1.2 空间向量基本定理 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量基本定理，通过基础辨析、中档应用到综合探究的三层设计，实现从单一基底表示到多面体中向量运算的进阶，培养数学抽象与几何直观素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一几何体中向量分解（单选1-3、填空8(1)）|直接应用定理，选项设置辨析系数关系| |中档层|多面体中含参数向量表示与共面判断（单选4-5、多选6-7、填空8(2)9）|结合菱形、直三棱柱等情境，强化参数运算| |综合层|四点共面证明与模长计算（解答11-14）|融入正方体、平行六面体证明，提升逻辑推理能力|

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 1.2空间向量基本定理同步练习 一、单选题 1.在正四面体O-ABC中，E为AB中点，F在OC上.且CF=2FO,M为EF中点，若 OA=a,0B=b,0元='则o=（） 4 6 2 3 ca++D.a*5+君 4 4 3 6 2.在平行六面体ABCD-A1B,C1D1中，AC与BD的交点为M.设 D1A1=à，D,C1=6,D,D=:则下列向量中，与B,M相等的向量是() A0+5+i 2 B.a-26+c 2 C.-1a-b+2 n.+5+d 3.在四面体O-ABC中，M为线段OA靠近O的三等分点，N为BC的中点，若 M亦=xOA+yO克+zO心，则x+y+2=（） B.1 C.4 D 4.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,OM=2MA,BN=NC,则 MN=() 3 2 B. 2÷ 2 D. 30- 5.如图，平行六面体ABCD-A1BC1D1的底面是菱形，且 ∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，CD=CC1=2,M是A1C1和B1D1的交点，则 CA1·DM=（) B B A.8 B.6 C.0 D.-4 二、多选题 6.如图，在三棱柱A,B,C,-ABC中，D,E,F分别是所在棱的中点，设恋=a,AC =b,AA1=C,则() B.i=a+6+28 C.B.F--0+b-7c 7.如图，在平行六面体ABCD-A,B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它 们彼此的夹角都是号M为A,C,与B,D,的交点若范=0，而=6，AA=,则下列说 法正确的是() A.BD,=a+b+c C.AD·BD1=1 D.CM LAC 三、填空题 8.在正四棱锥P-ABCD中，E为PD的中点，设A=a,PB=b,PC=c,(I)若 BE=xa+yb+zc,则x+y+z=:(2)若PE=xa+yb+zc,则x+y+z= 9.O不与A,B,C,D共面，并且ABCD四点在一个平面上，2OD=xOA+yOB+OC( X,y>0),则+9的最小值为 x V 10.已知a=2,-1,36=-1,4,-2=32,A:若a,i,三个向量不能作为空间向量 的一组基底，则实数入等于一· 四、解答题 11.如图，已知正方体ABCD-ABCD,点E是上底面ABCD的中心，求下列各式 中x,y,z的值. D' 7EB B 四BD=xAd+yAB+zAA (2AE=xAD+yAB+zAA 12.如图所示，已知直三棱柱ABC-A1BC1中，D为AC1的中点， ∠ABC=60°，AB=2,BC=CC1=1, D C B (I)用BA,BC,B克表示AB,CD (2)求AB·CD 13.如图，在平行六面体ABCD-A1BC1D1中，E,F分别在B1B和D1D上 BE=IBB DF=2D,D. 3 3 D -- B (1)求证：A,E,C1,F四点共面： (2)若E市=xA+yAD+zAA:求+Hz的值 14.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，MN分别是A1B,B1C1上的点，且 BM=2AM'CN=2BNAB=d'AC=B'AA,=c C N 6 (1)试用a,b,c表示向量M; (2)若∠BAC=90,∠BAA1=∠CAA1=60AB=AC=AA1=1:求MN的长 参考答案 1.A 解析：因为C市=2FO,M为EF中点， 所以0M-0死+扇-0死+亦=0i+ō+0亦0死+0亦 2oi+0ir号×号o心-a+5+ M A E B 2.C 解析：如图所示： O A B D B B=瓦B+B腋=DDD迹=DD-2m+Dc=DD-D,AD,C=-2ā-26+c 3.A 解析：如下图所示： B 因为N为BC的中点，所以ON=O死+O元，由题意可知OM=号Oi, 所以亦-0N-0领=-}o丽+}0死+0元， 在三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC不共面，且M=xOA+yOB+zO亡， 所以x=日子数xy*a=号号 4.C 解析：由题意可得：M城-M+A店+B亦=Oi+OB-OA+号BC i+oi-o1+号o心-o=-号i+oi+0元， 3 所以M亦=-名ā+6+： 322 5.A 解析：令CD=aCB=i:CC,=c' 由题意可知1a=6=l=2'a,=(a,c=i,c=60 则ab=ac=b·c=2×2×cos60=2, CAJ=CD+DA+AA=CD+CB+CC=a+b+0 DM-DD,+D,M-CC+D,C:+C,B-CC+-CD+CBl, 即脑=c+-a+=a+号五+， 测ci-Dm=-6+i+a+6+ 整理得cAD丽=-+-5+a8-号a-6+号5+6c-a+-6+2=8 6.ACD 解析：对于A:AD=A范+BB+B,D=AB+B店+号B,C 2 =丽+B店+号ò=恋+B店+号花-丽=号A丽+号花+AA 对于B:C立=Ci+B+驼=B-C+B店，=店-AC+A, ,1- =a-b+2C,错误： 对于C: B市=BA+AA+A花+亦=-丽-A+A花+CC=-丽+A花-2A汽 1- =-a+b2c,正确： 对于D:由选项AB知，DE=AE-AD=AC+CE-AD 7.BCD 解析：对于A,BD,=+心+DD,=-AB+AD+AA,=-a+6+故A错误： 对于B,G成=c元，+C=A+号GA,=-花=8-+而) =号0-五+8，放B正商： 对于C,AD·BD,=i-(-a+i+c)=-à6+6+6·c =-1×1×c0s写+1+1×1×cos号=1，放C正确： 对于D,AC,=AB+AD+AA,=a+6+' 商A0-(i26+c川a+6+d=-B+-a-6+25-+5-c =方1-1x1×co号+x1x1cos号+×1x1xcos号 32 3 十 所以G成1AC,故D正确 8 -方-05 05 解析：(1)因为死=P吨-PB=)Pò-PB-PC+Cò-PB 心+顾丽-元+顾-m防-号3丽+元--多+， 2 2 2 所以xy是安所以xy 2)因为座-D+D网+C2+成-ā-五+， 所以x2y=z所以x+y+z号 另解： 由A,B,C,D四点共面知，PD=xA+yPB+zPC,且x+y+z=1,由P陀=PD及 等和面定理知，X+y+z=2 1 9.16 解析：由题设2OD-xOA-yOB=OC,O不与A,B,C,D共面，且ABCD四点共面， 所以2-x-y=1,可得x+y=1,且x,y>0, 4 南号*号x*y=0+号10+2婴6 x yx y 当H仅当X=子y-是时玫等号，则最小信为16 10.4 解析：因为à，b,c三个向量不能作为空间向量的一组基底， 所以à，b,c共面（只有不共面的三个向量才能作为空间向量的一组基底）， 则存在x,y∈R,使得c=xa+yb,即3,2，入=2x-y,-x+4y,3x-2y, 2x-y=3 X=2 所以-x+4y=2,解得y=1 3x-2y=1 λ=4 11.(1)x=1,y=-1,z=1 @x=7y克z=1 解析：1)因为BD=防+DD=BA+AD+DD=Aò-A恋+AA' 又BD=xAD+yAB+zAA 所以x=1,y=-1,z=1. (2)因为 庇-AA+AE=AA+号A=AA+2AB+AD=AA+2AB+2AD =号D+B+AA, 又AE=xAD+yAB+zAA' 所以x=克y2z=1 1 12.山Ai=-Bi+B点，CD=BB+A-BC): ®号 解析：(1)AB1=AB+BB1=-BA+BB? 5 C⑦=cC+GD-庇+}CA,=Ba+萌=B直+(i-Bc) (2)由题意可知，BA=2,BC=BB1=1'<BA,BC>=60 <BB1,BA>=<BB1,BC>=90 所以BBC=2×1×cos60°=1，BB1·BA=BB1·BC=0 所以AB·CD=-商+B:B丽+引(Bi-BC)】 =-·B8-号·函+号丽BC+BBB8+号B8丽-B8BC =×4+×11= 13.证明：AC=恋+办+A有=恋+办+号A+号A不 =恋+}AA1+办+子AA,=恋+号B店+办+号DD, =AB+B配+AD+DF=AE+AF 所以A,E,C1,F四点共面！ (②)(2)·：亦=A-A正=AD+D-AB+B范 =ǜ+号DD-恋-号B8=-恋+动+号A六。 x=-1,y=1,z=3 1 .x+y+z=3 a哈a*号+ 3 3 鸣 解折：(1)M=MA,+A,B+B,N=}BA+AB+号B,C, 6 =-+i*6-d号0+号56+始c 3 3 3 (2)a+b+=+i2+2+2a6+26c+2ac =1+11+0+2×1×1×*2x1x1×5. 6*5+=5.wa5+d-5 即/Mw= 3 7