型18.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、二次函数与一元二次方程的关系 ▲对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当函数值y=0时，得到一元二次方程：ax2+bx+c=0 (a≠0)。 ●数形结论：一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴交点的横坐标。 若方程两根为(、)，则抛物线与x轴交点坐标为(,0)、(,0) 知识点二、利用二次函数图象解一元二次方程 1.解方程ax2+bx+c=0：直接画出y=ax2+bx+c的图象，则图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程y=ax2+bx+c的实数根； 2.解方程ax2+bx+c=k（k为常数）：在同一平面直角坐标系中画出y=ax2+bx+c与水平线y=k，两条图象交点的横坐标是该方程的实数根； 3.若交点横坐标不为整数，可根据图象刻度读出方程的近似实数根。 知识点三、抛物线与x轴两交点间的距离 设抛物线与x轴交于((,0))、((,0)，(、()是方程ax2+bx+c=0的两根， 两交点线段距离公式：|-|= 知识点四、根据图象判断函数值正负 1.当a>0，抛物线开口向上：自变量取两交点外侧数值时，y>0；自变量取两交点之间数值时，y<0； 2.当a<0，抛物线开口向下：自变量取两交点外侧数值时，y<0；自变量取两交点之间数值时，y>0； 3.应用：可直接写出不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0中x的取值范围。 知识点五、利用图像法解不等式 ▲直接画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象： 不等式ax2+bx+c＞0的解集为图象在x轴上方的点所对应的x的所有值； 不等式ax2+bx+c＜0的解集为图象在x轴下方的点所对应的x所有值. ✺题型精讲 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 1．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，与轴交于点，点的坐标为，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】由二次函数的对称轴为直线，可得，再由A的坐标可得，从而可得答案． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴，解得， ∵点A的坐标为， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查的是二次函数与x轴的交点坐标，对称轴方程的含义，理解题意，利用二次函数的性质解题是关键． 2．已知关于的二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为，如果关于的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为____________． 【答案】4 【分析】利用二次函数图象的对称性，方程的两个根关于对称轴对称进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为， ∴对称轴为直线， ∵方程的一个根为， ∴二次函数与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线， ∴设另一个根为， ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴方程的两个根关于对称， ∴， 解得． 故答案为：4． 3．已知二次函数的图象经过点，． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求这个函数图象与轴的交点坐标． 【答案】(1)； (2)这个函数图象与轴的交点坐标为，． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）令求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 这个二次函数的表达式为； （2）解：令，则， 解得，， 这个函数图象与轴的交点坐标为，． 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 1．函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴上点的坐标特征，令即可求解． 【详解】解：令，则， ∴函数的图象与轴的交点坐标是， 故选：C 【点睛】本题考查了函数图象与轴的交点坐标问题，熟记轴上点的坐标特征是解题的关键． 2．二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则的面积为______． 【答案】6 【分析】求抛物线与x轴的交点，令y＝0，方程的解，即为交点的横坐标，求抛物线与y轴的交点，令x＝0，则可得交点的纵坐标，进而可求三角形的面积． 【详解】解：令y＝0，则-x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴与x轴的交点的坐标为A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝4， 令x＝0，则y＝3， ∴与y轴的交点的坐标为C（0， 3）， ∴OC＝3， ∴S△ABC＝ AB•OC＝×4×3＝6， 故答案为6． 【点睛】此题主要考查抛物线与坐标轴的交点求法，三角形面积的求法，求得A、B、C三点的坐标是关键． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标和对称轴； (2)点是抛物线上两点，其中． ①当时，直接写出的取值范围和的值； ②若对任意的，都有，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；；②或 【分析】（1）令，求出，可得抛物线与y轴的交点坐标，再根据抛物线对称轴公式，即可求解； （2）①把代入，可得，此时对称轴是直线，再根据二次函数的性质，即可求解；②先求出点关于对称轴的对称点为，当时，抛物线开口向上，分两种情况讨论；当时，抛物线开口向下，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：解：①当时，，，此时对称轴是直线， ∵， ∴抛物线开口向上． ∵， ∴当时，函数取得最大值，， 当时，函数取得最小值，， ∴． 当时，． ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 当时，抛物线开口向上， 当，即时， ∵， ∴，且， 解得：， ∴； 当，即时， ∵， ∴，且， 解得：， ∴； 当时，抛物线开口向下， 当，即时， ∵， ∴，且， 解得：， ∴； 当，即时，不符合题意； 综上所述，a的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），当时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小． 题型3.已知二次函数的函数值求自变量的值 1．已知二次函数图象上部分点的坐标的对应值如表所示，则方程的根是（  ） … … … … A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据抛物线的性质和表格提供的信息得到抛物线解析式为，对称轴为，根据抛物线经过点，得到抛物线也经过点，将方程变形为，根据一元二次方程和二次函数的关系即可求出的根． 【详解】解：由抛物线经过点（0,3）得c=3， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线经过点（0,3）和（6,3）， ∴抛物线对称轴为， ∵抛物线经过点， ∴抛物线也经过点， 方程变形为， ∴方程的根可以理解为二次函数的函数值为1时所对应的自变量的取值， 所以方程的根为． 故选：D 【点睛】本题考查二次函数的性质、一元二次方程与二次函数的关系，熟知相关知识，并根据题意得抛物线经过点，并能将方程变形为是解题的关键． 2．已知二次函数，若点在该函数的图象上，则m的值为_____． 【答案】0或2 【分析】根据图象过点，点坐标满足解析式的思想，列式解方程即可． 本题考查了图象与点的关系，解方程，熟练掌握关系，灵活解方程是解题的关键． 【详解】解：二次函数，点在该函数的图象上， ∴， 解得， 故答案为：0或2． 3．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，该抛物线与轴交于，两点，且点在点的左侧． (1)求的值； (2)若将抛物线进行平移，使平移后的点与原点重合，并且在轴上截取的线段长为6，求平移后的抛物线解析式； (3)将抛物线在轴左侧部分沿轴翻折，并保留其他部分得到新的图象． ①当，且时，求的取值范围； ②如图，已知点，，当线段与图象恰有两个公共点，且时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①或，② 【分析】（1）根据抛物线对称轴，即可作答； （2）设平移后的抛物线的解析式为，根据平移后的抛物线在轴上截取的线段长为6，可得平移后的点的坐标为，代入即可求解； （3）①将代入，可得，解方程，可得，．再根据轴对称的性质可得关于轴对称的抛物线解析式为，当时，解得，，问题得解；②先求出关于轴对称的抛物线解析式为，再分类讨论：当经过点时；当经过点时；当时，图象与线段至多有一个公共点，画出图象，数形结合即可作答． 【详解】（1）∵， ∴，即的值为； （2）∵平移后的点与原点重合，设平移后的抛物线的解析式为． ∵平移后的抛物线在轴上截取的线段长为6， ∴平移后的点的坐标为． 将代入中，解得， ∴平移后的抛物线解析式为； （3）①∵， ∴， 令， 解得，． ∵关于轴对称的抛物线解析式为， 当时， 解得，， ∴当时，的取值范围为或； ②的取值范围为．理由如下： 关于轴对称的抛物线解析式为， 如图1，当经过点时，解得． 当时，， 当时，， 即线段与抛物线有2个交点． 当时，， 当时，， 即线段与抛物线有1个交点． 综上，当时，线段与图象有三个公共点． 如图2，当经过点时， 解得， ∴， 当时，， 即线段与抛物线有一个交点， ∴时，线段与图象恰有两个公共点． 如图3，根据图象，当时，图象与线段至多有一个公共点． ∴时，线段与图象恰有两个公共点． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的综合，以及轴对称图象的性质等知识，根据轴对称的性质得出关于轴对称的抛物线解析式为，是解答本题的关键． 题型4.抛物线与x轴的交点问题 1．已知二次函数（m是常数），若自变量x取任意实数，函数值y始终为正数，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与x轴交点个数由的符号确定，当时，抛物线与x轴有2个交点；当时，抛物线与x轴有1个交点；当时，抛物线与x轴没有交点，据此可进行判断，从而求出m的取值范围． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象开口向上， ∵当x取任意实数时，都有， ∴，则， 解得：． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 【答案】 【分析】由题意知，对称轴为直线，，两点的纵坐标相同，设为，有，点A的横坐标是，点的横坐标是，由，可知，计算求解即可． 【详解】解：∵与轴只有一个交点， ∴，对称轴为直线， ∵抛物线与平行于轴的直线交于，两点， ∴，两点的纵坐标相同，设为， 则时，， 解得：， ∴点A的横坐标是，点的横坐标是， ∵， ∴， 解得：． 即点M到直线l的距离为． 3．二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 或 【分析】（1）根据题意，得，，，结合，得，解方程，解答即可． （2）当时，得，利用数形结合思想，结合函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数的图象与轴交于点，且， ，，， ， ， ， ， 整理，得， 解得， 当时，，不满足要求，舍去； 当时，，满足要求； 故，． （2）解：，， 故二次函数的解析式为，且抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，得， 解得， 如图所示，此时， 时，函数值都小于，且对称轴左侧，y随x减小而减小， ， 解得； 时，函数值都小于，且对称轴右侧，y随x增大而减小， ， 解得； 综上所述，符合要求的的取值范围是或． 题型5.求x轴与抛物线的截线长 1．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 2．如图，抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点，且，，．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则的长是______． 【答案】 【分析】根据题意求出的长，根据对称性可求出点A到抛物线的对称轴的距离为，点D到抛物线的对称轴的距离为，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； ∵抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点， ∴点A和点C关于抛物线的对称轴对称，点B与点D关于抛物线的对称轴对称， ∴点A到抛物线的对称轴的距离为，点D到抛物线的对称轴的距离为， ∴． 3．已知抛物线经过点和点， (1)求这个抛物线的解析式及顶点坐标． (2)求抛物线与x轴两个交点之间的距离． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解； （2）令，可得，即可求解． 【详解】（1）解：把点和点代入得： ， 解得：， ∴这个抛物线的解析式为， ∵， ∴这个抛物线的顶点坐标为； （2）解：当时，， 解得：， ∴抛物线与x轴两个交点坐标为， ∴抛物线与x轴两个交点之间的距离为． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点问题，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键． 题型6.图象法确定一元二次方程的近似根 1．如表是二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程的一个根的取值范围是（　　） x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 0.04 0.59 1.16 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察表中数据得到抛物线与x轴的一个交点在和点之间，根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程一个根的取值范围． 【详解】解：∵时，； 时，； ∴抛物线与x轴的一个交点在和点之间， ∴方程有一个根在之间． 故选：A． 【点睛】本题考查了求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可． 2．对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最小的数，例如， ，那么的最大值为______． 【答案】1 【分析】分别作出的图象，由图象知的最大值． 【详解】解：作出的图象， ， 如图，实线部分即的函数图象， ， 解得或 当时，， 所以的最大值为． 3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如表： x ﹣1 0 1 2 3 y ﹣2 1 2 1 ﹣2 (1)在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出二次函数的图象； (2)一元二次方程（，，，是常数）的两个根，的取值范围是下列选项中的哪一个 ． ① ② ③ ④ (3)写出该二次函数的解析式： ． 【答案】(1) 如图， (2)③ (3) 【分析】（1）利用描点法画出二次函数图象； （2）利用表中数据得到，；时，，则在中取某一个值时，，于是可判断，同样方法得到，从而可对各选项进行判断； （3）把三个点的坐标，，分别代入中得关于、、的方程组，然后解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：，；时，， 当在中取某一个值时，， 即一元二次方程的一个根的范围为， ，；时，， 当在中取某一个值时，， 即一元二次方程的一个根的范围为， 故答案为：③； （3）解：把，，代入中得， 解得， 抛物线解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和待定系数法求二次函数解析式． 题型7.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 1．抛物线，顶点纵坐标为．若有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据题意画出的图象，即可得出有两个不相等的实数根时，m的取值范围． 【详解】解：由题意得，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴往上翻折，得到一个新的函数图象的顶点的纵坐标为5， ∴的图象是x轴上方部分（包含与x轴的两个交点）， 由图象可知，当时，有两个不相等的实数根，在x轴上方时，只有时，有两个不相等的实数根， ∴或． 2．如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据题意可得二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内，即可求解． 【详解】解：如图，二次函数开口向上，故；且二次函数过，因此． ∵关于x的方程总有一正一负两个实数根， ∴二次函数的图象与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限内， ∴． 3．定义：表示不超过实数x的最大整数，如：．函数、的图象如图所示． (1)探究填空：点是否在函数的图象上__________； 是否在函数的图象上__________；（填“在”或“不在”） (2)判断：是否是方程的解，并说明原因； (3)观察函数、的图象，请你求出方程的所有的解． (4)拓展：对于方程：，请你结合方程、函数及图象的知识继续探究： ①当c为何值时，方程只有一个解，并求出方程的解； ②若方程有两个解，请直接写出c的取值范围__________． 【答案】(1)在，在 (2) 解：把x=-2代入方程，左边=[-2]=-2，右边=-(-2)2+2=-4-2=-2， ∴左边=右边， ∴x=-2是方程的解； (3)或或 (4)①；②且 【分析】（1）把x=1代入，求出y值与1比较即可判定； （2）把x=-2代入方程左右两边，求出值比较即可判定； （3）利用图象法求解即可 （4）①当时，利用图象法求解， ②当1<c≤2时，当时，当0<c<1时，当c=0时，当-1<c<0时，当c<-1时，分别利用图象法求解． 【详解】（1）解：把x=1代入，得y=[1]=1， 把x=1代入y=-x2+2=-12+2=1, 所以点A(1,1)在函数的图象上，在函数的图象上， 故答案为：在，在； （2）略 （3）解：由图象可得，当x>0时，方程的解为x=1， 当-2≤x<0时，方程的解为x=-2， 当-2<x≤-3时， -3=-x2+2，解得x=, ∴方程的解为x=- 当x<-3时，方程无解， 综上，方程的所有解为；x=1或x=-2或x=-； （4）解：①由图象可知：当时，函数y=[x]与函数y=-x2+c有一个交点， ∴方程只有一个解 则，解得或（舍） ∴方程的解为； ②由图象可知：当1<c≤2时，函数y=[x]与函数y=-x2+c有两个交点， 当时，函数y=[x]与函数y=-x2+c有一个交点， 当0<c<1时，函数y=[x]与函数y=-x2+c有两个交点， 当c=0时，函数y=[x]与函数y=-x2+c有三个交点， 当-1<c<0时，函数y=[x]与函数y=-x2+c有两个交点， 当c<-1时，函数y=[x]与函数y=-x2+c没有交点， ∴方程有两个解，c的取值范围为－1<c≤2且，． 【点睛】本题考查新定义，二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握利用图象法求解一元二次方程的解是解题的关键． 题型8.图象法解一元二次不等式 1．抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据图象先得到抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为：，则可得抛物线与x轴的另一个交点坐标为：，再结合函数图象作答即可． 【详解】解：由图象可得抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为：， 则抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 当时，则函数图象在x轴的上方， 所以． 故选C． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是解本题的关键． 2．抛物线（为常数，其中）经过，两点，下列结论： ①； ②； ③； ④不等式的解集是或． 其中正确的结论是________（填写序号）． 【答案】 【分析】易得方程的根为，，即对称轴为：，结合，，可得①②正确；根据，，，可得，，即可判断③正确；由，可得，确定直线与x轴交于点，与y轴交于点，再确定抛物线与y轴交于点，画出图形，即可判断④正确． 【详解】∵抛物线（为常数，其中）经过，， ∴方程的根为，， ∴对称轴为：， ∵，， ∴， ∴， 即：，，故①错误，②正确； ∵，，， ∴，， ∴，故③正确； ∵， ∴， 直线， 当时，， 当时，， 即直线与x轴交于点，与y轴交于点， 抛物线，当时，， 即抛物线与y轴交于点， 画出图形，如下：    由图可知：不等式的解集为：或， 即不等式的解集是或，故④正确； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程的根与系数的关系，利用图解法解关于x的不等式的解集等知识，注重数形结合，掌握二次函数的图象与性质，是解答本题的关键． 3．二次函数． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)若图象过点，且，求的取值范围； (3)若点在该二次函数图象上，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)时，；时或 【分析】（1）根据计算即可； （2）将代入二次函数解析式中得的表达式，从而得到的表达式，根据二次函数的图象得到的取值范围； （3）二次函数的图象分开口向上和开口向下两种情况，分别计算的取值范围即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线； （2）解：将代入二次函数解析式中得： ， ∴， ∵二次函数的二次项系数不等于， ∴， ∴， ∴； ∵，且， ∴当时，， ∴， 综上所述，； （3）当时，即时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴； 当时，即时，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴或 综上所述，时，；时或． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，二次函数的图象与性质，体现了分类讨论和数形结合的数学思想，第（3）问进行分类讨论是解题的关键． 题型9.利用不等式求自变量或函数值的范围 1．在二次函数图像上的两点、，若，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将、代入二次函数求解即可． 【详解】将、代入二次函数， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式． 2．在平面直角坐标系中，函数，其中a为常数，且，点和在函数的图象上，且，则a的取值范围为___________________． 【答案】 【分析】根据函数，其中a为常数，且，点和在函数的图象上，且，得到，解不等式即可． 本题考查了图象与点的关系，函数的增减性，解不等式，熟练掌握增减性，解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵函数，其中a为常数，且，点和在函数的图象上，且， ∴， 整理，得， 解得， 故答案为：． 3．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可； （3）根据函数图象可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：列表如下： … 0 … … … 函数图象见解析； （3） 解：由函数图象可知，当时，． 题型10.根据交点确定不等式的解集 1．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】令两个函数的函数值相等，解方程求出的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得或， ∴由函数图象可知当时，自变量x的取值范围是． 2．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 3．活动课上，老师给同学们发放了一些函数的相关数据，让大家根据这些数据完成函数的图象和性质的探究，以下是小杰拿到的数据和探究过程，请补充完整： (1)下表是两个函数的几组对应值： … … … … … … 上述表格中：__________； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (3)通过观察图象可知，当时，的取值范围__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察表格中数据特点即可； （2）描点连线即可； （3）当时，即在上方的图像所对应的的取值． 【详解】（1）解：观察表格中数据特点，关于对称的自变量所对应的的值相同， ∴与时，的值相同为3， 故； （2）解：略； （3）解：通过观察图象可知，当时，的取值范围． 题型11.线段周长问题(二次函数综合) 1．抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），且与轴交于点，在直线上有一动点，若使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出B、C的坐标，再证明，从而得到当B、C、D三点共线时，最小，即此时最小，求出直线解析式即可求出答案． 【详解】解：在中，当时，解得或， ∴， 当时，， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，点D在直线上， ∴， ∴， ∴当B、C、D三点共线时，最小，即此时最小， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， 故选C．    【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，确定出当B、C、D三点共线时，最小是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为___________．    【答案】/ 【分析】作射线，作于E，作于F，交y轴于，可求得，从而得出，进而得出，进一步得出结果． 【详解】解：如图，    作射线，作于E，作于F，交y轴于， 抛物线的对称轴为直线， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，当点P在时，最小，最大值等于， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造． 3．已知抛物线（为常数，）的顶点为D，与y轴交于点C． (1)当时，求顶点D的坐标； (2)直线与抛物线交于A，B两点（点B在y轴的右侧）． ①若，求的值； ②设P为A，B两点间抛物线上的一个动点（含端点A，B）．过点P作，垂足为Q，若线段长的最大值为5，求的值． 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）将m的值代入到抛物线解析式，再将解析式配成顶点式即可求得顶点的坐标； （2）令求出C点坐标，联立直线与抛物线的解析式求出A、B的坐标，①根据点的坐标表示出，即可求出此时m的值；②作且与抛物线相切于P点，直线交x轴于G点，过P点作于Q点，可知此时线段为最大值，过G点作于D点，则有，根据直线的图像可知，根据矩形的性质可知，则可得到直线的解析式，根据与抛物线只有一个交点，即可求得m的值． 【详解】（1）解：将代入到中，得， 配成顶点式得：， 则顶点D的坐标为； （2）解：令，可得，则C点坐标为， 根据题意联立： ，解得：或者， ∵点B在y轴的右侧， ∴B点坐标为，A点坐标为， ①∵B点坐标为，A点坐标为，C点坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）； ②作，直线交x轴于G点，过P点作于Q点， 当直线与抛物线只有一个交点时，此时线段的值最大为5， 过G点作于D点，如图， ∵直线的解析式为， ∴直线与x轴所夹锐角为，即， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴则直线相当于是将直线向右平移了个单位得到的， ∴直线的解析式为：， ∴联立， 可得：， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个相同的解， ∴方程的， 解得， 即m的值为：． 题型12.面积问题(二次函数综合) 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连接，则面积的最大值是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定，再解方程得，，所以，设，利用三角形面积公式表示出，然后利用二次函数的性质解决问题． 【详解】解：当时，，则， 当时，，解得，则，， ， 设， 当时，面积的最大值为． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 【答案】2 【分析】根据A、B坐标求出，进而将抛物线化为顶点式，得到顶点的坐标为，即的高为，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵抛物线与x轴交于A、B， ∴， 即顶点的坐标为， ∴的高为， ∴． 3．如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，，过点P作轴交于H，先求得直线的表达式为，设，则，，可得，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，与轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式是； （2）解：如图，连接，，过点P作轴交于H， 设直线的表达式为， 将，代入，得，解 得， ∴直线的表达式为， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最大，此时， ∴当面积最大时，点的坐标为． 题型13.角度问题(二次函数综合) 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质等等，由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，据此可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，据此可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得到，点B的坐标为，把代入抛物线解析式中求出，则点B的坐标为，据此可判断③；先求出，设，利用勾股定理得到，则，解得，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，，即，故①正确； 当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ∴，故②错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为， 把代入抛物线解析式中得， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∴，故③正确； ∵， ∴， 设， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，故④正确； 故选：A． 2．如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为第一象限抛物线上一点，且，则点M的坐标为________．    【答案】 【分析】先求出B、C的坐标得到，则，从而得到，设与x轴的交点为N，求出，进而求出直线的解析式为，由此联立两函数解析式即可求出答案． 【详解】解：在，当时，，当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 设与x轴的交点为N， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， 故答案为：．    【点睛】 本题主要考查了一次函数与二次函数综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确求出点N的坐标是解题的关键． 3．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)顶点坐标为，对称轴为直线； (3)点的横坐标为． 【分析】（1）已知抛物线与轴交于、，可设交点式，再利用与轴交点求出；利用待定系数法求直线解析式即可． （2）把抛物线解析式化为顶点式，或直接利用顶点横坐标公式，代入求纵坐标． （3）延长交x轴于点，由可得，设点的坐标为，利用两点距离公式求出m，再用待定系数法求出直线的解析式，最后与抛物线联立求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、， 设其解析式为， 抛物线与轴交于点，令得， 又此时， ， 解得：， ， 点的坐标为， 设直线解析式为， 把、，代入，得 解得， 直线的解析式为． （2）解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）解：、、， ，，， 在中，， 延长交x轴于点， ， ∴， 设点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线过点， ， 又直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在抛物线上， ， 解得：（为点，舍去）或， 点的横坐标为． 题型14.特殊三角形问题(二次函数综合) 1．如图，抛物线与轴交于点C，点D的坐标为(0，－1)，在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（  ） A．1＋ B．1－ C．－1 D．1－或1＋ 【答案】A 【分析】根据抛物线解析式求出点C的坐标，再求出CD中点的纵坐标，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得点P的纵坐标，然后代入抛物线求解即可． 【详解】令x=0，则y=-3， 所以，点C的坐标为（0，-3）， ∵点D的坐标为（0，-1）， ∴线段CD中点的纵坐标为， ∵△PCD是以CD为底边的等腰三角形， ∴点P的纵坐标为-2， ∴x2-2x-3=-2， 解得x1=，x2=， ∵点P在第四象限， ∴点P的横坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并确定出点P的纵坐标是解题的关键． 2．如图，抛物线与轴交于点，点为，是抛物线上一点，且是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为______．    【答案】或或 【分析】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征、直角三角形的判定，解题的关键是理解点P为直线与抛物线的交点或点P为直线与抛物线的交点． 【详解】当时， ，则， 是以为直角边的直角三角形， 点P为直线与抛物线的交点或点P为直线与抛物线的交点， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 点坐标为或或 ， 故答案为：或或． 3．如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—特殊三角形问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出点的坐标为，点的坐标为，再分两种情况：当时，点位于点位置，过点作于点；当时，点位于点和点位置；分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：分别将、代入中，得： ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：令，则， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ①当时，点位于点位置，过点作于点，如图， 则点的坐标为， ， ， 点的纵坐标为， 点的坐标为； ②当时，点位于点和点位置，如图， ，，， ， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． 题型15.特殊四边形(二次函数综合) 1．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意分三种情况讨论，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时， ∴ ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点在轴上，点在抛物线上， ∴当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 将代入得， 解得或 ∴； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴ 同理可得； 当是对角线时，和互相平分， ∴， ∴ ∴； 由图像可得，直线与抛物线有两个不同的交点， ∴此时有两个符合条件的点P， 综上所述，符合条件的点有3个． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，四边形为正方形，当抛物线的顶点在边上时，的值为_______． 【答案】 【分析】首先根据抛物线解析式求出点的坐标，利用抛物线的对称性求出的长，进而根据正方形的性质求出点的坐标及边所在直线的解析式，再求出抛物线的顶点坐标，根据顶点在边上建立关于的方程求解即可． 【详解】解：令，则， ∴， ∵抛物线与轴正半轴交于点， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴点的纵坐标为，即边在直线上， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在边上， ∴， 解得，（舍去）， ∴的值为． 3．如图，已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点P是线段上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，D是的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，与x轴交于点G，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)解：四边形为平行四边形 理由如下 设直线的解析式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的解析式为：， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，的长度最大，且最大值为，此时，，． ， ， ∵， ∴四边形为平行四边形 (3)存在，点F的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）设直线的解析式为，将、代入直线的解析式得到直线的解析式为：．设点P的坐标为，则点Q的坐标为，继而得到，配方后得到，根据二次函数的性质解答即可． （3）先确定点，直线的表达式为；过点Q作轴于点H，得到直线和直线关于直线对称，确定直线的表达式为；根据题意，得  得到点E的坐标为，设点F的坐标为，根据题意，得，，，分，，求解即可； 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点． 解得 抛物线的解析式为． （2）略 （3）解：∵D是的中点，且，则点， 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的表达式为； 当时，， ∴点A在直线上， 过点Q作轴于点H， 则， 故， 而，， ∴， ∴直线和直线关于直线对称， ∵点，， ∴点， 设直线的表达式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的表达式为； 根据题意，得   解得，， ∴点E的坐标为，另一组解与点Q重合， 设点F的坐标为， 根据题意，得，， ， 当时，此时有，故，，故，此时方程无实数解； 当时，此时有，故，故， 解得； 当时，此时有，故， 解得； 故在y轴上存在点F，使得为等腰三角形，并且点F的坐标为或或． 题型16.相似三角形问题(二次函数综合) 1．已知过点的抛物线与两坐标轴交于点A，C，如图所示，连接，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作交y轴于点P．当点P在点A上方，且与相似时，点M的坐标为______． 【答案】或 【分析】由两点坐标公式可求，由勾股定理可证，分两种情况讨论，由相似三角形的判定和锐角三角函数可求解． 【详解】解：如图，过点M作于E，    ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴点，抛物线解析式为， 当时，则， ∴， ∴点， ∵点，点，点， ∴， ∵， ∴， 设点， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴点， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴点， 综上所述：点M坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定，锐角三角函数，勾股定理的逆定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 2．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴于点，交直线于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，设四边形的面积为，当最大时，求点的坐标及最大值； (3)如图②，过点作于点，当以为顶点的三角形与△相似时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)当最大时，点坐标为，的最大值为 (3)或 【分析】（1）已知抛物线与x轴两个交点坐标，可设交点式，因为抛物线过点，所以代入该点坐标即可求出参数，整理得到抛物线解析式； （2）先求出直线的解析式，设点的横坐标为，则可根据抛物线和直线的解析式表示出、的坐标，进而得到的长度，将四边形的面积拆分为和的面积和，其中面积为定值，的面积可表示为关于的二次函数，利用二次函数的性质求出面积最大值及对应的坐标； （3）先确定的直角边比例，因为，所以是直角三角形，分两种对应边成比例的相似情况，结合直线与、的关系，列出关于点横坐标的方程，求解得到的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、， ∴设抛物线交点式为， 将代入得： ， 解得， ∴． （2）解：设的解析式为， 将、代入解析式，解得， ∴直线为， 设点横坐标为，则，则点， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 且 ， ∴， ∵，开口向下， ∴当时取最大值， 将代入抛物线，解得点纵坐标为， ∴， ∴当最大时，点坐标为，的最大值为． （3）解：设， ∵、、， ∴，，， ∵， ∴， ∵于点， ∴， ①当时， ∴， ∴， 解得（与点重合，舍去），， ∴点的坐标为； ②当时， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去），， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 3．如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的左侧），直线：经过点，且直线与轴交于点． (1)求点、、的坐标； (2)点是抛物线上的动点，过点分别作轴，轴的垂线，分别与直线交于点、，是否存在点，使得与相似，且与的相似比为：，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、， (2)存在，点的坐标为 或 或 【分析】（1）抛物线，令，可得点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式，令，即可解决问题； （2）证明，由与的相似比为得，设，则，解方程即可解决问题． 【详解】（1）解：抛物线，令得， ， 解得，， 、， 将代入直线：得 ， ， 直线：， 令，得， 点； （2）解：如图， 轴， 轴， ， 轴，轴， ， ， ， 与的相似比为：， ， 设 ，则 ， ， 解得或， 存在，点的坐标为 或 或． 题型17.其他问题(二次函数综合) 1．如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线经过，两点，点为直线上一点，且横坐标为6，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设点的纵坐标为，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】求解，把向上平移个单位落在抛物线上时，此时平移后，求解，可得平移后，则的取值范围为，当线段沿轴向下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设直线向下平移个单位，则平移后直线为，直线与抛物线有唯一交点，可得即有两个相等的实数解，再进一步求解即可． 【详解】解：抛物线与轴交于点、，交轴于点， ∴， 解得：或， ，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 把向上平移个单位落在抛物线上时， ∴此时， ∴， 解得：， ∴平移后， ∴当线段沿轴向上平移，当线段与抛物线有唯一交点时，点的纵坐标为，则的取值范围为， 当线段沿轴向下平移，当线段与抛物线有唯一交点时， 设直线向下平移个单位，则平移后直线为， ∴直线与抛物线有唯一交点， ∴即有两个相等的实数解， ∴， 解得：， 此时， 综上：当线段与抛物线有唯一交点时，点的纵坐标为的取值范围为或． 故选：B 【点睛】本题考查的是二次函数图象的性质，点的平移，一次函数图象的平移，二次函数与一次函数的交点问题，掌握以上基础知识是解本题的关键． 2．由函数和的图象围成一个封闭区域，则在这个封闭区域内（包括边界），纵坐标和横坐标均为整数的点共有________个． 【答案】6 【分析】先联立两个函数方程求交点，确定封闭区域的横坐标范围，找出范围内的整数横坐标，再根据每个整数横坐标确定符合条件的整数纵坐标，最后统计满足条件的点的个数即可． 【详解】解：联立方程得：， ， ， ， ， ， 解得， 封闭区域的横坐标范围， ， ，， 范围内的整数横坐标为和， 当 时，，，满足， 即 ， 整数y的值为0，1，2，共3个， 当时，，，满足， 即 ， 整数y的值为0，1，2，共3个； 综上所述，符合条件的点共有（个）． 【点睛】关于函数问题中相关区域内的整点问题，一般要根据题意先确定横坐标或纵坐标的范围，然后求出该坐标的整数值，再确定另一个坐标的整数值． 3．已知抛物线的顶点为（其中）． (1)若抛物线经过和两点，且． ①求抛物线的函数表达式； ②若，设点，在抛物线上，比较、的大小关系，并说明理由． (2)若，，直线和抛物线相交于点和点，点的横坐标为，点的横坐标为，求出和的函数关系式； (3)若点在抛物线上，且时，求的取值范围． 【答案】(1)； ，理由如下： 由知：抛物线的对称轴为，且，抛物线开口向上， 抛物线在的右侧随着的增大而增大， ， 点，均在对称轴的右侧，且， ； (2) (3) 【分析】（1）已知抛物线上的两点，以及顶点的横坐标，列出方程组，即可求解；由知抛物线开口向上，以及抛物线的对称轴，且点、均在对称轴的右侧，根据抛物线的性质，在对称轴的右侧随着的增大而增大，即可比较，的大小； （2）根据点、既在抛物线上，又在直线上，分别代入，表示出坐标，根据纵坐标差值相等，即可求得和的函数关系式； （3）将点分别代入两个抛物线解析式中，结合对称轴可求得关于的表达式，根据，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过和两点，且顶点为， ，解得 ， 抛物线的解析式为：； 略； （2）解：若，，则抛物线为：， 点、在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为， ，， 点、也在直线上， ，， 点、既在抛物线上又在直线上，则它们纵坐标的差值是相等的， ， 整理得：； 和的函数关系式为； （3）解：点在抛物线上，又是抛物线的顶点， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ，解得． 的取值范围． ✺巩固测试 一、单选题 1．如表是部分二次函数的自变量x与函数值y的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个根在（　　）范围之间． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数和一元二次方程的关系． 【详解】解：观察表格可知：当时；当时，， ∴方程的一个根在范围是． 故选：B． 【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可． 2．已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，线段长度问题；根据题意先求得直线为，设，则，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，      当时， 解得： ∴ 当时， ∴ 设直线为， ∴ ∴ 直线为 设，则， ∴ ∵， ∴当时，的长度随增大而减小 ∴的取值范围是 故选：D． 3．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 4．已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或，则如下四个值中有可能为m的是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由时，x的取值范围为或，可得和是方程的两个根，则根据根与系数的关系可求出，从而可得出，进而可得，即将．将点代入函数解析式可得，结合图象法利用a的取值范围确定m的取值范围即可求解． 【详解】解：当时，， ∴． ∵当时，x的取值范围为或， ∴和是方程的两个根， ∴， ∴， ∴， ∴是函数的对称轴． 又∵当时，x的取值范围为或， ∴， ∴． ∵函数经过点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴m的可能取值为1． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程，不等式的关系，无理数的估算等知识，较难．熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 5．已知抛物线在轴上方的图象上存在一点，使得与轴的夹角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，过点作轴，则：，进而得到，设，则：，得到，进而得到点在直线上，推出直线与有交点，进行求解即可． 【详解】解：过点作轴， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∴点在直线上， ∴直线与有交点， 联立：，得：， ∴， ∴， ∴， 当时，对于，对于， ∴， ∴； ∴； 故选D． 二、填空题 6．二次函数的图象与轴交点坐标是________． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为，代入函数解析式即可求出纵坐标得到交点坐标． 【详解】解：∵ 二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为， ∴ 令，代入二次函数解析式， 得， ∴ 二次函数的图象与轴交点坐标是． 7．已知二次函数，点A在该图像的第一象限上，若过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点B，C，则的最大值为________． 【答案】 8 【分析】此题考查二次函数的性质，二次函数的最大值，设点的坐标为，其中，由垂线性质可得，，则，代入抛物线解析式，得到，通过求二次函数的最大值即可求解． 【详解】解：设点的坐标为，其中， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值， 则的最大值为． 故答案为：8． 8．如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 【答案】 【分析】设点，，，的纵坐标是其中，可以求出点的坐标是，点的坐标是，根据对称性质可知点的坐标是，点的坐标是，根据可得，即可求出，根据的值即可求出的长度． 【详解】解：设点，，，的纵坐标是其中， 则有， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 两条曲线关于轴对称， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ， 解得：， ， ， ． 9．二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③； ④当时，y随x的增大而增大； ⑤． 其中正确的有______．（填序号） 【答案】②③④⑤ 【分析】根据开口方向可得，根据对称轴为直线，得到，根据二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴，得到，据此可判断①；根据二次函数与x轴的一个交点的坐标为，可判断②⑤；根据二次函数与x轴有两个不同的交点可判断③；根据二次函数的增减性可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴； ∵二次函数与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数与x轴的一个交点的坐标为， ∴当时，，故⑤正确； ∴，即，故②正确； ∵二次函数与x轴有两个不同的交点， ∴，即，故③正确； ∵二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故④正确； 综上所述，正确的有②③④⑤． 10．已知抛物线经过点．若抛物线顶点为，它与轴交于两点，且为等边三角形．请回答下列问题： （1）的值为__________； （2）若抛物线顶点在第三象限，则顶点坐标为__________． 【答案】 【分析】（1）抛物线顶点，与轴交于，，则，由于是等边三角形，顶点到轴距离为，顶点纵坐标绝对值为高，可得，代入，化简得，解得； （2）顶点在第三象限，需满足横坐标，即，纵坐标，当时，顶点横坐标，纵坐标，符合第三象限． 【详解】（1）解：由题意，，　 ∴， 抛物线顶点为， 设， ∵， ∵为等边三角形， ∴ 即 ∵， ∴， ∵，　 ∴， ． （2）解：或， ∵抛物线顶点在第三象限, ∴, 即, 故舍去, 将代入得， ∵抛物线顶点在第三象限， ∴顶点坐标为． 三、解答题 11．已知二次函数的关系式为． (1)设二次函数与x轴的交点为A、B（A在B左边），与y轴的交点为C；直接写出A、B、C的坐标； (2)直接写出该二次函数的顶点坐标； (3)画出该二次函数的大致图象（不要求列表），并根据图象回答下列问题： ①直线的关系式，则不等式的解集是______； ②设点在二次函数图象上，且点M、N到对称轴的距离分别为、用“”或“”填空：若，则______；若，则______． 【答案】(1)，， (2) (3)画出该二次函数的大致图象如图： ①；②， 【分析】（1）求出时的y值和时的x值即可； （2）先根据对称性求得对称轴为直线，再将代入函数解析式中求得y值即可解答； （3）利用描点法，描出关键点，再用平滑曲线连线即可画出图象； ①先得到直线经过点B、点C，同一坐标系中画出对应图象，找出二次函数图象位于直线上方部分的点的横坐标的取值范围即可求解； ②根据二次函数的图象求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入得， ∴二次函数的关系式为的顶点为； （3）解：根据对称性，点C关于直线的对称点为，画图略 ①对于，当时，由得， 当时，， ∴直线经过点B、点C，如图， 由图象可知，不等式的解集是； ②由图象可知，当时，y随x的增大而增大，到对称轴的距离越大的点的纵坐标越小， ∴若，则； 若，则． 12．已知二次函数与x轴交于和两点，且（），交y轴于点C，顶点为D． (1)，， ①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标； ②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”； (2)如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足，求的值． 【答案】(1)①对称轴为直线，顶点坐标为； ②证明：设， 令，则，整理得， ∵ ∴方程有两个不相等的实数根， 故存在两个点P，且点P的横纵坐标互为相反数， 故此二次函数有两个不同的“零和点”； (2) 【分析】（1）先由已知得到，①根据二次函数的性质求解即可；②设，令，得到，证明该方程有两个不相等的实数根即可解答； （2）先由题意得到且，顶点D的坐标为，，，再求得直线的表达式为得到，证明得到，则，则整理得，进而求解即可． 【详解】（1）解：当，，时，， ①该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：∵二次函数与x轴交于和两点，且（），交y轴于点C，顶点为D． ∴且，顶点D的坐标为， 令，由得，， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 令，由得，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 则， 即 整理，得， ∵， ∴． 13．平面直角坐标系中，抛物线()过点，，,顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，． (1)用含的式子表示； (2)求点的坐标； (3)若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将点坐标代入抛物线解析式，消去即可得到与的数量关系； （2）由抛物线对称性得、横坐标之和为6，结合两三角形面积差列方程求解E点横坐标，纵坐标与、一致； （3）联立直线与抛物线解析式，结合点横坐标求出顶点纵坐标，再根据二次函数性质求区间内的取值范围． 【详解】（1）解：将代入， 得， 化简得． （2）解：抛物线对称轴为，点，在抛物线上， 关于直线对称，即， ， 设， 在线段上， 或， 当时， ， ， ， ， 化简得，代入， 得，解得， ； 当时， ， ， ， ， 化简得，代入， 得，解得， ； 综上所述，的坐标为或． （3）解：抛物线的顶点式为，顶点， 设直线的解析式为， 当的坐标为时， 将、代入， 得， 两式相减得， 即， 由 得 联立抛物线得， 整理得， ∴， 解得或， 直线与抛物线的另一个交点的横坐标为， ∴，解得， ∴， 故，此时顶点在第一象限，不合题意； 当的坐标为时， 将，代入， 得， 两式相减得， 即， 由 得 联立抛物线得， 整理得， ∴， 解得或， 直线与抛物线的另一个交点的横坐标为， ， ， ， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为，开口向上，对称轴为； ， 当时，取得最小值， 当时，， 当时，， ，且， ， 综上所述，当时，的取值范围是． 14．如图，在梯形中，，，，，． E是边上任意一点，点F在边的延长线上，并且，连接，与边相交于点G． 设，． (1)求边的长； (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)当点E在边上移动时，能否成为以为腰的等腰三角形？如果能，请求出线段的长；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)4 (2) (3)能；或 【分析】（1）过点A作，交于点H，证明四边形为平行四边形，得出，，根据勾股定理求出； （2）在中，根据勾股定理得：，从而得出，根据，，求出x的取值范围即可； （3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点A作，交于点H，如图所示： ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得：； （2）解：∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 即， ∴， ∵E是边上任意一点，， ∴，， ∴， ∴， 解一元二次方程得：，， ∵二次函数的开口向上，与x轴的两个交点为或， ∴当或时，图像在x轴的上方， ∴不等式的解集为或， 不等式可变为， 解一元二次方程得：，， ∵二次函数的开口向上，与x轴的两个交点为或， ∴当时，图像在x轴的下方， ∴不等式的解集为， ∴不等式组的解集为：， ∴； （3）解：当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴； 当时，过点E作于点H，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴， 即， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 综上，或． 15．已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (3)若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可； （2）过点D作轴交直线于点Q，设，则， ，根据题意，得，得到 ，解答即可． （3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，结合解方程求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，点B的坐标为，， ∴， ∴， ∴抛物线的图象经过点， ∴, 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：令，整理，得， 解得， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点D作轴交直线于点Q， 设，则， 则， ，，， ， 根据题意，得 ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，四边形的面积最大，且最大值为． （3）解：过点C作，交抛物线于点， 在点A的左边截取，连接，则四边形是以AC为一边的平行四边形， ， ， ， ， 解得， 当时，此时为点，不符合要求； 当时，此时为点，符合要求； 作点C关于x轴的对称点Q，则，， 过点Q作，交抛物线于点，，如图所示，连接交x轴于点H， ∴， ∴， ∴， 在点A的右边截取，连接，则四边形是以AC为一边的平行四边形； ， ， ， ， 解得， 解得，； 当时，不符合要求，舍去； 当时，此时为点，符合要求； 如图所示，过点作轴于点G，在上截取， 根据题意，得， 在和中 ∵， ∴， ∴， ， ， ， 则四边形是以AC为一边的平行四边形； ， ， ， ， 解得， 解得，； 当时，不符合要求，舍去； 当时，此时为点，符合要求； 综上所述，符合要求的点为或或； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 二次函数与一元二次方程 暑假预习讲义 ✺知识框架 内在对应：建立数形关联，抛物线与x轴交点横坐标，即为对应一元二次方程的实数根 支撑原理：依托根的判别式Δ，精准区分抛物线交点个数，对应划分方程根的三种类型 必备能力：熟练判定方程根的个数、精准估算方程近似根、掌握函数与直线交点的几何含义 必考考点：涵盖数形关系辨析、交点个数判定、方程近似根求解、基础参数分析四类核心题型 ✺学习目标 基础知识：精准理解二次函数与一元二次方程的内在关联，熟记抛物线与x轴交点和方程实数根的对应规律。 能力提升：熟练运用根的判别式判断抛物线与x轴交点个数，规范掌握利用二次函数图象求解一元二次方程近似根的标准方法。 综合素养：夯实数形结合核心数学思维，养成以函数图象分析、解决方程问题的解题习惯 ✺题型归纳 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 题型3.已知二次函数的函数值求自变量的值 题型4.抛物线与x轴的交点问题 题型5.求x轴与抛物线的截线长 题型6.图象法确定一元二次方程的近似根 题型7.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型8.图象法解一元二次不等式 题型9.利用不等式求自变量或函数值的范围 题型10.根据交点确定不等式的解集 题型11.线段周长问题(二次函数综合) 题型12.面积问题(二次函数综合) 题型13.角度问题(二次函数综合) 题型14.特殊三角形问题(二次函数综合) 题型15.特殊四边形(二次函数综合) 题型16.相似三角形问题(二次函数综合) 题型17.其他问题(二次函数综合) 题型18.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、二次函数与一元二次方程的关系 ▲对于二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当函数值y=0时，得到一元二次方程：ax2+bx+c=0 (a≠0)。 ●数形结论：一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴交点的横坐标。 若方程两根为(、)，则抛物线与x轴交点坐标为(,0)、(,0) 知识点二、利用二次函数图象解一元二次方程 1.解方程ax2+bx+c=0：直接画出y=ax2+bx+c的图象，则图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程y=ax2+bx+c的实数根； 2.解方程ax2+bx+c=k（k为常数）：在同一平面直角坐标系中画出y=ax2+bx+c与水平线y=k，两条图象交点的横坐标是该方程的实数根； 3.若交点横坐标不为整数，可根据图象刻度读出方程的近似实数根。 知识点三、抛物线与x轴两交点间的距离 设抛物线与x轴交于((,0))、((,0)，(、()是方程ax2+bx+c=0的两根， 两交点线段距离公式：|-|= 知识点四、根据图象判断函数值正负 1.当a>0，抛物线开口向上：自变量取两交点外侧数值时，y>0；自变量取两交点之间数值时，y<0； 2.当a<0，抛物线开口向下：自变量取两交点外侧数值时，y<0；自变量取两交点之间数值时，y>0； 3.应用：可直接写出不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0中x的取值范围。 知识点五、利用图像法解不等式 ▲直接画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象： 不等式ax2+bx+c＞0的解集为图象在x轴上方的点所对应的x的所有值； 不等式ax2+bx+c＜0的解集为图象在x轴下方的点所对应的x所有值. ✺题型精讲 题型1.求抛物线与x轴的交点坐标 1．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，与轴交于点，点的坐标为，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．已知关于的二次函数的图象的对称轴与轴的交点的坐标为，如果关于的方程的一个根为，那么该方程的另一个根为____________． 3．已知二次函数的图象经过点，． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求这个函数图象与轴的交点坐标． 题型2.求抛物线与y轴的交点坐标 1．函数的图象与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则的面积为______． 3．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标和对称轴； (2)点是抛物线上两点，其中． ①当时，直接写出的取值范围和的值； ②若对任意的，都有，直接写出a的取值范围． 题型3.已知二次函数的函数值求自变量的值 1．已知二次函数图象上部分点的坐标的对应值如表所示，则方程的根是（  ） … … … … A．或 B．或 C．或 D．或 2．已知二次函数，若点在该函数的图象上，则m的值为_____． 3．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，该抛物线与轴交于，两点，且点在点的左侧． (1)求的值； (2)若将抛物线进行平移，使平移后的点与原点重合，并且在轴上截取的线段长为6，求平移后的抛物线解析式； (3)将抛物线在轴左侧部分沿轴翻折，并保留其他部分得到新的图象． ①当，且时，求的取值范围； ②如图，已知点，，当线段与图象恰有两个公共点，且时，直接写出的取值范围． 题型4.抛物线与x轴的交点问题 1．已知二次函数（m是常数），若自变量x取任意实数，函数值y始终为正数，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A、B两点．若，则点M到直线l的距离为________． 3．二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 题型5.求x轴与抛物线的截线长 1．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 2．如图，抛物线，与直线分别交于A，C和B，D四点，且，，．若点P，Q分别是两抛物线的顶点，且P，Q都在x轴上，则的长是______． 3．已知抛物线经过点和点， (1)求这个抛物线的解析式及顶点坐标． (2)求抛物线与x轴两个交点之间的距离． 题型6.图象法确定一元二次方程的近似根 1．如表是二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程的一个根的取值范围是（　　） x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 0.04 0.59 1.16 … A． B． C． D． 2．对于三个数a、b、c，用表示这三个数中最小的数，例如， ，那么的最大值为______． 3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如表： x ﹣1 0 1 2 3 y ﹣2 1 2 1 ﹣2 (1)在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出二次函数的图象； (2)一元二次方程（，，，是常数）的两个根，的取值范围是下列选项中的哪一个 ． ① ② ③ ④ (3)写出该二次函数的解析式： ． 题型7.根据二次函数图象确定相应方程根的情况 1．抛物线，顶点纵坐标为．若有且只有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．或 2．如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是_____________． 3．定义：表示不超过实数x的最大整数，如：．函数、的图象如图所示． (1)探究填空：点是否在函数的图象上__________； 是否在函数的图象上__________；（填“在”或“不在”） (2)判断：是否是方程的解，并说明原因； (3)观察函数、的图象，请你求出方程的所有的解． (4)拓展：对于方程：，请你结合方程、函数及图象的知识继续探究： ①当c为何值时，方程只有一个解，并求出方程的解； ②若方程有两个解，请直接写出c的取值范围__________． 题型8.图象法解一元二次不等式 1．抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．抛物线（为常数，其中）经过，两点，下列结论： ①； ②； ③； ④不等式的解集是或． 其中正确的结论是________（填写序号）． 3．二次函数． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)若图象过点，且，求的取值范围； (3)若点在该二次函数图象上，且，求的取值范围． 题型9.利用不等式求自变量或函数值的范围 1．在二次函数图像上的两点、，若，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，函数，其中a为常数，且，点和在函数的图象上，且，则a的取值范围为___________________． 3．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出的取值范围． 题型10.根据交点确定不等式的解集 1．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 2．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 3．活动课上，老师给同学们发放了一些函数的相关数据，让大家根据这些数据完成函数的图象和性质的探究，以下是小杰拿到的数据和探究过程，请补充完整： (1)下表是两个函数的几组对应值： … … … … … … 上述表格中：__________； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (3)通过观察图象可知，当时，的取值范围__________． 题型11.线段周长问题(二次函数综合) 1．抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），且与轴交于点，在直线上有一动点，若使的值最小，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为___________．    3．已知抛物线（为常数，）的顶点为D，与y轴交于点C． (1)当时，求顶点D的坐标； (2)直线与抛物线交于A，B两点（点B在y轴的右侧）． ①若，求的值； ②设P为A，B两点间抛物线上的一个动点（含端点A，B）．过点P作，垂足为Q，若线段长的最大值为5，求的值． 题型12.面积问题(二次函数综合) 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点平行于轴的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上且在轴的上方，连接，则面积的最大值是(    ) A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正半轴交于点和点，抛物线的顶点为点C，的面积为________． 3．如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 题型13.角度问题(二次函数综合) 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 2．如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，M为第一象限抛物线上一点，且，则点M的坐标为________．    3．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 题型14.特殊三角形问题(二次函数综合) 1．如图，抛物线与轴交于点C，点D的坐标为(0，－1)，在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（  ） A．1＋ B．1－ C．－1 D．1－或1＋ 2．如图，抛物线与轴交于点，点为，是抛物线上一点，且是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为______．    3．如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 题型15.特殊四边形(二次函数综合) 1．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点的左侧．若点在轴上，点在抛物线上，且以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，四边形为正方形，当抛物线的顶点在边上时，的值为_______． 3．如图，已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点P是线段上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，D是的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，与x轴交于点G，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 题型16.相似三角形问题(二次函数综合) 1．已知过点的抛物线与两坐标轴交于点A，C，如图所示，连接，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作交y轴于点P．当点P在点A上方，且与相似时，点M的坐标为______． 2．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴于点，交直线于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，设四边形的面积为，当最大时，求点的坐标及最大值； (3)如图②，过点作于点，当以为顶点的三角形与△相似时，求点的坐标． 3．如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的左侧），直线：经过点，且直线与轴交于点． (1)求点、、的坐标； (2)点是抛物线上的动点，过点分别作轴，轴的垂线，分别与直线交于点、，是否存在点，使得与相似，且与的相似比为：，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型17.其他问题(二次函数综合) 1．如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线经过，两点，点为直线上一点，且横坐标为6，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设点的纵坐标为，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．由函数和的图象围成一个封闭区域，则在这个封闭区域内（包括边界），纵坐标和横坐标均为整数的点共有________个． 3．已知抛物线的顶点为（其中）． (1)若抛物线经过和两点，且． ①求抛物线的函数表达式； ②若，设点，在抛物线上，比较、的大小关系，并说明理由． (2)若，，直线和抛物线相交于点和点，点的横坐标为，点的横坐标为，求出和的函数关系式； (3)若点在抛物线上，且时，求的取值范围． ✺巩固测试 一、单选题 1．如表是部分二次函数的自变量x与函数值y的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个根在（　　）范围之间． A． B． C． D． 2．已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知二次函数，经过点．当时，x的取值范围为或，则如下四个值中有可能为m的是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知抛物线在轴上方的图象上存在一点，使得与轴的夹角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．二次函数的图象与轴交点坐标是________． 7．已知二次函数，点A在该图像的第一象限上，若过点A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点B，C，则的最大值为________． 8．如图，两条曲线关于轴对称，轴左侧的部分可以用表示．垂直于轴的直线与两条曲线依次相交于点，，，．若，则的长为_________． 9．二次函数的图象如图所示，下列结论： ①； ②； ③； ④当时，y随x的增大而增大； ⑤． 其中正确的有______．（填序号） 10．已知抛物线经过点．若抛物线顶点为，它与轴交于两点，且为等边三角形．请回答下列问题： （1）的值为__________； （2）若抛物线顶点在第三象限，则顶点坐标为__________． 三、解答题 11．已知二次函数的关系式为． (1)设二次函数与x轴的交点为A、B（A在B左边），与y轴的交点为C；直接写出A、B、C的坐标； (2)直接写出该二次函数的顶点坐标； (3)画出该二次函数的大致图象（不要求列表），并根据图象回答下列问题： ①直线的关系式，则不等式的解集是______； ②设点在二次函数图象上，且点M、N到对称轴的距离分别为、用“”或“”填空：若，则______；若，则______． 12．已知二次函数与x轴交于和两点，且（），交y轴于点C，顶点为D． (1)，， ①求该二次函数的对称轴方程及顶点坐标； ②定义：若点P在某函数图象上，且点P的横纵坐标互为相反数，则称点P为这个函数的“零和点”，求证：此二次函数有两个不同的“零和点”； (2)如图，过D、C两点的直线交x轴于点E，满足，求的值． 13．平面直角坐标系中，抛物线()过点，，,顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，． (1)用含的式子表示； (2)求点的坐标； (3)若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示） 14．如图，在梯形中，，，，，． E是边上任意一点，点F在边的延长线上，并且，连接，与边相交于点G． 设，． (1)求边的长； (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)当点E在边上移动时，能否成为以为腰的等腰三角形？如果能，请求出线段的长；如果不能，请说明理由． 15．已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (3)若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $