4.1 整式（讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦整式核心知识点，系统梳理单项式（系数、次数）、多项式（项、次数、命名）及整式的定义与辨析，构建从基础概念到应用拓展的递进学习支架。 通过“特别提醒”突破π的处理、系数符号等难点，设计规律探究题培养抽象能力与创新意识，分层练习（基础、素养、迁移）兼顾不同水平。课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与表达能力。

第四章 整式的加减 4.1 整式 课标要点 1. 建立符号意识，掌握字母表示数、代数式、单项式与多项式等整式核心概念，能辨别同类项。 2. 熟练整式加减运算，会去括号、合并同类项，能化简整式并代入数值求值。 3. 借助整式表达实际数量关系，运用类比、化归思想解决简单代数与几何应用问题。 学习重难点 重点： 掌握单项式的系数、次数，多项式的项、常数项、次数等基础概念。 能根据实际情境列出单项式、多项式，并代入数值求代数式的值。 难点： 区分含 π、负号、分数形式的单项式系数，准确计算多项式次数。 知识点 单项式 由数与字母或字母与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个单独的字母也叫做单项式。 单项式的系数： 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 特别提醒 1. 单项式中只包含乘法、乘方运算，不包含加减运算，如果出现加减运算就不是单项式。例如3x + 2不是单项式，因为包含加法运算；而3x是单项式。 2. 分母中不能含有字母，分母含有字母的代数式属于分式，不是单项式。例如不是单项式，而是单项式，因为是数字系数，仅和字母x做乘法运算。 3. 单独的数字，例如5、-3.2、0都是单项式；单独的字母a、b也都是单项式。 随学随练 1．下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 2．在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． 4．a2b的系数是 _________，次数是 _________． 5．我们知道，半径为的球的表面积公式是，那么的系数是____． 知识点 多项式 多项式的定义： 几个单项式的和叫做多项式，其中每一个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 多项式的次数： 多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 多项式的命名： 一个多项式通常以“几次几项式”的形式命名，次数取多项式的次数，项数取单项式的个数。 例如是三次三项式，是二次二项式。 特别提醒 1. 多项式的次数不是所有项的次数相加，和单项式次数计算方法完全不同。例如3x² + 4x³ - y，最高次项是4x³，次数是3，所以这个多项式的次数是3，不是2+3+1=6。 2. 多项式中最高次项可能不止一项，例如2x³ + 3y³ - xy，x³和y³都是三次项，因此多项式次数依然是3，不需要相加。 3. 如果多项式中各项的次数都相同，叫做齐次多项式，例如x³+2x²y+2xy²+y³，每一项都是三次，就是三次齐次多项式。 随学随练 1．下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 2．多项式的次数是（     ） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．常数项是 4．下列各多项式中，是四次三项式的是（ ） A． B． C． D． 5．整式是________次________项式． 知识点 整式 整式的定义： 单项式和多项式统称为整式。 整式的判断方法总结： 1. 首先看是否是单项式或多项式：如果是，一定是整式； 2. 如果分母含有字母，一定不是整式； 特别提醒 1. 判断代数式是否为整式的核心：分母中是否含有字母，如果分母含有字母，一定不是整式，属于分式。例如不是整式，是整式，因为分母2是常数。 2. 区分单项式系数和次数：系数是数字因数，次数是字母指数和，不要混淆。例如-2³x²y，系数是-8，次数是2+1=3，很多同学会错把指数3算到次数里，得到5次，这是典型错误。 3. 多项式的项要带符号，计算项数的时候不要漏数常数项。例如2x - 3是二项式，常数项-3也是一项，不要只算一个项认为是一项式。 4. π是常数，不要当成字母：在计算系数和次数的时候，π属于系数部分，不参与次数计算，2πx的系数是2π，次数是1，不是2。 5. 系数为1或-1的时候，通常省略1不写，不要认为系数不存在或者是0：-ab的系数是-1，次数是2，不要错认为系数不存在或者次数是1。 随学随练 1．代数式，，，，中，是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．式子，，，，中，整式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．将式子填入相应的大括号中． 单项式：{              …}； 多项式：{              …}； 整式：{              …}． 4．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中多项式有________个，次数最高的多项式为________（请填写序号），整式有________个． 拓展 单项式规律探索 单形式规律问题，指的是题目仅给出一列数字、代数式、图形或坐标，要求探究其中隐藏的变化规律，写出第n项的通用表达式的一类规律探究问题。区别于多形式结合的规律题，单形式问题仅通过单一载体呈现变化，核心考查观察猜想、归纳验证的抽象逻辑思维能力，是数学规律探究类题型的基础考法。 按照呈现载体不同，单形式规律问题可以分为四大类：数字型单规律问题、代数式型单规律问题、图形型单规律问题、坐标点型单规律问题，四类问题的探究逻辑既有共通性，也有各自的特殊技巧。 活学活用 1．一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 2．按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（     ） A． B． C． D． 3．观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 4．一列单项式按以下规律排列：，，，，，，，，则第20个单项式是________． 5．有一列按照一定规律写出的单项式：0，，，，，…．这列单项式中的第25个单项式是__________． 拓展 多项式项数与次数的探究 多项式的核心概念是“几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，次数最高项的次数叫做多项式的次数”，围绕这个概念，结合参数设置探究规律，解决这类问题的关键是抓住“先定次数，再定项数”的探究顺序。 例如，已知多项式是一个三次三项式，求m的值。按照探究顺序，首先定次数：多项式的最高次数是3，现有项- (m-1) xy的次数是2，5x的次数是1，因此最高项只能是，它的次数为(m+2)，可得，解得； 再定项数：要满足三项式，说明所有项都必须存在，也就是不能有同类项合并之后项数减少，这里当时，第二项，多项式变成，变成了二次二项式，不满足要求，因此这个题没有符合要求的m。“几项式”要求合并同类项之后一共有几个项，才是几项式，所以必须保证所有非零项存在，才能满足项数要求。 活学活用 1．若是关于x的三次多项式，则代数式的值是（    ） A． B． C．或3 D．3 2．若关于x的多项式为二次三项式，则常数项是（   ） A． B．9 C． D．6 3．若关于x、y的多项式的次数是3，项数是2，则的值为_______． 4．已知关于，的多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的五次四项式，则的值为_________． 题型 判断代数式是否为单项式 解题贴士 1. 紧扣单项式定义：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式。 2. 牢记排除特征：如果代数式含有加减运算，或者分母中出现字母，一定不是单项式；例如(x + y)、都不是单项式。 3. 注意特殊情况：单独的常数（比如5、、0）、单独的字母（比如a、b）都是单项式；常数项的系数是它本身，次数为0。 ▌例1 下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． ▌例2．代数式，，，，，，中，单项式的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 ▌对点练1-1．下列式子不是单项式的是（   ） A． B． C． D．3.14 ▌对点练1-2．下列代数式①，②，③，④0，⑤中，单项式有_____．（填序号） ▌对点练1-3．下列代数式：，其中单项式有______个． 题型 求单项式的系数与次数 解题贴士 1. 系数找对范围：单项式中的数字因数就是系数，注意不要漏掉符号：比如单项式的系数是(-2)，不是(2)；如果单项式是，是常数，系数就是，不是(1)。 2. 次数算对总和：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，不要漏算指数为(1)的字母：比如的次数是，的次数是，常数的次数为(0)。 2. 常见误区提醒：不要把数 ▌例1 ．单项式的次数是（     ） A．2 B．5 C．3 D．4 ▌例2．单项式的系数与次数分别为（   ） A．，3 B．，2 C．，3 D．3， ▌对点练1-1．单项式的系数和次数分别为（   ） A．，6 B．，3 C．，5 D．，3 ▌对点练1-2．单项式的系数是______． ▌对点练1-3．代数式是一个单项式，它的系数是_________． 题型 判断代数式是否为多项式 解题贴士 1. 紧扣多项式定义：几个单项式的和叫做多项式，判断时先拆分出每一项，确认每一项都是单项式，整个代数式就是多项式。 2. 注意符号问题：拆分项的时候要带着项前面的符号，比如拆分后三项为：、(-2x)、(+1)，不要漏掉负号。 3. 排除误区：如果有一项不是单项式（比如分母含字母），整个式子就不是多项式，比如不是多项式。 ▌例1在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 ▌例2下列代数式中，属于多项式的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1下列代数式中哪些是单项式，哪些是多项式：，，，，，0．单项式：______；多项式：______． ▌对点练1-2已知，0，，，，中多项式有 _____ 个． 题型 确定多项式的项、次数与项数 解题贴士 1. 正确数项数：多项式中每个单项式就是多项式的一项，有几个单项式就是几项式，拆分项必须带着符号。 2. 找对多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，就是这个多项式的次数；不要混淆为所有项的次数相加，比如，最高次项是和，次数都是3，所以多项式次数是3，是三次三项式。 3. 注意常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项，不要漏掉常数项，也不要错把(0)当成不存在常数项。 ▌例1对于多项式，这个多项式的次数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 ▌例2下列关于多项式的说法中，错误的是（     ） A．有三项 B．常数项为 C．次数是7 D．二次项的系数是 ▌对点练1-1在多项式中，一次项是（    ） A．3 B． C． D． ▌对点练1-2多项式的最高次项的系数为_____，常数项为_____． ▌对点练1-3单项式的系数是____，多项式是____次____项式． 题型 利用多项式次数、项数的定义求参数值 解题贴士 1. 核心思路：首先明确多项式的次数是最高次项的次数，如果题目说多项式是n次m项式，先找到最高次项，让它的次数等于n，再根据项数要求，保证有m个非零项，不存在的项系数为0，列出方程求解。 2. 示例思路：比如已知多项式不含三次项和二次项，求(m)、(n)的值，那就让三次项系数，二次项系数，解得，。 3. 注意：如果题目要求多项式是几次多项式，最高次项的系数不能为0，必须保证这一项存在。 牢 ▌例1 如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． ▌例2已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1多项式是关于，的五次三项式，则的值是（    ） A． B．2 C．或 D． ▌对点练1-2多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． ▌对点练1-3若多项式是关于x的二次三项式，则k的值是______． 题型 将多项式按某个字母升幂/降幂排列 解题贴士 1. 明确排列规则：降幂排列是按字母的指数从大到小排列，升幂排列是按字母的指数从小到大排列； 2. 注意事项：排列的时候每一项要带着自己的符号一起移动位置，常数项的指数看做0；如果有多个字母，看清题目要求按哪个字母排列，只看要求字母的指数，其他字母的指数不影响排列顺序； 3. 示例：把多项式按(x)升幂排列：按照(x)的指数从小到大排列，结果是。 解 ▌例1以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． ▌例2将多项式按的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1将多项式按字母降幂排列得_____________． ▌对点练1-2已知多项式，按要求解答下列问题 (1)该多项式的次数是______________，常数项是_____________，三次项的系数是____________； (2)将这个多项式按的降幂重新排列． ▌对点练1-3将多项式按下列要求进行排列： (1)按a的升幂排列； (2)按b的降幂排列． 题型 找单项式的规律题 解题贴士 1. 拆分维度：把单项式拆分成系数符号、系数绝对值、字母部分、次数四个部分分别找规律，再整合起来； 2. 符号规律：如果符号正负交替，第n项的符号一般是（奇数项负、偶数项正）或者（奇数项正、偶数项负）； 3. 系数绝对值规律：常和等差数列、等比数列、平方、立方等常见数列有关，对照序号找对应关系； 4. 字母与次数规律：第n项的次数通常和n相等，或者和n存在固定数量关系，验证前几项即可推出关系； 5. 示例：找规律：，第n项是。 ▌例1按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． ▌例2按一定规律排列的一列单项式如下：，，，，…，则第个单项式是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1按规律排列的单项式：x，，，，，…，则第8个单项式是______． ▌对点练1-2观察，，，，，，…，，，根据这些式子的变化规律，后面的式子为____________． ▌对点练1-3观察下列各单项式： 根据你发现的规律： (1)请你写出第9个单项式为 ，第n个单项式为 ． (2)请你求出当时，第9个单项式与第10个单项式和的值． 题型 整式相关的概念辨析 解题贴士 1.把每个选项对应到我们梳理的定义，逐一核对： 常见错误说法1：“单项式(a)的系数是0，次数是0”→ 错误：系数是1，次数是1； 常见错误说法2：“x+y2是单项式”→ 错误：可以拆分为12x+12y，是多项式； 常见错误说法3：“单项式5×103t的次数是3”→ 错误：次数是1，103是系数的一部分，不计算入次数； 常见错误说法4：“多项式的次数是所有项的次数之和”→ 错误：是最高次项的次数； 常见错误说法5：“0不是整式”→ 错误：0是单项式，也是整式。 2.每一个说法都回到定义核对，不要想当然，特殊情况要重点关注（比如π是常数、单独的数和字母的性质、系数符号、次数计算规则）。 ▌例1在式子，，，，中，整式的个数为（　　） A． B． C． D． ▌例2在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 ▌对点练1-1关于整式的概念，下列说法中正确的是（   ） A．单项式是整式，整式也是单项式 B．单项式的次数为1 C．多项式是二次二项式 D．，，是的项 ▌对点练1-2代数式，，，，，，中，整式共有___________个． ▌对点练1-3下列代数式中的哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式？ ，4xy，，，x2＋x＋，0，，m，﹣2.01×105 整式集合：{_______________ …} 单项式集合：{__________ …} 多项式集合：{_______________…}． 题型 根据要求构造满足条件的单项式/多项式 解题贴士 1. 紧扣要求，逐一满足条件：比如要求构造“系数是(-2)，次数是3，含有两个字母(a)和(b)的单项式”，那么系数确定是(-2)，两个字母的指数和为3，所以满足条件的单项式可以是（或，都符合要求）； 2. 构造多项式时：比如要求“三次四项式，常数项是1”，只需要保证最高次项次数是3，一共有四个单项式项，常数项为1即可，比如； 3. 注意如果题目没有唯一要求，写出一个符合要求的结果即可，同时检查每个条件是否都满足，不要漏条件。 ▌例1写出一个次数为5且只含字母，的整式：______． ▌例2请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． ▌对点练1-1请写出一个只含字母的三次单项式：________． ▌对点练1-2若一个关于m，n的单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是____________．（写出一个即可） ▌对点练1-3写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b的单项式可以是________（写出一个即可）． 基础通关 1．下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 2．下列各代数式中，是五次单项式的是（ ） A． B． C． D． 3．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是（     ） A． B． C． D． 4．在代数式，，，中，单项式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．多项式 的次数及最高次项的系数分别是（    ） A．3， B．2， C．5，2 D．2，3 6．下列说法中正确的是（   ） A．是整式 B．近似数万精确到百分位 C．是单项式，次数为2 D．是三次三项式 7．的系数为_____________． 8．整式的次数为_______． 9．整式按a降幂排列的结果是________________________． 10．已知多项式是关于的二次三项式，则的值为______． 11．①含有字母；②次数是3；请写出一个同时满足上述两个条件的单项式__________． 12．若关于的多项式不含二次项和一次项，求的值． 13．把下列各式填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④，⑤y，⑥，⑦，⑧，⑨ 单项式集合{        …}； 多项式集合{        …}． 14．已知多项式是五次三项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求多项式的常数项与各项系数的和． (2)求，的值． 15．写出下列各多项式的项数和次数． (1)； (2)； (3)． 素养提升 1．下列关于单项式和多项式的结论正确的是（     ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是6 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 2．按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 3．多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．2或 4．下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式；是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 5．下列说法错误的是（    ） A．是三次三项式 B．的次数是5 C．的系数是，次数是4 D．不是多项式 6．观察，，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第2026个单项式是_________． 7．已知是关于的二次三项式，则_____． 8．若是关于的一次式，则______． 9．已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 10．对于有理数m、n，定义一种新运算☆：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是单项式的次数，求的值． 迁移创新 1．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 2．观察下面三行单项式： x，，，，，，；① ，，，，，，；② ，，，，，，；③ 根据你发现的规律，解答下列问题： （1）第①行的第8个单项式为_______； （2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______； （3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为当时，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 整式的加减 4.1 整式 课标要点 1. 建立符号意识，掌握字母表示数、代数式、单项式与多项式等整式核心概念，能辨别同类项。 2. 熟练整式加减运算，会去括号、合并同类项，能化简整式并代入数值求值。 3. 借助整式表达实际数量关系，运用类比、化归思想解决简单代数与几何应用问题。 学习重难点 重点： 掌握单项式的系数、次数，多项式的项、常数项、次数等基础概念。 能根据实际情境列出单项式、多项式，并代入数值求代数式的值。 难点： 区分含 π、负号、分数形式的单项式系数，准确计算多项式次数。 知识点 单项式 由数与字母或字母与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个单独的字母也叫做单项式。 单项式的系数： 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 单项式的次数： 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 特别提醒 1. 单项式中只包含乘法、乘方运算，不包含加减运算，如果出现加减运算就不是单项式。例如3x + 2不是单项式，因为包含加法运算；而3x是单项式。 2. 分母中不能含有字母，分母含有字母的代数式属于分式，不是单项式。例如不是单项式，而是单项式，因为是数字系数，仅和字母x做乘法运算。 3. 单独的数字，例如5、-3.2、0都是单项式；单独的字母a、b也都是单项式。 随学随练 1．下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 【答案】B 【分析】本题根据单项式、整式的定义，以及单项式系数、次数的计算方法，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵单独的一个数是单项式，∴是单项式，A选项错误； ∵的数字因数为，所有字母的指数和为，∴它的系数是，次数是，B选项正确； ∵是单项式，单项式属于整式，∴是整式，C选项错误； ∵的数字因数是，∴它的系数是，不是，D选项错误． 2．在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，解题思路为根据单项式定义逐个判断题干中的整式，统计单项式个数即可得到答案，单项式定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，几个单项式的和为多项式． 【详解】解：∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式 ∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵是单独的一个字母，是单项式 ∵是单项式和单项式的和，属于多项式，不是单项式 综上，单项式共有个，因此选C． 3．下列代数式中，不是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式的概念，根据单项式的定义判断各选项即可，单项式是数或字母的乘积，单独的数或字母也是单项式，多个单项式的和为多项式． 【详解】解：A.是符合单项式定义，属于单项式； B.是数与字母的积，属于单项式； C.是与的积，属于单项式； D.是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式． 4．a2b的系数是 _________，次数是 _________． 【答案】 3 【分析】根据单项式系数与次数的定义，确定单项式的数字因数得到系数，计算所有字母的指数和得到次数． 【详解】解：单项式，其数字因数为，因此系数为； 字母的指数为，字母的指数为，所有字母指数和为 ，因此次数为． 5．我们知道，半径为的球的表面积公式是，那么的系数是____． 【答案】 【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，据此即可解答． 【详解】解：由是常数，在单项式中，字母为，数字因数为，即的系数是． 知识点 多项式 多项式的定义： 几个单项式的和叫做多项式，其中每一个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 多项式的次数： 多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 多项式的命名： 一个多项式通常以“几次几项式”的形式命名，次数取多项式的次数，项数取单项式的个数。 例如是三次三项式，是二次二项式。 特别提醒 1. 多项式的次数不是所有项的次数相加，和单项式次数计算方法完全不同。例如3x² + 4x³ - y，最高次项是4x³，次数是3，所以这个多项式的次数是3，不是2+3+1=6。 2. 多项式中最高次项可能不止一项，例如2x³ + 3y³ - xy，x³和y³都是三次项，因此多项式次数依然是3，不需要相加。 3. 如果多项式中各项的次数都相同，叫做齐次多项式，例如x³+2x²y+2xy²+y³，每一项都是三次，就是三次齐次多项式。 随学随练 1．下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式与多项式的定义，明确“多项式是几个单项式的和”这一概念，据此区分单项式与多项式． 【详解】解：A：是数与字母的积，属于单项式； B：是两个单项式与的和，属于多项式； C：是数与字母的积，属于单项式； D：是数与字母的积，属于单项式； 故选：B． 2．多项式的次数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 多项式共有三项，分别为，，，各项次数依次为，， ∴ 该多项式最高次项的次数为，即多项式的次数是． 3．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．的次数是6 C．的系数是 D．常数项是 【答案】B 【详解】解：A、是二次三项式，原说法正确，不符合要求； B、的次数是4，原说法错误，符合要求； C、的系数是，原说法正确，不符合要求； D、的常数项是，原说法正确，不符合要求． 4．下列各多项式中，是四次三项式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，项数是多项式中单项式的个数，据此判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、多项式有三项，且次数最高的项的次数为2，，是二次三项式，不符合题意； B、多项式有四项，且次数最高的项的次数为3，，是三次四项式，不符合题意； C、多项式有两项，且次数最高的项的次数为4，是四次二项式，不符合题意； D、多项式有三项，且次数最高的项的次数为4，是四次三项式，符合题意； 5．整式是________次________项式． 【答案】 三 三 【分析】根据多项式中单项式的个数为项数，最高次项的次数为多项式的次数分析求解即可． 【详解】解：整式包含三个单项式，分别为，，，其中的次数为，的次数为，的次数为，可得最高次项的次数为，项数为，因此该整式是三次三项式． 知识点 整式 整式的定义： 单项式和多项式统称为整式。 整式的判断方法总结： 1. 首先看是否是单项式或多项式：如果是，一定是整式； 2. 如果分母含有字母，一定不是整式； 特别提醒 1. 判断代数式是否为整式的核心：分母中是否含有字母，如果分母含有字母，一定不是整式，属于分式。例如不是整式，是整式，因为分母2是常数。 2. 区分单项式系数和次数：系数是数字因数，次数是字母指数和，不要混淆。例如-2³x²y，系数是-8，次数是2+1=3，很多同学会错把指数3算到次数里，得到5次，这是典型错误。 3. 多项式的项要带符号，计算项数的时候不要漏数常数项。例如2x - 3是二项式，常数项-3也是一项，不要只算一个项认为是一项式。 4. π是常数，不要当成字母：在计算系数和次数的时候，π属于系数部分，不参与次数计算，2πx的系数是2π，次数是1，不是2。 5. 系数为1或-1的时候，通常省略1不写，不要认为系数不存在或者是0：-ab的系数是-1，次数是2，不要错认为系数不存在或者次数是1。 随学随练 1．代数式，，，，中，是整式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的定义，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，而整式是单项式和多项式的统称，据此可得答案． 【详解】解：代数式，，，，中，整式有，，，，共4个， 故选：D． 2．式子，，，，中，整式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题考查整式的定义，整式是分母中不含字母的代数式，包括单项式和多项式，据此求解即可． 【详解】解：式子，，，，中， 整式有，，，，共4个． 故选：D． 3．将式子填入相应的大括号中． 单项式：{              …}； 多项式：{              …}； 整式：{              …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查单项式与多项式的概念，熟练掌握多项式和单项式的概念，能进行正确的分类是解题的关键． 由数与字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式是由若干个单项式的和组成的代数式；单项式和多项式统称整式． 【详解】解：单项式：； 多项式：； 整式：． 4．下列式子：①；②；③；④；⑤．其中多项式有________个，次数最高的多项式为________（请填写序号），整式有________个． 【答案】 3 ② 4 【分析】本题主要考查了整式，多项式及其次数，根据多项式及其次数解答，再根据整式的定义判断即可． 【详解】多项式有，，，一共有3个； 因为是二次三项式，是三次三项式，是二次二项式，所以次数最高的多项式是②； 整式有，，，，一共有4个． 故答案为：3，②，4． 拓展 单项式规律探索 单形式规律问题，指的是题目仅给出一列数字、代数式、图形或坐标，要求探究其中隐藏的变化规律，写出第n项的通用表达式的一类规律探究问题。区别于多形式结合的规律题，单形式问题仅通过单一载体呈现变化，核心考查观察猜想、归纳验证的抽象逻辑思维能力，是数学规律探究类题型的基础考法。 按照呈现载体不同，单形式规律问题可以分为四大类：数字型单规律问题、代数式型单规律问题、图形型单规律问题、坐标点型单规律问题，四类问题的探究逻辑既有共通性，也有各自的特殊技巧。 活学活用 1．一列代数式按以下规律排列：，，，，，…，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别从系数、的次数两个部分分析规律，整合后即可得到第个代数式． 【详解】解：由题可知，系数分别是1，，，，，， 即第1项系数为1，第2项系数为，第3项系数为，第4项系数为，第5项系数为， 则系数规律为； 的次数分别是，，，，，， 即第1项次数为，第2项次数为，第3项次数为，第4项次数为，第5项次数为， 则的次数规律为； 第个代数式为． 2．按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为规律探究题，将多项式拆分为含x的项和含y的项，分别找出两项指数随n变化的规律，即可得到第n个多项式． 【详解】解：∵第1个多项式中，x的指数为，第2个多项式中，x的指数为，第3个多项式中，x的指数为…… ∴第个多项式中，x的指数为，即含x的项为． ∵第1个多项式中，y的指数为，第2个多项式中，y的指数为，第3个多项式中，y的指数为…… ∴第个多项式中，y的指数为，即含y的项为． 综上，第n个多项式为． 3．观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 【答案】/ 【分析】观察发现，奇数项为正，偶数项为负，分母为连续奇数，分子为连续偶数，x的指数为连续自然数，则式子规律可表示为（n为正整数），即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， …， 第n个式子为， ∴第10个式子为，即． 4．一列单项式按以下规律排列：，，，，，，，，则第20个单项式是________． 【答案】 【分析】分别从系数的符号、系数的绝对值、的指数三个方面，找出单项式随项数变化的规律，再将项数代入规律计算即可. 【详解】解：观察这列单项式：，，，，，，，， 可得第个单项式的规律：系数的符号：奇数项为正，偶数项为负，可表示为； 系数的绝对值：是从开始的连续奇数，可表示为； 的指数：等于项数，可表示为； 因此第个单项式可写为， 将代入得：. 5．有一列按照一定规律写出的单项式：0，，，，，…．这列单项式中的第25个单项式是__________． 【答案】 【分析】通过观察系数和次数的变化，归纳第个单项式为，即可求解． 【详解】解：观察已知单项式， 第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， 第4个单项式：， ．．． 可得第个单项式为， 当时，． 拓展 多项式项数与次数的探究 多项式的核心概念是“几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，次数最高项的次数叫做多项式的次数”，围绕这个概念，结合参数设置探究规律，解决这类问题的关键是抓住“先定次数，再定项数”的探究顺序。 例如，已知多项式是一个三次三项式，求m的值。按照探究顺序，首先定次数：多项式的最高次数是3，现有项- (m-1) xy的次数是2，5x的次数是1，因此最高项只能是，它的次数为(m+2)，可得，解得； 再定项数：要满足三项式，说明所有项都必须存在，也就是不能有同类项合并之后项数减少，这里当时，第二项，多项式变成，变成了二次二项式，不满足要求，因此这个题没有符合要求的m。“几项式”要求合并同类项之后一共有几个项，才是几项式，所以必须保证所有非零项存在，才能满足项数要求。 活学活用 1．若是关于x的三次多项式，则代数式的值是（    ） A． B． C．或3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查多项式的次数概念，需满足各项次数为非负整数且最高次为3，根据题意确定n的值，再计算代数式的值即可 【详解】解：∵ 多项式是关于x的三次多项式， ∴ 各项次数为非负整数，且最高次数为3. ∴时，解得，此时多项式为不符合题意； 时，解得，此时多项式为符合题意； ∴， 故选D． 2．若关于x的多项式为二次三项式，则常数项是（   ） A． B．9 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数和项数的概念及代数式求值，多项式为二次三项式，则最高次项为二次，且项数为三．由四次项系数为零得，由二次项存在，再求常数项． 【详解】解：∵多项式为二次三项式， ∴四次项系数，即， 且为二次项，即， 此时多项式为， 常数项为． 故选： C． 3．若关于x、y的多项式的次数是3，项数是2，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据多项式的次数和项数，列出方程求解和的值． 本题考查了多项式的项数和次数，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：由题可知次数为3， 则第一项的次数， 解得, 由项数为2，且第一项系数3和第三项系数1均不为零， 故第二项系数， 解得, 因此, 故答案为． 4．已知关于，的多项式（，为正整数且的指数不相同）是按的降幂排列的五次四项式，则的值为_________． 【答案】1 【分析】本题考查了将多项式按某个字母升幂（降幂）排列问题，多项式系数、指数中字母求值，理解题意得到m，n的关系式是解题的关键． 由多项式为五次四项式且按x降幂排列，最高次项次数为5，可知；再根据各项系数非零，可知；然后根据是按x的降幂排列递减，可知；结合m，n为正整数，求得m，n的值，代入计算即可． 【详解】解：∵多项式是按的降幂排列的五次四项式， ∴最高次项的次数为，且， ∴，且，， 又∵m，n为正整数， ∴，， ． 故答案为：1． 题型 判断代数式是否为单项式 解题贴士 1. 紧扣单项式定义：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式。 2. 牢记排除特征：如果代数式含有加减运算，或者分母中出现字母，一定不是单项式；例如(x + y)、都不是单项式。 3. 注意特殊情况：单独的常数（比如5、、0）、单独的字母（比如a、b）都是单项式；常数项的系数是它本身，次数为0。 ▌例1 下列式子中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单项式的定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也是单项式，几个单项式的和为多项式，分母含有字母的代数式不是单项式． 【详解】解：A、是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； B、的分母含有字母，不是数与字母的积，不是单项式，不符合要求； C、，是两个单项式的和，属于多项式，不符合要求； D、是与的积，符合单项式的定义，符合要求． ▌例2．代数式，，，，，，中，单项式的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查单项式的判断，解题的关键是掌握单项式的定义：只含有数与字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．据此逐个判断所给的代数式是否为单项式，统计单项式个数后即可得出答案． 【详解】解：中的分子是和的形式，不是单项式； 是数与字母的积，是单项式； 中是常数，该式是数与字母的积，是单项式； 中的分母含字母，不是单项式； 是单独的一个数，是单项式； 是单独的一个字母，是单项式； 是三个单项式的和，不是单项式； 综上所述，单项式有、、、，共个． 故选：A． ▌对点练1-1．下列式子不是单项式的是（   ） A． B． C． D．3.14 【答案】C 【分析】本题考查单项式的概念．单项式是由数字与字母的乘积或单独的数字、字母构成的式子，不含加减运算，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：单项式的定义为数字与字母的乘积或单独的数字、字母，且不含加减运算， A、是数字2与字母x的乘积，属于单项式，不符合题意； B、是单独的字母，属于单项式，不符合题意； C、含有加法运算，是多项式，不属于单项式，符合题意； D、3.14是单独的数字，属于单项式，不符合题意； 故选：C． ▌对点练1-2．下列代数式①，②，③，④0，⑤中，单项式有_____．（填序号） 【答案】 ①③④⑤ 【分析】明确是常数. 利用单项式的定义逐一判断即可. 【详解】解：由单项式的定义可知，数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式. ①是数与字母的积，属于单项式； ②可化为，是多项式，不属于单项式； ③是与的积，属于单项式； ④0是单独的一个数，属于单项式； ⑤是常数，不是字母，因此是与的积，属于单项式. ▌对点练1-3．下列代数式：，其中单项式有______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解题的关键；根据单项式的定义，由数字与字母的乘积或单独的数字、字母组成的代数式是单项式，分母中含有字母的代数式不是单项式；然后问题可求解． 【详解】解：是数字与字母的乘积，是单项式；是数字与字母的乘积，是单项式；1是单独的数字，是单项式；是多项式，不是单项式；分母中含有字母，是分式，不是单项式． 故答案为3． 题型 求单项式的系数与次数 解题贴士 1. 系数找对范围：单项式中的数字因数就是系数，注意不要漏掉符号：比如单项式的系数是(-2)，不是(2)；如果单项式是，是常数，系数就是，不是(1)。 2. 次数算对总和：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，不要漏算指数为(1)的字母：比如的次数是，的次数是，常数的次数为(0)。 2. 常见误区提醒：不要把数 ▌例1 ．单项式的次数是（     ） A．2 B．5 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据单项式次数的定义，计算单项式中所有字母的指数和即可得到答案． 【详解】解：根据定义，单项式的次数是单项式中所有字母的指数和， ∵单项式中，字母的指数为，字母的指数为， ∴该单项式的次数为． ▌例2．单项式的系数与次数分别为（   ） A．，3 B．，2 C．，3 D．3， 【答案】C 【分析】根据定义，单项式的系数是单项式中字母前的数字因数，次数是单项式中所有字母的指数之和，据此求解即可. 【详解】解：∵ 单项式可以改写为， ∴ 该单项式的数字因数为，即系数为； 又∵ 的指数为，的指数为，所有字母的指数和为， ∴ 该单项式的次数为； 综上，该单项式的系数与次数分别为，. ▌对点练1-1．单项式的系数和次数分别为（   ） A．，6 B．，3 C．，5 D．，3 【答案】A 【分析】本题考查单项式的系数与次数的定义，根据定义分别计算出结果即可． 【详解】解：∵单项式的系数是单项式中的数字因数，需要包含符号， 对于单项式，它的数字因数是， ∴该单项式的系数为； ∵单项式的次数是单项式中所有字母的指数和， 该单项式中的指数为，的指数为，的指数为， 次数为， 因此该单项式的系数是，次数是． ▌对点练1-2．单项式的系数是______． 【答案】 【分析】根据单项式系数的定义，找出单项式中的数字因数即可，注意是常数，不是字母． 【详解】解：在单项式中，是常数，不属于字母，因此该单项式的数字因数为． ▌对点练1-3．代数式是一个单项式，它的系数是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查单项式的系数，熟练掌握单项式的系数是解题的关键；系数是单项式中的数字因数部分，包括常数和符号，由此问题可求解． 【详解】解：单项式中，系数为； 故答案为． 题型 判断代数式是否为多项式 解题贴士 1. 紧扣多项式定义：几个单项式的和叫做多项式，判断时先拆分出每一项，确认每一项都是单项式，整个代数式就是多项式。 2. 注意符号问题：拆分项的时候要带着项前面的符号，比如拆分后三项为：、(-2x)、(+1)，不要漏掉负号。 3. 排除误区：如果有一项不是单项式（比如分母含字母），整个式子就不是多项式，比如不是多项式。 ▌例1在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【答案】B 【分析】根据定义逐个判断各代数式的类型，再对比选项得到正确结论． 【详解】①是数与字母的积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的差，是多项式，属于整式； ③分母含有字母a，是分式，不是单项式； ④分母含有字母，是分式，不是多项式； ⑤中分母是常数，属于单项式，因此原式是三个单项式的和，是多项式， ∴A选项中③不是单项式，错误； B选项中②⑤都是多项式，正确； C选项中④不是多项式，错误； D选项中③④是分式，不是整式，错误． ▌例2下列代数式中，属于多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．注意不要与单项式的定义相混淆． 根据多项式的定义判定即可． 【详解】解：∵几个单项式的和叫做多项式， 故选项C中是单项式a和的和，符合定义， 故选：C． ▌对点练1-1下列代数式中哪些是单项式，哪些是多项式：，，，，，0．单项式：______；多项式：______． 【答案】 ， ， 【分析】根据单项式和多项式的定义来求解． 【详解】解：，，，，，0中： ，是单项式； ，是多项式； ，即不是单项式，也不是多项式． 故答案为：，；，． 【点睛】本题考查单项式与多项式的识别，解题的关键是掌握单项式和多项式的定义．数与字母乘积的代数式叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式．单独的一个数或一个字母也叫做单项式． ▌对点练1-2已知，0，，，，中多项式有 _____ 个． 【答案】2 【分析】本题考查的是多项式的判断，根据多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，根据定义判断即可． 【详解】解：是两个单项式的和，是多项式； 0是单项式，不是多项式； 是单项式，不是多项式； 是单项式，不是多项式； 可化为，是两个单项式的和，是多项式； 是单项式，不是多项式． 故多项式有2个． 故答案为：． 题型 确定多项式的项、次数与项数 解题贴士 1. 正确数项数：多项式中每个单项式就是多项式的一项，有几个单项式就是几项式，拆分项必须带着符号。 2. 找对多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，就是这个多项式的次数；不要混淆为所有项的次数相加，比如，最高次项是和，次数都是3，所以多项式次数是3，是三次三项式。 3. 注意常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项，不要漏掉常数项，也不要错把(0)当成不存在常数项。 ▌例1对于多项式，这个多项式的次数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：多项式中，最高次项为，次数为， 故这个多项式的次数是3. ▌例2下列关于多项式的说法中，错误的是（     ） A．有三项 B．常数项为 C．次数是7 D．二次项的系数是 【答案】C 【分析】本题考查多项式的基本概念，首先明确多项式相关定义：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫常数项，多项式中次数最高项的次数就是多项式的次数，单项式中的数字因数是单项式的系数．根据多项式的项数，次数，常数项，系数的定义逐一判断即可，找出错误说法，即可求解． 【详解】解：∵ 多项式 由个单项式组成， ∴ 多项式共有三项，A选项说法正确； ∵ 不含字母的项是， ∴ 常数项为，B选项说法正确； ∵ 最高次项为 ，次数为， ∴ 多项式的次数为，不是，C选项说法错误； ∵ 二次项是，数字因数为， ∴ 二次项的系数是，D选项说法正确． 综上，错误的是C． ▌对点练1-1在多项式中，一次项是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：多项式的一次项是. ▌对点练1-2多项式的最高次项的系数为_____，常数项为_____． 【答案】 2 【分析】根据多项式的相关概念，确定多项式各项的次数，找出最高次项，进而得到最高次项的系数和常数项. 【详解】解：多项式中，的次数为，的次数为，因此最高次项为，其系数为，多项式中不含字母的项是，因此常数项为. ▌对点练1-3单项式的系数是____，多项式是____次____项式． 【答案】 / 三 三 【分析】根据单项式系数的定义确定单项式的系数，根据多项式次数与项数的定义确定多项式的次数和项数即可. 【详解】单项式的系数为. ， 该多项式中次数最高项为，次数为3，共有3个单项式，因此该多项式是三次三项式. 题型 利用多项式次数、项数的定义求参数值 解题贴士 1. 核心思路：首先明确多项式的次数是最高次项的次数，如果题目说多项式是n次m项式，先找到最高次项，让它的次数等于n，再根据项数要求，保证有m个非零项，不存在的项系数为0，列出方程求解。 2. 示例思路：比如已知多项式不含三次项和二次项，求(m)、(n)的值，那就让三次项系数，二次项系数，解得，。 3. 注意：如果题目要求多项式是几次多项式，最高次项的系数不能为0，必须保证这一项存在。 牢 ▌例1 如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于，的四次三项式 ∴，， 解得或，， ∴． ▌例2已知关于的多项式不含项，那么的值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的多项式的定义，根据题意令的系数为即可求出的值． 【详解】解：∵关于x的多项式不含项， ∴ 解得： 故选：D． ▌对点练1-1多项式是关于，的五次三项式，则的值是（    ） A． B．2 C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的次数和项数．因为多项式为五次三项式，故需满足最高次项次数为5且所有三项系数均非零，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵多项式是关于的五次三项式， ∴，且， ∴，且， ∴， 故选：D． ▌对点练1-2多项式是关于x，y的四次二项式，则k的值为_________． 【答案】2 【分析】本题考查多项式的次数与项数的定义，利用多项式定义求参数的值，掌握多项式的相关定义是解题关键，根据四次二项式的定义，得到最高次项的次数为，且项的系数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：多项式是关于，的四次二项式， 最高次项的次数为，可得： ， 解得，即或， 又多项式为二项式， 项的系数为，可得： ， 解得， 验证得符合四次二项式的要求． ▌对点练1-3若多项式是关于x的二次三项式，则k的值是______． 【答案】2 【分析】本题主要考查多项式的定义，绝对值的应用．根据二次三项式的定义，多项式最高次项为二次，且必须有三项．因此，，且一次项系数据此计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴最高次项的次数为2，即， ∴或． 又∵多项式有三项， ∴一次项的系数． 当时，，多项式为，符合条件； 当时，，一次项消去，多项式为，是二次二项式，不符合条件． ∴． 故答案为：2． 题型 将多项式按某个字母升幂/降幂排列 解题贴士 1. 明确排列规则：降幂排列是按字母的指数从大到小排列，升幂排列是按字母的指数从小到大排列； 2. 注意事项：排列的时候每一项要带着自己的符号一起移动位置，常数项的指数看做0；如果有多个字母，看清题目要求按哪个字母排列，只看要求字母的指数，其他字母的指数不影响排列顺序； 3. 示例：把多项式按(x)升幂排列：按照(x)的指数从小到大排列，结果是。 解 ▌例1以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项B：各项的指数依次为，符合降幂排列的要求，正确； 选项C：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项D：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误． ▌例2将多项式按的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列． 按x的升幂排列，即按照x的指数从小到大排列多项式各项，即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：D． ▌对点练1-1将多项式按字母降幂排列得_____________． 【答案】 【详解】解：将多项式按字母降幂排列得． ▌对点练1-2已知多项式，按要求解答下列问题 (1)该多项式的次数是______________，常数项是_____________，三次项的系数是____________； (2)将这个多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题主要考查了多项式的相关概念（次数、常数项、项的系数）以及多项式的降幂排列，熟练掌握多项式的基本概念是解题的关键． （1）根据多项式次数（最高次项的次数）、常数项（不含字母的项）、三次项系数（三次项前的数字因数）的定义，分析多项式的各项即可； （2）按的降幂排列，即把多项式各项按的次数从高到低排列． 【详解】（1）解：∵多项式各项： 的次数：； 的次数：； 的次数：； 的次数：． ∴该多项式的次数是．常数项是，三次项是，其系数是， 故答案为：，，； （2）解：将多项式按的降幂排列为． ▌对点练1-3将多项式按下列要求进行排列： (1)按a的升幂排列； (2)按b的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式的升降幂排列： （1）按a的升幂排列，即按照的指数依次增大，进行排列即可； （2）按b的降幂排列，即按照的指数依次减少，进行排列即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型 找单项式的规律题 解题贴士 1. 拆分维度：把单项式拆分成系数符号、系数绝对值、字母部分、次数四个部分分别找规律，再整合起来； 2. 符号规律：如果符号正负交替，第n项的符号一般是（奇数项负、偶数项正）或者（奇数项正、偶数项负）； 3. 系数绝对值规律：常和等差数列、等比数列、平方、立方等常见数列有关，对照序号找对应关系； 4. 字母与次数规律：第n项的次数通常和n相等，或者和n存在固定数量关系，验证前几项即可推出关系； 5. 示例：找规律：，第n项是。 ▌例1按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别归纳系数和的指数与项数的关系，得到第个代数式的通式，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 第1个系数为， 第2个系数为， 第3个系数为， ∴第个代数式的系数为， 又∵第1个中的指数为， 第2个中的指数为， 第3个中的指数为， ∴可得第个代数式中的指数为， ∴第个代数式为， 将代入得：系数为，的指数为， 因此第2026个代数式为． ▌例2按一定规律排列的一列单项式如下：，，，，…，则第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别观察单项式中的指数和系数分母的变化规律，得到第个单项式的一般形式，再代入计算得到结果． 【详解】解：观察已知单项式： 第个：； 第个：； 第个：； 第个：； ； ∴第个单项式为； 将代入得：． ▌对点练1-1按规律排列的单项式：x，，，，，…，则第8个单项式是______． 【答案】 【分析】观察给出的单项式，分别归纳符号、系数的绝对值、的次数与项数之间的规律，再根据规律推导得到第8个单项式即可． 【详解】解：观察，，，，，…，可得规律如下： 第个单项式中，当为奇数时符号为正，当为偶数时符号为负，系数的绝对值为，的次数为， 因为为偶数，所以第8个单项式的符号为负，系数绝对值为，的次数为，因此第8个单项式是． ▌对点练1-2观察，，，，，，…，，，根据这些式子的变化规律，后面的式子为____________． 【答案】 【详解】分别观察式子中系数和指数的变化规律，得出后面的式子即可． 【解题思路】解：观察式子，，，，，，……， 可以发现系数是，……，指数是，……， 可知，从第三个式子开始，后边的每个系数是它前面相邻两个系数的和，指数和式子的序号相同， 即系数是，……，指数是序号， 第个式子的指数是， 后面的式子是． ▌对点练1-3观察下列各单项式： 根据你发现的规律： (1)请你写出第9个单项式为 ，第n个单项式为 ． (2)请你求出当时，第9个单项式与第10个单项式和的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查单项式的变化规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在规律． （1）根据题意得到所给单项式的系数，字母的指数的规律，即可求解； （2）由（1）中规律解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：所给单项式的系数依次为，即， ∴第个单项式的系数为， ∵单项式中字母的指数依次为， ∴第个单项式中字母的指数为， ∴第个单项式为， 当时，， ∴第9个单项式为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得：第9个单项式为， ∴第10个单项式为， 当时： 第9个单项式： ， 第10个单项式： ， ∴第9个单项式与第10个单项式和的值为． 题型 整式相关的概念辨析 解题贴士 1.把每个选项对应到我们梳理的定义，逐一核对： 常见错误说法1：“单项式(a)的系数是0，次数是0”→ 错误：系数是1，次数是1； 常见错误说法2：“x+y2是单项式”→ 错误：可以拆分为12x+12y，是多项式； 常见错误说法3：“单项式5×103t的次数是3”→ 错误：次数是1，103是系数的一部分，不计算入次数； 常见错误说法4：“多项式的次数是所有项的次数之和”→ 错误：是最高次项的次数； 常见错误说法5：“0不是整式”→ 错误：0是单项式，也是整式。 2.每一个说法都回到定义核对，不要想当然，特殊情况要重点关注（比如π是常数、单独的数和字母的性质、系数符号、次数计算规则）。 ▌例1在式子，，，，中，整式的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的定义，整式包含单项式与多项式，单独的数、数和字母的积是单项式，几个单项式的和是多项式，等式不属于整式，据此判断各式子是否为整式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵整式是单项式和多项式的统称，单独的数、数与字母的积为单项式，几个单项式的和为多项式，等式不是整式， ∴在给出的式子中，是单独的数，属于单项式（整式）； 是数与字母的积，属于单项式（整式）； 是两个单项式的和，属于多项式（整式）； 是等式，不是整式； 是数与字母的积，属于单项式（整式）， ∴整式的个数有个， 故选：． ▌例2在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握整式的定义（分母中不含字母）是解题的关键．本题需根据整式的定义（整式为单项式和多项式的统称，分母中不含字母），逐一判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：整式是单项式与多项式的统称，且整式的分母中不含字母， 对各代数式判断如下： 是多项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 分母含字母，不是整式； 中分母含字母，不是整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 是单项式，属于整式； 综上，整式共有5个． 故选：C． ▌对点练1-1关于整式的概念，下列说法中正确的是（   ） A．单项式是整式，整式也是单项式 B．单项式的次数为1 C．多项式是二次二项式 D．，，是的项 【答案】B 【分析】本题考查整式、单项式和多项式的相关概念，需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：选项A：单项式属于整式，但整式包含单项式和多项式，因此整式不一定是单项式．选项A错误． 选项B：单项式中，是常数，变量的指数为1，故次数为1．选项B正确． 选项C：多项式按降幂排列为，最高次项为二次，且共有三项，应为二次三项式．选项C错误． 选项D：多项式的项为、、，而选项D中的符号与原式不符，因此选项D错误． 故选：B ▌对点练1-2代数式，，，，，，中，整式共有___________个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握“整式是分母中不含字母的代数式（包括单项式和多项式）”是解题的关键．根据整式的定义，判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数． 【详解】解：，，，，是整式，，不是整式， 整式共个． 故答案为：． ▌对点练1-3下列代数式中的哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式？ ，4xy，，，x2＋x＋，0，，m，﹣2.01×105 整式集合：{_______________ …} 单项式集合：{__________ …} 多项式集合：{_______________…}． 【答案】 ，4xy，，0，m，﹣2.01×105… 4xy，，0，m，﹣2.01×105 … 【分析】根据整式、单项式、多项式的定义判断后选出即可． 【详解】解：整式集合：{，4xy，，0，m，﹣2.01×105 …}； 单项式集合：{ 4xy，，0，m，﹣2.01×105 …}； 多项式集合：{   …}． 故答案为：，4xy，，0，m，﹣2.01×105…；4xy，，0，m，﹣2.01×105 …； 【点睛】本题考查了对单项式，多项式，整式的定义的理解和运用，注意：整式包括多项式和单项式，数与字母的积是单项式，单个的数与单个的字母也是单项式，若干个单项式的和组成的代数式叫做多项式． 题型 根据要求构造满足条件的单项式/多项式 解题贴士 1. 紧扣要求，逐一满足条件：比如要求构造“系数是(-2)，次数是3，含有两个字母(a)和(b)的单项式”，那么系数确定是(-2)，两个字母的指数和为3，所以满足条件的单项式可以是（或，都符合要求）； 2. 构造多项式时：比如要求“三次四项式，常数项是1”，只需要保证最高次项次数是3，一共有四个单项式项，常数项为1即可，比如； 3. 注意如果题目没有唯一要求，写出一个符合要求的结果即可，同时检查每个条件是否都满足，不要漏条件。 ▌例1写出一个次数为5且只含字母，的整式：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了单项式的次数、系数，解题的关键是熟练掌握“单项式中所有字母的指数之和，叫做单项式的次数”．根据题意写出单项式即可． 【详解】解：由题意可得：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． ▌例2请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 【答案】或（答案不唯一） 【详解】解：符合题意的单项式可以是或． ▌对点练1-1请写出一个只含字母的三次单项式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】只要写出的单项式只含有字母，并且所有字母的指数和为即可． 【详解】解：∵只含的三次单项式， ∴只需满足和的指数和为，且系数不为即可， 例如中，指数为，指数为，指数和，符合要求． ▌对点练1-2若一个关于m，n的单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是____________．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据单项式系数是单项式中的数字因数，次数是所有字母的指数之和，即可写出符合要求的单项式. 【详解】解：由题意可知，单项式的系数为，次数为，即，的指数之和为； 故单项式可以为（答案不唯一） ▌对点练1-3写出一个系数是负数，次数是4，且含有字母a，b的单项式可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的系数和次数的概念，系数是单项式中的数字因数且为负数，次数是所有字母的指数之和为4，进行解答即可． 【详解】解：根据题意，系数为负数，次数为4，且含有字母和，因此可构造单项式如，其中系数为，次数为；其他符合条件的有（系数为，次数为）或（系数为，次数为）等． 故答案为：．（答案不唯一） 基础通关 1．下列说法正确的是（     ） A．是三次二项式 B．单项式的系数和次数分别是 C．0是单项式 D．一次项的系数为2 【答案】C 【详解】解：选项A，中最高次项的次数为2，共有2个单项式，因此它是二次二项式，A错误； 选项B，单项式中，是常数，因此系数为，次数为，B错误； 选项C，单独的一个数是单项式，因此0是单项式，C正确； 选项D，的一次项为，因此一次项的系数为，D错误． 2．下列各代数式中，是五次单项式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】单项式是数与字母的积组成的代数式，单项式的次数为所有字母的指数和，根据定义计算各选项即可判断． 【详解】解：A、的次数为 ，是六次单项式，不符合要求； B、 的次数为 ，是三次单项式，不符合要求； C、的次数为 ，是五次单项式，符合要求； D、不是单项式，不符合要求． 3．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别观察单项式的系数和字母a的指数，归纳得到第n个单项式的规律，即可选出正确答案． 【详解】解：第1个单项式为， 第2个单项式为， 第3个单项式为， 第4个单项式为， 第5个单项式为， 发现规律：第个单项式中，系数恒为，字母的指数为， 即第个单项式为． 4．在代数式，，，中，单项式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：是单独的数，属于单项式；是两个单项式的差，不属于单项式；是字母的积，属于单项式；是数与字母的积，属于单项式， ∴单项式的个数是个． 5．多项式 的次数及最高次项的系数分别是（    ） A．3， B．2， C．5，2 D．2，3 【答案】A 【分析】多项式中，次数最高项的次数是这个多项式的次数，可得出多项式的次数，再写出多项式的最高次项的系数即可． 【详解】解：多项式的次数是， 最高次项为， 因此最高次项的系数为． 6．下列说法中正确的是（   ） A．是整式 B．近似数万精确到百分位 C．是单项式，次数为2 D．是三次三项式 【答案】C 【详解】解：选项A：∵分母含有字母，不是整式，∴A错误，不符合题意； 选项B：∵近似数万，单位为万，最后一位有效数字0对应实际数位是百位，因此精确到百位，不是百分位，∴B错误，不符合题意； 选项C：∵是数字与字母的积，属于单项式，所有字母的指数和为，次数为2，∴C正确，符合题意； 选项D：∵多项式中，的次数为，是各项中最高次数，因此该多项式是四次三项式，∴D错误，不符合题意． 7．的系数为_____________． 【答案】 【分析】找出单项式中的数字因数即可得到结果，注是常数，不属于字母因数. 【详解】解：的系数为. 8．整式的次数为_______． 【答案】 【分析】根据单项式次数的定义，单项式的次数为单项式中所有字母的指数和求解即可． 【详解】解：该单项式中字母的指数为，字母的指数为， 因此次数为． 9．整式按a降幂排列的结果是________________________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的降幂排列，解题思路是先确定多项式中每一项的指数，再按照的指数从高到低排列各项，排列时保留各项原有的符号，不要遗漏项． 【详解】解：确定多项式中各项的指数分别为，按照的降幂排列，即按的指数从大到小排列各项， 可得 10．已知多项式是关于的二次三项式，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，多项式的项、项数或次数，多项式系数、指数中字母求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据二次三项式的定义，最高次项次数为且项数为，因此需满足且，以此求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴最高次项指数， 解得：或， ∵第二项系数， ∴， ∴， 故答案为：． 11．①含有字母；②次数是3；请写出一个同时满足上述两个条件的单项式__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的定义及次数的概念，解题的关键是理解单项式次数是所有字母指数的和，并据此构造符合条件的单项式． 根据单项式次数的定义，确定字母、的指数和为，再写出含有字母、的单项式即可． 【详解】解：根据单项式次数的定义，所有字母的指数和为， 可令的指数为，的指数为， 则满足条件的单项式可以为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12．若关于的多项式不含二次项和一次项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式的项与系数的概念，关键是理解“多项式中不含某一项，则该项的系数为0”．先根据不含二次项和一次项的条件，建立关于、的方程，求解得到、的值，再将其代入代数式计算出最终结果． 【详解】解：∵关于的多项式不含二次项和一次项， ∴二次项的系数，一次项的系数． 解得，． ∴． 故答案为：． 13．把下列各式填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④，⑤y，⑥，⑦，⑧，⑨ 单项式集合{        …}； 多项式集合{        …}． 【答案】②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦ 【分析】本题主要考查的是整式，掌握单项式、多项式的定义是解题的关键． 根据单项式、多项式的定义解答即可． 【详解】解：单项式有：，，，，， 即单项式集合{②③⑤⑧⑨…}； 多项式有：，，，； 则多项式集合{①④⑥⑦…}． 故答案为：②③⑤⑧⑨；①④⑥⑦． 14．已知多项式是五次三项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求多项式的常数项与各项系数的和． (2)求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查单项式、多项式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）分别判断出多项式的常数项与各项系数，再求和即可； （2）根据多项式是五次三项式，可确定最高次项的次数为5，从而求出m；根据单项式的次数也为5，可求出n． 【详解】（1）解：∵多项式的常数项是，二次项系数是，一次项系数是2， ∴常数项与各项系数的和为； （2）解：∵多项式是五次三项式， ∴最高次项的次数为， 解得， ∵单项式的次数为，与多项式次数相同， ∴， 解得． 15．写出下列各多项式的项数和次数． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)项数为3，次数为2 (2)项数为4，次数为1 (3)项数为3，次数为4 【分析】本题主要考查了多项式的项数和次数， 先确定多项式的项，再判断次数即可．多项式中单项式的个数为多项式的项数，多项式中次数最高的单项式的次数是多项式的次数． 【详解】（1）解：一共有三项，即，其中次数最高的项是，次数是2次，所以的项数是3，次数是2； （2）解：一共有四项，即，单项式的次数都是1次，所以的项数是4，次数是1； （3）解：一共有三项，即，其中次数最高的项是，次数是4次，所以的项数是3，次数是4． 素养提升 1．下列关于单项式和多项式的结论正确的是（     ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是6 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 【答案】D 【分析】根据单项式的系数、次数定义，以及多项式的项数、次数定义逐一判断选项． 【详解】解：A、单项式的系数是，故本选项错误，不符合题意； B、单项式的次数是，故本选项错误，不符合题意； C、单项式的系数为，故本选项错误，不符合题意； D、多项式是二次三项式，故本选项正确，符合题意； 2．按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察题干的代数式，找出系数和次数的规律，推导得到第个代数式即可． 【详解】解：观察已知代数式可得 第1个代数式：， 第2个代数式： 第3个代数式：， 第4个代数式：， …… 以此类推：第个代数式中，的次数为，系数为， ∴第个代数式为． 3．多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．2或 【答案】C 【分析】二次三项式即多项式的最高次项的次数为2，且多项式含3个非零项，据此列条件计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴， 解得． 4．下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式；是多项式．其中正确的有（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式与多项式的相关概念，只需根据相关定义逐一判断每个说法即可． 【详解】解：多项式是三次三项式，原说法错误； 单项式的系数是，说法正确； 5是单项式，说法正确； 是多项式，说法正确． 综上，正确的是②③④，故选C． 5．下列说法错误的是（    ） A．是三次三项式 B．的次数是5 C．的系数是，次数是4 D．不是多项式 【答案】B 【分析】本题考查多项式的次数、系数和项数的概念，解题的关键是掌握以上概念． 根据多项式的定义判断每个选项的正确性． 【详解】解：∵ 多项式中，是常数项，次数为0，最高次项是，次数为2，∴ 该多项式的次数是2，不是5，故B错误； A：有三项，最高次项次数为3，正确； C：是单项式，系数为，次数为4，正确； D：是单项式，不是多项式，正确； 故选：B． 6．观察，，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第2026个单项式是_________． 【答案】 【分析】从符号，系数，指数三个部分总结出第个单项式的通用规律，再代入所求序号计算即可． 【详解】解：观察给出的一列单项式：，，，，，，， 可得：第个单项式（为正整数）为， 当时，． 7．已知是关于的二次三项式，则_____． 【答案】3 【分析】本题考查多项式的项数，次数的求解．根据二次三项式的定义，多项式的最高次数为2，且项数为3，因此三次项系数必须为零，且二次项必须存在． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴，，， ∴，， ∴． 故答案为：3． 8．若是关于的一次式，则______． 【答案】 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，多项式的项、项数或次数，多项式系数、指数中字母求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据一次式的定义，多项式最高次数为1，因此项系数为零，且的指数为1． 【详解】解：因为式子是关于的一次式， 所以项的系数， 解得：； 同时必须是一次项， 故， 解得：． 因此． 故答案为：． 9．已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 【答案】 【分析】首先根据多项式是六次三项式确定的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是六次三项式， ∴，且， 即 ，且， 当时，； 当时，； 综上，代数式的值为． 10．对于有理数m、n，定义一种新运算☆：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是单项式的次数，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了定义新运算、有理数的混合运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新运算法则，进行计算即可； （2）由题意可知，，根据新运算法则，先求，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）根据题意可知，，， ， ． 迁移创新 1．定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“雅系多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“雅系和”．例如：多项式的系数和为．所以多项式是“雅系多项式”，它的“雅系和”为28．请根据这个定义解答下列问题： (1)下列多项式属于“雅系多项式”的是________（填序号） ①；②；③； (2)若关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7，且a、b均为正整数，求的值； (3)若多项式是关于x，y的“雅系多项式”，则多项式也是关于x，y的“雅系多项式”吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)① (2) (3)不一定是，理由见解析 【分析】本题考查了多项式的系数，整数倍的分析，读懂题意，理解题目所给出的定义进行解答是关键． （1）根据“雅系多项式”的定义进行解答即可； （2）根据题意可得，整理为，因为均为正整数，则也为正整数，则分和进行讨论即可； （3）根据题意可得（为整数），即，将之代入中分析即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； ∵（为整数）， ∴不属于雅系多项式”； 故属于“雅系多项式”的是①， 故答案为：①； （2）解：∵关于x的“雅系多项式”的“雅系和”为7， ∴，即， ∵均为正整数， ∴也为正整数， 当时，则，即，则； 当时，则，即，则； 综上：的值为； （3）解：不是，理由如下： ∵多项式是关于x，y的“雅系多项式”， ∴（为整数）， ∴， ∴， 当，时，， 此时， 则，不是整数， ∴不一定是的整数倍， ∴多项式不一定是关于x，y的“雅系多项式”． 2．观察下面三行单项式： x，，，，，，；① ，，，，，，；② ，，，，，，；③ 根据你发现的规律，解答下列问题： （1）第①行的第8个单项式为_______； （2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______； （3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为当时，求的值． 【答案】（1）；（2），；（3）． 【分析】（1）观察第①行的前四个单项式，归纳类推出一般规律即可得； （2）分别观察第②行和第③行的前四个单项式，归纳类推出一般规律即可得； （3）先计算整式的加减进行化简，再将x的值代入即可得． 【详解】（1）第①行的第1个单项式为， 第①行的第2个单项式为， 第①行的第3个单项式为， 第①行的第4个单项式为， 归纳类推得：第①行的第n个单项式为，其中n为正整数， 则第①行的第8个单项式为， 故答案为：； （2）第②行的第1个单项式为， 第②行的第2个单项式为， 第②行的第3个单项式为， 第②行的第4个单项式为， 归纳类推得：第②行的第n个单项式为，其中n为正整数， 则第②行的第9个单项式为， 第③行的第1个单项式为， 第③行的第2个单项式为， 第③行的第3个单项式为， 第③行的第4个单项式为， 归纳类推得：第③行的第n个单项式为，其中n为正整数， 则第③行的第10个单项式为， 故答案为：，； （3）由题意得：， 当时，， ， ， 则， ， ． 【点睛】本题考查了单项式的规律型问题、整式的化简求值，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $