1.1.2 空间向量的数量积运算 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 1.1.2空间向量的数量积运算同步练习，覆盖数量积定义、夹角计算等知识点，10题分层设计，基础巩固与能力提升结合，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|数量积定义、投影向量、垂直条件|选择1-2（正四面体夹角）、填空6-7（投影向量计算），直接考查概念与基本运算| |进阶层|模长公式、几何模型应用|选择3-5（平行六面体棱长）、填空8（多向量最值）、解答9（空间四边形计算），结合几何情境提升运算与推理能力| |综合层|线面垂直证明、探究性问题|解答10（平行六面体垂直证明），综合运用数量积解决空间几何证明，发展模型观念|

1.1.2 空间向量的数量积运算 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为（　 　） A.30° B.60° C.120° D.150° 2.在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos＜，＞的值是（　 　） A.0 B. C. D.－ 3.平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，则BD1的长等于（　 　） A.－1 B.－1 C. D.－ 4.设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知（＋－2）·（－）＝0，则△ABC一定是　（　 　） A.直角三角形　　 B.等腰三角形 　 C.等腰直角三角形　 D.等边三角形 5.已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（　 　） A. B. C. D. 二、填空题 6.已知向量a与b的夹角为60°，｜a｜＝2，｜b｜＝6，则2a－b在a上的投影向量为 . 7.已知空间向量a，b，｜a｜＝3，｜b｜＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，＜a，b＞＝135°，若m⊥n，则λ的值为 . 8.已知空间向量a，b，c两两之间的夹角均为60°，且｜a｜＝2，｜b｜＝6，｜c｜＝2.若向量x，y分别满足y·（y＋a－b）＝0与x·c＝12，则｜y－x｜的最小值为 . 三、解答题 9.如图，在空间四边形OABC中，E是线段BC的中点，G在线段AE上，且AG＝2GE. （1）试用，，表示向量； （2）若OA＝2，OB＝3，OC＝4，∠AOC＝∠BOC＝60°，∠AOB＝90°，求的值及｜｜. 10.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD均为锐角. （1）求证：CC1⊥BD； （2）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明. 答案与解析 一、选择题 1.在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为（　C　） A.30° B.60° C.120° D.150° 2.在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos＜，＞的值是（　A　） A.0 B. C. D.－ 解析：因为＝·（－）＝－＝｜｜·｜｜cos －｜｜·｜｜cos ＝｜｜·（｜｜－｜｜）， 又OB＝OC，所以＝0， 所以cos＜，＞＝＝0. 3.平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，则BD1的长等于（　C　） A.－1 B.－1 C. D.－ 4.设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知（＋－2）·（－）＝0，则△ABC一定是　（　B　） A.直角三角形　　 B.等腰三角形 　 C.等腰直角三角形　 D.等边三角形 解析：由（＋－2）·（－）＝（－＋－）·（－）＝（＋）·（－）＝｜｜2－｜｜2＝0，得｜｜＝｜｜，故△ABC一定是等腰三角形. 5.已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（　C　） A. B. C. D. 解析：设正方体为正方体ABCD－A1B1C1D1，正方体内切球球心为S，由题意知内切球的半径为， 所以＝（＋）·（＋）＝（＋）·（－）＝－＝－3. 因为点P在正方体表面上运动， 当P为正方体的各面的中心时，｜｜可取到最小值，当P为正方体的顶点时，｜｜可取到最大值＝3， 所以｜｜∈[，3]，则－3∈[0，6]， 即∈[0，6]. 二、填空题 6.已知向量a与b的夹角为60°，｜a｜＝2，｜b｜＝6，则2a－b在a上的投影向量为　a　. 解析：因为a与b的夹角为60°，｜a｜＝2，｜b｜＝6，所以（2a－b）·a＝2｜a｜2－a·b＝2×22－2×6×＝2， 所以2a－b在a上的投影向量为＝a. 7.已知空间向量a，b，｜a｜＝3，｜b｜＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，＜a，b＞＝135°，若m⊥n，则λ的值为　－　. 解析：由题意知，a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝3×5×（－）＝－15，由m⊥n，得（a＋b）·（a＋λb）＝0，即｜a｜2＋λa·b＋a·b＋λ｜b｜2＝18－15（λ＋1）＋25λ＝0，解得λ＝－. 8.已知空间向量a，b，c两两之间的夹角均为60°，且｜a｜＝2，｜b｜＝6，｜c｜＝2.若向量x，y分别满足y·（y＋a－b）＝0与x·c＝12，则｜y－x｜的最小值为　5－ 　. 解析：依题意得a·b＝2×6×cos 60°＝6，a·c＝2×2×cos 60°＝2，b·c＝6×2×cos 60°＝6. 因为y2－y·（b－a）＝（y－）2－（）2＝0，所以（y－）2＝＝7，所以｜y－｜2＝.令p＝，则｜y－p｜＝，且p·c＝·c＝＝2.由x·c＝12，得12－2＝x·c－p·c＝（x－p）·c≤｜x－p｜·｜c｜，所以｜x－p｜≥＝5，所以｜y－x｜＝｜（y－p）－（x－p）｜＝｜（x－p）－（y－p）｜≥｜x－p｜－｜y－p｜≥5－，当且仅当x－p，y－p，c共线同向时等号成立. 三、解答题 9.如图，在空间四边形OABC中，E是线段BC的中点，G在线段AE上，且AG＝2GE. （1）试用，，表示向量； （2）若OA＝2，OB＝3，OC＝4，∠AOC＝∠BOC＝60°，∠AOB＝90°，求的值及｜｜. 解：（1）＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝＋×（＋）＝＋＋. （2）＝（＋＋）·（－）＝（－＋－）＝×（32－22＋4×3cos 60°－4×2cos 60°）＝， ｜｜＝ ＝ ＝ ＝. 10.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD均为锐角. （1）求证：CC1⊥BD； （2）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明. 解：（1）证明：设＝a，＝b，＝c. 依题意有｜a｜＝｜b｜，＝－＝a－b. 设，，两两的夹角均为θ， 于是＝c·（a－b） ＝c·a－c·b ＝｜c｜｜a｜cos θ－｜c｜｜b｜cos θ＝0， ∴CC1⊥BD. （2）当＝1时，A1C⊥平面C1BD. 证明如下：要使A1C⊥平面C1BD， 只需A1C⊥BD，A1C⊥DC1. 由＝（＋）·（－）＝（a＋b＋c）·（a－c）＝｜a｜2－a·c＋a·b－b·c＋c·a－｜c｜2＝｜a｜2－｜c｜2＋｜b｜｜a｜cos θ－｜b｜｜c｜cos θ＝（｜a｜－｜c｜）（｜a｜＋｜c｜＋｜b｜·cos θ）＝0， 得当｜c｜＝｜a｜时，A1C⊥DC1. 而由（1）知CC1⊥BD，又显然BD⊥AC， ∴BD⊥平面ACC1A， ∴A1C⊥BD. 综上可得，当＝1时，A1C⊥平面C1BD. 页 学科网（北京）股份有限公司 $