第16章整式的乘法单元测试（暑假预习课）2026-2027学年数学八年级上册人教版

**基本信息** 本单元卷聚焦八年级上册整式乘法，通过基础运算、新定义问题及项目化学习，分层考查幂的运算、乘法公式等核心知识，适配暑假预习与单元复习，强化数学思维与几何直观。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|零指数幂、同底数幂运算、完全平方公式|结合实际情境考查公式逆用，如第8题换元法求代数式值| |填空题|6|幂的乘方、平方差公式几何意义|融入华罗庚数形结合思想，如第13题用正方形面积求阴影面积| |解答题|6|整式乘除、新定义“完美式”、项目化拼接|设计“完美式”证明及图形拼接问题（21题），体现模型意识与创新应用|

（暑假预习课）第16章整式的乘法-2026-2027学年数学八年级上册人教版（新教材） 一、单选题 1．（    ） A．0 B．1 C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．已知为正整数，则（    ） A． B． C． D． 5．若的结果中不含x的一次项，则m的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．若代数式是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 7．计算的结果为（   ） A．1 B． C． D． 8．若实数满足，则（    ）． A．2026 B．1013 C． D． 9．如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（   ） A．； B．； C．； D． 10．如果规定表示单项式，表示多项式，则计算的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知，，则__________． 12．若是一个完全平方式，则_____． 13．著名数学家华罗庚先生用诗词表达了“数形结合”的思想：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图，点B，E，C 在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b，且那么阴影部分的面积为__________． 14．若，则的最大值是______． 15．如图，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为3的小正方形，剩余阴影部分剪拼成一个无缝的长方形，若长方形的一条边长为，则它的一条邻边长是___________． 16．对于，规定，例如：，所以，记，，则y与x之间的数量关系式为____． 三、解答题 17．计算 (1) (2) 18．先化简，再求值：，其中，． 19．若（且，，是正整数），则． 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)已知满足，求的值． 20．若一个整式能表示成（x，y均为整式）的形式，则称这个整式为“完美式”．例如，，，则5，都是“完美式”． (1)请说明13是“完美式”； (2)若是“完美式”，求出一个符合条件的k； (3)若P，Q是“完美式”，它们的积是否为“完美式”？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 21．【项目化学习】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．已知有若干张正方形卡片和长方形卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长为a，宽为b的长方形． (1)若要用这三种卡片紧密拼接成一个长为，宽为的长方形，求需要A，B，C，各型号卡片各多少张？ (2)若要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取A型卡片9张，再取B型卡片4张，还需C型卡片__________张． (3)用一张A型卡片，一张B型卡片，一张C型卡片紧密拼接成如题图所示的图形，若阴影部分的面积为32，C型卡片的面积为48，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《（暑假预习课）第16章整式的乘法-2026-2027学年数学八年级上册人教版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D D C D D D C 1．B 【分析】本题考查零指数幂，根据零指数幂的法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选：B． 2．C 【分析】本题考查整式的基本运算，涉及同类项的定义、积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则、完全平方公式，需逐一验证选项． 【详解】解：∵同类项才能合并，与不是同类项，不能合并，∴A选项错误． ∵根据积的乘方运算法则，，∴B选项错误． ∵根据同底数幂的除法运算法则，，C选项正确． ∵根据完全平方公式，，∴D选项错误． 故选：C． 3．D 【分析】本题考查幂的乘方逆用和同底数幂的乘法法则，关键是将转化为以为底的幂，再利用同底数幂乘法的逆运算求出的值，进而计算目标式子 【详解】解：∵，，， ∴， 即， ∴， 则； 故选：D． 4．D 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用．熟练掌握同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，是解题的关键． 逆用同底数幂的乘法和幂的乘方，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选：D． 5．D 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，需先展开式子，根据结果不含x的一次项即一次项系数为0，建立方程求解m的值． 【详解】解：∵ 又∵结果中不含x的一次项 ∴ 解得 故选：D． 6．C 【分析】本题考查完全平方公式的应用，关键是熟练应用公式进行解题；根据完全平方式的结构特征，建立关于的方程，进而求解的值。 【详解】解：∵代数式是完全平方式， ∴ ①当时， ， ∴ ②当时， ， ∴ 综上，的值为或． 故答案为：C． 7．D 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算．先将小数转化为分数，再利用积的乘方的逆运算简化计算，最后结合有理数的乘方性质得出结果． 【详解】解：原式 故选：D． 8．D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值．可通过换元法结合完全平方公式的变形求解，核心是利用完全平方公式中与、的关系推导计算． 【详解】解：设，， ∵， 又∵，且由完全平方公式得， ∴将，代入得：， 即， 解得， ∴， 即， 故选：D． 9．D 【分析】本题考查了平方差公式的几何验证，解题的关键是通过计算两个图形中阴影部分的面积，利用面积相等验证等式． 【详解】解：计算图1中拼成的平行四边形面积，其长为，高为，面积为； 计算图2中阴影部分面积，为大正方形面积减去小正方形面积，即， 由于阴影部分面积不变，故可验证等式． 故选：D． 10．C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可.先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 【详解】解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故选：C． 11． 【分析】本题考查了同底数幂乘法和除法，利用同底数幂的乘法法则和除法法则，将所求表达式转化为已知值进行计算． 【详解】解：， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为：． 13．5 【分析】本题考查了正方形与三角形的面积计算、代数化简与整体代入思想，解题的关键是通过面积拆分建立表达式，再利用代数化简和整体代入求出阴影面积． 解题思路：先将阴影面积拆分为正方形与三角形的面积组合，列出代数表达式，再通过化简得到，最后代入已知条件求出结果． 【详解】解：由题意得 ∵正方形与正方形的边长分别为a，b， ∵ ∴． 故答案为：5． 14．17 【分析】本题考查了完全平方公式、配方法的应用、非负数的性质，根据连等式将都转化为同一个参数是解题的关键． 设，用含的式子分别表示，通过计算可得，再根据非负数的性质即可得出答案． 【详解】解：设， 则，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为17， 即的最大值是17． 故答案为：17． 15． 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，列代数式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先用x表示出剩余阴影部分的面积，再分解因式，然后根据长方形的一条边长为，得出它的一条邻边长． 【详解】解：在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为3的小正方形，剩余阴影部分的面积为， 因为长方形的一条边长为， 所以它的一条邻边长是， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查实数的运算的新定义问题。根据新定义，将和转化为指数形式，再利用同底数幂的乘法性质建立与的关系 【详解】解：由，得. 由，得. ∵， ， . 17．(1)0 (2) 【分析】本题考查了整式的除法，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据有理数的乘方、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （2）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18． ； 【分析】本题考查了整式的混合运算、代数式化简求值，关键是熟练应用运算法则进行计算；根据多项式乘以多项式法则计算并合并同类项，化简完毕后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 上式 ． 19．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的乘法的逆运算，解题关键在于掌握同底数幂的乘法运算法则． （1）根据幂的乘方运算法则将等式，再根据题目给出的定义即可求出答案； （2）根据同底数幂的运算法则与幂的乘方以及题目给出的定义即可求出答案； （3）根据同底数幂的乘法的逆运算法则可将化为，由此可得再根据题目给出的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：， ，， ， 解得； （2）解：， ， ， ， 即， ， ； （3）解：， ， ， ， 即， ． 20．(1) 见解析； (2) ； (3) 若P，Q是“完美式”，它们的积是“完美式”，理由见解析． 【分析】本题考查举例说明假（真）命题，配方法的应用，多项式乘法． （1）依据“完美式”的定义，将表示为两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对进行变形，结合“完美式”需表示为两个整式平方和的形式，确定的取值； （3）通过设出和的“完美式”表达式，运用多项式乘法与完全平方公式，将它们的积变形为两个整式平方和的形式即可． 【详解】（1）解：∵，2和3均为整式， ∴13是“完美式”． （2）解： ∵是“完美式”， ∴， ∴． （3）解：若P，Q是“完美式”，它们的积是“完美式”，理由： ∵P，Q是“完美式” ， ∴设，（，，，均为整式） ∴ ， ∵，，，均为整式， ∴，均为整式 ， ∴可表示为两个整式的平方和， ∴是“完美式”． 21．(1)需要A型卡片3张，B型卡片2张，C型卡片7张； (2)12 (3)， 【分析】本题考查了整式乘法的几何应用，三角形、正方形、长方形的面积公式，解题的关键是掌握整式乘法的运算法则． （1）计算出拼成的长方形面积即可求解； （2）根据完全平方式的特点，即可求解； （3）由题意可得，根据，求出，进而求出即可． 【详解】（1）解：拼成的长方形面积为：， 需要A型卡片3张，B型卡片2张，C型卡片7张； （2）解：∵A型卡片9张，再取B型卡片4张的面积之和为， ∴添加能与组成一个完全平方式， 即是一个完全平方式，故， ∴要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，还需C型卡片12张； 故答案为：12； （3）解：∵C型卡片的面积为48， ∴， ， 又阴影部分的面积为32， ∴， 解得：（负值已舍去）， 又， ∴， ∴，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $