2.5.1可化为一元一次方程的分式方程的解法（课件）--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“可化为一元一次方程的分式方程的解法”，涵盖定义、转化思想、“一化二解三检验”步骤及增根概念，通过实例方程导入，衔接整式方程知识，以转化思想为支架构建学习脉络。 其亮点在于分层设计练习（基础到复杂）、突出易错点（验根）并融入中考真题，通过问题链引导推理，小结用框图与步骤简记，培养运算能力和推理意识，助力学生系统掌握，教师可高效开展教学。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学八年级上册教学课件 第2章 分式 2.5.1可化为一元一次方程的分式方程的解法 2026年8月7日 湘教版数学八年级上册2.5.1可化为一元一次方程的分式方程的解法练习题 核心知识点梳理 1. 分式方程定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2. 解题核心思想：转化思想，将分式方程通过去分母转化为熟悉的一元一次方程求解。3. 标准解题步骤：一找（找出最简公分母）；二乘（方程两边同乘最简公分母，去分母化为整式方程）；三解（解一元一次方程）；四验（必须检验，代入最简公分母，不为0是原方程的解，为0则是增根，方程无解）。4. 增根概念：去分母过程中产生的、不满足原分式方程的根，分式方程必须验根，这是区别于整式方程的关键步骤。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列方程属于分式方程的是（） A. $$\frac{x}{2}+1=0$$ B. $$\frac{1}{x}+2=3$$ C. $$2x+3=5$$ D. $$\frac{x+1}{3}=2$$ 2. 解分式方程$$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x}$$，最简公分母是（） A. $$x-1$$ B. $$x$$ C. $$x(x-1)$$ D. $$x^2-x$$ 3. 解分式方程最后必须进行的步骤是（） A. 移项 B. 合并同类项 C. 验根 D. 系数化为1 4. 方程$$\frac{2}{x}=\frac{3}{x+1}$$的解为（） A. $$x=1$$ B. $$x=2$$ C. $$x=3$$ D. 无解 5. 若分式方程$$\frac{1}{x-2}+3=\frac{x-1}{x-2}$$产生增根，则增根为（） A. $$x=0$$ B. $$x=1$$ C. $$x=2$$ D. $$x=-2$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 分母中含有________的方程叫做分式方程。 7. 解分式方程的基本思路是将分式方程化为________方程。 8. 方程$$\frac{3}{x}=\frac{2}{x-1}$$的解是________。 9. 分式方程验根时，若最简公分母为0，则该根为________。 10. 解方程$$\frac{1}{x+1}=\frac{2}{x}$$，去分母后得到的整式方程是________。 三、解答题（每题12分，共60分） 11. 解基础分式方程：（1）$$\frac{2}{x}=\frac{3}{x+1}$$ （2）$$\frac{1}{x-3}=\frac{1}{2x}$$ 12. 解含常数项的分式方程：（1）$$\frac{1}{x-1}+1=\frac{2}{x-1}$$ （2）$$\frac{3}{x}-\frac{1}{x+2}=0$$ 13. 解易错分式方程（含增根判定）：$$\frac{x}{x-2}-\frac{2}{x-2}=0$$ 14. 解稍复杂分式方程：$$\frac{2}{x+1}=\frac{3}{x-1}$$ 15. 根据方程解的性质求值：已知分式方程$$\frac{1}{x-1}=\frac{k}{x+1}$$的解为$$x=3$$，求$$k$$的值。 参考答案及解析 选择题：1.B（分母含未知数） 2.C（两个分母相乘为最简公分母） 3.C（分式方程必须验根） 4.B（交叉相乘求解并验根） 5.C（增根使分母为0） 填空题：6.未知数 7.整式 8.$$x=3$$ 9.增根 10.$$x=2(x+1)$$ 解答题：11.（1）去分母得$$2(x+1)=3x$$，解得$$x=2$$，验根成立；（2）去分母得$$2x=x-3$$，解得$$x=-3$$，验根成立。12.（1）去分母得$$1+x-1=2$$，解得$$x=2$$，验根成立；（2）去分母得$$3(x+2)-x=0$$，解得$$x=-3$$，验根成立。13.去分母得$$x-2=0$$，$$x=2$$，代入公分母为0，方程无解。14.去分母得$$2(x-1)=3(x+1)$$，解得$$x=-5$$，验根成立。15.将$$x=3$$代入方程，$$\frac{1}{2}=\frac{k}{4}$$，解得$$k=2$$。 易错总结：高频易错点：解完方程忘记验根，直接写答案；去分母时，常数项漏乘最简公分母；无法准确判断增根；移项符号出错。解题口诀：去分母要全乘，解完必须验根，分母为零是增根，牢记分式方程无解、有解的判定方法。 定义： 像这样，分母中含未知数的方程叫作分式方程. 分式方程的概念 1 知识要点 判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 整式方程 分式方程 方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 不是未知数)． 知识点1 分式方程的概念 1.下列式子中，属于分式方程的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 4 2. 请利用式子1，， ，5组成一个分式方程： ________________________. （答案不唯一） 返回 举一反三 5 （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母 都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ 如何去分母 你能试着解这个分式方程吗？ 分式方程的解法 2 由于最简公分母为 x，于是将方程两边同乘 x，得 方程左边的值为 ，右边的值也是4，从而左边的值＝右边的值， 9 600 - 7 200 = 4x， 解得 x = 600. x = 600 是原分式方程的解吗？ 检验：将 x 用 600 代入原分式方程中， 因此 x = 600 是原分式方程的解. 解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同时乘最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法. 归纳总结 知识点2 分式方程的解法 3.化分式方程 为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母是 ( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 9 4.将分式方程 化为整式方程，正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 10 例1 解方程： 解 ：由于最简公分母为 x(x - 2)，于是将方程两边同乘 x(x - 2)，得 解得 x = -3. 检验：把 x 用 -3 代入原方程，方程左边的值为 因此， x = -3 是原分式方程的解. 典例精析 5x - 3(x - 2) = 0， 右边的值也是0， 从而左边的值＝右边的值， 解：由于最简公分母为 (x - 2)(x + 2)，于得将方程两边同乘 (x - 2)(x + 2)，得 x + 2 = 4， 解得 x = 2. x = 2 是原分式方程的解吗？ 例2 解方程： . 检验：将 x 用 2 代入原分式方程，方程左边的值为 ， 不存在这种数，因此 x = 2 不是原分式方程的解，从而原分式方程无解. 典例精析 5.［2024无锡中考］分式方程 的解是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 13 6.［2025怀化期末］若关于的分式方程的解是，则 ___. 1 返回 举一反三 14 想一想： 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解， 而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 真相揭秘：分式两边同乘不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程： 9 600 - 7 200 = 4x 两边同乘 x 当x=600时，x≠0 真相揭秘：分式两边同乘了等于 0 的式子，所得整式方程的解使分母为 0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解. x + 2 = 4 两边同乘(x-2)(x+2) 当x=2时，(x-2)(x+2)=0 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验． 怎样检验？ 这个整式方程的解是不是原分式方程的解呢？ 分式方程解的检验——必不可少的步骤 检验方法：把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于 0，那么它是原分式方程的一个解；如果它使最简公分母的值为 0，那么它不是原分式方程的解. 例3 解方程： 解：由于最简公分母为 3x - 2，于是将方程两边同乘 3x - 2，得 x + (-2) = 5(3x - 2)， 解得 x = . 经检验，x = 是原分式方程的解. 7.［教材P练习T 变式］解分式方程： （1）［2024广州中考］ ; 解：方程两边同乘，得，解得 ，检验：当 时，，所以原分式方程的解为 . （2）［2024南通中考］ ； 解：方程两边同乘，得，解得 ，检 验：当时，，所以原分式方程的解为 . 举一反三 20 （3） . 解：方程两边同乘 ， 得，解得，检验：当 时， ，所以原分式方程无解. 返回 举一反三 21 简记为：“一化二解三检验”. 第一步，求出最简公分母，将方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为一元一次方程； 第二步，解所得到的一元一次方程； 第三步，检验一元一次方程的解是否为原分式方程的解. 解可化为一元一次方程的分式方程的步骤如下： 归纳总结 用框图总结为： 可化为一元一次方程的分式方程 一元一次方程 方程两边同乘最简公分母 求解 x = a 检验 x = a 是分式 方程的解 x = a 不是分式 方程的解 当x = a时 最简公分母是 否为零？ 否 是 8. 小丽解分式方程 时，出现了错误，她 的解题过程如下： 解：去分母，得 ，（第一步） 解得 ，（第二步） 所以方程的解是 .（第三步） （1）小丽的解题过程从第____步开始出错； （2）小丽的解题过程缺少的步骤是______； 一 检验 举一反三 24 （3）请写出正确的解题过程. 解：去分母，得，解得 . 检验：当时，.所以原分式方程的解是 . 返回 举一反三 25 9.若关于的分式方程与方程的解相同，则 的值为 ( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 26 10. 已知关于的分式方程的解是非负数，则 的取 值范围是( ) C A. B. C.且 D.且 返回 举一反三 27 11. 对于实数，，定义一种新运算“ ”： ， 这里等式右边是实数运算.例如： .方程 的解是______. 返回 举一反三 28 12.解方程： （1） ; 解：方程两边同乘，得 ，解得 ，检验：当时， ，所以原分式方程的解 为 . （2） . 解：方程两边同乘，得，解得 .检 验：当时，.所以原分式方程的解为 . 返回 举一反三 29 分式 方程 误区 (1)去分母时，原方程的整式部分漏乘； 步骤 (去分母法) 一化(分式方程转化为整式方程)； 二解(整式方程)； 三检验(把解代入到最简公分母，看是否为零) (2)去分母后，分子是多项式时，没有添括号 (因分数线有括号的作用)； (3)忘记检验. 定义 分母中含未知数的方程叫作分式方程 课堂小结 谢谢观看 THANKS $