2.4.3 整数指数幂的基本性质（课件）--2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦整数指数幂的基本性质，系统梳理正整数、零、负整数指数幂的运算法则。通过从正整数指数幂旧知导入，结合同底数幂除法与负指数定义推导性质，构建新旧知识的学习支架。 其亮点在于推导过程严谨培养推理意识，设置房间杀菌、正方体体积等实际问题发展应用意识，分层练习巩固运算能力。易错总结帮助学生规避错误，教师可借助系统资料提升教学效率，学生能夯实基础并学会用数学语言解决实际问题。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 湘教版（2024）数学八年级上册教学课件 第2章 分式 2.4.3 整数指数幂的基本性质 2026年8月7日 湘教版数学八年级上册2.4.3整数指数幂的基本性质练习题 核心知识点梳理 整数指数幂包含正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂，在底数$$a eq0$$的前提下，所有幂的运算性质对整数指数幂依然成立。1. 同底数幂乘法：$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$；2. 同底数幂除法：$$a^m\div a^n=a^{m-n}$$；3. 幂的乘方：$$(a^m)^n=a^{mn}$$；4. 积的乘方：$$(ab)^n=a^nb^n$$；5. 分式乘方：$$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$。其中m、n均为整数，运算结果需化为正指数幂形式，底数始终不为0。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知$$a eq0$$，下列运算正确的是（） A. $$a^2\cdot a^{-3}=a$$ B. $$a^{-2}\div a^3=a^{-5}$$ C. $$(a^{-1})^3=a^3$$ D. $$(ab)^2=ab^2$$ 2. 计算$$2^{-1}\times2^2$$的结果是（） A. 2 B. 4 C. $$\frac{1}{2}$$ D. 8 3. 化简$$(3a^{-2})^2$$的结果是（） A. $$9a^4$$ B. $$9a^{-4}$$ C. $$6a^{-4}$$ D. $$\frac{3}{a^4}$$ 4. 计算$$a^3\div a^{-1}(a eq0)$$的结果是（） A. $$a^2$$ B. $$a^{-3}$$ C. $$a^4$$ D. $$a^{-4}$$ 5. 化简$$\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$$的值为（） A. $$\frac{4}{9}$$ B. $$\frac{9}{4}$$ C. $$-\frac{4}{9}$$ D. $$-\frac{9}{4}$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 计算：$$a^{-1}\cdot a^5=$$________$$(a eq0)$$。 7. 计算：$$(x^{-2})^3=$$________$$(x eq0)$$。 8. 化简：$$2^3\div2^{-1}=$$________。 9. 计算：$$(-2a^{-3})^0=$$________$$(a eq0)$$。 10. 化简$$a^2b^{-3}=$$________（结果不含负指数）。 三、解答题（每题12分，共60分） 11. 基础整数指数幂运算：（1）$$3^2\times3^{-3}$$ （2）$$a^4\div a^{-2}\cdot a^0(a eq0)$$ 12. 含乘方的混合运算：（1）$$(2x^{-2}y)^3$$ （2）$$(a^{-3}b^2)^{-2}$$ 13. 综合化简（结果不含负整数指数）：$$x^2y^{-3}\cdot(x^{-1}y)^2$$ 14. 混合运算：$$4^{-1}+(2-\pi)^0-\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$$ 15. 先化简再求值：$$(a^2b^{-3})^2\cdot(a^{-1}b)^3$$，其中$$a=2，b=1$$。 