2.3.1 平均值不等式及其应用 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从概念理解到综合应用递进，适配新授课知识巩固与能力提升，培养数学抽象、推理及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|算术/几何平均值定义、基本不等式形式及条件|直接考查概念（如填空1-3题），夯实基础，培养抽象能力| |进阶层|最值计算、条件判断|含变量范围分析（如填空7题判断能否用均值不等式），发展推理能力| |综合层|证明与实际应用|结合矩形面积问题（解答16题），构建数学模型，体现模型意识|

第二章 等式与不等式 2.3.1 平均值不等式及其应用 同步练习卷 考试时长：45分钟　　满分：100分 姓名：__________　　班级：__________　　得分：__________ 一、填空题（本大题共8题，1—4题每题4分，5—8题每题5分，共36分） 1. 对于正数 、，算术平均值为______，几何平均值为______。 2. 二元平均值不等式（基本不等式）为______（其中 ，），当且仅当______时取等号。 3. 利用平均值不等式求最值时，必须满足三个条件：（1）______；（2）______；（3）______。 4. 已知 ，则 的最小值为______，此时 ______。 5. 已知 ，，且 ，则 的最大值为______。 6. 已知 ，则 的最小值为______。 7. 已知 ，判断能否用均值不等式求 的最小值？______（填“能”或“不能”），理由是______。 8. 已知 ，则 的最小值为______。 二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分。每题只有一个正确选项） 9. 对于正数 、，下列不等式一定成立的是（　） A. 　　　B. C. 　　　D. 10. 下列各式中，能用平均值不等式直接求最小值的是（　） A. （）　　　B. （） C. （）　　　D. （） 11. 已知 ，则 的最小值为（　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 12. 已知 ，若 恒成立，则 的值为（　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 三、解答题（本大题共4题，13—14题每题10分，15—16题每题14分，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13.（本题10分） 利用平均值不等式求下列最值，并写出取等条件。 （1）已知 ，求 的最小值； （2）已知 ，，且 ，求 的最大值。 14. （本题10分） 已知 ，求 的最小值，并写出取等条件。 15. （本题14分） 已知 ，，且 ，证明：。 16.（本题14分） 用一段长为 米的铁丝围成一个矩形。 （1）设矩形的一边长为 米，写出矩形面积 关于 的函数关系式； （2）当 取何值时，矩形面积最大？最大面积为多少？ 参考答案与解析 一、填空题（共36分） 第1题（4分） 【答案】； 【解析】对于正数 、，算术平均值为 ，几何平均值为 。 第2题（4分） 【答案】； 【解析】二元平均值不等式为 ，当且仅当 时取等号。 第3题（4分） 【答案】一正；二定；三相等 【解析】利用平均值不等式求最值时，必须满足三个条件：（1）一正（变量为正数）；（2）二定（和或积为定值）；（3）三相等（等号能取到）。 第4题（4分） 【答案】； 【解析】，当且仅当 ，即 时取等号。 第5题（4分） 【答案】 【解析】由 ，，当且仅当 时取等号。 第6题（5分） 【答案】 【解析】，当且仅当 时取等号。 第7题（5分） 【答案】不能； 不满足 （或 可能为负数） 【解析】均值不等式要求变量为正数，而 包含负数，不满足“一正”条件。 第8题（5分） 【答案】 【解析】，因为 ，所以 。由均值不等式：，当且仅当 ，即 ，， 时取等号。故最小值为 。 二、选择题（共16分） 题号 9 10 11 12 答案 A B C B 第9题（4分） 【解析】均值不等式为 ，当且仅当 时取等号。A正确；B方向反了；C缺少等号，漏掉了 时取等的情况；D方向反了。故选A。 第10题（4分） 【解析】A中两项乘积 ，不是定值；B中 ，两项乘积 为定值，可用均值不等式；C中 可直接判断，但无需用均值；D中 ，不满足“一正”条件，不能直接用均值不等式。故选B。 第11题（4分） 【解析】，当且仅当 ，即 时取等号，最小值为 。故选C。 第12题（4分） 【解析】，最小值为 ，由题意 ，解得 。故选B。 三、解答题（共48分） 第13题（10分） 【答案与评分细则】 （1）。…………（3分） 当且仅当 ，即 时取等号。…………（1分） 故最小值为 ，当 时取到。…………（1分） （2）。…………（3分） 当且仅当 时取等号。…………（1分） 故最大值为 ，当 时取到。…………（1分） 第14题（10分） 【答案与评分细则】 。…………（3分） 因为 ，所以 ，由均值不等式： 。…………（3分） 当且仅当 ，即 ，， 时取等号。…………（2分） 故最小值为 ，当 时取到。…………（2分） 第15题（14分） 【答案与评分细则】 已知 ，，且 。 证明：。…………（4分） 由均值不等式：。…………（4分） 所以 ，故 。…………（4分） 即 ，当且仅当 时取等号。…………（2分） 第16题（14分） 【答案与评分细则】 （1）矩形周长为20米，一边长为 米，则另一边长为 米。…………（4分） 面积 ，其中 。…………（3分） （2）由均值不等式： 。…………（4分） 当且仅当 ，即 时取等号。…………（2分） 故当 时，矩形面积最大，最大面积为 平方米。…………（1分） 学科网（北京）股份有限公司 $