专题06相似多边形、探索三角形相似的条件、相似三角形判定定理的证明（暑假预习讲义）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册.

专题06相似多边形、探索三角形相似的条件、相似三角形判定定理的证明 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.整体学习脉络：图形相似定义辨析 → 相似多边形性质应用 → 三角形相似判定条件梳理 → 三大判定定理理解与证明 → 基础判定模型运用 2.核心知识体系：相似多边形：定义、相似比、核心性质、判定方法； 三角形相似的判定条件：平行判定、三边成比例、两边成比例且夹角相等、两角分别相等（四大基础判定）； 相似三角形判定定理的证明：核心定理推导思路、证明逻辑、几何依据。 3.核心解题准则：① 判定准则：图形相似需同时满足对应角相等、对应边成比例，二者缺一不可；② 从属准则：全等是相似比为1的特殊相似，全等一定相似，相似不一定全等；③ 证明准则：三大相似定理统一采用截取构造全等+平行线预备定理推导，逻辑严谨、步步有据。 ✅本节以相似多边形为基础、三角形相似判定为核心、定理证明为重难点，所有课内考点与题型均围绕该体系展开，层级清晰、考点闭环。 ✺学习目标 基础知识：1.掌握相似多边形的定义、相似比、判定方法及核心性质。 2.掌握相似三角形预备定理及AA、SAS、SSS三大判定定理，明晰各定理适用条件。3.理解并掌握三大相似判定定理的证明思路与推导依据。厘清相似与全等的区别与联系，规避概念混淆问题。 能力培养：1.能准确判断多边形、三角形是否相似，区分相似与全等图形。 2.能根据平行、角度、边长等已知条件，灵活选用相似判定定理解题。 3.能独立梳理、复述相似判定定理的证明过程，具备基础几何推理能力。 能利用相似图形性质完成边长、比例、角度的基础计算。 综合素养：1.建立类比迁移、数形结合的几何思维，依托全等知识衔接相似学习。 2.养成步步有据、规范书写的几何证明习惯，培养严谨逻辑思维，感知图形变换中的角度、比例不变性，建立系统几何认知 ✺题型归纳 题型1.成比例线段 题型2.相似多边形 题型3.相似多边形的性质 题型4.利用两角对应相等判定相似 题型5.利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型6.利用三边对应成比例判定相似 题型7.选择或补充条件使两个三角形相似 题型8.相似三角形的判定综合 题型9.黄金分割 题型10.由平行判断成比例的线段 题型11.由平行线截线求相关线段的长或比值 题型12.利用平行判定相似 题型13.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、相似多边形 1.相似多边形定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 核心要点：两条件缺一不可，仅角相等或仅边成比例，多边形不相似。 2.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 3.相似多边形核心性质:对应角相等，对应边成比例； 相似多边形周长比、对应对角线比、对应中线比、对应角平分线比均等于相似比； 相似多边形面积比等于相似比的平方。 4.相似多边形判定方法:边数相同的多边形，同时满足对应角相等、对应边成比例，即可判定为相似多边形。 知识点二、相似三角形 在△ABC和△中，如果∠A=∠,∠B=∠,∠C=∠,===k,即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC与△相似， 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.△ABC和△相似记作△ABC∽△ 对应顶点：A与,B与,C与。 对应角：∠A=∠,∠B=∠,∠C=∠. 对应边：AB与，BC与,AC与 知识点三、平行线分线段成比例的基本事实 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 知识点四、相似三角形的判定定理 判定定理1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 常见基础模型：A型相似、X型（8型）相似。 判定定理2. 两角分别相等的两个三角形相似（AA） 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。 如上图，在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D,∠B=∠E,则△ABC∽△DEF 判定定理3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS） 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似 如上图；在△ABC和△DEF中,若=,∠B=∠E,则△ABC∽△DEF 注意：必须是对应夹角相等，对角相等无法判定相似，切勿与全等SAS混淆。 判定4.三边成比例的两个三角形相似（SSS） 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。 如上图，在△ABC和△DEF中，若==,则△ABC∽△DEF. 适用场景：题干仅给出边长、比例条件，无角度信息时优先使用。 判定5.斜边和直角边成比例的两个三角形相似。 如上图，在△ABC和△DEF中，若=,∠B=∠E=90°，则△ABC∽△DEF. ✺题型◆精讲 题型1.成比例线段 1．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项D错误． 2．若线段a，b，c，d成比例，其中，则________． 【答案】cm 【分析】根据成比例线段的概念，可得，再根据比例的基本性质，即可求得的值． 【详解】解：四条线段、、、成比例， ， ，，， ， 交叉相乘得， 解得． 3．如果线段，，线段是和的比例中项，求线段的长度． 【答案】线段的长度是 【分析】本题主要考查了成比例线段，由比例中项的概念结合比例的基本性质，可得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．列出比例式即可得出中项． 【详解】解：线段是和的比例中项，线段，， ， 又， ． 答：线段的长度是． 题型2.相似多边形 1．下列每个选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查相似图形的判定，需依据相似图形“对应角相等、对应边成比例”的定义逐项分析判断． 【详解】解： ∵相似图形的定义为对应角相等且对应边成比例． A选项：两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似． B选项：两个正方形的每个内角均为，对应角相等，且各边都相等，对应边的比为定值， ∴一定相似． C选项：两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例， ∴不一定相似． D选项：两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似． 故选：B． 2．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    【答案】 【分析】相似图形的相似比等于对应边之比；再由五边形 五边形 可得相似比为，进而求解即可． 【详解】解：设横向相邻的两点距离为1，则，， ∴五边形 五边形 可得相似比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似图形的相似比，掌握相似比的定义是解题的关键． 3．如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 【答案】相似，见解析 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据四边形的四个角分别对应相等，四条边对应成比例可得答案. 【详解】解：四边形与四边形相似．理由如下： ∵，，，， ∴， ，，，且 ， ∴四边形与四边形相似． 题型3.相似多边形的性质 1．五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相似多边形面积比等于相似比的平方求解即可，先根据长求出相似比，再计算面积比． 【详解】解：∵两面国旗相似，对应边的比等于相似比, ∴两面国旗的相似比为． 又∵相似多边形的面积比等于相似比的平方, ∴两面国旗的面积比为． 2．如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值为______． 【答案】16 【分析】根据相似的性质进行解答即可． 【详解】解：∵如图是两个形状相同的红绿灯图案， ∴两个红绿灯图案相似， ∴， ∴， 经检验，是该方程的解． 即x的值为． 3．如图，四边形四边形． (1)求的度数； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应边成比例，对应角相等是解题的关键． （1）根据相似多边形的性质得到，再由四边形内角和为360度可得答案； （2）根据相似多边形对应边成比例可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形四边形， ∴，即， ∴． 题型4.利用两角对应相等判定相似 1．如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； D、∵，， ∴，故选项不符合题意． 2．如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 【答案】 【分析】根据是斜边上的高，于点，得，，再根据相似三角形的判定，即可． 【详解】解：∵是斜边上的高，于点， ∴，， 在和中， ∵， ∴； 在和中， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； ∴图中与相似的三角形有个． 3．如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∴． 【详解】略 题型5.利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 1．如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由及，可证明，即可得到；另三个结论均无法证明． 【详解】解：，， ， ， B选项正确； 和不是同位角， 无法证明， A选项错误； ， ， C选项错误； ，且与不一定会相等， 与不一定会相等， D选项错误． 2．在和中，如果，，，，，那么______时，与相似． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定．两条边的比相等并且对应的夹角相等的两个三角形相似，分和两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：当时，， 即， 解得， 当时，， 即， 解得， 故答案为：或． 3．如图，、分别是的边、上的点，且，，，，证明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 通过计算对应边的比例，结合公共角相等，利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”来证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型6.利用三边对应成比例判定相似 1．若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】明确判定两个三角形相似的“三边成比例”判定定理，即如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．对每个选项，先分别将的三条边和的三条边按从小到大的顺序排序，确定对应边的匹配关系．分别计算两个三角形三组对应边的比值，判断三组比值是否相等，若相等则两三角形相似． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴．故此选项符合题意； B、∵， ∴， ∴． ∵与对应顶点不匹配，不满足， 故此选项不符合题意； C、∵， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了相似三角形的定义及判定相似三角形的性质，解题的关键是掌握其性质． 利用三边成比例证明，可得的度数． 【详解】解：， ， ， ． ． 故答案为： ． 3．根据下列条件判定和是否相似，如果是，那么用符号表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，需要掌握相似三角形的判定方法． 根据和的三边对应成比例，则两个三角形相似，由此判定即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 题型7.选择或补充条件使两个三角形相似 1．如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴当时，根据两角对应相等，能判定与相似； 当，根据两角对应相等，能判定与相似； 当，不能判定与相似； 当，根据两组对应边成比例，夹角相等，能判定与相似； 故只有C选项符合题意. 2．如图，点，分别在的边，上，要使，则可以添加的条件是___________．（只需添加一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，在已经有公共角的前提下，再添一组角对应相等或者角的两边对应成比例即可． 【详解】解：添加条件，． ∵，， ∴． 故答案为：．（答案不唯一） 3．如图，点D、E为外两点，给出下列信息：①；②；③． 请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号） 【答案】见详解 【分析】分别将条件进行组合，判断是否为真命题，再根据三角形相似的判定方法证明即可． 【详解】（1）条件：①②，结论③； （2）条件：①③，结论②； （3）条件：②③，结论①； 以上三个命题均是真命题． 选择（1）进行证明， 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，掌握相似的判定方法是解题的关键． 题型8.相似三角形的判定综合 1．如图，在中，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、根据阴影三角形有一个角为，与相等，结合是公共角，相等，可以得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、根据阴影三角形有一个角为，与相等，是公共角，相等，能得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； C、，，可以得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、只有，不能得到阴影三角形与原三角形相似，符合题意； 故选D． 2．如图，，是四边形的对角线，，若，，，则的长为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上定理和性质． 过点作，交的延长线于点，利用勾股定理求出相关线段的长度，证明，通过对应边成比例求出，然后再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， ∴， ∵，，， ∴由勾股定理得，； ∵，， ∴由勾股定理得，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：． 3．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)，，，，，； (2)，，，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定、三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论； （2）由三角形内角和定理求出，通过计算得出两角对应相等即可证明． 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 题型9.黄金分割 1．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，， ∵的长度为， ∴. 2．中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段与全长的比值为，结合图形判断出为较长线段，代入的长度进行计算即可． 【详解】解：点为线段的黄金分割点，且由图可知 为较长线段 ． 3．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了黄金矩形的定义，根据黄金矩形的定义得，即可求出宽． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 即该黄金矩形的宽是． 题型10.由平行判断成比例的线段 1．在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（     ） A．，，， B．， C．，，， D．， 【答案】B 【分析】利用时，或，逐一判断即可． 【详解】解：当时，或，由此可得： A：∵，， ∴， ∴，， ∴，故A错误； B：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴，故B正确； C：缺少或的长度，无法计算与的比值关系，无法判断，故C错误； D：由可知为中点，但仅凭无法确定点位置及比例关系，无法判断，故D错误； 2．如图，是的边的中点，是上一点，且，连接并延长，交于点，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理．过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，再根据平行线分线段成比例定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点D作，交于H， 则， 是的边的中点， ， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形是平行四边形，且，均为格点，，均为竖格线上的点，点是边与竖格线的交点． (1)如图①，在线段上取点，连结，使得； (2)如图②，点是边上任意一点，仅用无刻度的直尺在边上画出点，连结，使得． 【答案】(1)解：所求图形如图所示； (2)解：所求图形如图所示． 【分析】（1）取与格线的交点F，连接即可； （2）同（1）取，与格线的交点E，F，连接，，与交于点O，连接并延长交于点H，连接即可． 【详解】（1）解：如图， 由网格特点可得，， ∴， ∴， ∴点E是的中点， ∴， 同理可得点F是的中点， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）解：如图， 由（1）同理可得点E，F分别是，的中点，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 题型11.由平行线截线求相关线段的长或比值 1．如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例可求出，再由线段的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【答案】 【分析】由作法可知，，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：由作法可知，， ， ， ， ． 3．如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1)________； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行线分线段成比例得到即可求解； （2）由（1）得，再根据平行线分线段成比例得到，进而可求解． 【详解】（1）解：因为 所以， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以 因为， 所以， 又因为 所以． 题型12.利用平行判定相似 1．在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线，交于点E，CD的延长线于点F．已知，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得平分，再根据平行四边形的性质以及平行线分线段成比例逐一进行判断即可． 【详解】解：根据题意可得平分， ，选项A不符合题意； ， ， ， ， ， ，选项B不符合题意； ，选项C不符合题意； ， ，选项D符合题意． 2．如图是一张三角形纸片，沿边上的中线折叠，点落在点处，与相交于点，若与垂直，且，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变换—折叠，三角形中位线的性质、三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质，熟练掌握以上知识点、会添加适当的辅助线是解题的关键．取的中点，连接交于点，构造为的中位线， 得到，，即，，得出，由折叠的性质得，进而证明，得出，，由，得，即，推出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，取的中点，作射线交于点， 为的中线， 为的中点， 为的中点， ，， 与垂直，， ，， ， 三角形沿边上的中线折叠， ，，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为． 3．如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． ✺巩固测试 一、单选题 1．已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四条线段成比例的顺序列出比例式，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 2．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 3．如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，先求出两个四边形的相似比，再计算面积比即可． 【详解】解：四边形四边形，且，， 它们的相似比为， 它们的面积之比为， 即． 4．如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 5．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为2，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图2的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为2，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形以及相似多边形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据相似三角形的判定可得甲对，根据相似多边形的判定可得乙错，由此即可求解． 【详解】解：甲：如图所示， ∴，， ∴，故甲对； 乙：如图所示，设， ∴，， ∵， ∴原矩形与新矩形不相似，故乙错； 综上所述，甲对，乙错， 故选：A ． 二、填空题 6．在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt___________（填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定、勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 【详解】解：∵在Rt中，． ∴ ∴， ∴， ∵， ∴. 故答案为：相似 ． 7．如图，，添加一个条件_______使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握三角形相似判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定推理即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴再加一个条件为：， ∴， 故答案为：． 8．有下列各组图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个等边三角形；④两副三角板中的含30°角的直角三角形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．其中一定相似的是_______（填序号）． 【答案】③④ 【分析】利用相似三角形的判定逐一判断后即可得到答案． 【详解】解：①两个等腰三角形，无法确定形状是否相同，不符合相似三角形的定义，故不符合题意； ②两个直角三角形，无法确定形状是否相同，不符合相似三角形的定义，故不符合题意； ③两个等边三角形的三个内角都等于，满足有两个角对应相等的两个三角形相似的判定定理，故一定相似；故符合题意； ④两副三角板中的含角的直角三角形的三个内角分别为，满足有两个角对应相等的两个三角形相似的判定定理，故一定相似，故符合题意； ⑤各有一个内角是的两个等腰三角形，可能一个是底角为，另一个是顶角为，则这两个等腰三角形不一定相似，故不符合题意； 其中一定相似的是③④， 故答案为：③④． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，注意掌握举反例的解题方法是解此题的关键． 9．点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割的定义求出的长度，再利用线段的和差关系计算即可． 【详解】解： 点是线段的黄金分割点， ， ， ， ， ． 10．如图，在正方形中，和相交于点，点为线段的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】过点作交于点，利用平行线分线段成比例定理即可求解. 【详解】解：过点作交于点， ∵正方形中，， ∴ ∴， ∵点为线段的中点，， ∴ ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴. 三、解答题 11．如图，中，点D在边上，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ． 【分析】由平行线分线段成比例即可证明． 【详解】略 12．如图，点D、E、F分别是三边的中点． (1)求证：； (2)求的比值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查相似三角形的判定与性质，关键是利用三角形的中位线定理即可得到两三角形相似解答． （1）利用三角形的中位线定理即可得到两三角形相似； （2）根据相似比为，故面积比为． 【详解】（1）证明：、E、F分别是三边的中点， ，，， ， ； （2）解：，， ． 13．已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查知识点比例的性质、比例中项的定义、成比例线段的性质等相关知识点．解题关键在于利用设法将等比形式转化为用表示、、，再结合已知条件求出的值，进而得到、、的值；根据比例中项和成比例线段的性质列出方程求解． （1）设，用分别表示出、、，代入，求出的值，从而得到、、的值． （2）根据比例中项的定义得到，将（1）中求得的、的值代入，求出的值，注意线段长度不能为负． （3）根据成比例线段的性质得到，将、、的值代入，求出的值． 【详解】（1）解：设，则，，． ∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， 把，代入可得： ， ∵线段长度不能为负， ∴； （3）解：∵四条线段、、、为成比例线段， ∴， 把，，代入可得： ， 解得． 14．（1）解方程：． （2）如图，一个矩形广场的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为，如果两条横向小路的宽都为，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？ 【答案】（1），；（2）当x为时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 【分析】本题考查了解一元二次方程，相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （1）利用因式分解法求解即可； （2）内外矩形的对应角相等，所以当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似，然后利用比例性质求出x即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得， 解得，； （2）解：当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 解得； 答：当x为时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06相似多边形、探索三角形相似的条件、相似三角形判定定理的证明 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.整体学习脉络：图形相似定义辨析 → 相似多边形性质应用 → 三角形相似判定条件梳理 → 三大判定定理理解与证明 → 基础判定模型运用 2.核心知识体系：相似多边形：定义、相似比、核心性质、判定方法； 三角形相似的判定条件：平行判定、三边成比例、两边成比例且夹角相等、两角分别相等（四大基础判定）； 相似三角形判定定理的证明：核心定理推导思路、证明逻辑、几何依据。 3.核心解题准则：① 判定准则：图形相似需同时满足对应角相等、对应边成比例，二者缺一不可；② 从属准则：全等是相似比为1的特殊相似，全等一定相似，相似不一定全等；③ 证明准则：三大相似定理统一采用截取构造全等+平行线预备定理推导，逻辑严谨、步步有据。 ✅本节以相似多边形为基础、三角形相似判定为核心、定理证明为重难点，所有课内考点与题型均围绕该体系展开，层级清晰、考点闭环。 ✺学习目标 基础知识：1.掌握相似多边形的定义、相似比、判定方法及核心性质。 2.掌握相似三角形预备定理及AA、SAS、SSS三大判定定理，明晰各定理适用条件。3.理解并掌握三大相似判定定理的证明思路与推导依据。厘清相似与全等的区别与联系，规避概念混淆问题。 能力培养：1.能准确判断多边形、三角形是否相似，区分相似与全等图形。 2.能根据平行、角度、边长等已知条件，灵活选用相似判定定理解题。 3.能独立梳理、复述相似判定定理的证明过程，具备基础几何推理能力。 能利用相似图形性质完成边长、比例、角度的基础计算。 综合素养：1.建立类比迁移、数形结合的几何思维，依托全等知识衔接相似学习。 2.养成步步有据、规范书写的几何证明习惯，培养严谨逻辑思维，感知图形变换中的角度、比例不变性，建立系统几何认知 ✺题型归纳 题型1.成比例线段 题型2.相似多边形 题型3.相似多边形的性质 题型4.利用两角对应相等判定相似 题型5.利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型6.利用三边对应成比例判定相似 题型7.选择或补充条件使两个三角形相似 题型8.相似三角形的判定综合 题型9.黄金分割 题型10.由平行判断成比例的线段 题型11.由平行线截线求相关线段的长或比值 题型12.利用平行判定相似 题型13.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、相似多边形 1.相似多边形定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 核心要点：两条件缺一不可，仅角相等或仅边成比例，多边形不相似。 2.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 3.相似多边形核心性质:对应角相等，对应边成比例； 相似多边形周长比、对应对角线比、对应中线比、对应角平分线比均等于相似比； 相似多边形面积比等于相似比的平方。 4.相似多边形判定方法:边数相同的多边形，同时满足对应角相等、对应边成比例，即可判定为相似多边形。 知识点二、相似三角形 在△ABC和△中，如果∠A=∠,∠B=∠,∠C=∠,===k,即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC与△相似， 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.△ABC和△相似记作△ABC∽△ 对应顶点：A与,B与,C与。 对应角：∠A=∠,∠B=∠,∠C=∠. 对应边：AB与，BC与,AC与 知识点三、平行线分线段成比例的基本事实 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 知识点四、相似三角形的判定定理 判定定理1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 常见基础模型：A型相似、X型（8型）相似。 判定定理2. 两角分别相等的两个三角形相似（AA） 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。 如上图，在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D,∠B=∠E,则△ABC∽△DEF 判定定理3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS） 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似 如上图；在△ABC和△DEF中,若=,∠B=∠E,则△ABC∽△DEF 注意：必须是对应夹角相等，对角相等无法判定相似，切勿与全等SAS混淆。 判定4.三边成比例的两个三角形相似（SSS） 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。 如上图，在△ABC和△DEF中，若==,则△ABC∽△DEF. 适用场景：题干仅给出边长、比例条件，无角度信息时优先使用。 判定5.斜边和直角边成比例的两个三角形相似。 如上图，在△ABC和△DEF中，若=,∠B=∠E=90°，则△ABC∽△DEF. ✺题型◆精讲 题型1.成比例线段 1．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 2．若线段a，b，c，d成比例，其中，则________． 3．如果线段，，线段是和的比例中项，求线段的长度． 题型2.相似多边形 1．下列每个选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 2．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    3．如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 题型3.相似多边形的性质 1．五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 2．如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值为______． 3．如图，四边形四边形． (1)求的度数； (2)求的值． 题型4.利用两角对应相等判定相似 1．如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是斜边上的高，于点，除自身外，图中与相似的三角形的个数是 ____ 3．如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 题型5.利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 1．如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．在和中，如果，，，，，那么______时，与相似．即， 3．如图，、分别是的边、上的点，且，，，，证明：． 题型6.利用三边对应成比例判定相似 1．若和满足下列条件，其中能使的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 3．根据下列条件判定和是否相似，如果是，那么用符号表示出来． (1)； (2)． 题型7.选择或补充条件使两个三角形相似 1．如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，点，分别在的边，上，要使，则可以添加的条件是___________．（只需添加一个条件即可）． 3．如图，点D、E为外两点，给出下列信息：①；②；③． 请从上述三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．你选择的补充条件是______，结论是______．（填写序号） 题型8.相似三角形的判定综合 1．如图，在中，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，是四边形的对角线，，若，，，则的长为_____________． 3．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)，，，，，； (2)，，，． 题型9.黄金分割 1．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为线段的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 2．中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 3．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 题型10.由平行判断成比例的线段 1．在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（     ） A．，，， B．， C．，，， D．， 2．如图，是的边的中点，是上一点，且，连接并延长，交于点，则的值为______． 3．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，四边形是平行四边形，且，均为格点，，均为竖格线上的点，点是边与竖格线的交点． (1)如图①，在线段上取点，连结，使得； (2)如图②，点是边上任意一点，仅用无刻度的直尺在边上画出点，连结，使得． 题型11.由平行线截线求相关线段的长或比值 1．如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为(     ) A． B． C． D． 2．如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 3．如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1)________； (2)求的长． 题型12.利用平行判定相似 1．在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线，交于点E，CD的延长线于点F．已知，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图是一张三角形纸片，沿边上的中线折叠，点落在点处，与相交于点，若与垂直，且，则的长为___________． 3．如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． ✺巩固测试 一、单选题 1．已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 2．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 3．如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 4．如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 5．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为2，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图2的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为2，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 二、填空题 6．在Rt中，．若在Rt中，，则Rt与Rt___________（填“相似”或“不相似”）． 7．如图，，添加一个条件_______使得． 8．有下列各组图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个等边三角形；④两副三角板中的含30°角的直角三角形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．其中一定相似的是_______（填序号）． 9．点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 10．如图，在正方形中，和相交于点，点为线段的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____． 三、解答题 11．如图，中，点D在边上，，．求证：． 12．如图，点D、E、F分别是三边的中点． (1)求证：； (2)求的比值． 13．已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 14．（1）解方程：． （2）如图，一个矩形广场的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为，如果两条横向小路的宽都为，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $