1.3.1空间直角坐标系同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练习围绕空间直角坐标系，通过基础概念辨析、坐标运算应用到几何体综合问题的三层设计，实现从单一知识点到空间想象能力的递进巩固，适配新授课知识内化与能力初步发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|点的坐标位置、向量坐标概念|以选择/填空题为主，如点在Ozx面的位置判断，直接考查核心概念，培养抽象能力与几何直观| |进阶层|坐标运算、对称点求解|结合正方体、长方体等简单几何体，如棱长为1的正方体中点坐标计算，强化运算能力与空间观念| |综合层|几何体中坐标应用、向量投影|融入正三棱柱、正四棱锥等复杂情境，如正四棱锥PD中点坐标求解，通过多步骤推理培养数学思维与应用意识|

1.3.1　空间直角坐标系 1.点P（3，0，2）在空间直角坐标系中的位置是在（　　） A.y轴上 B.Oxy面上 C.Ozx面上 D.Oyz面上 2.在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是（　　） A.向量的坐标与点B的坐标相同 B.向量的坐标与点A的坐标相同 C.向量与向量的坐标相同 D.向量与向量－的坐标相同 3. (2025·高二上·深圳期中) 在空间直角坐标系中，点在平面上的射影点的坐标为（　　） A.  B.  C.  D. 不确定 4.（2024·枣庄月考）如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则＝（　　） A. B. C. D. 5.（2024·济宁月考）在如图所示的空间直角坐标系中，已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，PA＝4，则PD的中点M的坐标为（　　） A.（，0，） B.（－，0，） C.（，，） D.（－，，） 6.（多选）下列各命题正确的是（　　） A.点（1，－2，3）关于平面Oxz的对称点为（1，2，3） B.点关于y轴的对称点为 C.点（2，－1，3）到平面Oyz的距离为1 D.设{i，j，k}是空间向量单位正交基底，若m＝3i－2j＋4k，则m＝（3，－2，4） 7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在基底{i，j，k}下的坐标是　　　　. 8.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2，则图中的点M关于y轴的对称点的坐标为　　　　. 9.（2024·泉州月考）如图是一个正方体截下的一角P-ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是　　　　. 10.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，求出，，的坐标. 11.（多选）已知空间直角坐标系中，点A的坐标为（－3，－1，4），坐标原点为O，且与＝（x，y，z）方向相反，则（　　） A.x＋y＋z＝0 B.x＝3y C.x＋z＝0 D.4y＋z＝0 12.已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为（2，1，－1），则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为　　　　；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为　　　　. 13.如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为　　　　，的坐标为　　　　. 14.如图所示，AF，DE分别是☉O，☉O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8.BC是☉O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标. 15.（多选）（2024·青岛月考）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则（　　） A.点B1的坐标为（4，5，3） B.点C1关于点B对称的点的坐标为（5，8，－3） C.点A关于直线BD1对称的点的坐标为（0，5，3） D.点C关于平面ABB1A1对称的点的坐标为（8，5，0） 16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，建立空间直角坐标系，如图所示. （1）写出正方体ABCD-A1B1C1D1各顶点的坐标； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标. 1.3.1　空间直角坐标系 1.C　因为P点的y轴坐标为0，其他坐标不为0，故点P（3，0，2）在Ozx面上. 2.D　因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；同理，B、C都不正确；因为＝－，所以D正确，故选D. 3.A　在空间直角坐标系中，点在平面上的射影点的坐标，其竖坐标为，横坐标和纵坐标与该点的横坐标和纵坐标相同，则点在平面上的射影点的坐标为. 4.C　记x，y，z轴正方向上的单位向量分别为i，j，k，则＝i，＝j，＝k，又＝＋，B1E＝A1B1，所以＝－＝0i－j＋k＝（0，－，1）. 5.B　由题意知PO＝＝＝，点M在x轴、y轴、z轴上的射影分别为M1，O，M2，它们在坐标轴上的坐标分别为－，0，，所以点M的坐标为. 6.ABD　A项，关于平面Oxz的对称点，x，z不变，y变为相反数，则（1，－2，3）的对称点为（1，2，3），正确；B项，关于y轴的对称点，y不变，x，z变为相反数，则的对称点为（－，1，3），正确；C项，空间点到平面Oyz的距离为该点x坐标值的绝对值，则（2，－1，3）到面Oyz的距离为2，错误；D项，根据空间向量的正交分解中正交基系数的含义知m＝3i－2j＋4k表示m＝（3，－2，4），正确；故选A、B、D. 7.（3，2，5）　解析：＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k，∴向量在基底{i，j，k}下的坐标是（3，2，5）. 8.（－1，－2，－1）　解析：易得D（2，－2，0），C'（0，－2，2），所以线段DC'的中点M的坐标为（1，－2，1），所以点M关于y轴的对称点的坐标为（－1，－2，－1）. 9.（，，）　解析：由题意知A（a，0，0），B（0，b，0），C（0，0，c）.由重心坐标公式得点G的坐标为（，，）. 10.解：分别取BC，B1C1的中点D，D1，连接DD1，DA，所以DC，DA，DD1两两垂直，以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示. 设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量， 因为AD＝，DC＝，所以＝＝2k，＝－－＋＝－i－j＋2k，＝－＋＝i－j＋2k， 所以＝（0，0，2），＝（－，－，2），＝（，－，2）. 11.ABD　由题意，得＝（x，y，z），且＝λ＝（－3λ，－λ，4λ），其中λ＜0，则x＝－3λ，y＝－λ，z＝4λ，则x＋y＋z＝0，即选项A正确；x＝3y，即选项B正确；x＋z＝λ＜0，即选项C错误；4y＋z＝－4λ＋4λ＝0，即选项D正确.故选A、B、D. 12.（1，1，1）　 解析：由题意知p＝2a＋b－c，则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为（1，1，1）.设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为（x，y，z），则p＝x（a＋b）＋y（a－b）＋zc＝（x＋y）a＋（x－y）b＋zc，又∵p＝2a＋b－c，∴解得x＝，y＝，z＝－1，∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为. 13.（0，0，－）　（0，－，－） 解析：由题意可知，BG＝BE＝×＝，所以AG＝＝，所以＝－k＝（0，0，－），＝－＝－j－k＝（0，－，－）. 14.解：因为AD与两圆所在的平面均垂直， OE∥AD，所以OE与两圆所在的平面也都垂直. 又因为AB＝AC＝6，BC是☉O的直径，所以△BAC为等腰直角三角形，且AF⊥BC，BC＝6. 以O为原点，OB，OF，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A，B，C，D，E，F各个点的坐标分别为A（0，－3，0），B（3，0，0），C（－3，0，0），D（0，－3，8），E（0，0，8），F（0，3，0）. 15.ACD　由题意可知，点B1的坐标为（4，5，3），点C1（0，5，3）关于点B对称的点的坐标为（8，5，－3），点A关于直线BD1对称的点为C1（0，5，3），点C（0，5，0）关于平面ABB1A1对称的点的坐标为（8，5，0），因此A、C、D正确，B错误.故选A、C、D. 16.解：（1）由题易知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），D1（0，0，2）. （2）易知向量在向量上的投影向量为，在单位正交基底{i，j，k}下，＝＋＝－＋＝－2i＋2j，故＝（－2，2，0）. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $