4.4.2 对数函数的图象和性质（第2课时，新课拓展）（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦对数不等式四种基本类型的解法，通过回顾对数函数定义域、单调性等旧知，关联求定义域、判断单调区间等问题，搭建学习支架，引导学生从已有知识自然过渡到新内容。 其亮点是以等价转化思想为核心，通过分步骤讲解、典例分析及举一反三，培养学生数学思维（推理、运算）和数学语言表达能力。如含参数不等式分类讨论、换元法解二次型不等式，帮助学生规范解题规避易错点，教师可直接用于教学提升效率。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 4.4.2 对数函数的图象和性质（2） 4.4 对数函数 对数不等式四种基本类型的解法 学 习 目 标 1 2 3 学生能够精准掌握对数函数的定义域限制、单调性核心性质，理清底数对对数函数单调性的影响，熟练区分底数 (a>1)与 (0<a<1)两种情况下对数不等式的变形规则。 掌握基础对数不等式、复合型对数不等式的解题步骤，熟练解决含参数简单对数不等式问题，规范解题格式，规避真数大于0、单调性反转等常见易错点。 建立对数不等式与对数函数性质的关联思维，能够利用解对数不等式的方法求解对数型函数的定义域、单调区间，为判断函数奇偶性、分析函数值域与图像趋势提供运算支撑。 必须学会解对数不等式 知识讲解 互动探究 新课引入 同学们，在前续课程中，我们系统学习了对数函数的图像与核心性质，也掌握了对数的运算公式。大家会发现，我们研究对数型函数的所有问题，始终绕不开两个关键条件：一是真数必须大于0，这是函数有意义的前提；二是底数决定的单调性，这是我们分析函数增减、比较函数值大小的核心依据。 我们先来回顾几个基础问题：求函数的定义域，本质是求解不等式；判断对数型函数的单调区间，需要先通过不等式确定定义域，再结合对数函数单调性结合复合函数法则分析；甚至我们后续判断对数函数的奇偶性、比较对数值大小、求解函数值域，最终都会转化为解对数不等式的问题。 3 目标一： 方法导学 知识讲解 互动探究 新课引入 解对数不等式，第一步必须保证所有真数、底数满足对数有意义的条件；再根据底数范围，利用对数函数单调性去掉对数符号。 对数有意义条件：，要求 类型 1： 步骤 （增函数） （减函数） 1. 单调性判断 对数函数单调递增，不等号方向不变 对数函数单调递减，不等号方向反转 2. 联立条件 3. 解集 解不等式组，取交集 解不等式组，取交集 5 单调性 例1 定义域 结论 1.解 典例分析 牛刀小试 底数 ，单调递增，不等号不变： 定义域：，且 。 交集：。 单调性去对数符号，定义域是对数有意义的保障。 单调性 例2 定义域 结论 典例分析 牛刀小试 解析：因为函数在上是减函数， 所以 单调性去对数符号，定义域是对数有意义的保障。 2.不等式的解集为 又 综合 定义域 例3 增 典例分析 牛刀小试 不能直接去掉对数符号而忽略真数大于 0，尤其右边真数 2x-4>0，直接锁定 x>2，x<-1 的部分直接舍去； 底数含参数，必须分 a>1 和 0<a<1 讨论单调性，不等号方向会改变。 3.解关于 的不等式： 取交集得定义域：。 情况1： 单调递增 不等式等价于： 化简二次不等式： 或 结合前提 ，解集： 最终 例3 减 典例分析 牛刀小试 不能直接去掉对数符号而忽略真数大于 0，尤其右边真数 2x-4>0，直接锁定 x>2，x<-1 的部分直接舍去； 底数含参数，必须分 a>1 和 0<a<1 讨论单调性，不等号方向会改变。 3.解关于 的不等式： 情况2： 单调递减 不等式等价于： 化简二次不等式： 与 无交集，无解。 最终结论 ·当 时，不等式解集为 时，不等式无解。 增 例4 定义域 典例分析 牛刀小试 底数为变量x，千万不要漏掉底数约束： x>0,x≠1 2．分 x>1 和 0<x<1 ，单调性相反，不等号方向改变； 3．所有真数必须大于0，先求定义域，再解不等关系。 