4.1 整式 同步讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“整式”核心知识点，系统梳理整式（含单项式与多项式）的概念及关系，以“整式—单项式—多项式”为学习支架，明确单项式的系数与次数、多项式的项数与次数等关键要素。 通过“解题知识+典例+变式”设计，强化抽象能力（数学眼光），典例解析培养推理意识（数学思维），题型分类助学生用数学语言精准表达。课中辅助教师分层教学，课后过关验收可帮助学生查漏补缺，巩固知识。

第4章 4.1 整式 内 容 导 航 题型1 整式 题型2 单项式 题型3 多项式 考 点 演 练 题型1 整式 解｜题｜知｜识 （1）概念：单项式和多项式统称为整式． 他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数． （2）规律方法总结： ①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字． ②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论． 【典例1】在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥8y2+2x﹣1中，整式个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：由整式是多项式与单项式的统称， 故可得整式的有①；②；③；⑥8y2+2x﹣1，共4个； 故选：C． 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．有理数包括整数、分数和小数 B．3.78万精确到百分位 C．属于整式 D．若a＜0，则|﹣a|＝a 【答案】C 【解答】解：A、有理数包括整数和分数，故此选项不符合题意； B、3.78万精确到百位，故此选项不符合题意； C、属于整式，故此选项符合题意； D、若a＜0，则|﹣a|＝﹣a，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】代数式，3x﹣2y，，，，﹣1中，整式的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C． 【解答】解：式子3x﹣2y，，，，﹣1，符合整式的定义，是整式； 式子分母中含有字母，不是整式． 故整式有5个． 故选：C． 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．整式就是多项式 B．π是单项式 C．x4+2x3是七次二项式 D．是单项式 【答案】B 【解答】解：A、根据整式的概念可知，单项式和多项式统称为整式，故A错误； B、π是单项式，故B正确； C、x4+2x3是四次二项式，故C错误； D、是多项式，故D错误． 故选：B． 【变式4】下列语句判断正确的是（　　） A．2x2y的系数是3 B．2x2y的指数是2 C．2x2y是单项式 D．2x2y是2次单项式 【答案】C 【解答】解：A、2x2y的系数是2，错误； B、2x2y的次数是3，错误； C、正确； D、2x2y是3次单项式，错误． 故选：C． 【变式5】在代数式x﹣y，3a，a2﹣y，，xyz，，中有（　　） A．5个整式 B．4个单项式，3个多项式 C．6个整式，4个单项式 D．6个整式，单项式与多项式个数相同 【答案】D 【解答】解：单项式有：3a，，xyz，共3个．多项式有x﹣y，a2﹣y，共3个，所以整式有6个． 故选：D． 题型2 单项式 解｜题｜知｜识 （1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义． （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 【典例1】单项式的系数、次数分别是（　　） A．﹣1，4 B．，4 C．，4 D．，3 【答案】B 【解答】解：单项式的系数和次数分别是：，4． 故选：B． 【变式1】下列关于单项式的说法中，正确的是（　　） A．系数是﹣3，次数是2 B．系数是﹣3，次数是3 C．系数是，次数是2 D．系数是，次数是3 【答案】D 【解答】解：单项式的系数是，次数是3， 故D正确． 故选：D． 【变式2】代数式1﹣a，，0，，3（m2n+1），，，中，单项式的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B． 【解答】解：式子0，，，，符合单项式的定义，是单项式； 式子分母中含有字母，不是单项式； 式子1﹣a，3（m2n+1），是多项式． 故单项式有4个． 故选：B． 【变式3】单项式﹣4a2b4的系数和次数分别是（　　） A．2和4 B．﹣4和4 C．﹣4和2 D．﹣4和6 【答案】D． 【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式﹣4a2b4的系数与次数分别是﹣4，6． 故选：D． 【变式4】试写出一个含有字母x，y的三次单项式，其系数为﹣3，　﹣3x2y（答案不唯一）　 （写一个即可）． 【答案】﹣3x2y（答案不唯一）． 【解答】解：试写出一个含有字母x，y的三次单项式，其系数为﹣3，则这个单项式为：﹣3x2y， 故答案为：﹣3x2y（答案不唯一）． 【变式5】下列代数式中，属于单项式的是（　　） A．a+1 B． C．﹣2a D． 【答案】C． 【解答】解：A．a+1是多项式； B．分母中含有字母，不是单项式； C．﹣2a是单项式； D．是多项式． 故选：C． 题型3 多项式 解｜题｜知｜识 （1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．的系数为 B．﹣22xy2z次数是6 C．x2﹣4x+5是一个二次三项式 D．2x2﹣3x+1一次项的系数为3 【答案】C 【解答】解：A、的系数为，故本选项不符合题意； B、﹣22xy2z次数是4，故本选项不符合题意； C、x2﹣4x+5是一个二次三项式，故本选项符合题意； D、2x2﹣3x+1一次项的系数为﹣3，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】下面说法正确的是（　　） A．2ab2的次数是2 B．的系数是3 C．﹣2x是单项式 D．x2+2xy是四次多项式 【答案】C 【解答】解：A、2ab2的次数是3，原说法错误，故此选项不符合题意； B、的系数是，原说法错误，故此选项不符合题意； C、﹣2x是单项式，原说法正确，故此选项符合题意； D、x2+2xy是二次多项式，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】多项式xy2+6xy﹣9的次数和常数项分别是（　　） A．3和﹣9 B．2和﹣9 C．3和9 D．2和9 【答案】A 【解答】解：最高次数为3，常数项为﹣9， ∴次数和常数项分别为3和﹣9． 故选：A． 【变式3】将多项式3xy3﹣x2y3﹣9y+x3按x的降幂排列的结果是（　　） A．x3﹣9y﹣x2y3+3xy3 B．x3﹣x2y3+3xy3﹣9y C．﹣9y+x3+3xy3﹣x2y3 D．﹣9y+3xy3﹣x2y3+x3 【答案】B． 【解答】解：多项式3xy3﹣x2y3﹣9y+x3按x的降幂排列：x3﹣x2y3+3xy3﹣9y． 故选：B． 【变式4】下列说法中，正确的个数有（　　） ①倒数等于本身的数是1；②a2+1一定是正数；③如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是非负数；④有理数分为正有理数和负有理数；⑤单项式﹣2πa2b的系数是﹣2；⑥多项式32a3+4a2﹣8的次数是3次． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：①倒数等于本身的数是1或﹣1，原说法错误； ②在a2+1中，a2≥0，所以a2+1＞0，一定是正数，说法正确； ③如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是非负数，说法正确； ④有理数分为正有理数，负有理数和0，原说法错误； ⑤单项式﹣2πa2b的系数是﹣2π，原说法错误； ⑥多项式32a3+4a2﹣8的次数是3次，说法正确； ∴说法正确的有②③⑥，共3个． 故选：B． 【变式5】当k＝ 　3　 时，多项式x2+（k﹣1）xy﹣3y2﹣2xy﹣5中不含xy项． 【答案】3 【解答】解：整理只含xy的项得：（k﹣3）xy， ∴k﹣3＝0，k＝3． 故答案为：3． 过 关 验 收 1. 给出下列各式：①2x2y；②﹣5b2；③；④0；⑤5x2；⑥；⑦；⑧y2+6x+9．其中，整式的个数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C． 【解答】解：式子2x2y，﹣5b2，0，，，，y2+6x+9，符合整式的定义，是整式； 式子分母中含有字母，不是整式． 故整式有7个． 故选：C． 2. 下列式子：x+3，5，，0，，﹣5x，x+0，c＝ab中，整式的个数是（　　） A．6 B．5 C．.4 D．.3 【答案】B 【解答】解：下列式子：x+3，5，，0，，﹣5x，x+0，c＝ab中， 是整式的为：x+3，，0，﹣5x，x+0， 共有5个， 故选：B． 3. 在式子a2+2，，ab2，，﹣8x，0中，整式有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【解答】解：整式有：a2+2，ab2，，﹣8x，0，共有5个． 故选：B． 4. 下列式子：x2+1，4，，，﹣5x，0，中，整式的个数是（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【解答】解：根据整式的定义，可以知道x2+1，，﹣5x，0属于整式，有4个， 故选：C． 5. 下列代数式中，是整式的有（　　） x，0.，0.1223334444…． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【解答】解：是单项式，也是整式，是多项式，也是整式． 故选：D． 6. 下列各式中，不是整式的是（　　） A．3a B．2x＝1 C．0 D．x+y 【答案】B 【解答】解：A、是单项式，则A是整式；故A正确 B、是方程，不是整式，故B错误； C、0是单项式，则C是整式，故C正确； D、是多项式，故D正确； 故选：B． 7. 下列说法正确的是（　　） A．整式都是单项式 B．一个代数式肯定是单项式 C．单项式和多项式都是整式 D．代数式就是整式 【答案】C 【解答】解：单项式和多项式统称整式，而一个代数式可以是整式，也可以是一个分式． 故选：C． 8. 单项式﹣2x2y的系数和次数分别是（　　） A．﹣2，3 B．﹣2，2 C．2，3 D．2，2 【答案】A 【解答】解：单项式﹣2x2y的系数是﹣2，次数是3， 故选：A． 9. 单项式πab2的次数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C． 【解答】解：根据单项式定义得：πab2的次数为：1+2＝3． 故选：C． 10. 体育课上我们经常练习垫排球，只要测量出排球的半径r，就可以根据公式求出排球的体积，整式的系数和次数分别为（　　） A． B． C．4π，3 D． 【答案】D 【解答】解：整式，故其系数和次数分别为． 故选：D． 11. 下列式子中，单项式有（　　） ①；②；③；④x3﹣2xy2+3；⑤24；⑥a． A．①③⑤⑥ B．②③⑤⑥ C．①⑤⑥ D．①④⑤⑥ 【答案】C 【解答】解：根据单项式定义逐项分析判断如下： ①中π是常数，故为数字与字母的乘积，是单项式，符合题意； ②含有加法运算，故为多项式，不是单项式，不符合题意； ③分母中含有字母x，故不是整式，也不是单项式，不符合题意； ④x3﹣2xy2+3含有减法和加法运算，故为多项式，不是单项式，不符合题意； ⑤24是常数，故是单项式，符合题意； ⑥a是单独字母，故是单项式，符合题意； 故选：C． 12. 在下列式子，﹣4x，，，0.81，中，单项式共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【解答】解：单项式有：，﹣4x，，0.81，共有4个． 故选：B． 13. 请写出一个含有字母a和b，且系数为﹣2，次数为4的单项式：　﹣2a3b（答案不唯一）　 ． 【答案】﹣2a3b（答案不唯一）． 【解答】解：一个含有字母a和b，且系数为﹣2，次数为4的单项式：﹣2a3b， 故答案为：﹣2a3b（答案不唯一）． 14. 多项式x|n|﹣（n+2）x+7是关于x的二次三项式，则n的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．3 【答案】A 【解答】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴|n|＝2， ∴n＝±2， 又∵﹣（n+2）≠0， ∴n≠﹣2， 综上所述，n＝2． 故选：A． 15. 下列说法中不正确的个数有（　　） ①1是绝对值最小的有理数； ②若a2＝b2，则a3＝b3； ③两个四次多项式的和一定是四次多项式； ④多项式x2﹣3kxy﹣3y2xy﹣8合并同类项后不含xy项，则k的值是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①0是绝对值最小的有理数，故①错误； ②若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，故②错误； ③两个两个四次多项式的和一定不高于四次，故③错误； ④由合并后不含xy项可知：﹣3k0，解得k，故④正确． 综上所述，错误的共有3个． 故选：C． 16. 请写出一个关于x的二次三项式x2+x+1（答案不唯一）　 ． 【答案】x2+x+1（答案不唯一）． 【解答】解：根据题意可知，关于x的二次三项式可以为：x2+x+1（答案不唯一）． 故答案为：x2+x+1（答案不唯一）． 17. 若多项式x2﹣2kxy+y2+6xy﹣6不含xy的项，则k＝　3　 ． 【答案】3 【解答】解：x2+（6﹣2k）xy+y2﹣6 令6﹣2k＝0， k＝3 故答案为：3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 4.1 整式 内 容 导 航 题型1 整式 题型2 单项式 题型3 多项式 考 点 演 练 题型1 整式 解｜题｜知｜识 （1）概念：单项式和多项式统称为整式． 他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数． （2）规律方法总结： ①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字． ②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论． 【典例1】在下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥8y2+2x﹣1中，整式个数有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．有理数包括整数、分数和小数 B．3.78万精确到百分位 C．属于整式 D．若a＜0，则|﹣a|＝a 【变式2】代数式，3x﹣2y，，，，﹣1中，整式的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．整式就是多项式 B．π是单项式 C．x4+2x3是七次二项式 D．是单项式 【变式4】下列语句判断正确的是（　　） A．2x2y的系数是3 B．2x2y的指数是2 C．2x2y是单项式 D．2x2y是2次单项式 【变式5】在代数式x﹣y，3a，a2﹣y，，xyz，，中有（　　） A．5个整式 B．4个单项式，3个多项式 C．6个整式，4个单项式 D．6个整式，单项式与多项式个数相同 题型2 单项式 解｜题｜知｜识 （1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义． （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 【典例1】单项式的系数、次数分别是（　　） A．﹣1，4 B．，4 C．，4 D．，3 【变式1】下列关于单项式的说法中，正确的是（　　） A．系数是﹣3，次数是2 B．系数是﹣3，次数是3 C．系数是，次数是2 D．系数是，次数是3 【变式2】代数式1﹣a，，0，，3（m2n+1），，，中，单项式的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3】单项式﹣4a2b4的系数和次数分别是（　　） A．2和4 B．﹣4和4 C．﹣4和2 D．﹣4和6 【变式4】试写出一个含有字母x，y的三次单项式，其系数为﹣3，　 　 （写一个即可）． 【变式5】下列代数式中，属于单项式的是（　　） A．a+1 B． C．﹣2a D． 题型3 多项式 解｜题｜知｜识 （1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．的系数为 B．﹣22xy2z次数是6 C．x2﹣4x+5是一个二次三项式 D．2x2﹣3x+1一次项的系数为3 【变式1】下面说法正确的是（　　） A．2ab2的次数是2 B．的系数是3 C．﹣2x是单项式 D．x2+2xy是四次多项式 【变式2】多项式xy2+6xy﹣9的次数和常数项分别是（　　） A．3和﹣9 B．2和﹣9 C．3和9 D．2和9 【变式3】将多项式3xy3﹣x2y3﹣9y+x3按x的降幂排列的结果是（　　） A．x3﹣9y﹣x2y3+3xy3 B．x3﹣x2y3+3xy3﹣9y C．﹣9y+x3+3xy3﹣x2y3 D．﹣9y+3xy3﹣x2y3+x3 【变式4】下列说法中，正确的个数有（　　） ①倒数等于本身的数是1；②a2+1一定是正数；③如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是非负数；④有理数分为正有理数和负有理数；⑤单项式﹣2πa2b的系数是﹣2；⑥多项式32a3+4a2﹣8的次数是3次． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式5】当k＝ 　 　 时，多项式x2+（k﹣1）xy﹣3y2﹣2xy﹣5中不含xy项． 过 关 验 收 1. 给出下列各式：①2x2y；②﹣5b2；③；④0；⑤5x2；⑥；⑦；⑧y2+6x+9．其中，整式的个数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2. 下列式子：x+3，5，，0，，﹣5x，x+0，c＝ab中，整式的个数是（　　） A．6 B．5 C．.4 D．.3 3. 在式子a2+2，，ab2，，﹣8x，0中，整式有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 4. 下列式子：x2+1，4，，，﹣5x，0，中，整式的个数是（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 5. 下列代数式中，是整式的有（　　） x，0.，0.1223334444…． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6. 下列各式中，不是整式的是（　　） A．3a B．2x＝1 C．0 D．x+y 7. 下列说法正确的是（　　） A．整式都是单项式 B．一个代数式肯定是单项式 C．单项式和多项式都是整式 D．代数式就是整式 8. 单项式﹣2x2y的系数和次数分别是（　　） A．﹣2，3 B．﹣2，2 C．2，3 D．2，2 9. 单项式πab2的次数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10. 体育课上我们经常练习垫排球，只要测量出排球的半径r，就可以根据公式求出排球的体积，整式的系数和次数分别为（　　） A． B． C．4π，3 D． 11. 下列式子中，单项式有（　　） ①；②；③；④x3﹣2xy2+3；⑤24；⑥a． A．①③⑤⑥ B．②③⑤⑥ C．①⑤⑥ D．①④⑤⑥ 12. 在下列式子，﹣4x，，，0.81，中，单项式共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 13. 请写出一个含有字母a和b，且系数为﹣2，次数为4的单项式：　 　 ． 14. 多项式x|n|﹣（n+2）x+7是关于x的二次三项式，则n的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．3 15. 下列说法中不正确的个数有（　　） ①1是绝对值最小的有理数； ②若a2＝b2，则a3＝b3； ③两个四次多项式的和一定是四次多项式； ④多项式x2﹣3kxy﹣3y2xy﹣8合并同类项后不含xy项，则k的值是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16. 请写出一个关于x的二次三项式 　 ． 17. 若多项式x2﹣2kxy+y2+6xy﹣6不含xy的项，则k＝　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $