1.3充分条件与必要条件-2027届高考数学一轮复习基础练

**基本信息** 高中数学一轮复习专项训练，聚焦充分条件与必要条件，以集合关系为核心工具，构建“定义-判定-技法-考法”四维方法体系，培养逻辑推理与数学表达素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心定义与判定|2表格（四种条件关系/记忆口诀）|集合包含关系对应逻辑关系，“小推大”等口诀简化判定|从充分/必要条件概念出发，通过集合视角建立逻辑关系判定框架| |解题技法|3类方法（定义法/集合法/等价转化法）|含参问题四步策略（转化集合-确定包含-列不等式-验端点）|从基础判断到复杂含参问题，实现方法阶梯式迁移| |高考考法与易错提醒|3类高频题型+4个易错点|双向验证避免方向忽略，端点检验突破含参难点|结合高考命题趋势，通过易错点分析强化逻辑严谨性|

知识点3：充分条件与必要条件 一、核心定义 1. 充分条件与必要条件的基本关系 若 ，则称 是 的充分条件， 是 的必要条件。 理解要点： · 充分条件： 成立，足以推出 成立，即 是 的充分条件。 · 必要条件： 是 的必要条件，意味着 成立，必须先有 成立；或者说，没有 就没有 。 2. 四种条件关系的判定 设 对应的对象组成集合 ， 对应的对象组成集合 ，则条件关系与集合包含关系一一对应： 条件关系 逻辑关系 集合关系 是 的充分不必要条件 且 （ 是 的真子集） 是 的必要不充分条件 且 （ 是 的真子集） 是 的充要条件 是 的既不充分也不必要条件 且 、 互不包含 3. 简化记忆 条件关系 记忆口诀 充分不必要条件 小推大： 的范围小， 的范围大，小范围能推出大范围 必要不充分条件 大推小： 的范围大， 的范围小，大范围不能推出小范围 充要条件 范围相等： 和 的范围完全一致 既不充分也不必要条件 范围交叉： 和 的范围互不包含 二、集合视角下的理解 利用集合的包含关系来理解条件关系，是高考中最常用的解题方法。 核心思想：将命题 和 转化为集合 和 ，通过比较集合的包含关系来判断条件关系。 判断步骤： 1. 写出命题 和 对应的集合 和 。 1. 判断 与 的包含关系。 1. 根据集合关系得出条件关系。 三、解题技法 1. 求充分条件与必要条件的方法 · 求 的充分条件 ：即求使 成立的条件 ，也就是 。 · 求 的必要条件 ：即求以 为条件可以推出的结论 ，也就是 。 2. 判断充要关系的常用方法 方法 说明 定义法 直接判断 和 是否成立 集合法 转化为集合的包含关系进行判断 等价转化法 将原命题转化为等价命题进行判断 3. 含参问题的处理策略 含参问题通常需要利用集合的包含关系，建立关于参数的等式或不等式，然后求解参数的值或取值范围。 关键步骤： 1. 将命题转化为集合。 1. 根据条件关系确定集合的包含关系。 1. 列出关于参数的不等式（组）或方程。 1. 求解参数范围（注意端点值的检验）。 四、高考高频考法与易错提醒 1. 高考常见题型 题型 说明 充分条件与必要条件的判断 直接判断 是 的什么条件，占比最高 含参问题 已知条件关系，求参数的值或取值范围 充要条件的证明 证明 ，需双向证明 2. 易错提醒 易错点 说明 对策 混淆充分与必要 将充分条件与必要条件记反 牢记口诀：， 充分 必要 忽略方向性 判断时只考虑一个方向 双向判断，两个方向都要验证 端点值误判 含参问题中端点值能否取等号 逐一代入检验，验证是否满足条件关系 集合关系混淆 真子集与子集关系混淆 充分不必要对应真子集，充分对应子集 五、高频考点速记 1. 判断口诀 小推大是充分，大推小是必要；相等是充要，无关是既不充分也不必要。 2. 经典句式 命题形式 是 的什么条件 且 充分不必要条件 且 必要不充分条件 充要条件 且 既不充分也不必要条件 六、本考点一句话总结 ， 充分 必要；小推大充分，大推小必要；双向成立是充要，互不包含是无关。 实战演练 一、单选题 1.“是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.已知向量 ，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 4.已知 为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.在 中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.已知 ，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7., 是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8.设为实数，甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 二、多选题 9.下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C. “且”是“”的充要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 10.下列命题中，是的充分条件的是（ ） A. 若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为无理数，则为无理数 11.若，则成立的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12.设为实数，则“”是“”的______条件。 13.已知，，且是的充分不必要条件，则的取值范围为______。 14.设，，若是的必要条件，则正实数的取值范围是______。 四、解答题 15.设集合，，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值。 16.解决下列问题： (1) ；。则是成立的什么条件？ (2) ；，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围。 17.已知集合，。 (1) 若，求； (2) 若“”是“”的既不充分也不必要条件，求的取值范围。 18.已知集合，。 (1) 当时，求，； (2) 设，，若是的必要不充分条件，求的取值范围。 19.设集合，，。 (1) 若，求，； (2) 若是的充分不必要条件，求实数的取值范围。 参考答案 一、单选题 1. 答案：D 解析： 等腰直角三角形与等边三角形是互斥的图形类别（等腰直角三角形是顶角为直角的等腰三角形，而等边三角形三边相等且三角均为60°），因此“是等腰直角三角形”既不能推出“是等边三角形”，也不能被其推出，故为既不充分也不必要条件。 2. 答案：B 解析： 等价于 ，即 ，但无法推出方向相同，因此不能推出 。反之，若 ，则必有 。故“”是“”的必要不充分条件。 3. 答案：B 解析： 要找 的充分不必要条件，即找一个条件 ，使得 ，但 。 A： 是 的必要不充分条件（因为 可推出 ，但反之不成立）。 B： 可推出 ，但 不能推出 （如 ），故为充分不必要条件。 C： 与 互不包含。 D： 是 的必要不充分条件。 故选B。 4. 答案：D 解析： 取 ，此时 ，但 ，故充分性不成立； 取 ，此时 ，但 ，故必要性不成立。 所以甲是乙的既不充分也不必要条件。 5. 答案：C 解析： 在 中，，且余弦函数在 上单调递减，正弦函数在 上先增后减。 （余弦单调递减）， 在 上等价于 （当 时正弦递增，当 时， 仍可推出 ，反之亦然）。 故 ，为充要条件。 6. 答案：C 解析： 已知 ，即 与 同号。 令 ，则 ，当且仅当 即 时取等号。 因此 等价于 。 故“”与“”互为充要条件。 7. 答案：A 解析： 由题意， ，是无穷数列， 验证充分性： 当存在常数，使时， ，， 显然成立， 验证必要性： 当，时，此时满足 假设存在常数，使成立， 当时，，， 此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”， 但不存在这样的固定常数， 当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立， “存在常数，使”是“”的充分不必要条件。 8. 答案：D 解析： 充分性：若甲（）成立，乙（）不一定成立。 如 此时 ，但 ，所以甲不是乙的充分条件。 必要性：若乙（）成立，甲（）不一定成立。 如 ，此时 ，但 ，所以甲不是乙的必要条件。 综上，甲是乙的既不充分也不必要条件。 二、多选题 9. 答案：ABD 解析： A：，但 可推出 或 ，故 ，故为充分不必要条件，正确。 B：二次方程有一正根一负根的充要条件是两根之积 且判别式 ，当 时判别式恒正，故 是充要条件，正确。 C： 且 可推出 ，但反之不成立（如 ），故不是充要条件，错误。 D： 不能推出 （ 时 ），但 可推出 ，故为必要不充分条件，正确。 10. 答案：AC 解析： 是 的充分条件即 。 A：四边形为菱形 对角线互相垂直（菱形对角线互相垂直），正确。 B： 或 ，不能推出 ，错误。 C：，正确。 D： 为无理数， 可能为有理数（如 ），错误。 11. 答案：AC 解析： 要找 的充分不必要条件，即找 使 但 。 A：，故 ，但 不能推出 （如 ， 成立但 不成立），故为充分不必要条件。 B： 等价于 ，不能推出 （如 ），故不是充分条件。 C： 要求 ，故 成立，但 不能推出 （如 时对数无定义），故为充分不必要条件。 D： 等价于 ，故为充要条件，不是充分不必要条件。 三、填空题 12. 答案：必要不充分 解析： 的解集为 。 不能推出 （如 ），但 可推出 ，故为必要不充分条件。 13. 答案： 解析： 是 的充分不必要条件，即 且 。 ，，需 （此时 ），若 ，则 不是 的子集（ 但 ）。 故 的取值范围为 。 14. 答案： 解析： 等价于 且 ，解得 。 ，即 （）。 是 的必要条件，即 ，因此 的解集 是 解集 的子集。 需满足 且 ，即 。 四、解答题 15. 解： 是 的充要条件，即 。 ，。 由 得： 解得 。 经检验， 时 ，符合题意。 故正实数 的值为 。 16. 解： (1) ，即 ，解得 或 。 。 的解集为 ， 的解集为 。 不能推出 （如 满足 但不满足 ）， 也不能推出 （如 满足 但不满足 ），故 是 的既不充分也不必要条件。 (2) ，。 是 的充分不必要条件，即 的解集是 解集的真子集。 需满足： 且等号不能同时取到（否则 即为充要条件）。 解得 。 当 时，，符合；当 时，，符合。 故 的取值范围为 。 17. 解： (1) 。 当 时，，。 。 (2) “”是“”的既不充分也不必要条件，即 与 互不包含。 ，。 需 不是 的子集且 不是 的子集。 即 不能完全落在 内，且 不能完全落在 内。 的条件： 且 ，即 。 的条件： 且 ，即 且 ，无解。 因此 是 的子集当且仅当 ，此时 是 的充分条件（即 ），不是“既不充分也不必要”。 故需 不是 的子集，即 或 。 同时需保证 不是 的子集（自动成立，因为 长度大于 长度）。 故 的取值范围为 。 18. 解： (1) 当 时，，。 （因为 ），，即 。 (2) 是 的必要不充分条件，即 且 ，等价于 且 。 ，， 恒成立。 需 ，即 且 ： 由 得 ，由 得 ，故 。 由 得 ，由 得 ，故 。 取交集得 。 同时需 ，即 不能恰好等于 ，而 是区间， 是两点集， 不可能等于 ，故自动成立。 因此 的取值范围为 。 19. 解： (1) 。 当 时，。 （即 ）。 ， 。 (2) 是 的充分不必要条件，即 且 。 ，（）。 需 是 的真子集，即： 解得 ，且等号不能同时取到（否则 即为充要条件）。 当 时，，，，符合。 当 时，，， 不是 的子集（因为 在 中但不在 中）。 故 的取值范围为 。 学科网（北京）股份有限公司 $