1.2空间向量基本定理 同步练习—2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量基本定理，通过基础辨析、综合应用到拓展计算的三层设计，实现从概念理解到运算能力的递进巩固，培养抽象能力与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|基底概念辨析、简单线性表示|以单选/多选题（如基底构成判断）、基础填空题（如中点向量表示）为主，强化抽象能力| |提升层|坐标转换、复杂线性表示|结合四面体/正方体情境（如解答题18-19），训练推理能力，衔接基础到综合应用| |拓展层|数量积计算、模长求解|通过多步推理题（如含重心/三等分点的向量表示及运算），发展空间观念与应用意识|

1.2 空间向量基本定理 同步练习（附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，则下列向量中可以与，构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 3．在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 4．已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 5．在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 6．已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ） A． B． C． D． 7．在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 11．在长方体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列式子正确的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知是空间的一个基底，若，则_________． 13．已知向量在基底下的坐标是，则在基底下的坐标为______. 14．如图，设的重心为，为平面内任意一点，，试用表示向量，则________________. 15．如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________.    16．已知向量是空间的一组单位正交基底，向量是空间的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，在基底下的坐标为，则___________． 17．定义：设是空间向量的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标，已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为_____． 四、解答题 18．如图所示，在正方体中，取． (1)用表示； (2)若分别为的中点，用表示． 19．如图，在空间四边形OABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值． 20．如图，在空间四边形中，点、分别为、的中点，设，，．    (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值． 21．如图，在三棱锥中，，，，是的中点，为线段上靠近的三等分点，是的中点.    (1)用向量，，表示向量； (2)求； (3)求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.2 空间向量基本定理 同步练习（附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A B D B C A B BD 题号 11 答案 AD 1．C 【知识点】空间向量基底概念及辨析、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据基底的概念判断即可. 【详解】对于A，，共面，不可为基底； 对于B，，共面，不可为基底； 对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量， 这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底， 对于D，，共面，不可为基底. 2．A 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】依次判断各选项的向量，与，不共面即可. 【详解】对于A，假设，即，显然与矛盾，故，，不共面，可以构成基底，满足. 对于B，由于，，，共面，不满足； 对于C，由于，，，共面，不满足； 对于D，零向量与任意向量共面，故基底向量不能是零向量，不满足； 故能与，构成空间的一个基底的只有． 故选：A 3．A 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】利用空间向量的基本定理可求出、、的值，即可得出的值. 【详解】如下图所示： 因为为的中点，所以，由题意可知， 所以， 在三棱锥中，、、不共面，且， 所以，，故. 故选：A. 4．B 【知识点】空间向量基底概念及辨析、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 5．D 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量的加减运算、用空间基底表示向量 【详解】， 是的中点，故， 故． 6．B 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】根据给定条件，结合向量坐标的意义求解即可. 【详解】由向量在基底下的坐标为， 得， 所以在基底下的坐标为. 故选：B 7．C 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】由空间向量的线性运算可得结果. 【详解】如图所示： . 故选：C. 8．A 【知识点】空间向量的加减运算、用空间基底表示向量 【详解】连接，如图所示， ∵E是CD的中点，，， ∴， 在中，， 又，∴． 9．B 【知识点】用空间基底表示向量 【详解】由，得，由，得， 所以， 对于A，假设共线，则，无解，A错误； 对于B，， 所以与共线，B正确； 对于C，假设共线，则，无解，C错误； 对于D，假设共线，则，无解，D错误； 10．BD 【知识点】判定空间向量共面、空间向量基底概念及辨析 【分析】根据条件可得向量不共面，即可判断A和C的正误；对B，结合条件，根据空间向量基本定理，即可判断正误；对D，根据条件可得不共面，即可求解. 【详解】对于A，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故A错误， 对于B，因为向量不共面，由空间向量基本定理可知，空间中任一向量， 存在唯一有序实数组，使，所以B正确， 对于C，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故C错误， 对于D，假设向量共面，则存在唯一实数，使， 即，所以，无解，所以不共面，故D正确， 故选：BD. 11．AD 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量线性运算性质逐一判断即可. 【详解】A：，所以本选项正确； B：，所以本选项不正确； C：，所以本选项不正确； D： ，所以本选项正确. 故选：AD 12．0 【知识点】空间向量基底概念及辨析、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据基底向量不能共面，得出系数均为0； 【详解】是空间的一个基底， 为不共面向量． 又， ， ． 故答案为：0. 【点睛】本题考查基底向量的定义，理解基底向量不能共面是解题的关键. 13． 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】依题意可得，设在基底下的坐标为，根据空间向量基本定理得到方程组，求出、、即可得解. 【详解】由题意可知，设在基底下的坐标为， 所以， 可得，故在基底下的坐标为. 故答案为： 14． 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量的加减运算、用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量的线性运算法则，即可得答案. 【详解】延长AM，交BC于点D，因为M为的重心，所以D为BC的中点，且， 则 . 15． 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】应用空间向量的加法及数乘运算，再结合空间向量基本定理计算求参. 【详解】由题意知， 因为， 所以，则. 故答案为：. 16．4 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】利用空间向量基底的意义，结合相等向量列式求出即可. 【详解】由向量在基底下的坐标为，得， 由在基底下的坐标为， 得， 因此，所以. 故答案为：4 17． 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量基底概念及辨析、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据条件有，设，利用空间向量基本定理列式即可求解. 【详解】因为向量在基底下的坐标为，则， 设， 则，解得，所以向量在基底下的坐标为， 故答案为：. 18．(1) (2) 【知识点】空间向量的加减运算、用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【详解】（1）. （2）． 19．(1) (2)11 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】（1）运用向量加法的线性运算及中点向量公式，通过两次中点（D为BC中点，E为AD中点）逐步将所求向量用已知基底表示； （2）利用向量模长与夹角余弦值求各基底向量间的数量积，再代入第一问结果进行向量数量积的分配律展开并求值. 【详解】（1）由题可得向量； （2）由题，， 由（1）得， 所以． 20．(1)； (2). 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】（1）由几何体结构结合向量运算法则直接进行运算即可； （2）先由题设以及用向量，，表示向量和，再由向量运算法则即可求解. 【详解】（1）由题可得向量； （2）由题， 由（1）得，又向量， 所以 . 21．(1)； (2)； (3). 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】（1）利用中线向量公式，结合向量的线性运算即可求解； （2）利用基底表示向量，先求基底的数量积，问题即可求解； （3）利用基底的数量积运算即可求向量的模. 【详解】（1）因为是的中点，所以， 又因为为线段上靠近的三等分点，所以， 又因为是的中点，所以， 则； （2）因为，，， 所以， ， 所以 （3） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $