4.4.2第2课时对数函数的图象和性质的应用-2026-2027学年高一上学期数学必修一课件人教A版

该高中数学课件聚焦对数函数的单调性、特殊点及反函数关系，通过“指数函数→对数函数”的思维导图构建知识脉络，以学习支架形式衔接前后知识点，系统呈现其性质应用。 其亮点在于以数学抽象、数学运算和直观想象为素养导向，通过典例解析、类题通法和定向训练展开教学。例如解对数不等式强调定义域与分类讨论，培养数学思维；求单调区间结合复合函数“同增异减”，提升逻辑推理。助力学生掌握解题方法，教师可高效实施教学。

第2课时　对数函数的图象和性质的应用 素养目标 思维导图 1.探索并了解对数函数的单调性与特殊点(数学抽象). 2.会用对数函数的性质解决简单的实际问题(数学运算). 3.知道对数函数y=log ax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1)(直观想象). 课堂合作探究 探究点一　解简单的对数不等式 【典例1】已知函数f(x)=loga(1-ax)(a>0,且a≠1).解关于x的不等式:loga(1-ax)>f(1). 【思维导引】注意对数函数的定义域,分类讨论,利用对数函数的单调性列不等式求解. 【解析】因为f(x)=loga(1-ax),所以f(1)=loga(1-a). 所以1-a>0.所以0<a<1. 所以不等式可化为loga(1-ax)>loga(1-a). 所以即所以0<x<1. 所以不等式的解集为(0,1). 【类题通法】对数不等式解法要点 (1)化为同底logaf(x)>logag(x); (2)根据a>1或0<a<1去掉对数符号,注意不等号方向; (3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)>0且g(x)>0. 【定向训练】 已知函数f(x)=log2(2x-1),则不等式f(x)<2的解集为(　　) A.(-∞,) B.(,) C.(-∞,) D.(,) 【解析】选D.由题意可知log2(2x-1)<2,则解得<x<, 即不等式f(x)<2的解集为(,). 探究点二　求对数函数的单调区间 【典例2】(1)函数f(x)=log2|x-2|在区间(2,+∞)上的单调性为(　　) A.先增后减　 B.先减后增 C.单调递增　 D.单调递减 (2)函数y=lg(-x2+2x+3)的单调递增区间是　　　　　.  【解析】(1)选C.当x>2时,函数f(x)=log2|x-2|=log2(x-2).又函数y=log2u是增函数,u=x-2在区间(2,+∞)上也是增函数,故f(x)=log2|x-2|在区间(2,+∞)上单调递增. (2)由-x2+2x+3>0得-1<x<3. 设u(x)=-x2+2x+3,则u(x)在区间(-1,1]上单调递增,在区间[1,3)上单调递减. 所以函数y=lg (-x2+2x+3)的单调递增区间是(-1,1]. 答案:(-1,1] 【类题通法】求复合函数的单调性的两个要点 (1)单调区间必须是定义域的子集,哪怕一个端点都不能超出定义域. (2)f(x),g(x)单调性相同,则f(g(x))为增函数;f(x),g(x)单调性相异,则f(g(x))为减函数,简称“同增异减”. 提醒:求单调区间要先求函数的定义域. 【定向训练】 1.函数f(x)=lg (x+1)+lg (3-x)的单调递增区间是　　　　　.  【解析】由,得-1<x<3,则函数f(x)的定义域为(-1,3), f(x)=lg (x+1)+lg (3-x)=lg (x+1)(3-x)=lg (-x2+2x+3),令μ=-x2+2x+3,在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,又y=lg μ在定义域上是增函数,所以函数f(x)=lg(x+1)+lg(3-x)的单调递增区间是(-1,1). 答案:(-1,1) 【题后反思】求单调区间,别忽视定义域,如本题先求出函数的定义域,再根据对数函数及复合函数的单调性求解. 2.已知函数f(x)=loga(ax2-2x+4)(a>0,且a≠1)在区间(,3)上单调递增,则a的取值范围是 　　　　　　　　.  【解析】(1)当a>1时,令t=ax2-2x+4,则由题意可得函数t在区间(,3)上单调递增,且t>0 ,故有,解得a≥2; (2)当0<a<1时,则由题意可得函数t在区间(,3)上单调递减,且t>0,故有, 解得≤a≤,综合(1)(2)可得a≥2或≤a≤. 答案:[,]∪[2,+∞) 探究点三　对数函数性质的综合应用 【典例3】(规范解答) (13分)已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x),其中常数a>0,a≠1. (1)若a=2,求不等式2f(x)>g(x)+1的解集; (2)若0<x<1,试比较A=|f(x)|与B=|g(x)|的大小. 【思维导引】(1)利用对数函数的性质及对数运算计算即可; (2)分类讨论a的取值范围,结合对数函数的单调性及作差法比较大小即可. 【解析】(1)当a=2时,f(x)=log2(1+x),g(x)=log2(1-x),易知⇒x∈(-1,1), ……………………1分 所以2f(x)=log2(1+x)2,g(x)+1=log22(1-x), 则不等式等价于log2(1+x)2>log22(1-x)⇒(1+x)2>2(1-x), ……………………2分 即x2+4x-1>0,解得x>-2或x<--2,……………………4分 结合定义域x∈(-1,1)知不等式的解集为(-2,1); ……………………5分 (2)易知当0<x<1时,1+x>1>1-x>0,……………………6分 若a>1,则loga(1+x)>0,loga(1-x)<0,所以A=loga(1+x),B=-loga(1-x), 则A-B=loga(1-x2)<loga1=0,即A<B;……………………8分 若1>a>0,则loga(1+x)<0,loga(1-x)>0,……………………10分 所以A=-loga(1+x),B=loga(1-x),则A-B=-loga(1-x2)=(1-x2)<1=0,即A<B; ………………………………………………12分 综上所述:A<B. ……………………13分 【定向训练】 已知函数f(x)=(4x-1). (1)求f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的单调性; (3)求f(x)在区间[,2]上的值域. 【解析】(1)由f(x)=(4x-1),得4x-1>0,解得x>0,所以定义域为(0,+∞); (2)令t=4x-1,由题意可得t在(0,+∞)上为增函数,且y=t为减函数, 所以f(x)=(4x-1)在(0,+∞)上为减函数; (3)由(2)知函数单调递减, 因为f()=(-1)=0,f(2)=(42-1)=15,所以f(x)在区间[,2]上的值域为[15,0]. 课堂练习 1.函数f(x)=loga(x+2)(0<a<1)的图象必不过 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选A.因为f(x)=loga(x+2)(0<a<1), 所以其图象如下. √ 2.已知函数f(x)=1+lox(1≤x≤8),则函数f(x)的最小值为(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 【解析】选A.函数f(x)=1+lox(1≤x≤8)是减函数,所以f(x)的最小值为f(8)=1+lo8=1-3=-2. √ 3.若loga<1(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是(　　) A.(0,) B.(0,)∪(1,+∞) C.(1,+∞) D.(0,1) 【解析】选B.当a>1时,loga<0<1,成立.当0<a<1时,y=logax为减函数. 由loga<1=logaa,得0<a<.综上所述,0<a<或a>1. √ 4.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,其图象经过点(,),则a=　 　.  【解析】由题意得f(x)=logax(a>0且a≠1,x>0), 因为f(x)的图象过点(,),所以loga=,所以=,所以a2=2, 所以a=(负值舍去). 答案: 5.设函数f(x)=log2(ax-bx),且f(1)=1,f(2)=log212. (1)求a,b的值. (2)当x∈[1,3]时,求f(x)的最大值. 【解析】(1)由得 所以即所以a=4,b=2. (2)由(1)知f(x)=log2(4x-2x),设t=2x,因为x∈[1,3],所以t∈[2,8]. 令u=4x-2x=t2-t=(t-)2-,所以当t=8,即x=3时,umax=56.故f(x)的最大值为log256. 谢 谢 $