充分条件与必要条件专项练习-2025届高三数学一轮复习

充分条件与必要条件专项练习原卷版 姓名：___________班级：___________分数___________ 一、单选题 1．记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2．设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3．已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 6．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．已知直线：，：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知随机变量的分布列如下： 1 2 则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．下列说法正确的是（   ） A．至少有一个实数，使 B．“”是“”的充分不必要条件 C．命题“”的否定是假命题 D．“集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件 10．已知直线，和平面，，且，则下列条件中，是的充分不必要条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 三、填空题 11．命题“，”为真命题的充要条件是 . 12．已知，，则在下列关系①②③④中，能作为“”的必要不充分条件的是 （填正确的序号）. 13．已知命题，，且为真命题时的取值集合为．设为非空集合，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围为 ． 14．对于任意实数a，b，c，有以下命题： ①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件； ②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件； ③“（x﹣a）（x﹣b）＝0”是“x＝a”的充分条件； ④“a＜5”是“a＜3”的必要条件. 其中正确命题的序号是 . 四、解答题 15．已知幂函数在上单调递增，函数． （1）求m的值； （2）当时，记的值域分别为集合A，B，设，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围． （3）设，且在上单调递增，求实数k的取值范围． 16．已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 充分条件与必要条件专项练习解析版 姓名：___________班级：___________分数___________ 一、单选题 1．记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 2．设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 3．已知，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 4．若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 5．设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 6．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解命题“”为真命题时，即可根据真子集求解. 【详解】命题“”为真命题,则对恒成立，所以，故， 所以命题“”为真命题的充分不必要条件需要满足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合， 故选：D 7．已知直线：，：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行、充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】依题意，：，：， 若两直线平行，则， 解得或. 当时，：，：， 此时两直线重合，不符合. 当时，：，：，符合题意. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 8．已知随机变量的分布列如下： 1 2 则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用离散型随机变量的分布列的性质、期望和方差公式，结合充分条件必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意可知， 若，则，得， 故充分性满足； 若，则，解得或. 当时，，此时， 当时，，此时， 则或，故必要性不满足. 故选：A. 二、多选题 9．下列说法正确的是（   ） A．至少有一个实数，使 B．“”是“”的充分不必要条件 C．命题“”的否定是假命题 D．“集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【分析】由在实数范围内，可得A错误；举反例可得必要性不成立，可得B正确；由全称与特称命题的性质和二次函数的性质可得C错误；由集合中只有一个元素可得或，再由必要性可得D正确； 【详解】对于A，在实数范围内，，，故A错误； 对于B，若，则，充分性成立， 若，如，此时，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，命题“”的否定是， 由二次函数的性质可得开口向上，，所以恒成立，故C错误； 对于D，若集合中只有一个元素， 当时，；当时，可得， 所以必要性成立，故D正确； 故选：BD. 10．已知直线，和平面，，且，则下列条件中，是的充分不必要条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】结合命题的充分不必要条件：由线面关系可得到A错误；由线面垂直的性质和判定可推出B正确；由线面平行的性质和判定可推出C正确；由面面垂直的性质和判定可推出D正确. 【详解】A：若，，则直线，可能平行或异面，所以不能推出，故A错误； B：若，则直线m垂直于平面的每一条直线，又，所以成立， 但若成立，根据线面垂直的判定，还需在平面找一条与n相交的直线，且m不在平面内，故q不能推出p，故B正确； C：若，且，由面面平行的性质可知，成立；反之，由线面平行的判定可知当，不能推出，故C正确； D：若，且，由面面垂直的判定定理可知成立；反之，若，且，则直线n与平面可能成任意角度，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 11．命题“，”为真命题的充要条件是 . 【答案】 【分析】原命题等价于使，求在上的最大值即可. 【详解】原命题可写为“，”， 当时，随增大而增大，则时，取最大值为3，所以. 故答案为： 12．已知，，则在下列关系①②③④中，能作为“”的必要不充分条件的是 （填正确的序号）. 【答案】②③ 【分析】利用基本不等式可判断①；数形结合，作出的图象，结合不等式相应的几何意义判断②；利用放缩法说明，再用构造函数，利用导数知识说明，从而判断③；构造函数，求导判断单调性，数形结合，说明两命题之间的推理关系，判断④. 【详解】对于①，取，满足，但不满足， 即成立推不出， 由于，故， 而，故，当且仅当时取等号， 即成立可推出成立， 故不是“”的必要不充分条件； 对于②，作出函数的图象，如图曲线，即将的图像向右平移1个单位得到；    则（）表示几何意义为曲线在第一象限内和坐标轴围成的区域部分（不含坐标轴）， 则中相应的点所在区域即上述区域； 而表示的几何意义为直角三角形区域部分（不含坐标轴）， 显然直角三角形区域部分（不含坐标轴）对应集合为曲线在第一象限内和坐标轴围成的区域部分（不含坐标轴）相应集合的真子集， 即是的必要不充分条件， 对于③，由得，故，（）， 设，则， 则在上单调递减，且， 则存在，使得，即时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， 而，则在上恒成立， 即，故； 而当成立时，不妨取，成立， 但不成立，故是的必要不充分条件； 对于④，当时，设， 则，显然在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 又， 作出的大致图象如图：    由图象可知存在，使得， 故当时，只有唯一解， 若，则与条件不符； 即此时得不出， 即不是的必要条件， 故能作为“”的必要不充分条件的是②③， 故答案为：②③ 【点睛】关键点点睛：本题考查了必要条件的判断，实质还是考查导数的应用，难度较大，难点是选项③④的判断，解答时要注意利用放缩法结合构造函数判断③，利用构造函数，判断函数单调性，数形结合判断④. 13．已知命题，，且为真命题时的取值集合为．设为非空集合，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】化简命题，结合条件列不等式可求的范围. 【详解】依题意，关于的不等式恒成立， 所以，解得， 所以实数的取值的集合． 因为是的必要不充分条件， 所以为的真子集． 又为非空集合， 所以， 得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：. 14．对于任意实数a，b，c，有以下命题： ①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件； ②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件； ③“（x﹣a）（x﹣b）＝0”是“x＝a”的充分条件； ④“a＜5”是“a＜3”的必要条件. 其中正确命题的序号是 . 【答案】②④ 【分析】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断及不等式的性质，我们根据充要条件的定义对题目中的四个答案逐一进行分析即可得到答案. 【详解】解：∵①中“a＝b”⇒“ac＝bc”为真命题， 但当c＝0时，“ac＝bc”⇒“a＝b”为假命题， 故“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故①为假命题； ∵②中“a+5是无理数”⇒“a是无理数”为真命题， “a是无理数”⇒“a+5是无理数”也为真命题， 故“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故②为真命题； ∵③“（x﹣a）（x﹣b）＝0”是“x＝a”的必要条件，故③为假命题； ∵④中{a|a＜3}比{a|a＜5}范围小 ，故“a＜5”是“a＜3”的必要条件，故④为真命题. 故真命题的个数为2 故答案为：②④ 四、解答题 15．已知幂函数在上单调递增，函数． （1）求m的值； （2）当时，记的值域分别为集合A，B，设，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围． （3）设，且在上单调递增，求实数k的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由幂函数的定义，再结合单调性即得解. （2）求解，的值域，得到集合，，转化命题是成立的必要条件为，列出不等关系，即得解. （3）由（1）可得，根据二次函数的性质，分类讨论和两种情况，取并集即可得解. 【详解】（1）由幂函数的定义得：，或， 当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去； 当时，在上单调递增，符合题意； 综上可知：. （2）由（1）得：， 当时，，即， 当时，，即， 由命题是成立的必要条件，则，显然，则，即， 所以实数k的取值范围为：. （3）由（1）可得，二次函数的开口向上，对称轴为， 要使在上单调递增，如图所示：   或   即或，解得：或. 所以实数k的取值范围为： 【点睛】关键点点睛：本题考查幂函数的定义及性质，必要条件的应用，已知函数的单调性求参数，理解是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集是解题的关键，考查学生的分析试题能力与分类讨论思想，及数形结合思想，属于较难题. 16．已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)存在，. 【分析】（1）化简集合N，求出其补集，由列出不等式组求解即可； （2）根据必要不充分条件转化为，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）由题意，，所以或， 因为，所以或， 解得或， 所以实数m的取值范围是或. （2）假设存在实数m，使得是的必要不充分条件， 则，即， 则，解得， 故存在实数使得是的必要不充分条件. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$