1.1.2 空间向量的数量积运算 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“夯基础-提能力-迎挑战”三层设计，以空间向量数量积运算为核心，实现从基础概念到综合应用再到创新迁移的知识巩固路径，培养空间观念、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯基础|数量积定义、夹角计算、投影向量等单一知识点|单选/多选/填空结合，如正四面体夹角计算，强化基础运算与概念理解| |提能力|空间几何体中向量综合应用|解答题为主，如正方体中异面直线垂直证明，培养推理能力与知识迁移| |迎挑战|复杂情境下数量积创新应用|情境化问题，如正四棱柱侧棱与上底面点的数量积，发展几何直观与创新意识|

人教A版选择性必修第一册同步练习 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.1.2 空间向量的数量积运算 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（25-26高二·全国·课后作业）在正四面体中，点，分别是，的中点，则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知向量满足条件：，，且与互相垂直，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．（24-25高二上·山东·期中）（多选）下列各命题中，正确的命题为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·浙江·期中）（多选）如图，已知四边形ABCD为矩形，平面，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（24-25高二下·上海·期中）如图，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　) A． B． C．1 D． 6．（24-25高二下·四川·期中）已知a，b是异面直线，A，B是a上的点，C，D是b上的点，，，且，，则a与b所成角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 7．（25-26高二上·浙江·阶段检测）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·吉林·期中）已知，且，则实数等于________. 9．（24-25高二上·安徽·期中）如图，已知正方体的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是 A． B． C． D．0 10．（25-26高二上·河南·期末）已知是两两垂直的单位向量，则________________． 11．（25-26高二上·云南·期末）在长方形中，，将沿所在直线进行翻折，二面角为，则（    ） A． B． C． D． 提能力 综合用 · 善迁移 12．（25-26高二上·湖北·开学考试）（多选）(多选题)在正方体中，有下列说法，其中正确的有（    ） A． B． C．的夹角为60° D．正方体的体积为 13．（25-26高二·全国·课后作业）在边长为2的正方体中，，分别是，的中点． (1)求证：异面直线与垂直； (2)求直线与所成的角的余弦值大小． 14．（24-25高二上·上海·期末）设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足，则ΔBCD是________三角形(选填“锐角”、“直角”或“钝角”)． 迎挑战 拓思维 · 求突破 15．（24-25高二上·福建·期末）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（　） A．1 B．2 C．4 D．8 16．（25-26高二上·重庆·阶段检测）正方体的棱长为2，是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦最长时，的最大值为______． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第一册同步练习 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.1.2 空间向量的数量积运算 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（25-26高二·全国·课后作业）在正四面体中，点，分别是，的中点，则与的夹角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【分析】根据题意，可知，再结合正四面体的性质即可求解. 【详解】由题意，可得， 所以． 故选：C. 2．（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知向量满足条件：，，且与互相垂直，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【分析】由向量的垂直的数量积表示求得，从而由数量积的定义可得，再得出角的大小． 【详解】因为与互相垂直,所以, , 又,所以. 故选：B. 3．（24-25高二上·山东·期中）（多选）下列各命题中，正确的命题为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据数量积的运算律以及数乘的运算律，结合共线定理，可得答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，根据向量数乘满足交换律和结合律，可得B正确； 对于C，根据数量积满足交换律，可得C正确； 对于D，当，则向量与共线，当时，则向量与共线， 而向量不一定共线，故D错误. 故选：ABC. 4．（24-25高二上·浙江·期中）（多选）如图，已知四边形ABCD为矩形，平面，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABD 【分析】逐项判断各选项中向量对应的直线是否垂直即可解答. 【详解】对于A，由于平面，平面，则， 又，平面，则有平面， 而平面，则有，即向量､一定垂直，则向量､的数量积一定为0，故A正确； 对于B，由于平面，平面，则， 又，平面，则有平面， 而平面，则有，即向量､一定垂直，则向量､的数量积一定为0，故B正确； 因为，所以直线与所成的角为，显然， 则与的数量积不为0，故C错误. 对于D，由于平面，平面，则，即向量､一定垂直，则向量､的数量积一定为0，故D正确； 故选：ABD. 5．（24-25高二下·上海·期中）如图，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　) A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由，利用数量积运算性质展开即可得到答案 【详解】, 故 故选 6．（24-25高二下·四川·期中）已知a，b是异面直线，A，B是a上的点，C，D是b上的点，，，且，，则a与b所成角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】先计算出 ,再根据计算夹角的余弦值，即可写出答案 【详解】设 又 ， 故选：C 7．（25-26高二上·浙江·阶段检测）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在空间四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【详解】由题意， 则，， 因为， 所以在上的投影向量为. 故选：C 8．（24-25高二上·吉林·期中）已知，且，则实数等于________. 【答案】/-1.5 【分析】利用向量数量积的运算律及向量垂直的表示列方程求参数即可. 【详解】， 又，则 故答案为： 9．（24-25高二上·安徽·期中）如图，已知正方体的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是 A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据正方体的线面关系，将平移至，找到异面直线所成角，求解即可． 【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为，由为正三角形，故．故选B． 【点睛】本题考查了异面直线所成角，求解异面直线所成角的步骤：先平移找到角，再证明，最后求解． 10．（25-26高二上·河南·期末）已知是两两垂直的单位向量，则________________． 【答案】3 【分析】根据向量模的运算公式，结合向量数量积的运算律运算求解即可 【详解】解：因为是两两垂直的单位向量， 所以， 所以 故答案为：3． 11．（25-26高二上·云南·期末）在长方形中，，将沿所在直线进行翻折，二面角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得异面直线与的夹角为，即与的夹角为，由空间向量的运算法则可得，则，结合条件即可计算. 【详解】由题意得： 过点作，垂足为，过点作，垂足为，如下图： 因为二面角为，则异面直线与的夹角为， 即与的夹角为，易得， 因为，且， 则， 即，解得， 故选：D. 提能力 综合用 · 善迁移 12．（25-26高二上·湖北·开学考试）（多选）(多选题)在正方体中，有下列说法，其中正确的有（    ） A． B． C．的夹角为60° D．正方体的体积为 【答案】AB 【分析】利用空间向量的加减运算法则及向量夹角的定义判断即可. 【详解】如图所示， ，故A正确； ，故B正确； 与的夹角是夹角的补角， 而的夹角为，故的夹角为，所以C错误； 正方体的体积为. 故选：AB. 【点睛】本题考查空间向量的线性运算及空间向量的夹角问题，较简单，解答时类比平面向量的解法进行即可. 13．（25-26高二·全国·课后作业）在边长为2的正方体中，，分别是，的中点． (1)求证：异面直线与垂直； (2)求直线与所成的角的余弦值大小． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法判断异面直线的位置关系； （2）利用向量法求直线所成的角. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图， 则, 所以, ， 因为, 所以，即异面直线与垂直. （2）由（1）知, , 所以， 故直线与所成的角的余弦值大小为. 14．（24-25高二上·上海·期末）设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足，则ΔBCD是________三角形(选填“锐角”、“直角”或“钝角”)． 【答案】锐角 【分析】判断三角形的形状有两种基本的方法①看三角形的角②看三角形的边．本题可用向量的夹角来判断三角形的角． 【详解】解： ， ,故是锐角， 同理，都是锐角，故是锐角三角形， 故答案为：锐角 迎挑战 拓思维 · 求突破 15．（24-25高二上·福建·期末）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义理解向量数量积的几何意义，结合图形即可计算得到. 【详解】因图中是四个相同的正方体排成的正四棱柱，故在上的投影都是， 所以，， 即的值只有一个． 故选：A. 16．（25-26高二上·重庆·阶段检测）正方体的棱长为2，是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦最长时，的最大值为______． 【答案】2 【分析】设球心为，球的半径为，则，根据极化恒等式，得即可求解. 【详解】设球心为，球的半径为，则，根据极化恒等式， 得． 因为为正方体表面上的动点，所以的最大值为正方体对角线长的一半，即， 所以的最大值为2． 故答案为：2. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $