第2章 分式【章末复习】 课件 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件系统梳理了分式的概念、性质、运算、整数指数幂及分式方程等核心知识，通过“全章核心知识清单”分点整合知识点，结合“全章易错总结”明确关键易错点，帮助学生构建完整的分式知识网络。 其亮点在于设计分层练习与考点解析，从基础选择填空到综合计算、应用题，再到自主招生及竞赛题，培养学生运算能力与推理意识。如“先化简再求值”题目训练符号意识，分式方程应用题强化模型观念，助力学生巩固知识，教师可精准开展分层复习教学。

湘教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 小结与复习 第2章 分式 湘教版数学八年级上册 第2章 分式 全章复习练习题 一、全章核心知识清单 1. 分式的基本概念 形如$$\dfrac{A}{B}$$（$$A、B$$是整式，且$$B$$中含有未知数，$$B eq0$$）的式子叫做分式。分式有意义的条件：$$B eq0$$；分式值为0的条件：$$A=0$$且$$B eq0$$。 2. 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。公式：$$\dfrac{A}{B}=\dfrac{A\times C}{B\times C}=\dfrac{A\div C}{B\div C}(C eq0)$$，是分式约分、通分的依据。 3. 分式的乘除与乘方 乘法：$$\dfrac{A}{B}\cdot\dfrac{C}{D}=\dfrac{AC}{BD}$$；除法：$$\dfrac{A}{B}\div\dfrac{C}{D}=\dfrac{AD}{BC}$$；乘方：$$\left(\dfrac{A}{B}\right)^n=\dfrac{A^n}{B^n}$$。运算原则：先因式分解，再约分，后计算，结果化为最简分式。 4. 整数指数幂（全章计算基础） 零次幂：$$a^0=1(a eq0)$$；负整数指数幂：$$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}(a eq0)$$；所有正整数指数幂运算性质，对整数指数幂全部适用，结果统一化为正指数。 5. 分式方程及其应用 定义：分母含未知数的方程；解法：去分母化为一元一次方程，必须双重检验；应用：审、设、列、解、验、答，舍去增根与不符合实际的解。 二、基础过关选择题（每题3分，共30分） 1. 下列式子中，属于分式的是（） A. $$\dfrac{x}{2}$$ B. $$\dfrac{2}{x}$$ C. $$\dfrac{x+1}{3}$$ D. $$\dfrac{1}{2}x$$ 2. 分式$$\dfrac{x-2}{x+3}$$有意义的条件是（） A. $$x eq2$$ B. $$x eq-3$$ C. $$x=2$$ D. $$x=-3$$ 3. 分式$$\dfrac{x^2-1}{x-1}$$的值为0，则x的值为（） A. 1 B. -1 C. $$\pm1$$ D. 0 4. 下列分式变形正确的是（） A. $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+1}{b+1}$$ B. $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a^2}{b^2}$$ C. $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{ac}{bc}(c eq0)$$ D. $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a-1}{b-1}$$ 5. 计算$$\dfrac{2x}{y}\cdot\dfrac{y^2}{x^2}$$的结果是（） A.$$\dfrac{2y}{x}$$ B. $$\dfrac{x}{2y}$$ C. $$2xy$$ D. $$\dfrac{1}{2xy}$$ 6. 计算$$\left(-\dfrac{a^2}{b}\right)^3$$的结果是（） A. $$-\dfrac{a^6}{b^3}$$ B. $$\dfrac{a^6}{b^3}$$ C. $$-\dfrac{a^5}{b^3}$$ D. $$\dfrac{a^5}{b^3}$$ 7. 计算$$a^3\div a^5$$的结果是（） A. $$a^2$$ B. $$\dfrac{1}{a^2}$$ C. $$a^{-2}$$ D. $$-a^2$$ 8. 计算$$2^{-1}+3^0$$的结果是（） A. $$\dfrac{3}{2}$$ B. $$\dfrac{1}{2}$$ C. 1 D. 2 9. 分式方程$$\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2}{x}$$的解为（） A. $$x=1$$ B. $$x=2$$ C. $$x=-2$$ D. 无解 10. 解分式方程应用题必不可少的步骤是（） A. 化简分式 B. 双重检验 C. 去括号 D. 通分 三、基础填空（每题3分，共15分） 11. 化简：$$\dfrac{xy+y^2}{(x+y)^2}=$$________。 12. 计算：$$\left(\dfrac{2x^{-2}}{y}\right)^2=$$________（结果保留正指数）。 13. 若$$(x+1)^0=1$$，则x的取值范围是________。 14. 分式方程$$\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{3}{x}$$的最简公分母是________。 15. 一项工程，甲单独做15天完成，乙单独做x天完成，两人合作一天工作量为________。 四、计算化简题（每题6分，共30分） 16. $$\dfrac{x^2-4}{x^2+2x}\cdot\dfrac{x}{x-2}$$ 17. $$\dfrac{3a^2}{b^3}\div\dfrac{6a}{b^2}$$ 18. $$\left(\dfrac{-m^3}{n^2}\right)^2\div m^{-2}$$ 19. $$a^{-2}\cdot a^4\div a^{-1}$$ 20. 先化简，再求值：$$\left(\dfrac{x}{x-1}\right)^2\cdot\dfrac{x-1}{x}$$，其中$$x=2$$。 五、解分式方程（每题7分，共14分） 21. $$\dfrac{3}{x}=\dfrac{2}{x-1}$$ 22. $$\dfrac{1}{x-2}+3=\dfrac{x-1}{x-2}$$ 六、分式方程应用题（11分） 23. 某商店购进一批文具，第一批花费800元，第二批花费1000元，第二批单价比第一批贵1元，购进数量比第一批多20件，求第一批文具的单价。 七、全章参考答案与详细解析 （一）选择题 1.B（分母含未知数的式子为分式）； 2.B（分式有意义，分母$$x+3 eq0$$，即$$x eq-3$$）； 3.B（分子$$x^2-1=0$$得$$x=\pm1$$，分母$$x-1 eq0$$，舍去$$x=1$$）； 4.C（分式基本性质，同乘非零整式值不变）； 5.A（约分计算：$$\dfrac{2x\cdot y^2}{y\cdot x^2}=\dfrac{2y}{x}$$）； 6.A（负数奇次幂为负，分子分母分别乘方）； 7.B（$$a^{3-5}=a^{-2}=\dfrac{1}{a^2}$$）； 8.A（$$\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}$$）； 9.B（去分母解得$$x=2$$，检验成立）； 10.B（分式方程应用题必须双重检验）。 （二）填空题 11. $$\dfrac{y}{x+y}$$（因式分解后约分）； 12. $$\dfrac{4}{x^4y^2}$$； 13. $$x eq-1$$（零次幂底数不为0）； 14. $$x(x+1)$$； 15. $$\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{x}$$。 （三）计算化简题 16. 解：原式$$=\dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)}\cdot\dfrac{x}{x-2}=1$$。 17. 解：原式$$=\dfrac{3a^2}{b^3}\cdot\dfrac{b^2}{6a}=\dfrac{a}{2b}$$。 18. 解：原式$$=\dfrac{m^6}{n^4}\cdot m^2=\dfrac{m^8}{n^4}$$。 19. 解：原式$$=a^{-2+4+1}=a^3$$。 20. 解：原式$$=\dfrac{x^2}{(x-1)^2}\cdot\dfrac{x-1}{x}=\dfrac{x}{x-1}$$，代入$$x=2$$，原式$$=2$$。 （四）解分式方程 21. 解：去分母得：$$3(x-1)=2x$$，解得$$x=3$$，检验：$$x=3$$时分母不为0，方程解为$$x=3$$。 22. 解：去分母得：$$1+3(x-2)=x-1$$，解得$$x=2$$，检验：$$x=2$$时分母为0，是增根，方程无解。 （五）应用题 23. 解：设第一批文具单价为$$x$$元，则第二批单价为$$(x+1)$$元， 根据数量差列方程：$$\dfrac{1000}{x+1}-\dfrac{800}{x}=20$$， 去分母化简：$$1000x-800(x+1)=20x(x+1)$$， 整理得：$$x^2-9x+40=0$$，解得$$x_1=4，x_2=-5$$（舍去）， 检验：$$x=4$$是方程的解，符合实际。 答：第一批文具的单价为4元。 全章易错总结 1. 分式判断只看分母是否含未知数，与分子无关；分式为0必须同时满足分子为0、分母不为0。 2. 分式运算务必先因式分解、再约分，严禁直接拆分多项式约分。 3. 整数指数幂结果必须化为正指数，区分底数符号与指数符号的不同意义。 4. 解分式方程检验步骤不可省略，应用题需双重检验（方程解+实际意义）。 5. 乘方运算需给整体分子分母乘方，杜绝漏乘、少乘因式。 1. 分式的定义： 2. 分式有意义的条件： g ≠ 0 分式无意义的条件： g = 0 分式值为 0 的条件： f = 0 且 g ≠ 0 一、分式的概念及基本性质 设 f 和 g 都是多项式，其中 g 不为 0. 我们把 f 除以 g 的结果记作 ，称 是分式，其中 f 称为分子，g 称为分母. 即对于分式 ，有 分式的分子与分母都乘同一个不为0的多项式（或除以他们的一个不为0的公因式），所得分式与原分式相等. 3.分式的基本性质 分式的符号法则： 1. 分式的乘除法法则 分式的乘法 分式的除法 分式的乘方 2. 分式的加减 (1) 同分母分式相加减 ； (2) 异分母分式加减时需先通分化为同分母分式再加减. 这个相同的分母叫公分母. (确定最简公分母的方法：一般取各分母系数的最小公倍数与各分母各个因式的最高次幂的积为最简公分母) 二、分式的运算 三、整数指数幂 (a ≠ 0，m、n为正整数且m>n). ( a ≠ 0，n 为正整数). 2. 零次幂、负整数指数幂： 1. 同底数幂除法： 3. 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数： 0.00…01 n 个 0 1. 解分式方程的思路： 运用转化思想把分式方程去分母转化成一元一次方程求解. (3) 验：把一元一次方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，那么这个解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，即原分式方程无解； 2. 解分式方程的一般步骤： (1) 化：方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成一元一次方程； (2) 解：解这个一元一次方程； (4) 写解：写出原分式方程的解. 四、分式方程及其应用 3. 列分式方程解应用题的一般步骤： 1. 审清题意； 2. 找等量关系； 3. 设出未知数 4. 列出方程； 5. 解这个分式方程； 6. 检验解的合理性（包括两方面：①是否是分式方程的根； ②是否符合实际情况）； 7. 作答. 考点一 分式的有关概念 例1 如果分式 的值为 0，那么 x 的值为 . 【解析】根据分式值为 0 的条件：分子为 0 而分母不为 0，列出关于 x 的方程和不等式，求出 x 的值. 由题意可得 x2 - 1 = 0，且 x + 1 ≠ 0，解得 x = 1. 故答案为：1 1 考点二 分式的有关计算 例2 已知 x = 2，y = 10，求 的值. 【分析】一般应先化简分式，再代入字母值求值. 将 x = 2，y = 10 代入得 解：原式 = 原式 = 9 9 考点三 分式方程的解法 例3 解下列分式方程：        解：(1) 方程两边同乘最简公分母 (x + 1)(x - 1)，得 x + 1 + x - 1 = 0，解得 x = 0， 经检验，x = 0 是原分式方程的解. (2) 方程两边同乘最简公分母 (x + 1)，得 x - 4 = 2x + 2 - 3，解得 x = -3， 经检验，x = -3 是原分式方程的解． 经检验，x = 4 是原分式 方程的解.且符合题意 例4 某商店第一次用 600 元购进 2B 铅笔若干支，第二次又用 600 元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了 30 支. 求第一次每支铅笔的进价是多少元. 解：设第一次每支铅笔进价为 x 元，根据题意列方程，得 解得 x = 4. 答：第一次每支铅笔的进价为 4 元. 考点四 分式方程的实际应用 考点五 本章数学思想和解题方法 主元法 例5 已知 ，求 的值. 【分析】由已知可以变形为用 b 来表示 a 的形式， 得 ，代入约分即可求值. 解：因为 ，所以 . 所以 12 12 1. 在，，， 中，分式有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 考试考法 13 ABC 返回 考试考法 ② 考试考法 15 返回 考试考法 B 返回 考试考法 17 返回 x 考试考法 18 考试考法 19 返回 考试考法 20 考试考法 21 返回 考试考法 22 8. 叶绿素是高等植物和其他所有能进行光合作用的生物体含有的一类绿色色素，叶绿素分子的大小为0.2 μm～2 μm(1 μm＝10－6 m)，叶绿素分子包埋在叶绿体内的薄片中．将数据“0.2 μm”用科学记数法表示为(　　) A．2×10－7 m B．2×10－6 m C．2×10－5 m D．0.2×10－6 m A 返回 考试考法 23 返回 考试考法 24 返回 D a＜－1且a≠－3 考试考法 25 【点拨】方程两边同时乘(x－1)(x－2)，得x－2＋a(x－1)＝2(a＋1)，整理得(1＋a)x＝3a＋4.①当1＋a＝0，即a＝－1时，方程无解； 考试考法 26 返回 考试考法 27 返回 考试考法 28 14. 2025湖南省足球联赛(简称“湘超”)决赛在长沙市贺龙体育中心体育场举行，体育中心附近商店销售的文创产品也深受广大市民的喜爱．小明准备销售吉祥物“湘湘”和“超超”，已知“湘湘”的购进单价比“超超”的购进单价高20%，小明用3 000元购进“超超”的数量比用2 400元购进“湘湘”的数量多20件． (1)求“湘湘”和“超超”的购进单价． 考试考法 29 考试考法 (2)小明购进这两种吉祥物的运输费为200元，他决定将“湘湘”和“超超”的售价都定为70元/件，“湘湘”很受欢迎，很快就销售完了，当“超超”售出20件时，小明决定对剩余的“超超”降价销售．若小明售完这两种吉祥物后，总利润不低于560元，那么剩余的“超超”最低应打几折销售？ 考试考法 31 返回 考试考法 15. 如图，若为正整数，则表示 的值的点落在 ( ) B A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 返回 考试考法 33 16.定义一种运算：当时，；当 时， .若，则 的值是__. 返回 考试考法 34 53 返回 考试考法 35 分式 分式的定义及运算 分式的定义及有意义的条件等 分式方程 分式方程的应用 步骤 一审二找三设四列五解六检七答，尤其不要忘了检验解的合理性 类型 行程问题、工程问题、销售问题等 分式的运算及化简求值 分式方程的定义 分式方程的解法及求值检验问题 课堂小结 2.下列说法错误的是(　　 ) A．分式的值为零，则x的值为±1 B．根据分式的基本性质，等式＝成立 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 3．根据分式的性质，可以将分式M＝(m为整数)进行如下变形：M＝＝＝＝1－，其中m为整数． 结论①：依据变形结果可知，M的值可以为0； 结论②：若M的值为整数，则m的值有3个． 以上两个结论中正确的是________(填序号)． 【点拨】由化简过程可知，m－1≠0，m＋1≠0，所以m≠±1.所以M＝1－≠0；由题意可知，若M的值为整数且m为整数，则m＋1＝1或2或－1或－2，所以m＝0或1或－2或－3，又因为m≠±1，所以m＝0或－2或－3.所以①不对，②对． 4．已知a，b为实数，且ab＝1，a≠－1，设M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是(　　) A．M>N B．M＝N C．M<N D．无法确定 5．已知A为整式，若计算－的结果为，则A＝________． 6．计算： (1)＋·； 【解】原式＝＋·＝－＝. 【解】原式＝··(a＋b)(a－b)＝＝. (2)·÷. 7．先化简，再求值：(－)÷，其中x是不等式＜x－3的最小整数解． 【解】原式＝÷＝÷＝· ＝.　 解不等式＜x－3，得x＞4，则不等式的最小整数解为x＝5，当x＝5时，原式＝＝＝. 9．计算：|－|＋＋(2 026－)0. 【解】原式＝2＋9＋1＝12. 10．若点A，B位于数轴原点的两侧，它们所对应的数分别是－4，，且点A，B到原点的距离相等，则x的值是(　　) A．1 B．－2 C．8 D．－10 11．[成都市自主招生]已知关于x的分式方程－＝的解为正数，则a的取值范围为____________． 12.[南充市自主招生]当a＝____________________时，关于x的分式方程－＝无解． －1或－2或－ ②当1＋a≠0时，若x＝1，则a＝－，方程无解；若x＝2，则a＝－2，方程无解．综上，a＝－1或－或－2时，方程无解． 先将分式方程化成整式方程，然后分1＋a＝0和1＋a≠0两种情况进行讨论即可求解． 【解】去分母，得3x－(3x＋3)＝2x， 去括号，得3x－3x－3＝2x， 移项、合并同类项，得－2x＝3，解得x＝－. 检验：当x＝－时，3x＋3≠0， 所以原分式方程的解为x＝－. 13.解方程：－1＝. 【解】设“超超”的购进单价为x元/件，则“湘湘”的购进单价为(1＋20%)x元/件， 则－20＝，解得x＝50， 则(1＋20%)x＝(1＋20%)×50＝60. 所以“湘湘”的购进单价为60元/件，“超超”的购进单价为50元/件． 【解】设剩余的“超超”应打m折销售， (70－60)×＋(70－50)×20＋×－200≥560，整理得7m≥49，解得m≥7， 则剩余的“超超”最低应打七折销售． 17.[宁波市竞赛]已知a2－7a－1＝0，则3a2－14a＋的值为________． 【点拨】a2－7a－1＝0，移项得a2－7a＝1.易知a≠0，把a2－7a－1＝0两边同时除以a，可得a－7－＝0，所以a－＝7，所以3a2－14a＋＝(2a2－14a)＋＝2(a2－7a)＋＝2(a2－7a)＋＋2＝2×1＋72＋2＝53. $