参考答案及解析 选择题：1.B 2.A 3.B 4.C 5.B 填空题：6.$$a^4$$ 7.$$x^{-6}$$ 8.16 9.1 10.$$\frac{a^2}{b^3}$$ 解答题：11.（1）原式=$$3^{2-3}=3^{-1}=\frac{1}{3}$$；（2）原式=$$a^{4+2}\times1=a^6$$。12.（1）原式=$$8x^{-6}y^3=\frac{8y^3}{x^6}$$；（2）原式=$$a^6b^{-4}=\frac{a^6}{b^4}$$。13.原式=$$x^2y^{-3}\cdot x^{-2}y^2=y^{-1}=\frac{1}{y}$$。14.原式=$$\frac{1}{4}+1-4=-\frac{11}{4}$$。15.原式化简得$$ab^{-3}=\frac{a}{b^3}$$，代入$$a=2，b=1$$，结果为2。 易错总结：易错点集中在整数指数混合运算指数加减出错、积的乘方漏乘系数指数、结果保留负指数、零指数幂忽略底数非零条件。解题牢记：整数指数幂运算性质统一，指数加减细心，最终结果必须化为正指数分式形式。 整数指数幂的运算 1 计算：(1) a3·a－5； (2) a－3·a－5； (3) a0·a－5. 解：(1) a3·a－5 ＝ (2) a－3·a－5＝ (3) a0·a－5＝ 观察上式你有什么发现？ 猜想： am · an = am+n (a ≠ 0，m，n 都是整数). a3+(－5) a－3+(－5) a0+(－5) 设 a≠0，m，n 都是正整数，且 m > n. 由于 a 于是 ＝·＝·a 因此 am·a－n＝am－n＝am + (－n). ② 由于 m 个a n 个a (m－n)个a ＝a－(m－n) ＝a(－m)+n. 知识点 整数指数幂的运算法则 1.计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 4 ＝·＝a· 且 所以 a－m·an＝a(－m) + n . ③ 类似可得，当 m≤n 时，等式②③仍成立. 又由 可得 a a－m·a－n＝ ·＝ ＝＝a－(m + n) ＝a(－m) + (－n). 由上可知，引入负整数指数幂后， am · an = am+n (a≠0，mn≠0且m，n 都是整数). 仍然成立. ④ 2.计算： ( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 6 做一做 (1) 已知 a≠0，m，n 都是整数，填空： ① a0·an = 1×an = a( ) = a0 + ( )； ② am·a0 = am×1 =a( ) = am + ( )； (2)由(1)可猜测：当 a≠0，mn = 0 时，am·an = a( ). n m 0 n m+n 可以证明，引入零次幂后， am · an = am+n (a ≠ 0，mn = 0且 m，n 都是整数). 仍然成立. ⑤ 知识要点 由 ④⑤ 可得整数指数幂的基本性质1： am · an = am+n (a ≠ 0，m，n 都是整数). 我们已经知道，(am)n = amn，(ab)n = anbn，其中 m，n 都是正整数. 引入负整数指数幂后，当 a≠0，b≠0时，上述性质是否仍然成立？下面来进行研究. 由上可猜测：引入负整数指数幂后，当 a≠0，b≠0时，若 m，n 为整数且 mn≠0，则 (am)n = amn 和 (ab)n = an·bn 仍然成立. 数学上已经证明此猜测成立，并且此结论也适合 m，n 为整数且 mn = 0 的情形. 由此可得整数指数幂的基本性质2： (am)n = amn (a ≠ 0，m，n 都是整数). 以及整数指数幂的基本性质3： (ab)n = an·bn ( a≠0，b≠0， n 是整数). 知识要点 3.下列计算结果等于 的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 10 4.计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 11 例1 设 a≠0，b≠0，计算下列各式： (1) a7·a－3；　 (2) (a－3)－2； (3) (a－1b)－2. 解：(1) a7·a－3 (2) (a－3)－2 = a7 + (－3) = a(－3)×(－2) = a4. = a6. (3) (a－1b)－2 = a2b－2 = . 注意：最后结果一般不保留负指数，而写成分式形式. 典例精析 设 a≠0，b≠0，n 是整数，利用整数指数幂的基本性质2 和基本性质3 得 (a·b－1)n = an·(b－1)n = an·b－n ＝an·＝ . 因此 ＝ ( a≠0，b≠0， n 是整数). 知识要点 例2 计算下列各式： 5.计算： ___. 返回 举一反三 15 6.已知 ，则“★”代表的数是____. 返回 举一反三 16 例3 计算： (1)(x3y－2)2； (2) x2y－2 · (x－2y)3； 分析：先算幂的乘方，再算幂的乘除，最后将负整数指数幂化成正整数指数幂． 解：(1) 原式＝x6y－4 (2) 原式＝x2y－2·x－6y3＝x－4y 提示：计算结果一般需化为正整数指数幂的形式. (3)(3x2y－2)2÷(x－2y)3； (4)(3×10－5)3÷(3×10－6)2. (4) 原式＝(27×10－15)÷(9×10－12)＝3×10－3 ＝0.003. 解：(3) 原式＝9x4y－4÷(x－6y3)＝9x4y－4·x6y－3＝9x10y－7 例4 已知 a－m＝3，bn＝2，则 (a－mb－2n)－2＝____． 解析：(a－mb－2n)－2＝(a－m)－2·b4n ＝(a－m)－2(bn)4 ＝3－2×24 ＝ 方法总结：逆用幂的运算法则，把要求的代数式用已知的式子来表示是解题的关键． 例5 某房间空气中平局均每立方米含 3×106 个病菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行实验，发现 1 毫升这种杀菌剂可以杀死 2×105 个病菌，问要将长 10 m，宽 8 m，高 3 m 的长方体房间内的病菌全部都杀死，至少需要多少毫升这种杀菌剂？ 解：(10×8×3)×(3×106)÷(2×105) = (720×106)÷(2×105) = 360×10 = 3.6×103(毫升). 答：至少需要 3.6×103 毫升这种杀菌剂. 整数指数幂运算的实际应用 1 7. 阅读下面的解题过程： ① ② .③ 上述解题过程中，从步骤____（填序号）开始出错，请写出正确的解题 过程. ② 举一反三 21 解：正确的解题过程：原式 . 返回 举一反三 8.［教材例6变式］已知， ，计算下列各式： （1） ； 解：原式 . （2） ； 解：原式 . （3） ； 解：原式 . 举一反三 23 （4） ； 解：原式 . （5） ； 解：原式 . （6） . 解：原式 . 返回 举一反三 24 9.一块正方体铁块的棱长为 . （1）这块正方体铁块的体积是多少立方米（用科学记数法表示）？ 解： . 答：这块正方体铁块的体积是 . （2）如果有一种小正方体铁块的棱长为 ，那么需要多少块 这样的小正方体铁块才可以紧密地摆成棱长为 的大正方体铁块？ 解： ， （块）. 答：需要1 000块这样的小正方体铁块. 返回 举一反三 25 10.若，则 等于( ) D A.2 B.4 C. D. 返回 举一反三 26 11.下列运算中，正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 27 12. 在算式 中，要使得算式的结 果最小，“ ”里填入的运算符号可以是( ) D A. B.- C.× D. 返回 举一反三 28 13.在一个数学九宫格中，当处于同一横行，同一竖列，同一斜对角线 上的3个数之积都相等时称之为“积的九宫归位”.在如图所示的不完整九 宫格中，已填写了一些数或式子，为了完成“积的九宫归位”，则 的值 为____. 返回 举一反三 29 14.［教材习题 变式］计算： （1） ； 解：原式 . （2） . 解：原式 . 返回 举一反三 30 15.科学研究发现，一个水分子的质量大约是， 水中大 约有多少个水分子？已知一个水分子是由两个氢原子和一个氧原子所构 成的，一个氧原子的质量约为 ，一个氢原子的质量约 为多少千克？ 解：因为，所以 水中大约有 个水分子，因为一个水分子是由两 个氢原子和一个氧原子所构成的，一个氧原子的质量约为 ，所以一个氢原子的质量约为 . 返回 举一反三 31 am · an = am+n (a≠0，m，n 都是整数)； (am)n = amn (a≠0，m，n 都是整数)； (ab)n = anbn (a≠0，b≠0，n 是整数). 整数指数幂的运算公式： 1. 在应用各公式时，底数必须是相同的，指数可以是任意整数； 2. 注意负整数指数幂和零指数幂中，底数不为 0 的条件. 注意： 课堂小结 谢谢观看 THANKS $