2.5.2 分式方程的应用（课件）--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦分式方程的应用，梳理一审二设三列四解五验六答通用步骤，通过工程、行程等题型实例，搭建从分式方程解法到实际应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于采用表格法分析等量关系，培养数学眼光中的抽象能力，强调双重检验步骤发展数学思维的推理意识，通过多题型建模提升数学语言的模型意识。如工程问题表格梳理效率与总量，助力学生掌握解题规范，教师可直接用于课堂练习与巩固。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学八年级上册教学课件 第2章 分式 2.5.2分式方程的应用 2026年8月7日 湘教版数学八年级上册2.5.2分式方程的应用练习题 核心知识点梳理 分式方程应用题是八年级重点必考题型，核心是利用实际问题中的等量关系列分式方程求解。通用解题步骤：一审，认真读题，找出已知量、未知量与等量关系；二设，合理设未知数，优先直接设元，复杂题目可间接设元；三列，根据等量关系列出分式方程；四解，按分式方程解法求出未知数；五验，双重检验，既要检验是否为方程的解，又要检验是否符合实际题意；六答，规范写出答案。常见题型包含工程问题、行程问题、销售单价问题、工作效率问题等。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 某项工程，甲单独完成需要x天，乙单独完成需要x+3天，甲乙合作一天的工作量为（） A. $$\frac{1}{x+x+3}$$ B. $$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}$$ C. $$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+3}$$ D. $$x+x+3$$ 2. 一艘船顺水航行40千米与逆水航行30千米所用时间相等，水流速度为2km/h，设船在静水中速度为x km/h，列方程正确的是（） A. $$\frac{40}{x+2}=\frac{30}{x-2}$$ B. $$\frac{40}{x-2}=\frac{30}{x+2}$$ C. $$\frac{40}{x}+\frac{30}{x}=2$$ D. $$40(x+2)=30(x-2)$$ 3. 购买文具，用120元购买的数量比降价2元后少5件，设原价每件x元，下列方程正确的是（） A. $$\frac{120}{x}-\frac{120}{x-2}=5$$ B.$$\frac{120}{x-2}-\frac{120}{x}=5$$ C. $$\frac{120}{x}+\frac{120}{x-2}=5$$ D. $$120x-120(x-2)=5$$ 4. 分式方程应用题区别于整式方程应用题的关键步骤是（） A. 设元 B. 列方程 C. 双重检验 D. 作答 5. 甲每小时比乙多加工2个零件，甲加工60个零件与乙加工50个零件时间相同，设乙每小时加工x个，方程为（） A. $$\frac{60}{x}=\frac{50}{x+2}$$ B. $$\frac{60}{x+2}=\frac{50}{x}$$ C. $$60x=50(x+2)$$ D. $$\frac{60}{x}-\frac{50}{x}=2$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 分式方程应用题检验分为方程解的检验和________检验。 7. 工程问题中，工作总量通常看作________。 8. 路程问题公式：时间=________，常作为列方程的等量关系。 9. 某商品降价3元后，180元可多买2件，设原价x元，可列方程________。 10. 效率越高，完成相同工作量所用时间越________。 三、解答题（每题12分，共60分） 11. 【工程问题】一项工程，甲单独做比乙单独做少用5天，已知甲单独完成需10天，若甲乙合作，需要多少天完成工程？ 12. 【行程问题】小明骑车比步行每小时快8千米，步行12千米所用时间和骑车36千米所用时间相等，求小明步行的速度。 13. 【销售问题】用90元购买的笔记本数量，比涨价3元后用120元购买的数量少1本，求笔记本原价。 14. 【效率问题】工厂改进工艺后，每小时比原来多生产3个零件，原来生产60个零件的时间，现在可生产90个，求原来每小时生产零件个数。 15. 【综合应用】甲乙两人整理图书，甲整理80本的时间与乙整理60本的时间相同，已知甲每分钟比乙多整理1本，求甲乙每分钟各整理多少本图书。 参考答案及解析 选择题：1.B（工作效率求和） 2.A（顺水速度x+2，逆水速度x-2，时间相等） 3.B（降价后数量更多） 4.C（双重检验是分式应用题独有步骤） 5.B（时间相等列等式） 填空题：6.实际题意 7.单位1 8.路程÷速度 9.$$\frac{180}{x-3}-\frac{180}{x}=2$$ 10.少 解答题：11.乙单独需15天，甲效率$$\frac{1}{10}$$，乙效率$$\frac{1}{15}$$，合作时间$$1\div(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})=6$$天。12.设步行速度x km/h，$$\frac{12}{x}=\frac{36}{x+8}$$，解得x=4，验根符合题意，步行速度4km/h。13.设原价x元，$$\frac{90}{x}=\frac{120}{x+3}-1$$，解得x=15，原价15元。14.设原来每小时生产x个，$$\frac{60}{x}=\frac{90}{x+3}$$，解得x=6，原来每小时生产6个。15.设乙每分钟x本，甲为x+1本，$$\frac{80}{x+1}=\frac{60}{x}$$，解得x=3，甲4本，乙3本。 易错总结：高频易错点：忘记双重检验，只验方程不验实际；等量关系找反，数量、时间、效率关系混淆；设元后列方程对应错误；忽略未知数取值为正数的实际限制。解题牢记：找准等量关系，列式对应题意，解题必双检验。 例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 表格法分析如下： 工作时间（个月） 工作效率 工作总量（1） 甲队 乙队 等量关系： 甲队完成的工作总量 + 乙队完成的工作总量=“1” 设乙单独完成这项工程需要 x 个月. 列分式方程解决工程问题 1 解：设乙单独 完成这项工程需要 x 个月.记工作总量为 1，甲的工作效率是 ，根据题意得 即 方程两边同乘 2x，得 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时，2x≠0. 所以，原分式方程的解为 x = 1. 由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需 3 个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快. 想一想：本题的等量关系还可以怎么找？ 甲队单独完成的工作总量 + 两队合作完成的工作总量=“1” 此时表格怎么列，方程又怎么列呢？ 设乙单独完成这项工程需要 x 个月.则乙队的工作效率是 ，甲队的工作效率是 ，两队合作的工作效率 是 工作时间(个月) 工作效率 工作总量（1） 甲单独 两队合作 此时方程是： 1 表格为 “3 行 4 列” 例1 用 A，B 两种型号的机器人搬运原料，已知 A 型机器人比 B 型机器人每小时多搬运 200 kg，且 A 型机器人搬运 10 000 kg 所用时间与 B 型机器人搬运 8 000 kg 所用时间相等， 求这两种机器人每小时分别 搬运多少原料. 典例精析 上述问题中存在以下两个等量关系： 设 B 型机器人每小时搬运 x kg，则由等量关系 (2) 可得，A 型机器人每小时搬运 (x + 200) kg. (1) A 型机器人搬运 10 000 kg 所用时间 = B 型机器人搬运 8 000 kg 所用时间. (2) A 型机器人每小时搬运量 = B 型机器人每小时搬运量＋200kg. 再根据等量关系 (1)，可列出如下方程： 经检验，x = 800 是原分式方程的解，且符合题意. 将方程两边同乘最简公分母 x(x＋200)，得 10 000x = 8 000(x + 200)， 解得 x = 800. 由此可知，B 型机器人每小时搬运原料 800 kg，A 型机器人每小时搬运原料 1000 kg. 1.若分式方程无解，则 的值为( ) A A. B.0 C.1 D.2 举一反三 9 2.［2025邵阳期末］若分式方程无解，则 的值为( ) D A. B.3 C.1 D. 举一反三 10 2 列分式方程解决行程问题 例2 某校八年级学生乘车前往某乡村进行研学实践活动，现有两条线路可供选择：线路一全程 25 km，线路二全程 30 km. 若走线路二的平均车速是走线路一 的 1.5 倍，所花时间比走线路一少用 10 min，则走 线路一的平均车速为多少? 乡村 学校 线路一 线路二 分析 本题涉及的等量关系是： 走线路一的时间 - 走线路二的时间 = h. 平均车速/(km/h) 路程/km 时间/h 线路一 线路二 设走线路一的平均车速为 x km/h，则可得下表： x 1.5x 25 30 解：设走线路一的平均车速为 x km/h，则走线路二的平均车速为 1.5x km/h. 根据等量关系，可列出如下方程： 解得 x = 30. 答：走线路一的平均车速为 30 km/h. 经检验，x = 30 是原分式方程的解，且符合题意. 3.［2025怀化期末］若关于的分式方程无解，则 的值为 ( ) A A.或0 B. C. D.0 举一反三 14 4.［2025益阳期中］若分式方程无解，则 的值为 ______. 0或3 举一反三 15 分式方程的应用 类型 行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、利润问题等 方法 步骤 一审二找三设四列五解六验七答 321法 课堂小结 谢谢观看 THANKS $