4. ①当 t单调递增原不等式等价 结合 ，得： 减 例4 典例分析 牛刀小试 底数为变量x，千万不要漏掉底数约束： x>0,x≠1 2．分 x>1 和 0<x<1 ，单调性相反，不等号方向改变； 3．所有真数必须大于0，先求定义域，再解不等关系。 4. ②当 单调递减，去掉对数不等号反转 条件 全部满足。得解集： 综合 举一反三 1. 底数 ，不等号不变：；定义域 ；交集得 2. 底数 ，单调递减，不等号反转：；但定义域 且 ；交集为空？检查：定义域 ，而解集 与之无交集，故 无解（）。注意：不能忽略定义域！ 举一反三 3. 底数 ，不等号不变：；定义域 或 ；取交集得 或 4. 底数 ，不等号反转： 或 ；定义域： 或 ；且 ；取交集得 （注意 与 矛盾） 举一反三 5.（提示：底数含参，需分类讨论） 底数 需满足 且 。当 时，不等号不变：；与 交集得 。 当 时，不等号反转：；结合 得 。 定义域： 且 恒成立。 最终交集：① 且 ；② 且 。 答案： 或 举一反三 6. [解] (1)由题意可得 解得. 所以原不等式的解集为. (2)当时，，解得，此时不等式无解. 当时，，解得，所以. 综上所述，原不等式的解集为{x|} (3)当时，由题意得 解得. 当时，由题意得 解得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为{x| < x < 4} 目标二： 方法导学 知识讲解 互动探究 新课引入 类型 2： 步骤 操作 （增函数） （减函数） 1. 常数化对数 ，原式化为： 2. 去对数（利用单调性） 比较真数 与 的大小，注意不等号方向 递增，方向不变： 递减，方向反转： 3. 联立定义域 真数必须大于 0 4. 解不等式组 取所有条件的交集 解 等价于 （因为 恒成立，所以 自动满足，但为保险可保留） 解 即 17 例1 解 典例分析 牛刀小试 底数 ，单调递减。 化常数：，原式变为 。 单调递减，不等号反转：。 定义域：。 交集：。 常数 可以是任意实数（正数、负数、0），化为 总是可行的，因为 恒成立。 步骤4中，当 时，由于 对任意实数 恒成立，所以条件 被 自动覆盖，可以省略。但初学阶段建议全部写上，避免遗漏。 最终解集必须写成区间形式，并检查是否满足原式定义域。 例2 典例分析 牛刀小试 常数 可以是任意实数（正数、负数、0），化为 总是可行的，因为 恒成立。 步骤4中，当 时，由于 对任意实数 恒成立，所以条件 被 自动覆盖，可以省略。但初学阶段建议全部写上，避免遗漏。 最终解集必须写成区间形式，并检查是否满足原式定义域。 举一反三 ，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 对数底数 ，分两种情况讨论： ① ， 单调递增 结合条件 ，得 ② ， 单调递减，不等号反向 结合条件 ，得 。 综合两种情况： 或 ，即 。 举一反三 2．函数 的定义域为 () A. C.(0,1] D.[0,1] 要使函数 有意义，需同时满足： 底数。对数函数单调递减： 联立：，即答案：B 举一反三 3. , 则 的元素个数是（ ） A. B. C. D. 解 求集合 把常数写成以2为底: , 单调递增: , 又, 求集合 绝对值不等式: 或 求（在实数集的补集） 求 ，都属于 元素个数为。 答案: 举一反三 4.不等式 的解集为______。 解 ，底数，对数单调递增。 等价于 ,，故恒成立，只需解: 令 ，则 ，。 解方程 : 二次函数开口向上，不等式解集: 。 ，。 还原 : 两边取以2为底对数: 解集: 目标三： 方法导学 知识讲解 互动探究 新课引入 类型 3：（a>0,a1) 步骤 操作内容 关键要点 1 利用换底公式化为同底 ，将不等式 化为： 通常取自然对数或常用对数，把底数不同的对数统一成同底形式 2 讨论 的范围（ 且 ） 根据 的正负决定不等号方向   ① 若 ，则 ，两边同乘正数 ，不等号不变： 乘正数，不等号方向不变   ② 若 ，则 ，两边同乘负数 ，不等号反转： 乘负数，不等号方向反转 3 解分式不等式 注意分母不为 ，且 4 与定义域取交集 最终解集必须满足所有真数大于0、底数大于0且不等于1 25 换底 例1 移项通分 不等式 解 典例分析 牛刀小试 ，因 ，两边同乘 不等号不变： , 。因 ，只需分母 。 换底公式变成倒数不等式，在去分母时，要考察正负，再去分母，转化为类型一。 情况1: 同为正 即: 取交集得: 情况2: 同为负.即:,取交集得: 例1 解 典例分析 牛刀小试 换底公式变成倒数不等式，在去分母时，要考察正负，再去分母，转化为类型一。 结合定义域取并集 情况1得 ，满足定义域（ 自动满足 ）。 情况2得 ，也满足定义域（不包含端点）。 最终答案 写成区间形式: 举一反三 1.若，那么，满足的条件是 () A. B. C. D. 解 方法一: 换底公式 由换底公式: ，条件，说明两个对数值均小于， 所以，，得到，。 不等式化为: ,两边同时除以正数: 与都是负数，倒数小的原数更大，故。 单调递增，。 举一反三 1.若，那么，满足的条件是 () A. B. C. D. 方法二: 图像速判 ，，所以底数，同理。 当底数，真数大于时，对数越小，底数越小。 。  目标四： 方法导学 知识讲解 互动探究 新课引入 类型 4： 步骤 操作 关键说明 1 确定定义域：x>0 所有对数不等式第一步，最终解集必须满足 2 换元：令 t=loga​x 原不等式转化为普通一元二次不等式：At2+Bt+C>0 3 解一元二次不等式 At2+Bt+C>0 求根、结合二次函数开口方向，得到 t 的取值范围，形式一般为 t<t1​ 或 t>t2​ 等 4 回代 t=loga​x，解对数不等式 分两种情况讨论底数a： ①若a>1，y=loga​x单调递增，不等号方向不变； ②若0<a<1，y=loga​x单调递减，不等号方向反转 5 求交集，写出最终解集 把步骤 4 得到x范围与定义域x>0取交集，写成区间或者集合形式 31 例1 典例分析 牛刀小试 定义域 令 ， 解得 或 ，单调递增 解集: 换元法简化结构，实现不等式的转型，最后再还原成对数不等式。一般象这种二次复合型，要解一个二次不等式和一个第二类型的对数不等式。 例1 典例分析 牛刀小试 解 定义域: , 令 得 或 解集: 写定义域: 换元: 令 ，把不等式变成一元二次不等式 解二次不等式, 得到 的范围 回代对数: , 对数递增: 不等号方向不变 , 对数递减: 不等号必须翻转. 写出 的解集 举一反三 1.关于的不等式的解集是___。 解: 定义域: 。 令 , 不等式变为 因式分解: 解得: 或 。 回代 （ 是以10为底，单调递增） 解集: 举一反三 2.解不等式 解 定义域 , 令 解得 单调递减, 不等号反向 目标五：小结 学海拾贝 四种基本类型小结 对数不等式四种基本题型小结 核心思想：等价转化。解对数不等式，优先考虑定义域，再借助对数函数单调性，把对数不等式转化为代数不等式；复杂结构用换元；拔高题型指对混合，两边取对数降次。 题型一：同底同结构型 两侧对数底数相同，两侧都为对数式。 （单调递增） （单调递减） 学海拾贝 题型二：常数化同底型 把常数改写为同底对数：，转化为题型一。 例: 。 题型三：换元二次型 解题步骤: 定义域: ； 换元: 令，化为普通二次不等式； 解二次不等式，求出的取值； 回代，利用对数单调性解。 辨析: ，前者是对结果整体平方，后者是真数平方。 小例: 。 学海拾贝 题型四：真数相同型 特点：两侧对数真数同为常数，底数均含变量。 前提条件: 且; 定义域强制约束: 核心方法：换底公式统一底数 原不等式等价于： 学海拾贝 分两种情况讨论 (由符号决定移项后不等号) 当，，两边同除以正数，不等号不变： 当，，两边同除以负数，不等号反转： 处理分式不等式：移项通分 ，转化整式不等式， 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $