第三章 代数式（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 第三章代数式单元强化卷，立足基础巩固与能力提升，通过智慧农业温控、出租车收费等现实情境及数式规律探究题，落实抽象能力、运算能力与模型意识等核心素养，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|倒数性质、代数式求值、连续偶数表示等|结合程序计算（第7题）考查代数式运算，体现数学思维| |填空题|6/12|数式规律（第16题）、分段计费模型（第17题）|以图形排列规律（第16题）培养推理意识，贴合核心素养| |解答题|8/72|日历规律探究（第21题）、出租车分段计费（第25题）|综合题设计梯度明显，如日历问题（第21题）从观察到证明，落实数学眼光与语言|

第三章 代数式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若m，n互为倒数，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 2．当时，代数式的值为（     ） A．5 B．0 C．1 D． 3．若，则的值为（     ） A． B． C．6 D．2 4．若，则的值是（     ） A．5 B．1 C． D． 5．智慧农业大棚采用自动温控系统．某日棚内温度变化规律为：每小时上升或下降．若初始温度为，经过小时后的温度可能表示为（     ） A． B． C．或 D． 6．三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（     ） A．A B． C． D． 7．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为4，则最后输出的结果是（     ） A．40 B．95 C．112 D．160 8．小亮比小强大岁，比小花小岁，如果小强是岁，小花是（     ）岁． A． B． C． D． 9．按一定规律排列的一列数依次为：、、、、……，按此规律，这列数中的第7个数为（    ） A． B． C． D． 10．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有15个圆点，…，按照这一规律，第⑦个图中圆点的个数是（     ） A．36 B．42 C．45 D．48 11．为了了解全校学生的视力情况，将初三年级的名同学从到编号，并按编号从小到大的顺序站成一排．第一轮报数、、、，报到非的倍数的退下，的倍数的留下；留下的同学从编号小的开始继续报数、、、，同样报到非的倍数的退下，的倍数的留下，如此继续多轮后，当留下的同学少于人时停止报数．则最后留下的同学中，编号较小的是（     ） A． B． C． D． 12．的值在以下两数之间（     ）． A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知则__________． 14．若四位数能被12整除，则这个数最小是__________． 15．已知，，，，那么________________________． 16．观察下列图形的排列规律（其中△是三角形，□是正方形，○是圆），○△□□○△□○△□□○△□……若第一个图形是圆，则第2008个图形是______（填图形名称）． 17．某校为进一步落实中小学每天不少于两小时的综合体育活动，更好地开展篮球课，计划购买一批篮球，体育用品商店里每个篮球的标价为120元，商家推出了如下优惠方案：若购买篮球的数量不超过15个，不享受优惠方案；购买15个以上时，超过部分按标价的八折出售．该校购买个篮球的总费用为元，则与的关系式为______． 18．已知一列数，，，…满足，，，，…，依此类推，则，，…，，这2022个数的积为________． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）利用Excel表格功能可以进行同一公式计算，如图，是表格设置运算的一部分，如：第一行表示的算式及显示的结果为：，依据运算规则，解决下列问题． (1)求第二行运算的结果； (2)若第三行的运算结果为最大的负整数，求“”处显示的数． 20．（8分）计算 (1)计算：； (2)当，，时，直接代入计算代数式的值． 21．（8分）观察下面日历图，思考下列问题： (1)日历图中的数有什么规律？ (2)日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ (3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？ (4)你还能发现这样的方框中 9 个数之间的其他关系吗？请用代数式表示． 22．（8分）已知与互为相反数，求的值． 23．（10分）给一间教室铺地砖,每块地砖的面积与所需地砖的数量如下． 每块地砖的面积/平方米 0.1 0.2 0.3 0.6 所需地砖的数量/块 600 300 200 100 (1)分别用x（单位：平方米）和y（单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量,用式子表示y与x的关系为 ． (2)如果采用边长为5分米的方砖铺这间教室,需要多少块？ 24．（10分）已知，求的值． 25．（10分）出租车司机和外卖员成为人民生活的“摆渡人”，平凡人也能成为真英雄．潍坊市出租车收费标准：3千米以内按8元计费，超过3千米，每多跑1千米加价2元，不足1千米的按1千米计算． (1)出租车司机王叔叔去坊子泰华城接乘客，出租车行驶了千米（且为整数）． ①乘客应付车费多少元？ ②当时，乘客应付车费多少元？ (2)张叔叔和李叔叔两位外卖员同时从家出发先去坊子泰华城取货，再送往新怡园小区．张叔叔的骑行速度是340米/分，李叔叔的骑行速度是360米/分．5分钟后两人在坊子泰华城同时到达，他们两家相距多少米？ (3)在（2）的条件下，两人同时从坊子泰华城前往新怡园小区，6分钟时，李叔叔先到达新怡园小区，这时张叔叔离新怡园小区还有多少米？ 26．（10分）观察下列等式： ，，． 将以上三个等式两边分别相加得． (1)猜想并写出：=______． (2)直接写出计算结果：=______． (3)探究并计算，请写出计算过程： ①； ②． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三章代数式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1 3 4 5 6 个 8 9 10 11 12 C C B D C D D D B D B 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.） 13.-1 14.3156 15.2500 16.三角形 17.y=96x+360(x>15),其中x为正整数 18.1 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 19.【答案】(1)-17 (2)-6 【详解】(1)解：【-6+(-2×1-9=-17， (2)解：，最大的负整数为-1， ☆-2=-1 解得☆=6 20. 【答案】(1)47 (2)7 【详解】(1)解： 3-2×(-5)2 =3-2×25 =3-50 =47； (2)当a=4,b=-5,c=2时， 1/5 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a2-(b+c2 =42-(-5+27 =16-(-3)} =16-9 =7 21.【答案】(1)同一行中，右侧的数比左侧相邻的数大1： 同一列中，下方的数比上方相邻的数大7： (2)套色方框中的9个数之和等于方框正中间数的9倍 (3)成立，理由如下： 设方框正中间的数为x,根据日历的数字规律，方框内9个数可表示为： 上一行：x-8,x-7,x-6 中间行：x-1,x,x+1, 下一行：x+6,x+7,x+8. （x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)=9x 9个数相加得， 所以9个数的和恒等于中间数的9倍，只要该月日历能框出3×3的9个日期，这个关系就成立，对任意月 份的日历都适用. (4)对角线规律：两条对角线上的三个数之和相等，均等于中间数的3倍， 设方框正中间的数为x, 左上到右下：(x-8)+x+(x+8)=3x 右上到左下.(x-6)+x+(x+6)=3x 【详解】(1)略 (2)解：日历图的套色方框中的9个数的总和为：2+3+4+9+10+11+16+17+18=90， 方框正中间的数为10，可得90=9×10 因此套色方框中9个数的和，等于方框正中间数的9倍. 215 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)略 (4)略 22.【答案】724-11 【详解1解：：a-3)与h-4 互为相反数， ∴.(a-3)2+b-4=0 .(a-3)2≥01b-420 a-3=0.b-4=0. 解得a=3,b=4 将a=3,b=4代入 b2-a3+(a+b)2024=42-33+(3+4)2024=16-27+72024=72024-11 23.【答案】(1)y=60 (2)需要240块 【详解】(1)解：根据表格的数据得：0.1×600=60：0.2×300=60：0.3×200=60,0.6×100=60， 60 所以，y=60,即y= x: (2)解：换算单位得5分米=0.5米， 边长为5分米的方砖面积为x=0.5×0.5=0.25(平方米)， 60. 把x=0.25代入y=x得：y= 60=240 0.25 所以，需要240块. 24.【答案】-3 【详解】解：，a-b=2ab, 2a-ab-2b 2(a-b)-ab 2x2ab-ab 4ab-ab 3ab =-3 .'a-3ab-b (a-b)-3ab 2ab-3ab 2ab-3ab -ab 25. 【答案】0(2x+8) 元：②22元 (2)100米或3500米 315 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)120米 【详解】(1)解：①x+3≥3， ∴乘客应付的车费 8+20x+3-3)=(2x+8)(元)； ②将x=7代入2x+8,得2×7+8=22（元）. (2)解：当两人的家在坊子泰华城的同侧时， 两人家的距离为：360×5-340×5=100（米）； 当两人的家在坊子泰华城的两侧时， (340+360)×5=3500 两人家的距离为： (米)， 答：他们两家相距100米或3500米. (3)解：360×6-340×6， =2160-2040. =120(米)， 答：这时张叔叔离新怡园小区还有120米. 11 26.【答案】(1)n-n+1 999 2)1000 125 333 (3)0502:②1000 1 详解1解：2111111' 2’2×323’3×434,., 1 11 nx(n+1)nn+l: 1+1+1 1 (2)解：1x22×33×4 +…+ 999×1000 =1-tt+ 22334 9991000 11 1000 999 1000: 415 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 .1+1 1 (3)解：①2×44×66×8 十…十 500×502 -后居6+0) -4号6+0如) 传 1x125 -2251 =125 502: 111 ②1×44×77×10 997×1000 -477 1 +…+g97x1000 t+11 9971000 =】 1999 =31000 =333 1000 515 第三章 代数式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若m，n互为倒数，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】解：∵， 互为倒数， ∴， ∴． 2．当时，代数式的值为（     ） A．5 B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】将给定的的值代入代数式，按照有理数运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：把代入，得， 即代数式的值为． 3．若，则的值为（     ） A． B． C．6 D．2 【答案】B 【分析】先根据已知等式得到的值，再将所求代数式变形后代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 4．若，则的值是（     ） A．5 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ， ∴． 5．智慧农业大棚采用自动温控系统．某日棚内温度变化规律为：每小时上升或下降．若初始温度为，经过小时后的温度可能表示为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况：①若某日棚内温度变化规律为：每小时上升，②若某日棚内温度变化规律为：每小时下降，分别列出代数式即可得． 【详解】解：①若某日棚内温度变化规律为：每小时上升， 则经过小时后的温度可能表示为； ②若某日棚内温度变化规律为：每小时下降， 则经过小时后的温度可能表示为； 综上，经过小时后的温度可能表示为或． 6．三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（     ） A．A B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，因此，三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是． 7．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为4，则最后输出的结果是（     ） A．40 B．95 C．112 D．160 【答案】D 【详解】解：由程序计算图可得：第一次输出结果为， 第二次输出结果为． 8．小亮比小强大岁，比小花小岁，如果小强是岁，小花是（     ）岁． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵小亮比小强大岁，小强是岁， ∴小亮是岁， ∵小亮比小花小岁， ∴小花是岁． 9．按一定规律排列的一列数依次为：、、、、……，按此规律，这列数中的第7个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将数列中各分数的分子统一为4，观察分母的变化规律． 【详解】解：把数列中各分数的分子统一为4，得，，，，．观察可得分母依次增加3． ∴第个数的分母为． 即第个数为． 当时，． 10．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有15个圆点，…，按照这一规律，第⑦个图中圆点的个数是（     ） A．36 B．42 C．45 D．48 【答案】C 【分析】观察图形及数据，根据发现的规律求解即可． 【详解】由图可得：第①个图中有个圆点， 第②个图中有个圆点， 第③个图中有个圆点， ……， 第个图中有个圆点， 第⑦个图中圆点的个数是． 11．为了了解全校学生的视力情况，将初三年级的名同学从到编号，并按编号从小到大的顺序站成一排．第一轮报数、、、，报到非的倍数的退下，的倍数的留下；留下的同学从编号小的开始继续报数、、、，同样报到非的倍数的退下，的倍数的留下，如此继续多轮后，当留下的同学少于人时停止报数．则最后留下的同学中，编号较小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据操作规则可总结出每轮过后留下的编号都是的倍数，按要求计算每轮后剩余人数，直到人数少于4，即可得到最后留下的最小编号． 【详解】解：由题意得第一轮报数后，留下编号为的倍数，共 人， ，继续报数； 第二轮报数后，留下编号为的倍数，共 人， ，继续报数； 第三轮报数后，留下编号为的倍数，共 人， ，继续报数； 第四轮报数后，留下编号为的倍数，共 人， ，停止报数； 最后留下的同学中，编号较小的是． 12．的值在以下两数之间（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察算式各项的结构，每一项的分子比分母大1，可将每一项拆为整数1与一个分子为1的分数的和，再利用裂项相消法计算，拆分公式为，消去中间项得到结果后即可判断结果所在范围． 【详解】解： ， 又， 则原式在之间． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知则__________． 【答案】 【详解】解：． 14．若四位数能被12整除，则这个数最小是__________． 【答案】 【分析】首先判断出四位数能被整除，等价于同时能被和整除，结合求最小四位数的要求，从小到大确定和的值即可求解． 【详解】解：因为，与互质， 所以同时能被和整除， 能被整除的数，末两位能被整除，即能被整除， 所以或， 要使这个四位数最小，则需尽可能小， 当时，数字和为， 若，数字和为，不是的倍数，不符合； 若，数字和为，不是的倍数，不符合，故不存在符合条件的； 当时，数字和为， 若，数字和为，不是的倍数，不符合； 若，数字和为，是的倍数，符合条件， 此时四位数为． 15．已知，，，，那么________________________． 【答案】 【分析】观察式子可以得出规律：从开始连续个奇数相加的和等于，先确定算式里一共有多少个奇数，再套用规律计算． 【详解】解：观察已知式子： （个奇数）， （个奇数）， （个奇数）， （个奇数）， 总结规律：从开始，连续个奇数相加，结果等于． 最后一个奇数是，奇数的个数：， ． 16．观察下列图形的排列规律（其中△是三角形，□是正方形，○是圆），○△□□○△□○△□□○△□……若第一个图形是圆，则第2008个图形是______（填图形名称）． 【答案】三角形 【分析】先观察得出图形排列的循环规律，再计算2008除以循环长度的余数，根据余数确定第2008个图形即可． 【详解】解：观察图形排列可知，图形每个为一个循环，循环内的顺序依次是○，△，□，□，○，△，□， ， 第2008个图形是循环节的第个图形，为三角形． 17．某校为进一步落实中小学每天不少于两小时的综合体育活动，更好地开展篮球课，计划购买一批篮球，体育用品商店里每个篮球的标价为120元，商家推出了如下优惠方案：若购买篮球的数量不超过15个，不享受优惠方案；购买15个以上时，超过部分按标价的八折出售．该校购买个篮球的总费用为元，则与的关系式为______． 【答案】，其中为正整数 【分析】总费用分为两部分，不超过15个的部分按原价计算，超过15个的部分按标价八折计算，分别计算两部分费用后求和整理即可得到关系式； 【详解】解：∵购买个篮球，满足， ∴总费用由两部分组成，分别是前15个的费用和超过15个部分的费用， 计算前15个的费用：元， 超过15个的数量为个，超过部分每个的价格为元， 因此超过部分的总费用为元， ∴总费用， 展开整理得： ， 即与的关系式为； 18．已知一列数，，，…满足，，，，…，依此类推，则，，…，，这2022个数的积为________． 【答案】 【分析】先根据递推公式计算前几项，得到数列的循环周期，计算出一个周期内三个数的乘积，再根据是周期的整数倍计算总乘积． 【详解】解：∵ ， ∴． ∵, ∴． ∵, ∴， 由此可知，数列每个数为一个周期循环. 计算一个周期内三个数的乘积：． ∵，即个数包含个完整的周期， ∴这个数的积为． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）利用Excel表格功能可以进行同一公式计算，如图，是表格设置运算的一部分，如：第一行表示的算式及显示的结果为：，依据运算规则，解决下列问题． (1)求第二行运算的结果； (2)若第三行的运算结果为最大的负整数，求“”处显示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据第一行的运算示例，总结出通用运算规则：每行的运算为对应行A列数加B列数的和，乘以C列数，再减去D列数，提取第二行A、B、C、D列的数值，代入上述通用运算式，按照有理数混合运算法则计算即可； （2）先确定最大的负整数是，将第三行已知的A、B、D列数值和运算结果代入通用运算式，求出“☆”代表的数即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵最大的负整数为， ，解得． 20．（8分）计算 (1)计算：； (2)当，，时，直接代入计算代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）当，，时， ． 21．（8分）观察下面日历图，思考下列问题： (1)日历图中的数有什么规律？ (2)日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ (3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？ (4)你还能发现这样的方框中 9 个数之间的其他关系吗？请用代数式表示． 【答案】(1)同一行中，右侧的数比左侧相邻的数大； 同一列中，下方的数比上方相邻的数大； (2)套色方框中的9个数之和等于方框正中间数的9倍 (3)成立，理由如下： 设方框正中间的数为，根据日历的数字规律，方框内9个数可表示为： 上一行：， 中间行：， 下一行：， 9个数相加得，， 所以9个数的和恒等于中间数的9倍，只要该月日历能框出3×3的9个日期，这个关系就成立，对任意月份的日历都适用． (4)对角线规律：两条对角线上的三个数之和相等，均等于中间数的3倍， 设方框正中间的数为， 左上到右下：． 右上到左下：． 【分析】（1）根据日历中的数写出规律即可； （2）求出套色方框中的9个数之和与中间的数比较即可； （3）设方框正中间的数为，根据日历中相邻日期数的规律，可表示出其余8个数，将这9个数相加，得，故9个数的和恒等于中间数的9倍； （4）由（3）设中间数为，两条对角线上的数分别可表示为和，相加均得，即可得出对角线的规律． 【详解】（1）略 （2）解：日历图的套色方框中的9个数的总和为：， 方框正中间的数为10，可得， 因此套色方框中9个数的和，等于方框正中间数的9倍． （3）略 （4）略 22．（8分）已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， 解得， 将，代入 ． 23．（10分）给一间教室铺地砖,每块地砖的面积与所需地砖的数量如下． 每块地砖的面积/平方米 0.1 0.2 0.3 0.6 所需地砖的数量/块 600 300 200 100 (1)分别用x（单位：平方米）和y（单位：块）表示每块地砖的面积和所需地砖的数量,用式子表示y与x的关系为 ． (2)如果采用边长为5分米的方砖铺这间教室,需要多少块？ 【答案】(1) (2)需要块 【分析】（1）利用教室总面积不变，即每块地砖面积与所需地砖数量的乘积为定值60表示y与x的关系； （2）求出边长为5分米的方砖的面积，代入计算即可． 【详解】（1）解：根据表格的数据得：；；，， 所以，，即； （2）解：换算单位得5分米米， 边长为5分米的方砖面积为（平方米）， 把代入得：， 所以，需要块． 24．（10分）已知，求的值． 【答案】 【分析】将所求代数式变形为，再把已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴． 25．（10分）出租车司机和外卖员成为人民生活的“摆渡人”，平凡人也能成为真英雄．潍坊市出租车收费标准：3千米以内按8元计费，超过3千米，每多跑1千米加价2元，不足1千米的按1千米计算． (1)出租车司机王叔叔去坊子泰华城接乘客，出租车行驶了千米（且为整数）． ①乘客应付车费多少元？ ②当时，乘客应付车费多少元？ (2)张叔叔和李叔叔两位外卖员同时从家出发先去坊子泰华城取货，再送往新怡园小区．张叔叔的骑行速度是340米/分，李叔叔的骑行速度是360米/分．5分钟后两人在坊子泰华城同时到达，他们两家相距多少米？ (3)在（2）的条件下，两人同时从坊子泰华城前往新怡园小区，6分钟时，李叔叔先到达新怡园小区，这时张叔叔离新怡园小区还有多少米？ 【答案】(1)①元；②22元 (2)米或3500米 (3)120米 【分析】（1）①根据“乘车的路程小于3千米，则乘车费用为8元；大于等于3千米时，乘车的费用为基础的8元加上超过3千米部分的费用，超过3千米部分的费用为（总路程）元”列式；②将代入式子即可； （2）如果两人的家在坊子泰华城的同侧，则两人家的距离为两人运动的距离之差；如果两人的家在坊子泰华城的两侧，则两人家的距离为两人运动的距离之和； （3）两人从同一地点到同一个位置，李叔叔先到，则张叔叔距离目的地的距离为两人骑行的距离之差． 【详解】（1）解：①∵， ∴乘客应付的车费为（元）； ②将代入，得（元）． （2）解：当两人的家在坊子泰华城的同侧时， 两人家的距离为：（米）； 当两人的家在坊子泰华城的两侧时， 两人家的距离为：（米）， 答：他们两家相距米或3500米． （3）解：， ， （米）， 答：这时张叔叔离新怡园小区还有120米． 26．（10分）观察下列等式： ，，． 将以上三个等式两边分别相加得． (1)猜想并写出：=______． (2)直接写出计算结果：=______． (3)探究并计算，请写出计算过程： ①； ②． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）观察第一行等式，可得答案； （2）仿照第二行等式的运算结合（1）中等式计算即可； （3）仿照（2）求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴； （2）解： ； （3）解：① ； ② ． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $