2.3.2 三角不等式 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

**基本信息** 以“概念理解-应用辨析-综合探究”分层设计，通过梯度化题型构建三角不等式从定义到恒成立问题的完整巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三角不等式定义及等号条件|填空题1-4直接考查概念，强化符号意识| |提升层|简单应用及反向不等式|填空题5-8结合最值求解，选择题9-12辨析成立条件，发展推理能力| |综合层|证明与恒成立问题|解答题13-16需构造模型论证，如第16题含参数讨论，培养应用意识|

第二章 等式与不等式 2.3.2 三角不等式 同步练习卷 考试时长：45分钟　　满分：100分 姓名：__________　　班级：__________　　得分：__________ 一、填空题（本大题共8题，1—4题每题4分，5—8题每题5分，共36分） 1. 三角不等式：对于任意实数 、，有 ______。 2. 在三角不等式 中，等号成立的条件是______。 3. 在三角不等式 中，等号成立的条件是______。 4. 已知 ，，则 的最大值为______。 5. 已知 ，，则 的最小值为______。 6. 反向三角不等式：对于任意实数 、，有 ______。 7. 已知 ，，则 ______ （填“”或“”）。 8. 已知 ，则 的最大值为______。 二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分。每题只有一个正确选项） 9. 对于任意实数 、，下列不等式一定成立的是（　） A. 　　　B. C. 　　　D. 10. 下列条件中，能使得 成立的是（　） A. ，　　　B. ， C. ，　　　D. ， 11. 已知 ，，则 的最大值为（　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 12. 若对任意实数 ， 恒成立，则实数 的取值范围为（　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 三、解答题（本大题共4题，13—14题每题10分，15—16题每题14分，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13.（本题10分） 已知 ，，利用三角不等式求下列式子的最值，并说明取等条件。 （1） 的最大值； （2） 的最小值。 14. （本题10分） 已知实数 、，利用三角不等式证明：。 15. （本题14分） 已知 ，，求 的最大值。 16. （本题14分） 已知对任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值，并说明等号能否取到。 参考答案与解析 一、填空题（共36分） 第1题（4分） 【答案】 【解析】三角不等式：对于任意实数 、，有 。 第2题（4分） 【答案】（即 、 同号或至少一个为0） 【解析】当 、 同号或至少一个为0时，等号成立。 第3题（4分） 【答案】（即 、 异号或至少一个为0） 【解析】当 、 异号或至少一个为0时， 成立。 第4题（4分） 【答案】 【解析】，当且仅当 ，（或 ，）时取等号。 第5题（5分） 【答案】 【解析】，当 时取等号。由于 ，可取 ，符合条件，故最小值为0。 第6题（5分） 【答案】 【解析】反向三角不等式：。 第7题（5分） 【答案】 【解析】，，，，所以 。 第8题（5分） 【答案】 【解析】由 ，直接得最大值为2。当 ，即 时取到。 二、选择题（共16分） 题号 9 10 11 12 答案 C B D A 第9题（4分） 【解析】A中 错误，反之为 ；B中 不一定成立；C中 是三角不等式，正确；D中 错误。故选C。 第10题（4分） 【解析】 当且仅当 。A中 ，不成立；B中 ，成立；C中 ，不成立；D中 ，不成立。故选B。 第11题（4分） 【解析】，最大值为5。故选D。 第12题（4分） 【解析】由三角不等式：。恒成立只需 。故选A。 三、解答题（共48分） 第13题（10分） 【答案与评分细则】 （1）由三角不等式： 。…………（3分） 当且仅当 ，（或 ，）时取等号。…………（2分） 故最大值为5。 （2）由三角不等式： ，当且仅当 时取等号。…………（3分） 可取 ，满足 ，故最小值为0。…………（2分） 第14题（10分） 【答案与评分细则】 证明：设 ，由三角不等式： 。…………（3分） 所以 。…………（2分） 同理，。…………（3分） 所以 。…………（1分） 综上，。…………（1分） 第15题（14分） 【答案与评分细则】 由对称性，不妨设 ，。 ① 当 时，。…………（4分） ② 当 时，。…………（4分） 综上，。…………（4分） 当且仅当 ，（或 ，）时取等号。…………（2分） 故最大值为 。…………（2分） 第16题（14分） 【答案与评分细则】 由三角不等式： 。…………（5分） 因此 的最大值为3。…………（3分） 当等号成立时，需满足 ，即 。…………（4分） 所以当 时， 恒成立，等号能取到。…………（2分） 学科网（北京）股份有限公司 $