§1.2.2 空间向量基本定理的应用 同步练- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习以“空间向量基本定理的应用”为核心，通过“夯基础-提能力-迎挑战”三层设计，实现从单一知识点到综合应用的递进，强化空间观念与推理能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯基础|线面位置关系、异面直线所成角等单一知识点|11题，选择/填空/解答题结合，直接应用定理，培养运算能力| |提能力|平行六面体、长方体中向量综合应用|3题，含多选与中档解答题，整合多个考点，发展推理意识| |迎挑战|含参数的复杂几何体、存在性问题探究|2题，综合情境题，需构建数学模型，提升创新意识|

人教A版选择性必修第一册同步练习 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.2.2 空间向量基本定理的应用 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）若，则直线与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．在平面内 D．平行或在平面内 【答案】D 【分析】利用向量的基本定理及线面平行的性质即可求解. 【详解】因为， 所以由平面向量基本定理知，三向量共面， 所以直线与平面的位置关系是平行或在平面内. 故选：D. 2．（25-26高二上·山东·开学考试）如图所示，在正方体中，O是底面正方形的中心，M是的中点，N是的中点，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法判断 【答案】B 【分析】由题意，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，取空间向量，由数量积的结果，可得答案. 【详解】根据题意，以点为原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，作图如下： 设正方体的棱长为，则，，，， 取，，由， 则，即. 故选：B. 3．（24-25高二上·陕西·阶段检测）如图，在正方体中，分别为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解即可. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则， 所以，所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：D.    4．（25-26高二上·全国·课后作业）在三棱柱中，平面ABC，，M是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直三棱柱的几何性质，结合空间向量的基本定理，利用数量积的运算律，可得答案. 【详解】如图所示，    ， 故 ， 在直三棱柱，易知，， 在中，由，则， 由，则， 则. 答案：C. 5．（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，已知正三棱柱的各条棱长都是1，是的中点，则异面直线与所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在正三棱柱上方放一个与它相同正三棱柱，如图， 取中点，连接，可得是异面直线与所成角或其补角，在中，求得此角即可得． 【详解】在正三棱柱上方放一个与它相同正三棱柱，如图， 取中点，连接， 则与平行且相等，因此是平行四边形，， 所以是异面直线与所成角或其补角． 中，，，， 因为 所以． 故选：D． 6．（25-26高二上·江苏·期末）（多选）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C．的长为 D． 【答案】BD 【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A选项，，A错误， 对于B选项，，B正确： 对于C选项，，则， 则，C错误： 对于，则，D正确. 故选：BD. 7．（25-26高二·全国·单元测试）棱长均为3的三棱锥，若空间一点满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理知，与，，共面, 则的最小值为三棱锥的高，由条件求出三棱锥的高即可. 【详解】由，根据空间向量基本定理知，与，，共面. 则的最小值为三棱锥的高，， 设为在面上的射影，由条件可得三棱锥为正三棱锥. 连接并延长交于点,则 所以, 所以 故选：A． 8．（25-26高二上·福建·开学考试）如图，已知平面，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，余弦定理可得,由平面可得 ，进而得为直角三角形，再由勾股定理即可求得的值. 【详解】解:因为在中，, 由余弦定理可得， 又因为平面， 所以 ， 所以为直角三角形， 又因为, 所以在直角三角形中由勾股定理可得：, 所以. 故选：C. 9．（25-26高二上·贵州·期末）如图，在三棱锥中，已知平面ABC，，，点E、F分别在SC和BC上，且，，则直线EF与直线AC所成角的余弦值为______． 【答案】 【分析】两两垂直，可以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求解． 【详解】由平面ABC，得，又，以为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，设，则， ∵，，∴， 则，，， ， ∴直线EF与直线AC所成角的余弦值为． 故答案为：． 10．（24-25高二下·江苏·阶段检测）平行六面体的底面是菱形，且.当的值为______时，能使平面 【答案】1 【分析】设，，则，由平面，可得，所以，即，根据向量的数量积得，求解即可. 【详解】解：如图所示： 设，，则， 因为平面， 平面，所以， ，， 由，得， 即， 又因为， 则有，即， 解得或(舍去)， 因此当时，能使平面. 故答案为：1 11．（25-26高二上·天津·期中）如图，三棱柱中，分别是上的点，且．设，，． (1)试用，，表示向量； (2)若，求的长． (3)在（2）的条件下，求与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解. （2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解. （3）在（2）的条件，利用向量的夹角公式即可求出结果. 【详解】（1）解：（1）=＋＋ = ＋＋ ， 又，，， ∴． （2）解：∵，∴． ∵，∴．∵， ∴， ∴ ， ∴． （3）解：∵ ∴ 又 ∴. 提能力 综合用 · 善迁移 12．（25-26高二上·河北·期中）（多选）如图所示，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则以下说法正确的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】ACD 【分析】根据题意可证明，由此可判断A、C、D选项；根据与平面相交，平面//平面可知与互不平行，由此可判断B选项. 【详解】连接MP，因为，别为棱，中点，所以MP//AD且因为为平行六面，所以且，所以且，故为平行四边形，，故A正确； 因为平面，平面，所以平面；同理平面，故C、D正确 因为与平面相交，且平面//平面，所以与平面相交，又因为平面相交，所以与互不平行.故B错误 故选：ACD 13．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与所成的角为________． 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算可得，，再根据空间向量数量积的运算律求解即可. 【详解】在长方体中，为的中点，为的中点， 且， 则， ， 所以 ， 即，则与所成的角为． 故答案为：. 14．（25-26高二·全国·课后作业）如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点. (1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD; (2)求MN的长. 【答案】（1）证明见解析，（2）a. 【详解】证明　设=p,=q,=r. 由题意可知,|p|=|q|=|r|=a, 且p,q,r三向量两两夹角均为60°. =-=(+)-=(q+r-p), ∴·=(q+r-p)·p =(q·p+r·p-p2) =(a2cos 60°+a2cos 60°-a2)=0, ∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD. (2)解　由(1)可知=(q+r-p). ∴||2=(q+r-p)2 =[q2+r2+p2+2(q·r-p·q-r·p)] = =×2a2=. ∴||=a,∴MN的长为a. 迎挑战 拓思维 · 求突破 15．（25-26高二上·山东·期末）如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且．若，则的值为__；若为棱的中点，平面，则的值为__． 【答案】 【解析】①，不妨取，利用，即可得出． ②连接，与交于点．连接，交于点，连接．平面，可得．根据点为的中点，可得点为的中点．延长交线段的延长线于点．利用平行线的性质即可得出． 【详解】①，不妨取， ． ． ②连接，与交于点．连接，交于点，连接． 平面，． 点为的中点，点为的中点． 延长交线段的延长线于点． ，． ． ， ． 则． 故答案为：，． 16．（25-26高二上·北京·期中）16.在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,EC⊥底面ABCD,F为BE的中点. (1)求证:DE∥平面ACF; (2)求证:BD⊥AE; (3)若AB=CE,在线段EO上是否存在点G,使CG⊥平面BDE?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 【答案】 （1）证明见解析，（2）证明见解析，（3）存在，=. 【详解】　设=a,=b,=c, 则|a|=|b|,a·b=b·c=c·a=0. (1)证明　依题意得=c-b, =a+b,=a+c, 设=x+y(x,y∈R), 则c-b=x(a+b)+y=a+xb+yc, 因此解得 从而,,共面,又直线DE不在平面ACF内,因此DE∥平面ACF. (2)证明　依题意得=b-a, =c-a-b, 则·=(b-a)·(c-a-b)=-b2+a2=0, 因此⊥,从而BD⊥AE. (3)由AB=CE,设|a|=|b|=2, 则|c|=,假设在线段EO上存在点G,使CG⊥平面BDE,由O,G,E三点共线, 设=(1-λ)+λ =λa+λb+(1-λ)c(0≤λ≤1), 由CG⊥平面BDE知CG⊥DE, 而=c-b, 因此·=·(c-b)=(1-λ)c2-λb2=2-4λ=0, 解得λ=,即点G是线段EO的中点时,满足题意,此时=. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第一册同步练习 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.2.2 空间向量基本定理的应用 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）若，则直线与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．在平面内 D．平行或在平面内 2．（25-26高二上·山东·开学考试）如图所示，在正方体中，O是底面正方形的中心，M是的中点，N是的中点，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法判断 3．（24-25高二上·陕西·阶段检测）如图，在正方体中，分别为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·课后作业）在三棱柱中，平面ABC，，M是的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，已知正三棱柱的各条棱长都是1，是的中点，则异面直线与所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏·期末）（多选）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C．的长为 D． 7．（25-26高二·全国·单元测试）棱长均为3的三棱锥，若空间一点满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 8．（25-26高二上·福建·开学考试）如图，已知平面，，，则等于（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·贵州·期末）如图，在三棱锥中，已知平面ABC，，，点E、F分别在SC和BC上，且，，则直线EF与直线AC所成角的余弦值为______． 10．（24-25高二下·江苏·阶段检测）平行六面体的底面是菱形，且.当的值为______时，能使平面 11．（25-26高二上·天津·期中）如图，三棱柱中，分别是上的点，且．设，，． (1)试用，，表示向量； (2)若，求的长． (3)在（2）的条件下，求与所成角的余弦值． 提能力 综合用 · 善迁移 12．（25-26高二上·河北·期中）（多选）如图所示，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则以下说法正确的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 13．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与所成的角为________． 14．（25-26高二·全国·课后作业）如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点. (1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD; (2)求MN的长. 迎挑战 拓思维 · 求突破 15．（25-26高二上·山东·期末）如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且．若，则的值为__；若为棱的中点，平面，则的值为__． 16．（25-26高二上·北京·期中）16.在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,EC⊥底面ABCD,F为BE的中点. (1)求证:DE∥平面ACF; (2)求证:BD⊥AE; (3)若AB=CE,在线段EO上是否存在点G,使CG⊥平面BDE?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $