2.2 有理数的乘法与除法 同步讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的乘法与除法核心知识点，系统梳理倒数的定义及求法、有理数乘法法则（同号得正异号得负等）、除法法则（除以一个数等于乘其倒数），前承相反数与绝对值概念，为后续混合运算奠定基础，通过定义解析、方法指引、典例示范及变式练习构建完整学习支架。 该资料亮点在于注重对比辨析，如倒数与相反数的性质差异培养抽象能力，分层设计典例与变式题提升运算能力，融入水位变化、宫灯材料单位换算等实际情境增强应用意识。课中助力教师引导学生逻辑推理，课后通过过关验收帮助学生查漏补缺，巩固知识要点。

第2章 2.2 有理数的乘法与除法 内 容 导 航 题型1 倒数 题型2 有理数的乘法 题型3 有理数的除法 考 点 演 练 题型1 倒数 解｜题｜知｜识 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 【典例1】的倒数是（　　） A． B．﹣5 C． D．5 【变式1】下列各组数中，互为倒数的是（　　） A．﹣3与3 B．﹣3与|﹣3| C．﹣3与 D．﹣3与 【变式2】下列说法正确的是（　　） A．倒数等于它本身的数是1、﹣1和0 B．相反数等于本身的数只有1和﹣1 C．绝对值等于自身的数只有0和1 D．0既不是正数，也不是负数 【变式3】下列说法中正确的个数是（　　） ①互为倒数的两个数，它们的符号相同； ②互为相反数的两个数，它们的符号不同； ③任何一个非零有理数的偶次幂都是正数； ④若|a+b|＝﹣（a+b），则a+b＜0； ③绝对值等于其相反数的数是负数； ⑥分数都可以化为小数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4】|﹣3|与﹣（﹣3）的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．积为﹣9 【变式5】已知b的倒数为，则b　 　 ．（填“＞”“＝”或“＜”） 【变式6】已知A和B互为倒数，那么　　 ． 题型2 有理数的乘法 解｜题｜知｜识 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 【典例1】计算（﹣3）×（﹣2）的结果等于（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5 【变式1】有理数a，b在数轴上的位置如图，下列各式成立的是（　　） A．b＞0 B．|a|＞﹣b C．a+b＞0 D．ab＜0 【变式2】下列说法正确的有（　　） ①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或﹣3； ②已知a，b，c是有理数，且a+b+c＝0，abc＜0时，则的值为﹣1或3； ③若|a|＝|b|且，则式子a﹣2b的值为1． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3】已知非零有理数x，y满足2，则为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【变式4】水位上升为正，下降为负，如果水位每天下降4cm，那么3天后水位变化用算式正确的为（　　） A．（+4）×（+3） B．（+4）×（﹣3） C．（﹣4）×（+3） D．（﹣4）×（﹣3） 【变式5】下列说法正确的是（　　） A．0减去任何数都得原数 B．任何数都有倒数 C．同号两数相乘，符号不变 D．0的绝对值和相反数都是0 【变式6】已知|x|＝6，y＝8． （1）若xy＞0，求x+y的值； （2）若|x+y|＝x+y，求x﹣y的值． 题型3 有理数的除法 解｜题｜知｜识 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 【典例1】有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论： ①b﹣a＞0；②|a|＜|b|；③a+b＞0；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【变式2】下面运用了“转化”思想方法的有（　　） ① ② ③ ④ A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 【变式3】我们把2÷2÷2记作2③，（﹣4）÷（﹣4）记作（﹣4）②，那么计算9×（﹣3）④的结果为（　　） A．1 B．3 C． D． 【变式4】如果a+b＜0，0，那么下列结论成立的是（　　） A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 【变式5】下列说法：①a与﹣a互为相反数；②不相等的两个数绝对值不相等；③若m＜n＜0，则|m|＞|n|；④若1，则a、b互为相反数．其中正确的结论是（　　） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【变式6】洛阳宫灯2008年6月被列入第二批国家级非物质文化遗产名录．制作一套洛阳宫灯，需要用到以下材料：灯架主杆长180厘米，合　 　 米；包裹灯架的竹篾（miè）重3千克80克，合　 　 千克；粘贴灯面的桑皮纸面积是25平方分米，合　 平方米． 过 关 验 收 1. 的倒数是（　　） A．3 B． C． D．﹣3 2. 若a，b互为倒数，且a+ab＝3，则b＝　　 ． 3. 在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为（　　） A． B． C．或 D．或﹣2 4. 下列说法： ①符号相反的数互为相反数； ②﹣a一定是一个负数； ③正整数、负整数统称为整数； ④一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远； ⑤若三个有理数中只有1个负数，则这三个有理数的乘积必为正数；其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5. ①﹣a一定是负数；②﹣1是最大的负整数；③倒数等于它本身的数为±1；④绝对值等于它本身的数是正数；⑤如果几个不为0的数相乘，积为正数，则其中负因数的个数为偶数．正确的有（　　） A．①②③ B．②④⑤ C．②③⑤ D．①③④ 6. 现有以下结论：①正有理数、负有理数和0统称为有理数；②若两个数的差是正数，则这两个数都是正数；③任意一个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示；④若|a|＝|b|，则a＝b；⑤几个非零有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数；⑥数轴上到原点的距离为3的点表示的数是3或﹣3．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7. 若|m|＝4，|n|＝3，且mn＜0，则m+n＝　 　 ． 8. 若|a|，|b|＝3，且0，则a+b的值为（　　） A． B． C．± D．± 9. 已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，在下列结论中：①a＞b；②a+b＞0；③a﹣b＞0；④ab＜0；⑤0；正确的是（　　） A．①②⑤ B．③④ C．①③⑤ D．②④ 10. 下列说法中错误的是（　　） A．零除以任何非零数都是零 B．的倒数的绝对值是 C．相反数等于它本身的数是零和一切正数 D．除以一个数，等于乘以它的倒数 11. 小杰同学在本学期学习了有关“低碳生活”的内容后，查阅资料得到数据：一个普通快递包装约排放出200g二氧化碳，一盆绿萝每天约吸收0.15g二氧化碳．若要将一个快递包装排放出来的二氧化碳在一天内全部被吸收，至少需要绿萝（　　） A．1332盆 B．1333盆 C．1334盆 D．1335盆 12. 下列结论：①若|x|＝2，则x一定是2；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数； ③若|a+b|＝a﹣b，则a≥0，b＝0或a＝0，b≤0；④若a，b互为相反数，则．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13. 1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：5168421如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为　 　 ． 14. 某公园进行扩建，要栽一批树，已知这批树的成活率在80%～90%，如果要保证栽活1800棵，最少要栽　 　 棵树． 15. 如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 　 ；从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是 　 ． 16. 阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步） 第三步） （1）上面解题过程有两处错误： 第一处是第　 　 步，错误原因　 　 ； 第二处是第　 　 步，错误原因是　 　 ； （2）请写出正确的解题过程． 17. 随着工程进行，每天民工的经验都在增加，每天都比前一天多修一些．但是，到后半程，因为劳累，每天比前一天少修一些，每天递增的量一样、递减的量一样．最开始一天修了50丈，最后一天修了85丈，请问最中间一天修了多少丈？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 2.2 有理数的乘法与除法 内 容 导 航 题型1 倒数 题型2 有理数的乘法 题型3 有理数的除法 考 点 演 练 题型1 倒数 解｜题｜知｜识 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 【典例1】的倒数是（　　） A． B．﹣5 C． D．5 【答案】B 【解答】解：∵（）×（﹣5）＝1， ∴的倒数是﹣5， 故选：B． 【变式1】下列各组数中，互为倒数的是（　　） A．﹣3与3 B．﹣3与|﹣3| C．﹣3与 D．﹣3与 【答案】D． 【解答】解：A．∵﹣3×3≠1，∴﹣3和3不互为倒数，故不符合题意； B．|﹣3|＝3，∵﹣3×3≠1，∴﹣3和|﹣3|不互为倒数，故不符合题意； C．∵﹣31，∴﹣3和不互为倒数，故不符合题意； D．∵﹣3×（）＝1，∴﹣3和互为倒数，故符合题意． 故选：D． 【变式2】下列说法正确的是（　　） A．倒数等于它本身的数是1、﹣1和0 B．相反数等于本身的数只有1和﹣1 C．绝对值等于自身的数只有0和1 D．0既不是正数，也不是负数 【答案】D 【解答】解：A、0没有倒数，故A不符合题意； B、相反数等于本身的数只有0，故B不符合题意； C、非负数的绝对值等于自身，则绝对值等于自身的数只有0和1说法错误，故C不符合题意； D、0既不是正数，也不是负数，说法正确，故D符合题意． 故选：D． 【变式3】下列说法中正确的个数是（　　） ①互为倒数的两个数，它们的符号相同； ②互为相反数的两个数，它们的符号不同； ③任何一个非零有理数的偶次幂都是正数； ④若|a+b|＝﹣（a+b），则a+b＜0； ③绝对值等于其相反数的数是负数； ⑥分数都可以化为小数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解答】解：①互为倒数的两个数，它们的符号相同，符合题意； ②0的相反数是0，故原说法错误，不符合题意； ③任何一个非零有理数的偶次幂都是非负数，不符合题意； ④若|a+b|＝﹣（a+b），则a+b≤0，不符合题意； ③绝对值等于其相反数的数是非正数，不符合题意； ⑥分数都可以化为小数，符合题意， 故选：A． 【变式4】|﹣3|与﹣（﹣3）的关系是（　　） A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．积为﹣9 【答案】A 【解答】解：|﹣3|＝3，﹣（﹣3）＝3， 故选：A． 【变式5】已知b的倒数为，则b　＞　 ．（填“＞”“＝”或“＜”） 【答案】＞． 【解答】解：∵b的倒数为， ∴b＝2． ∵2， ∴b， 故答案为：＞． 【变式6】已知A和B互为倒数，那么　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵A和B互为倒数， ∴A×B＝1， ∴， 故答案为：． 题型2 有理数的乘法 解｜题｜知｜识 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 【典例1】计算（﹣3）×（﹣2）的结果等于（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．5 【答案】B 【解答】解：（﹣3）×（﹣2） ＝+（3×2） ＝6． 故选：B． 【变式1】有理数a，b在数轴上的位置如图，下列各式成立的是（　　） A．b＞0 B．|a|＞﹣b C．a+b＞0 D．ab＜0 【答案】D 【解答】解：由数轴可得， b＜0＜a，|a|＜|b|， 则a+b＜0，|a|＜﹣b，a﹣b＞0，ab＜0， 选项D正确． 故选：D． 【变式2】下列说法正确的有（　　） ①已知a，b，c是非零的有理数，且时，则的值为1或﹣3； ②已知a，b，c是有理数，且a+b+c＝0，abc＜0时，则的值为﹣1或3； ③若|a|＝|b|且，则式子a﹣2b的值为1． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解答】解：①∵a，b，c是非零的有理数，且1 ∴|abc|＞0． ∴abc＜0． ∴a、b、c三数中有一个负数，两个正数或三个均为负数， 当a、b、c三数中有一个负数，两个正数时， 1+1+1＝1． 当a、b、c三数均为负数时， 1﹣1﹣1＝﹣3． 故①符合题意． ②∵a+b+c＝0． ∴a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a． ∵abc＜0． ∴a、b、c三数中有一个负数，两个正数， 当a、b、c三数中有一个负数，两个正数时， 可令a为负，b和c为正． 则1﹣1﹣1＝﹣1． ∵a+b+c＝0， ∴a、b、c三数不能同时为负， 故②不符合题意． ③∵|a|＝|b|． ∴a＝±b． ∵|a﹣b|． ∴a﹣b＝±． ∴a，b或a，b． ∴a﹣2b＝1或﹣1． 故③不符合题意． 故选：B． 【变式3】已知非零有理数x，y满足2，则为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】B 【解答】解：∵非零有理数x，y满足2， ∴x＜0，y＜0， ∴xy＝|xy|， ∴1． 故选：B． 【变式4】水位上升为正，下降为负，如果水位每天下降4cm，那么3天后水位变化用算式正确的为（　　） A．（+4）×（+3） B．（+4）×（﹣3） C．（﹣4）×（+3） D．（﹣4）×（﹣3） 【答案】C 【解答】解：∵水位上升为正，水位下降为负， ∴每天变化为﹣4cm，经过3天， ∴（﹣4）×3＝﹣12， 即水位下降了12cm，总变化为（﹣4）×（+3）， 故选：C． 【变式5】下列说法正确的是（　　） A．0减去任何数都得原数 B．任何数都有倒数 C．同号两数相乘，符号不变 D．0的绝对值和相反数都是0 【答案】D 【解答】解：A.0减去任何数a，得﹣a，而非a，故该选项错误，不符合题意； B.0没有倒数，而非任何数都有倒数，故该选项错误，不符合题意； C．如两个负数相乘，是同号两数相乘，结果为正，故该选项错误，不符合题意； D．|0|＝0，且0的相反数为0，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式6】已知|x|＝6，y＝8． （1）若xy＞0，求x+y的值； （2）若|x+y|＝x+y，求x﹣y的值． 【答案】（1）14；（2）﹣2或﹣14． 【解答】解（1）∵|x|＝6，y＝8，xy＞0， ∴x＝6，y＝8， ∴x+y＝6+8＝14； （2）∵|x+y|＝x+y， ∴x+y＞0， ∵|x|＝6，y＝8， ∴x＝±6，y＝8， ∴x﹣y＝6﹣8＝﹣2， 或x﹣y＝﹣6﹣8＝﹣14， ∴x﹣y的值是﹣2或﹣14． 题型3 有理数的除法 解｜题｜知｜识 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 【典例1】有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论： ①b﹣a＞0；②|a|＜|b|；③a+b＞0；④．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【解答】解：根据图示，可得a＜0，b＞0，|a|＜b， ∴①b﹣a＞0，故正确； ②|a|＜|b|，故正确； ③a+b＞0，故正确； ④0，故错误． ∴正确的是①②③． 故选：B． 【变式2】下面运用了“转化”思想方法的有（　　） ① ② ③ ④ A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：①除法转化为乘法运算，运用了转化思想，符合题意； ②把小数的乘法转化为整数的乘法，运用了转化思想，符合题意； ③求平行四边形的面积转化为求长方形的面积，运用了转化思想，符合题意； ④求圆柱体的体积转化为求长方体的体积，运用了转化思想，符合题意． 综上所述，用了“转化”思想方法的有①②③④． 故选：D． 【变式3】我们把2÷2÷2记作2③，（﹣4）÷（﹣4）记作（﹣4）②，那么计算9×（﹣3）④的结果为（　　） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【解答】解：9×（﹣3）④＝9×[（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）] ＝9 ＝1， 故选：A． 【变式4】如果a+b＜0，0，那么下列结论成立的是（　　） A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 【答案】B 【解答】解：∵0， ∴a和b同号． 又∵a+b＜0， ∴a＜0，且b＜0． 故选：B． 【变式5】下列说法：①a与﹣a互为相反数；②不相等的两个数绝对值不相等；③若m＜n＜0，则|m|＞|n|；④若1，则a、b互为相反数．其中正确的结论是（　　） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【解答】解：①a与﹣a互为相反数； ②不相等的两个数绝对值有可能相等，例如3≠﹣3，|3|＝|﹣3|＝； ③若m＜n＜0，则|m|＞|n|； ④若1，则a、b互为相反数． 故选：D． 【变式6】洛阳宫灯2008年6月被列入第二批国家级非物质文化遗产名录．制作一套洛阳宫灯，需要用到以下材料：灯架主杆长180厘米，合　1.8　 米；包裹灯架的竹篾（miè）重3千克80克，合　3.08　 千克；粘贴灯面的桑皮纸面积是25平方分米，合　0.25　 平方米． 【答案】1.8；3.08；0.25． 【解答】解：180厘米＝180÷100＝1.8米， ∵80克＝80÷1000＝0.08千克， ∴3千克80克＝3+0.08＝3.08千克， 25平方分米＝25÷100＝0.25平方米． 故答案为：1.8；3.08；0.25． 过 关 验 收 1. 的倒数是（　　） A．3 B． C． D．﹣3 【答案】D 【解答】解：． 的倒数是﹣3． 故选：D． 2. 若a，b互为倒数，且a+ab＝3，则b＝　　 ． 【答案】 【解答】解：∵a，b互为倒数， ∴ab＝1， ∵a+ab＝3， ∴a+1＝3， ∴a＝2， ∴2b＝1， ∴． 故答案为：． 3. 在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，a、b、c三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为（　　） A． B． C．或 D．或﹣2 【答案】B 【解答】解：设a的值为x，则b的值为x+1，c的值为x+3， 当x+x+1+x+3＝x时，x＝﹣2， a＝﹣2，b＝﹣1，c＝1， abc＞0，不合题意； 当x+x+1+x+3＝x+1时，x， a，b，c， abc＞0，不合题意； 当x+x+1+x+3＝x+3时，x， a，b，c， abc＜0，符合题意， 故选：B． 4. 下列说法： ①符号相反的数互为相反数； ②﹣a一定是一个负数； ③正整数、负整数统称为整数； ④一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远； ⑤若三个有理数中只有1个负数，则这三个有理数的乘积必为正数；其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：①只有符号相反的数互为相反数，原说法错误； ②﹣a不一定是一个负数，例如当a＝0时，﹣a＝0，此时不是负数，原说法错误； ③正整数、负整数和0统称为整数，原说法错误； ④一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，原说法正确； ⑤若三个有理数中只有1个负数，则这三个有理数的乘积不一定为正数，例如有乘数为0时，结果为0，不是正数，原说法错误； ∴说法正确的只有1个， 故选：A． 5. ①﹣a一定是负数；②﹣1是最大的负整数；③倒数等于它本身的数为±1；④绝对值等于它本身的数是正数；⑤如果几个不为0的数相乘，积为正数，则其中负因数的个数为偶数．正确的有（　　） A．①②③ B．②④⑤ C．②③⑤ D．①③④ 【答案】C 【解答】解：①﹣a不一定是负数，若a为0，则﹣a也是0，故原说法不正确； ②﹣1是最大的负整数，正确； ③倒数等于它本身的数为±1，正确； ④正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，所以绝对值等于它本身的数是正数和0，故原说法不正确； ⑤如果几个不为0的数相乘，积为正数，则其中负因数的个数为偶数，正确； 综上所述，说法正确的有②③⑤， 故选：C． 6. 现有以下结论：①正有理数、负有理数和0统称为有理数；②若两个数的差是正数，则这两个数都是正数；③任意一个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示；④若|a|＝|b|，则a＝b；⑤几个非零有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数；⑥数轴上到原点的距离为3的点表示的数是3或﹣3．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：①∵正有理数、负有理数和0可以统称为有理数， ∴①说法正确； ②∵若两个数的差是正数，则这两个数不一定都是正数，比如：5﹣（﹣1）＝6， ∴②的说法错误； ③∵每个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示， ∴③的说法正确； ④∵若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b， ∴④的说法错误； ⑤∵多个数相乘法则：几个非零有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数， ∴⑤的说法正确； ⑥∵数轴上到原点的距离为3的点表示的数是3或﹣3， ∴⑥的说法正确， 综上可知：说法正确的有4个， 故选：C． 7. 若|m|＝4，|n|＝3，且mn＜0，则m+n＝　1或﹣1　 ． 【答案】1或﹣1 【解答】解：∵|m|＝4，|n|＝3， ∴m＝±4，n＝±3， ∵mn＜0， ∴m＝4，n＝﹣3或m＝﹣4，n＝3， ∴m+n＝1或﹣1， 故答案为：1或﹣1． 8. 若|a|，|b|＝3，且0，则a+b的值为（　　） A． B． C．± D．± 【答案】D 【解答】解：∵|a|，|b|＝3， ∴a＝±，b＝±3， ∵0， ∴a，b＝﹣3，a+b， a，b＝3，a+b， ∴a+b＝±． 故选：D． 9. 已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，在下列结论中：①a＞b；②a+b＞0；③a﹣b＞0；④ab＜0；⑤0；正确的是（　　） A．①②⑤ B．③④ C．①③⑤ D．②④ 【答案】C 【解答】解：由数轴知，b＜a＜0， ∴①a＞b，选项正确，符合题意； ②a+b＜0，选项错误，不符合题意； ③a﹣b＞0，选项正确，符合题意； ④ab＞0，选项错误，不符合题意； ⑤0，选项正确，符合题意； 故选：C． 10. 下列说法中错误的是（　　） A．零除以任何非零数都是零 B．的倒数的绝对值是 C．相反数等于它本身的数是零和一切正数 D．除以一个数，等于乘以它的倒数 【答案】C 【解答】解：根据被除数为0的有理数的除法法则可知A正确； 根据倒数和绝对值的定义可知B正确； 相反数等于它的本身的数只有0，C错误； 根据被除数为0的有理数的除法法则可知D正确． 故选：C． 11. 小杰同学在本学期学习了有关“低碳生活”的内容后，查阅资料得到数据：一个普通快递包装约排放出200g二氧化碳，一盆绿萝每天约吸收0.15g二氧化碳．若要将一个快递包装排放出来的二氧化碳在一天内全部被吸收，至少需要绿萝（　　） A．1332盆 B．1333盆 C．1334盆 D．1335盆 【答案】C 【解答】解：一个快递包装排放200g二氧化碳，每盆绿萝每天吸收0.15g． 需要绿萝的盆数为：（盆）， 由于绿萝盆数必须为整数，且1333盆仅能吸收1333×0.15＝199.95（g）， 剩余200﹣199.95＝0.05g未被吸收， 因此需增加1盆，即至少需要1334盆， 1334盆可吸收1334×0.15＝200.1g满足全部吸收要求． 故选：C． 12. 下列结论：①若|x|＝2，则x一定是2；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数； ③若|a+b|＝a﹣b，则a≥0，b＝0或a＝0，b≤0；④若a，b互为相反数，则．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：①若|x|＝2，那么x＝±2，故说法错误； ②若干个有理数相乘，如果含有0因数，则乘积是0，故说法错误； ③|a+b|＝a﹣b，则a≥0、b＝0或a＝0、b≤0，故正确； ④若a、b（a，b不为0）互为相反数，则1，故说法错误． 所以正确的个数有1个， 故选：A． 13. 1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：5168421如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为　10或64　 ． 【答案】10或64 【解答】解：如图，利用倒推法可得： 由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2， 由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4， 由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8 由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16， 由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32， 由第1次计算后得5，可得原数为10， 由第1次计算后32，可得原数为64， 故答案为：10或64． 14. 某公园进行扩建，要栽一批树，已知这批树的成活率在80%～90%，如果要保证栽活1800棵，最少要栽　2250　 棵树． 【答案】2250． 【解答】解：由题意可得：1800÷80%＝2250（棵）， ∴最少要栽2250棵树． 故答案为：2250． 15. 如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 　　 ；从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是 　105　 ． 【答案】（1）； （2）105． 【解答】解：（1）由题意可得：抽取﹣7，+2，最小的商是， 故答案为：； （2）由题意可得：抽取﹣7，﹣3，5，最大的乘积是105． 故答案为：105． 16. 阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步） 第三步） （1）上面解题过程有两处错误： 第一处是第　二　 步，错误原因　没有按同级运算从左至右运算　 ； 第二处是第　三　 步，错误原因是　符号错误　 ； （2）请写出正确的解题过程． 【答案】（1）二，没有按同级运算从左至右运算，三，符号弄错 （2）． 【解答】解：（1）第一处是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算， 第二处是第三步，错误原因是符号弄错， 故答案为：二，没有按同级运算从左至右运算，三，符号错误； （2）． ． 17. 阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步） （第三步） （1）上面解题过程有两处错误： 第一处是第 　二　 步，错误原因是 　没有按同级运算从左至右运算　 ； 第二处是第 　三　 步，错误原因是 　符号弄错　 ； （2）请写出正确的结果 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）第一处是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算． 第二处是第三步，错误原因是符号弄错． （2）原式＝﹣15÷（）×6 ＝156 ． 故答案为：（1）二，没有按同级运算从左至右运算．三，符号弄错． （2） ． 18. 随着工程进行，每天民工的经验都在增加，每天都比前一天多修一些．但是，到后半程，因为劳累，每天比前一天少修一些，每天递增的量一样、递减的量一样．最开始一天修了50丈，最后一天修了85丈，请问最中间一天修了多少丈？ 【答案】最中间一天修了67.5丈． 【解答】解：（50+85）÷2＝135÷2＝67.5（丈）， 答：最中间一天修了67.5丈． 学科网（北京）股份有限公司 $