02讲 有理数的乘法与除法 暑期预习讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数乘法与除法核心知识点，系统梳理乘法法则（同号得正等）、运算律（交换律等）、倒数概念、除法法则（除以数等于乘倒数）及乘除混合运算，构建从基础法则到综合运算的递进学习支架。 资料通过分层设计（巩固基础、直击考点），结合实际应用（如救灾行程、质量检测）和新定义问题，培养学生运算能力与应用意识。课中辅助教师教学，课后作业含模拟题与综合题，助力学生查漏补缺，提升解决问题能力。

第二章 有理数的运算 02讲 有理数的乘法与除法目录 【知识点1. 有理数乘法法则与运算律 1】 【知识点2. 倒数 4】 【知识点3. 有理数除法法则 4】 【知识点4. 有理数的乘除混合运算 4】 【考点1. 有理数的乘法运算 8】 【考点2. 有理数乘法的实际应用 12】 【考点3. 有理数乘法的新定义问题 17】 【考点4. 有理数的除法运算 18】 【考点5. 有理数除法的实际应用 23】 【考点6. 有理数除法的新定义问题 26】 【考点7. 有理数的四则混合运算 29】 【考点8. 有理数四则混合运算的实际应用 33】 【课后作业 37】 知识清单：有理数乘法法则与运算律 1、有理数乘法法则 1） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2） 任何数同0相乘，都得0. 3） 几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数的个数是偶数时，积是正数，负因数的个数是奇数时，积是负数。 2、有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 注意：1）当用字母表示乘数时，“"号可以写为“”或省略； 2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果； 巩固基础 1. 计算 ______． 【答案】6 【详解】解：6． 2．计算______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数乘法法则，正数与负数相乘，结果为负，并将绝对值相乘． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： （1）_______（______________）_______； （2）_______（______________）_______； （3）_______（______________）_______； （4）_______（______________）_______； （5）_______． 【答案】 3 6 12 2 24 0 【分析】本题考查了有理数的乘法， 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0．几个有理数相乘的符号法则∶当负因数的个数为偶数时，积为正；当负因数的个数为奇数时，积为负，再把所有因数的绝对值相乘， （1）（2）（3）（4）（5）根据有理数的乘法法则求解即可． 【详解】解∶（1）， 故答案为：，3，6，； （2）， 故答案为：，12，2，24； （3）， 故答案为：，，，； （4）， 故答案为：，，，； （5）， 故答案为：0． 4．计算： （____）（____） （____）（____） ____． 【答案】 8 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，解题的关键是熟练掌握有理数乘法的交换律和结合律． 根据有理数乘法的交换律和结合律求解即可． 【详解】 ． 故答案为：，，，8，． 5．________； 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．计算：_______． 【答案】 【分析】该题主要考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． 将化为，再根据乘法交换律解答即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 知识清单：倒数、有理数除法与乘除混合运算 1、倒数 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：① 倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。 ② 没有倒数。 ③ 互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 ① 非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数； ② 带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 注意：1）注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来； 2）互为倒数的两个数的符号一定是相同的； 3）倒数等于本身的数有：1、-1。 2、有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 注意：乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算括号里面的，分数可以理解为分子除以分母。 巩固基础 1．的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“乘积为1的两个数互为倒数”计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴的倒数是． 2．一个数的倒数等于它本身，则这个数是（ ） A．1 B． C． D．和0 【答案】C 【分析】根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数，找出倒数等于自身的数即可． 【详解】解：∵， ∴1的倒数是1， ∵， ∴的倒数是， ∵0没有倒数， ∴选项D不符合题意， 综上：倒数等于本身的数是1和． 3．的倒数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此可得答案． 【详解】解：， ∵， ∴的倒数是， 故答案为：． 4．化简：_______． 【答案】 【分析】本题考查了分数的化简． 求出最大公因数，化简即可． 【详解】， 故答案为：． 5．计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先把小数转化为分数，然后转换为乘法，按照乘法法则计算即可解答． 【详解】解；； 故答案为：． 6. 化简：（1）（____）（____）____； （2）（____）（____）____． 【答案】 144 【分析】本题考查的是有理数的除法运算， （1）根据分数线的含义先化为除法运算，再计算即可； （2）根据分数线的含义先化为除法运算，再计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：，， （2）； 故答案为：，，144 7．计算： （1）（____）＝____； （2）（____÷____）＝____． 【答案】 11 0.96 0.06 16 【分析】本题考查的是有理数的除法运算，根据有理数除法运算法则计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：；11； （2）； 故答案为：0.96；0.06；16． 8．计算： 【答案】 【详解】解： 9．计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．计算：． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 11．计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是掌握有理数乘除运算法则．利用有理数乘除运算法则即可求解． 【详解】解： ． 直击考点 【考点1：有理数的乘法运算】 例1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算方法以及运算顺序为解题关键 （1）利用乘法交换律进行计算有理数乘法即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） 例2．计算： 【答案】30 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键．利用有理数乘法的分配律计算即可得． 【详解】解：原式 ． 变式1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握运算法则“多个有理数相乘，符号由负因数个数决定，当负因数个数是奇数时，结果为负；当负因数个数是偶数时，结果为正”． （1）根据有理数乘法法则求解即可； （2）根据有理数乘法法则求解即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． ． 变式2．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的简便运算． 先将带分数化为假分数，根据乘法分配律计算即可． 【详解】 ． 变式3．计算： 【答案】12 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用乘法分配律展开计算即可． 【详解】解：根据乘法分配律， ． 变式4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)20 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，掌握有理数乘法法则，以及乘法交换律、结合律、分配律在有理数乘法运算中的应用，利用这些运算律可简化计算是解题的关键． （1）本题考查多个有理数的乘法运算，根据有理数乘法法则，先确定积的符号，再结合乘法结合律简化计算； （2）本题可利用乘法交换律和结合律，将能凑整的数结合在一起，简化多个有理数的乘法运算； （3）本题适合运用乘法分配律，把括号外的数分别与括号内的每一项相乘，再进行计算； （4）本题需要先将带分数变形为一个整数与一个分数的差，然后利用乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【考点2：有理数乘法的实际应用】 例1．在某次抗险救灾中，消防官兵的冲锋舟沿东西方向的河流营救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：）：，，，，，，，． (1)通过计算说明地在地的什么方向，与地相距多远？ (2)若冲锋舟每千米耗油，油箱容量为，求途中还需补充多少升油． 【答案】(1)地在地的东边千米； (2)途中还需补充升油． 【分析】（）把题目中所给数值相加，若结果为正数则地在地的东边，若结果为负数，则地在地的西边； （）先求出这一天走的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量． 【详解】（1）解：∵， ∴地在地的东边千米； （2）解：∵这一天走的总路程为：（千米）， ∴应耗油， ∴还需补充的油量为：， 答：途中还需补充升油． 例2．奥运pin（徽章）是奥运会期间由主办方、参赛代表队等推出的一种纪念品，奥运pin的交换，不仅是一种收藏行为，更是一种跨越语言障碍的文化交流，也传递了奥林匹克精神中的团结与相互理解．巴黎奥运会期间，中国的熊猫pin因其可爱的形象和精美的工艺深受大家的喜爱．某工厂从制作的熊猫pin中抽取30枚样品，检测每枚的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值/g 0 1 2 3 枚数 1 3 5 9 6 4 2 (1)若允许有的误差，30枚样品中不合格的有 枚． (2)30枚样品中，质量最大的一枚比质量最小的一枚多多少克？ (3)与标准质量相比，30枚样品总计超过或不足的质量为多少克？ 【答案】(1)3 (2)6克 (3)6克 【分析】（1）根据绝对值大于2的有枚可得答案； （2）由超过最多的减去不足最多的可得答案； （3）把不足的与超过的相加，根据结果可得答案． 【详解】（1）解：若允许有的误差， 则30枚样品中不合格的有（枚）； （2）解：（克）， 即30枚样品中，质量最大的一枚比质量最小的一枚多6克； （3）解： （克）， 即与标准质量相比，30枚样品总计超过的质量为6克． 变式1．“国庆黄金周”的某天下午，出租车司机小张的客运路线是在南北走向的建军路大街上，如果 规定向南为正、向北为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下： ． (1)求收工时小张在出发点的什么方向？此时距离下午出车时的出发点多远？ (2)若汽车耗油量为，这天下午小张共耗油多少升？ 【答案】(1) 收工时小张在出发点的北方，距离出发点9千米； (2) 这天下午小张共耗油17升． 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）把行车记录相加，再根据正、负数的意义解答即可； （2）求出所有行车记录的绝对值的和，再乘以0.2计算即可得解． 【详解】（1）解：（千米）， 答：收工时小张在出发点的北方，距离出发点9千米； （2）解： （千米）， （升）． 答：这天下午小张共耗油17升． 变式2．如图是某市某一条东西方向直线上的公交线路，东起公园路站，西至西城站，途中共设个上下车站点，某天，小刚参加该线路上的志愿者服务活动，从家家悦站出发，最后在站结束服务活动，如果规定向东为正，向西为负，小刚当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：，，，，，，，，． (1)请通过计算说明站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离约为千米，求这次小刚志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是多少千米？ 【答案】(1)站是市中广场 (2)这次小刚志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是千米 【分析】本题主要考查了正负数的应用，有理数乘法的应用． （1）把乘车站数的记录进行相加，最后的结果如果为正说明点在家家悦站东边，如果为负就在家家悦站西边，如果为即在家家悦站； （2）先求出小刚一共乘车经过的站数，再根据每一站的距离为千米进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴在结束服务时，小刚在家家悦站东边距离华联站2站的位置，即小小刚在市中广场， 答：站是市中广场； （2）解：站， 千米， 答：这次小刚志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是千米． 变式3．爱乐实水果超市以每箱元的价格从水果批发市场购进箱橘子，若以每箱净重为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表： 与标准质量的差值/kg 0 箱数 3 3 7 5 2 (1)这箱橘子的总质量是多少？ (2)需要将橘子从批发市场送到水果超市，现有两种取货方式：方式一：批发市场送货上门，需另交120元送货费；方式二：超市雇车自取，需支付租车费和装卸费：租车费80元，装卸费：以内（包括）30元，超出的部分元．请你根据计算说明超市应选择哪种取货方式，并求出20箱橘子的成本． 【答案】(1)这20箱橘子的总质量是300千克 (2)超市应选择方式一，20箱橘子的成本为1320元 【分析】本题考查正负数的应用，有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的运算法则是关键． （1）先算出箱橘子标准重量，再加上标准质量的差值即可； （2）分别计算出两种成本，比较后即可解答． 【详解】（1）（千克） 箱橘子的总质量是千克； （2）方式一，成本（元）， 方式二：取货费用为（元）， 成本为， ， 选择方式一，成本元． 变式4．“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 已知9月30日的游客人数为0.5万人，请回答下列问题： (1)10月2日的游客有______万人； (2)这七天内游客人数最多的是哪天，最少的是哪天，分别有多少万人？ (3)若该景区的票价为100元／人，求这7天该景区门票的总收入是多少万元？ 【答案】(1) (2)这七天内游客人数最多的是10月3日，为3.3万人，最少的是10月7日，为1万人 (3)这七天该景区门票的总收入为1610万元 【分析】本题考查了正数的应用、有理数的运算的应用： （1）将9月30日以及1日和2日的人数相加即可求解； （2）根据题意，将每一天的人数计算出来，再进行比较即可求解， （3）将七天的总人数计算出来，再乘票价即可求解； 理清题意，找准数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解： （万人）， 故10月2日的游客有万人， 故答案为：． （2）解：1日游客人数：万人， 2日游客人数：万人， 3日游客人数：万人， 4日游客人数：万人， 5日游客人数：万人， 6日游客人数：万人， 7日游客人数：万人， 因为， 所以，这七天内游客人数最多的是10月3日，为3.3万人，最少的是10月7日，为1万人． （3）解：这七天游客总数为：（万人）， （万元）， 答：这七天该景区门票的总收入为1610万元． 【考点3：有理数乘法的新定义问题】 例1．定义“”运算：，则的运算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，掌握新定义运算法则，并正确计算是解题的关键．根据定义的新运算列式，再进行计算即可． 【详解】解：由， 得 ， 故选：C． 例2．对于有理数a，b，定义新运算：，则的值为（   ） A．12 B． C． D．48 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，直接根据新定义计算，即可求解，熟练掌握根据新定义进行计算是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， 故选：B． 变式1．定义新运算“”，规定，则的值为（      ） A． B． C．6 D．18 【答案】A 【分析】本题考查新定义，有理数的乘法运算，解答本题的关键是明确新定义和有理数乘法运算的计算方法．根据，可以求得所求式子的值，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 变式2．用“※”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定．如，则的值为（    ）． A．12 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，将新定义运算转化成有理数混合运算成为解题的关键． 先将新定义运算转化成有理数混合运算，然后再计算即可． 【详解】解：． 故选D． 变式3．定义新运算：．请利用此定义计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查的是有理数的乘法计算法则，明确新运算的计算法则是解决这个问题的关键． 根据新运算的运算法则首先求出的值，然后再计算后面的值，从而得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为： 【考点4：有理数的除法运算】 例1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）按照有理数除法的运算法则计算即可； （2）按照有理数除法的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2)0 【分析】根据有理数的除法运算法则，分别对每个小题进行计算，即可得到答案． 本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法的运算法则进行解题． 【详解】（1） ； （2） ． 变式1．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)16 (2) (3)0 【分析】本题考查了有理数的除法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把除法化为乘法，再结合乘法法则进行计算，即可作答． （2）先把除法化为乘法，再结合乘法法则进行计算，即可作答． （3）根据0除以一个非0的数都等于0，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 变式2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是有理数的除法运算； （1）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数即可得到答案； （2）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数即可得到答案； （3）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数即可得到答案； （4）根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，先计算括号内的除法运算，进一步计算即可得到答案； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 变式3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)4 (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据有理数的除法运算法则，分别对每个小题进行计算，即可得到答案． 本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法的运算法则进行解题． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 变式4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘除运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先将除法变成乘法，再进行计算即可； （2）先将除法变成乘法，再进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【考点5：有理数除法的实际应用】 例1．小虫从某点出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，．问： (1)小虫是否回到出发点？ (2)小虫离开出发点最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行3厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫回到了出发点 (2)小虫离开出发点最远是12厘米 (3)小虫共可得到18粒芝麻 【分析】（1）将数据相加即可求解； （2）分别求出每一次离开出发点的距离，再比较即可； （3）把各数的绝对值相加求出爬行的路程和，再除以3即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：， 故小虫回到原点； （2）解：第一次爬行，此时离开出发点5厘米， 第二次爬行，此时离开出发点厘米， 第三次爬行，此时离开出发点厘米， 第四次爬行，此时离开出发点厘米， 第五次爬行，，此时离开出发点厘米 第六次爬行，此时离开出发点厘米， 第7次爬行，此时离开出发点厘米， 故小虫离开出发点最远是12厘米； （3）解：小虫共爬行的路程为： 厘米， 粒， 小虫共可得到18粒芝麻． 例2．某牛肉干的某种包装每袋标准克数为克，小明在超市购买时，对五袋牛肉干称量结果（记超过标准的克数为正，单位：克）记录如下：．   (1)这五袋牛肉干合计多少克？ (2)若重量超过标准克数的牛肉干为良品，求这五袋牛肉干的良品率．（良品率良品数总数） 【答案】(1)克 (2) 【分析】（）用袋标准克数的重量加上记录数据的和即可求解； （）根据正负数的意义确定出良品数，再根据良品率的计算方法计算即可； 本题考查了正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用，有理数除法的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：（克）， 答：这五袋牛肉干合计克； （2）解：， 答：这五袋牛肉干的良品率为． 变式1．某次数学演讲比赛中，某选手得分情况如下：90、85、89、92、80、88、87、93．要想计算出平均分，可以直接把8个数相加，再用和除以8．小明在学习了正负数以后，提出以下方法：若以90分为标准，超出部分记为正，低于部分记为负，那么这位选手的得分是：0、、、、、、、．请帮助小明继续完成计算． 【答案】88分 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】解：（分）， 即这位选手的得分是88分． 变式2．某食品厂在产品中抽出20袋样品，检查其质量是否达标，每袋的标准质量为200克，超过标准的部分用正数表示，不足的部分用负数表示： 与标准质量的差/克 0 1 1.5 2.5 袋数/袋 1 4 3 4 3 2 3 (1)这批样品的总质量比标准总质量多还是少？多或少几克？ (2)求这批样品每袋的平均质量是多少克？ 【答案】(1)总质量比标准总质量少2克 (2)这批样品每袋的平均质量为199.9克 【分析】本题考查了正负数及有理数乘除法的实际应用，解题的关键是掌握正负数表示相反意义的量，正确计算． （1）把记录结果相加求和即可得； （2）先求出这批样品的总质量，再除以样品数即可得． 【详解】（1）解： 答：总质量比标准总质量少2克． （2）解：（克） 答：这批样品每袋的平均质量为199.9克． 变式3．小李服装店里有30件上衣，这些上衣每件进价为32元，小李由于急用钱，他利用三天的时间将30件上衣全部甩卖．在卖的过程中，他针对不同顾客，30件上衣的售价不完全相同，他原计划以平均每件32元的价格售出，将每件超过32元的钱数记为正，每件不足的钱数记为负，小李记录结果如下： 售出件数 7 6 3 5 4 5 售价／（元／件） 0 (1)这30件上衣中，卖最贵的上衣比最便宜的上衣一件贵多少元． (2)小李售完30件上衣，一共赚（赔）多少钱？ (3)请帮小李算算售完30件上衣，平均每件价格比进价多了几元？ 【答案】(1)9 (2)6元 (3)0.2元 【分析】本题主要考查有理数四则运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据表格可知最贵的一件上衣是36元，最便宜的是27元，然后问题可求解； （2）根据表格及题意可列算式为，然后进行求解即可； （3）根据（2）可知售完这30件衣服一共赚了6元，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由表格可得：（元）； 答：卖最贵的上衣比最便宜的上衣一件贵9元． （2）解：由题意得： （元）； 答：售完这30件上衣一共赚了6元． （3）解：由（2）可知：售完这30件衣服一共赚了6元， ∴每件上衣赚了（元）， 答：平均每件价格比进价多了0.2元． 【考点6：有理数除法的新定义问题】 例1．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了新定义运算，根据题意得出是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ 故选：D 例2． （其中表示不超过的最大整数，如，等等）． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，能够理解取整的函数是解答本题的关键．利用取整函数把算式变为，再进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 变式1．对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．对下列三个人的说法判断正确的是（　　） 小嘉说：247是13的“和倍数”    小淇说：441是9的“和倍数” 小华说：214、357均不是“和倍数” A．三人说法都对 B．只有一人说法不对 C．小华说的不对 D．只有一人说法对 【分析】本题考查了新定义问题，根据新定义问题进行计算是解题关键．根据“和倍数”的定义依次判断即可 【详解】解∶∵ ， ∴247是13的“和倍数”，故小嘉的说法正确； ∵ ， ∴441是9的“和倍数”，故小淇的说法正确； ∵ ， ∴214不是“和倍数”， ∵ ， ∴357不是“和倍数”，故小华的说法正确； 故选：A． 变式2．我们规定，则（    ） A． B．1 C． D． 【分析】本题考查了有理数的乘除法、有理数的大小比较，正确理解规定的运算法则是解题关键．先根据规定的运算法则进行转化，再计算有理数的乘除法求解即可得． 【详解】解：由题意得： ， 故选：C． 变式3．对于任意的非零且不相等的两个有理数a，b，定义：，解决以下问题：(1)计算； (2)计算； (3)请你举例验证一下交换律即在这一运算中是否成立。（举一个例子即可）。 【分析】（1）根据新定义直接列式计算即可； （2）根据新定义先计算，再计算即可； （3）令，，分别计算和进行验证即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ； （3）解：令，，则，， ∵，∴在这一运算中不成立． 【考点7：有理数的四则混合运算】 例1．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 例2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算． （1）先计算乘除法，再计算减法即可； （2）先计算乘除法，再计算加法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 变式1．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)4 (2) (3)3 (4) 【分析】本题考查了有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先利用加法的结合律进行同号加法，再计算异号加法即可； （2）先除法转化为乘法，然后连乘直接计算即可求出值； （3）先计算乘除运算，在从左向右计算即可求出值； （4）先将除法转化为乘法，再利用乘法的分配律计算即可简便计算. 【详解】（1） （2）原式 （3）原式 （4） 变式2．能简算的要简算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用有理数四则混合运算法则即可求解； （2）利用有理数四则混合运算法则即可求解； （3）将原式化为即可求解； （4）将原式化为即可求解； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 变式3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减法运算，乘法分配律的运用，在解答时弄清运算的顺序是解答的关键． （1）先计算绝对值，再算乘法，最后进行加减计算即可； （2）运用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 变式4．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数乘法运算律，有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）利用乘法分配律计算即可； （2）按照运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【考点8：有理数四则混合运算的实际应用】 例1．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，国庆期间小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） 0 (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知小明家原汽油车每行驶需用汽油8.5升，汽油价7.8元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 【答案】(1)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400千米 (2)小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省231.6元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正负数的实际应用，正确的列出算式是解题的关键： （1）用每天的标准路程乘以7，加上表格中的数据的总和，进行计算即可； （2）用总的油价减去总的电费，进行求解即可． 【详解】（1）解：（千米）； 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了400千米； （2）（元）； 答：小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省231.6元． 例2．小明家在电影院的正西650米，小东家在电影院的正东700米．周末两人约好去看下午3时放映的电影．两人下午同时从家里出发走向电影院，小明每分钟步行70米，小东每分钟步行65米．两人能在电影院相遇吗？如果小明先到电影院后不停留继续向东走，从出发到两人相遇要用多长时间？相遇地点距离电影院有多远？ 【答案】下午两人不能在电影院相遇；小明先到电影院后不停留继续向东走，从出发到两人相遇要用10分钟，相遇地点距离电影院50米 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据题意列出算式是解题的关键．先求出小东到达电影院的时间，然后与10分钟进行比较即可得出下午两人不能在电影院相遇；根据总距离和两个人的速度，求出相遇时间，然后求出相遇点距离电影院的距离即可． 【详解】解：（分钟）， 因为，所以两人不能在电影院相遇； （分钟）， （米）， 即小明先到电影院后不停留继续向东走，从出发到两人相遇要用10分钟，相遇地点距离电影院50米． 变式1．某车厂计划平均每天生产童车200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入。如表是某周的生产情况（超产为正、减产为负，单位：辆） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 (1)根据记录可知前三天共生产_____辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产_____辆； (3)该厂实行计件工资制，生产一辆童车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元? 【答案】(1)599 (2)24 (3)84525 【分析】本题主要考查了正负数的实际意义，有理数的混合运算， 对于（1），用前三天的计划生产总量加上前三天与计划量相比的变化量之和即可； 对于（2），用本周生产情况记录中的最大值减去最小值即可； 对于（3），求得这一周生产的总辆数，然后按照工资标准求解. 【详解】（1）解：前三天共生产（辆）； （2）解：产量最多的一天比产量最少的一天多生产（辆）； （3）解：该厂工人这一周的工资总额 （元）. 变式2．甲、乙印刷厂印制材料费用如下表． 甲厂：印刷一份材料1.5元，不收取制版费． 乙厂：印刷一份材料1元，另收取制版费150元． 两厂均要求最低印制200份． (1)如果选择甲厂印制280份材料，那么需___________元； (2)如果选择乙厂印制400份材料，那么需多少元？（不要忘记制版费哦！） (3)如果印制一批材料预计费用为750元，你认为哪个厂印制份数比较多？通过计算加以说明． 【答案】(1)420 (2)550元 (3)乙厂印制的份数比较多 【分析】本题考查的是有理数四则混合运算的实际应用，掌握有理数四则混合运算的实际应用是解题的关键． （1）根据题意列出式子即可求出； （2）根据题意列出总费用等于材料费加上制版费即可； （3）分别求出甲厂与乙厂印制的份数，再进行比较即可； 【详解】（1）解：（元）， 故答案为：420． （2）解：（元）， 答：如果选择乙厂印制400份材料，需550元． （3）解：在甲厂印制：（份）， 在乙厂印制：（份）， ， 在乙厂印制的份数比较多． 变式3．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走___________． (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，请计算小明家这7天的行驶费用是多少钱？ 【答案】(1) (2)小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． (3)小明家这7天的行驶费用是元． 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用． （1）由表格可知，行驶路程最多的一天是第七天，最少的一天是第三天，相减即可得出答案； （2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解； （3）根据（2）的结论，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：由表格得：， 即这7天里路程最多的一天比最少的一天多走， 故答案为：49； （2）解： ， 答：小明家的新能源汽车这七天一共行驶了． （3）解：用电的费用：（元）， 答：小明家这7天的行驶费用是元． 变式4．星期天，李老师从学校出发，开车去游玩，她先向东行，到陈家峪，下午她又向西行，回到家中（学校、陈家峪、李老师家在同一直线上），若规定向东的方向为正方向． (1)用有理数表示李老师两次所行的路程； (2)如果汽车行驶耗油，计算这天汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)第一次所行的路程为，第二次所行的路程为； (2) 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）向东的方向为正方向，那么向东走用正数表示，向西走用负数表示，据此求解即可； （2）求出总路程，再乘以每千米的油耗即可得到答案． 【详解】（1）解：∵李老师先向东行到达陈家峪，再向西行，回到家中，且向东的方向为正方向， ∴第一次所行的路程为，第二次所行的路程为； （2）解： ， 答：这天汽车共耗油． 课后作业 1．（2026·山东德州·一模）的相反数的倒数是（   ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【分析】根据绝对值，相反数，倒数的定义，逐步计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴， 则的相反数为，的倒数为． 因此所求结果为． 2．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）先锋小学开展奖章兑换活动，20个奖章可以换4支钢笔，笑笑有100个奖章，可以换（   ）支钢笔 A．40 B．5 C．10 D．20 【答案】D 【分析】先计算出兑换1支钢笔所需的奖章数，再计算100个奖章可兑换的钢笔数量． 【详解】解：支， 故可以换20支钢笔． 3．（2026·山东青岛·一模）实数，在数轴上的位置如图所示，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，，， 故A符合题意． 4．（2026·北京朝阳·一模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A，，数轴上右边的数大于左边的数，在的右边，，本项错误； B，，两数相加，符号由绝对值较大的数决定，离原点远，，，，本项错误； C，，两数相乘，同号为正，异号为负，，本项错误； D，，绝对值指表示的数与原点的距离，离原点越远，绝对值越大，本项正确，符合题意． 5．（2026·广东江门·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴可知：，然后根据绝对值的性质和有理数的加减乘除法则对各个选项进行判断即可． 【详解】解：由数轴可得， 所以，，，， 故A、B、D错误，C正确， 故选：C． 6．（25-26七年级上·广西河池·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则对应天干序号为10，地支序号为12）．以2026年为例，天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2035年为（   ） A．农历己巳年 B．农历己卯年 C．农历乙巳年 D．农历乙卯年 【答案】D 【分析】根据给出的计算方法，分别列式计算即可. 【详解】解：天干为：， 地支为：， 故2035年为农历乙卯年. 7．（25-26七年级上·福建泉州·期末）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点位置如图所示．在下列选项中，正确的是（   ） A．如果，则一定会有 B．如果，则一定会有 C．如果，则一定会有 D．如果，则一定会有 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、有理数的乘法．先根据数轴的性质可得，再根据有理数的乘法法则逐个判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，． 如果，则，但的符号不能确定，所以不一定会有，故选项A不符合题意； 如果，则同号，但的符号不能确定，所以不一定会有，故选项B不符合题意； 如果，则，所以，所以一定会有，故选项C符合题意； 如果，则，但的符号不能确定，所以不一定会有，故选项D不符合题意； 故选：C． 8．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如表，张老师把教室里的白板密码设置成了数学问题，某同学看到图表后思索了片刻，之后输入密码，顺利地进入了白板页面，那么他输入的密码是（   ） 账号： 密码 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据前两组运算规律，对于输入，输出由及它们的和组成，组合成六位数字． 【详解】解：∵对于：，组成； 对于：，组成； ∴对于：，组成； ∴密码为， 故选：B． 9．（25-26六年级下·黑龙江绥化·月考）的相反数是______，的绝对值是______，的倒数是______． 【答案】 【详解】解：的相反数是； ，即的绝对值是； 的倒数是． 10．（25-26七年级下·重庆·自主招生）定义新运算“”，规定：，则若，则________． 【答案】38 【详解】解：根据新运算的定义，， ． 11．（25-26七年级下·重庆·自主招生）规定，算一算的结果是________． 【答案】6 【分析】按照运算顺序先计算括号内的式子，再根据给定运算规则计算括号外的式子即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 12．（2026·甘肃定西·模拟预测）对于任意实数，，定义一种新运算：，例如：，，则________，________． 【答案】 【分析】先根据新运算的分段规则，分别判断两个运算中与的大小关系，再代入对应的公式进行计算． 【详解】解：，， ； ，， ． 13．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，有一块长为m，宽为m的长方形草地，为方便行人走路，在草地中建设了“土”字形状的小路，小路的宽度都为m，则剩余的草地的面积是_____m2． 【答案】 【分析】本题考查有理数运算的应用．把长方形草地中的“土”字形状的小路剪去，将剩余部分拼起来，可以得到一个新的长方形，新长方形的长为，宽为，最后利用长方形面积公式计算即可． 【详解】解： 14．（2026·河南周口·一模）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按________的先后顺序彩排． 【答案】 【分析】由题意可得，节目和演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长较长的节目应该放在后面，那么在的前面，和彩排时长一样，人数不一样，那么人数较少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么在前面，再分情况分别计算，比较即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，节目和演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长较长的节目应该放在后面，那么在的前面，和彩排时长一样，人数不一样，那么人数较少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么在前面， 按照顺序，则候场时间为； 按照顺序，则候场时间为； 按照顺序，则候场时间为； 按照顺序，则候场时间为； 按照顺序，则候场时间为； 按照顺序，则候场时间为， ∵， ∴若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按的先后顺序彩排． 15．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）我国古代数学家很早就对整数乘积最值问题进行了深入研究，《九章算术》中便蕴含着丰富的整数运算与优化思想，彰显了古人对数字规律的智慧探索．请你探究： （1）用数字1，2，3，4组成两个没有重复数字的两位数，使其乘积最小，这两个数是_______； （2）用5个数字组成一个没有重复数字的两位数和一个没有重复数字的三位数，使其乘积最小，这两个数是_______． 【答案】 13和24 和 【分析】要使两个数乘积最小，需将较小数字放在高位，再确定各数位数字，即可得到乘积最小的组合． 【详解】解：（1）根据乘积最小要求，较小数字放在十位，因此十位选择和，剩余和作为个位，得到两种组合，计算得： ， ∵， ∴乘积最小的两个两位数为和． （2）已知，，可得， 要使乘积最小，应将最小的两个数字放在最高位，即，应为两个数的最高位（三位数的百位和两位数的十位），为使乘积更小，应将较小的首位数字用于位数较少的两位数，d用于三位数的百位数，使乘积最小，应使较小的两位数尽可能小，故其个位取剩余数字中最小的， ∴将作为两位数的十位，搭配剩余数字中最小的作为两位数的个位，得到两位数为 剩余的数字，按从小到大的顺序依次放在三位数的十位和个位，三位数的百位为，得到三位数为， ∴得到两位数为，三位数为． 16．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将，，，这四个数填入了圆圈，则图中的值为_____ 【答案】或 【分析】求得横、竖以及内外两圈上的个数字之和为，求得的值，即可得到的值，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∵， ∴， 当时，， 当时，， 综上：或． 17．（2026·湖南长沙·二模）某公司有七台办公电脑，编号依次为①～⑦号，工作期间，这七台电脑突然出现故障，处于待机状态，立即安排对这七台电脑进行维修．已知维修①～⑦号电脑所需时间依次为13分钟，17分钟，9分钟，20分钟，26分钟，30分钟，14分钟，已知工作日每台电脑待机1分钟，会造成5元的经济损失．若安排三名工作效率相同的维修人员同时开始单独工作，且每台电脑只能由一名维修人员维修，当这七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为______元． 【答案】955 【分析】要使经济损失最小，则需要维修所需时间最短，根据七台电脑维修所需要的总时长为129分钟，可知平均每人维修的时间为43分钟，所以一人可以维修①⑥号，维修顺序为①⑥，最小损失为280元；第二人可以维修②⑤号，维修顺序为②⑤，此时损失最小，为300元；第三人可以维修③④⑦号，维修顺序为③⑦④，此时损失最小，为375元；把三个损失加起来即为总经济损失的最小值． 【详解】解：根据题意，使维修时间最短，且先维修时间短的，可以使得经济损失最小．当这七台电脑由一个人全部维修完的总时长为（分钟），当由三人同时维修时，平均每人维修的时间为（分钟），故需将这七台电脑分别分配给这三名维修人员，使得3人的维修时间等于43分钟或尽可能接近43分钟，可以使得维修时间最短． 第一人可以维修①⑥号，维修时间是（分钟），维修顺序为①⑥，此时损失最小，为（元）； ①号从故障到修好的时间为其维修时间，⑥号从故障到修好的时间是①号维修时间＋其维修时间． 第二人可以维修②⑤号，维修时间是（分钟），维修顺序为②⑤，此时损失最小，为（元）； ②号从故障到修好的时间为其维修时间，⑤号从故障到修好的时间是②号维修时间＋其维修时间． 第三人可以维修③④⑦号，维修时间是（分钟），维修顺序为③⑦④，此时损失最小，为（元）； ③号从故障到修好的时间为其维修时间，⑦号从故障到修好的时间是③号维修时间＋其维修时间，④号从故障到修好的时间是③，⑦号维修时间之和＋其维修时间． 综上，七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为（元）． 18．（25-26七年级上·福建厦门·期末）学校科技节上，小华制作的“慧湖机器人”在一条东西方向的跑道上进行取卡片比赛，从O点出发依次取得A，B，C，D，E五张卡片，取得全部卡片后再返回出发点算完成一次全程比赛．约定向东为正方向，取得五张卡片的移动记录（单位：米）如下： ． (1)请准确描述出卡片B的具体位置； (2)该机器人完成一次全程比赛共移动的路程为多少米？ 【答案】(1)卡片B在出发点O点西侧1米处 (2)36米 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加减混合运算的实际应用． （1）计算的和，根据结果的符号计算即可； （2）先求出从E点返回O点的路程，再将求得的返回路程与各次移动记录数据的绝对值相加即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴卡片B在出发点O点西侧1米处； （2）解：机器人最终位置的坐标为：（米）处，从该点返回 点的路程为 （米）， 机器人完成一次全程比赛共移动的路程为： （米）． 19．（25-26六年级下·上海静安·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 20．（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）先计算括号的减法，再从左到右计算乘除法即可； （3）根据乘法分配律计算即可； （4）根据有理数加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 21．（25-26六年级下·黑龙江大庆·月考）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先进行除法和乘法运算，再进行减法运算即可； （2）先将除法转化为乘法，然后利用乘法分配律进行变形，接着进行括号内的加法运算，最后进行乘法运算； （3）先进行括号内的减法运算，再进行除法和乘法运算； （4）先计算小括号内的减法，再计算除法，最后进行乘法运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 22．（25-26七年级上·四川乐山·月考）计算：． 【答案】 【分析】利用有理数乘法分配律进行计算即可，注意不要漏乘，不要弄错符号． 【详解】解：原式 ． 23．（25-26七年级上·广东·月考）计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先写成省略括号的形式，再进行加减运算即可； （2）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 24．（25-26七年级上·甘肃甘南·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算小括号内的式子，再计算中括号，最后计算加法即可． 【详解】解： ． 25．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）先算乘除，后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】利用乘法分配律进行简单计算即可． 【详解】解：原式           ． 27．（25-26七年级上·四川成都·月考）对于有理数，，定义了一种“”的新运算，具体为，计算：①；②． 【答案】①；② 【分析】①根据结合已给定义列式求解即可； ②根据 结合已给定义列式求解即可． 【详解】解：①∵，且， ∴； ②∵，， ∴． 28．（2026·河北沧州·二模）洪洪在计算的过程中产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 思路二： 解：原式 = (1)在思路一中的“□”内填上合适的数，并完成计算； (2)在思路二中的“○”内填上“”“”、“×”、或“÷”中的一个运算符号，使得运算过程正确．并完成计算． 【答案】(1)；； (2)； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 29．（25-26六年级下·上海·期中）王明开着小轿车去“中石化”加油站加“92#”汽油（当天油价“92#”是元/升，“95#”是元/升，“98#”是元/升，“0#”柴油是元/升）．“中石化”加油站规定若用卡加油，“92#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，“95#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，正好该加油站当天也在搞促销活动，一张面值300元加油卡打九折出售，且两项活动可一起享受，他盘算了一下，决定这次买一张面值300元加油卡加油． (1)他实际花了多少钱购买了这张加油卡？ (2)假设这次加油他把这张卡内钱一次性全部用完，求：用卡加油比不用卡加油在加油量相等的条件下一共便宜了多少钱？ 【答案】(1)他实际花了元购买了这张加油卡． (2)一共便宜了元． 【分析】（1）用加油卡的原价乘以折扣即可得到答案； （2）求出用加油卡所加的油量，进而求出不用卡加这些油需要的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：（元）， 答：他实际花了元购买了这张加油卡． （2）解：（升）， （元）， （元）， 答：一共便宜了元． 30．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）近几年，新能源汽车产销量大幅增加．明明家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足50km的部分记为负，刚好50km的记为零． 第天 1 2 3 4 5 6 7 路程/km (1)请求出明明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ (2)已知燃油车每行驶100km需用汽油8升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为16度，每度电为0.5元，请计算这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省多少钱？ 【答案】(1)/天 (2)元 【分析】（1）先求出7天总路程，再求平均数即可； （2）先分别求出燃油车和电动车的费用，再比较可得答案． 【详解】（1）解：总路程：，平均：/天； 所以这七天平均每天行驶了60千米； （2）解：燃油车费用：元， 电动车费用：元； 节省：元， 所以这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省235.2元． 31．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）促销问题某商场店庆促销，全部商品打八折，直播设备在八折基础上又推出以下三种优惠结算方式． 现金支付：八五折 A平台支付：每实付500元返100元 B平台支付：随机减免金额（元） 小涵购买了一台原价1000元的直播设备，选择用B平台支付，随机减免了104元．小涵选用的结算方式是最划算的吗？请通过计算进行说明． 【答案】小涵选用的不是最划算的，应选择现金支付 【分析】分别计算出现金支付、A平台支付、B平台支付的实际金额，比较即可． 【详解】解：（元）， 现金支付：（元）； A平台支付：余300，（元）； B平台支付：（元）， ， 答：小涵选用的不是最划算的，应选择现金支付． 32．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）如图是一块长为30米，宽为15米的长方形空地，政府准备在该空地上铺草坪并修建一条宽为2米的小路（小路宽度处处相同），若铺草坪平均每平方米需要花费100元，则铺设该草坪一共需要花费多少元？ 【答案】42000元 【分析】先算出草坪的面积，然后再利用“铺草坪平均每平方米需要花费100元”列式计算即可． 【详解】解：草坪的面积为：（平方米）， ∴铺设该草坪一共需要花费（元）． 33．（2026·河北邯郸·一模）小河和小北计算的过程如下． 小河的解答 解：原式  ……第一步   ……第二步   ……第三步 小北的解答 解：原式  ……第一步   ……第二步   ……第三步 (1)小河和小北的解题过程都出现了错误，小河是第________步开始出现错误，小北是第________步开始出现错误； (2)请你正确计算该题． 【答案】(1)一，一 (2) 【分析】（1）先根据有理数混合运算的顺序，分别检查小河和小北的每一步计算：小河在第一步计算时，违反同级运算从左到右的顺序，错误先算，因此从第一步开始出错；小北在第一步计算时，错误对除法使用分配律拆分，因此从第一步开始出错． （2）按照有理数混合运算的正确顺序：先算括号内的减法，再算乘除，最后算减法，同级运算从左到右依次计算，逐步脱式计算出正确结果． 【详解】（1）解：小河计算时，违反同级运算从左到右的计算顺序，先计算了后一项的乘法，第一步就得到错误结果，因此小河从第一步开始出现错误． 小北计算时，错误对除法使用分配律拆分，第一步就得到错误结果，因此小北从第一步开始出现错误． （2）解：正确计算过程如下： ． 34．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）根据题意解答下列问题： (1)去年年底，在“机器人”创新生态发展大会上，科技园的梅卡曼德机器人展厅中，多模态大模型，能让机器人准确理解语音下达的指令，从操作台上无规律放置的物体模型之中，自动识别出水果种类并进行抓取分类．如图所示，下面直线上的一格表示1米． ①问题1：机器人向西走了4米到达点M，记作米．若机器人到5米的位置，则它应该从起点向（    ）走（    ）米． ②问题2：如果机器人从起点出发，先向西走3米，再向东走7米，那么这时的位置记作（    ）米，请在图中用点N表示出来． (2)材料1：在大自然中，气温会随着海拔的升高而降低．海拔越高，气温越低． 材料2非洲乞力马扎罗山海拔5895米，雄伟、神秘，有“赤道雪山”的美誉． ①问题1：根据如图描述的气温变化规律推算，从海拔0米到山顶，乞力马扎罗山的气温会下降多少摄氏度？ ②问题2：乞力马扎罗山位于赤道附近，地处热带，地面的年平均气温一般在20摄氏度以上． 结合上题的计算结果分析，这座山的山顶景色是（    ）． A．四季如春 B．炎热多雨 C．终年积雪 【答案】(1)①东，5；②4，见解析； (2)①下降；②C． 【分析】（1）①根据题意可知向西为负，向东为正，进而可得答案； ②先求出机器人的位置，再在图上表示即可； （2）①根据图示，用非洲乞力马扎罗山海拔除以100乘以即可； ②求出山顶年平均气温，结合实际判断即可． 【详解】（1）解：①机器人向西走了4米到达点M，记作米，可知向西为负，向东为正， 若机器人到5米的位置，则它应该从起点向东走5米； ②∵向西为负，向东为正， ∴这时的位置记作米， 点N表示如下： （2）解：①； ②山顶年平均气温：， 可知这座山的山顶景色是终年积雪． 35．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）探秘铺地锦中的代数规律． 【问题情境】明代著作《算法统宗》中记载一种古代用于笔算乘法的格子算法——铺地锦． 【知识理解】如图①，计算：，先将乘数和分别写在大方格的上面和右面，然后用的每位数字分别乘以的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得． 【知识初探】（1）如图②，是用铺地锦计算的过程，格子中___________； （2）如图③，是用铺地锦计算两个两位数乘积的过程，则___________． 【知识再探】在铺地锦算法中，我们把大方格内同一斜线从右下向左上编号，最右下角为第条斜线，设表示铺地锦表格中第条斜线上所有数字之和；为第条斜线相加后的进位值，如相加后没有进位，则．如图①中，，． 【知识应用】（3）如图④，是用铺地锦计算乘积的过程，___________，___________； 【拓展创新】（4）将十进制铺地锦推广到五进制，即满五进一，如图⑤，是用铺地锦计算五进制下的过程，格子中___________，___________；它们的乘积等于___________． 【答案】（1）0；（2）3；（3）6，1；（4）2，3，1103 【分析】（本题主要考查了铺地锦乘法算法、十进制与五进制的数的运算、进位规则等知识点，熟练掌握铺地锦的计算规则和不同进制下的进位方法是解题的关键． （1）利用“铺地锦”的方法计算即可； （2）根据铺地锦规则，列出关于的方程，求解并检验的取值合理性． （3）先确定第3条斜线包含的数字，求和得到；再根据的值和满十进一规则，计算 （4）在五进制下，先计算得到，计算并转换为五进制得到；再按五进制满五进一规则计算斜线和，最终得到乘积． 【详解】（1）解：如图， ； （2）解：如图， 解得； （3）解：如图， ∴， ， ； （4）解：如图， 格子中，；它们的乘积等于． 36．（25-26七年级上·广东肇庆·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 【答案】（1）3，7.7；（2）7；（3）时，式子有最小值为6，见解析；（4）公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为3200米 【分析】本题考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，利用数轴求多点之间的距离和或差的最值是解题的关键． （1）利用两点距离公式计算即可； （2）根据题意知式子表示数轴上一点到表示、6的点的距离之和，利用两点距离公式计算即可； （3）结合数轴可知式子表示数轴上一点到表示、1、4的点的距离之和，根据数轴即可求解； （4）由上一问可知，公交站应在兴园小区和名园小区之间的两个小区时距离之和最小，答案可得． 【详解】解：（1）由题可知，和两点的距离可表示为， 和两点的距离可表示为， 故答案为，； （2）表示数轴上表示x的点到表示和6的点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为， 故答案为：； （3）根据新定义可知，表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示4的点之间的距离， 如图，代数式存在最小值，即存在最小值， 所以当点与点重合，即时，有最小值，此时最小值为， 所以当时，式子有最小值为； （4）由题意，当所建公交站台在兴园小区和名园小区之间时，到兴园小区和名园小区的距离之和最小，当所建公交站台在梦园小区和竹园小区之间时，到梦园小区和竹园小区的距离之和最小， 故为使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为米． 37．（25-26七年级上·四川达州·期中）如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了分式的裂项相消法，熟练掌握裂项的规律（根据分母的结构确定拆分形式与系数）并利用抵消简化计算是解题的关键． （1）①观察已知式子的拆分规律，推导的拆分形式；②利用①的拆分规律对式子裂项，再通过抵消计算结果； （2）根据已知的拆分方法（提取），对式子裂项后抵消计算； （3）先确定拆分系数，对式子裂项后抵消计算． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 02讲 有理数的乘法与除法目录 【知识点1. 有理数乘法法则与运算律 1】 【知识点2. 倒数 2】 【知识点3. 有理数除法法则 2】 【知识点4. 有理数的乘除混合运算 2】 【考点1. 有理数的乘法运算 4】 【考点2. 有理数乘法的实际应用 6】 【考点3. 有理数乘法的新定义问题 8】 【考点4. 有理数的除法运算 9】 【考点5. 有理数除法的实际应用 10】 【考点6. 有理数除法的新定义问题 12】 【考点7. 有理数的四则混合运算 13】 【考点8. 有理数四则混合运算的实际应用 14】 【课后作业 17】 知识清单：有理数乘法法则与运算律 1、有理数乘法法则 1） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2） 任何数同0相乘，都得0. 3） 几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数的个数是偶数时，积是正数，负因数的个数是奇数时，积是负数。 2、有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 注意：1）当用字母表示乘数时，“"号可以写为“”或省略； 2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果； 巩固基础 1. 计算 ______． 2．计算______． 3．计算： （1）_______（______________）_______； （2）_______（______________）_______； （3）_______（______________）_______； （4）_______（______________）_______； （5）_______． 4．计算： （____）（____） （____）（____） ____． 5．________； 6．计算：_______． 知识清单：倒数、有理数除法与乘除混合运算 1、倒数 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：① 倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。 ② 没有倒数。 ③ 互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 ① 非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数； ② 带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 注意：1）注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来； 2）互为倒数的两个数的符号一定是相同的； 3）倒数等于本身的数有：1、-1。 2、有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 注意：乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算括号里面的，分数可以理解为分子除以分母。 巩固基础 1．的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．一个数的倒数等于它本身，则这个数是（ ） A．1 B． C． D．和0 3．的倒数是________． 4．化简：_______． 5．计算：______． 6. 化简：（1）（____）（____）____； （2）（____）（____）____． 7．计算： （1）（____）＝____； （2）（____÷____）＝____． 8．计算： 9．计算： (1) (2) 10．计算：． 11．计算： 直击考点 【考点1：有理数的乘法运算】 例1．计算： (1)； (2)． 例2．计算： 变式1．计算： (1)； (2)． 变式2．计算： 变式3．计算： 变式4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点2：有理数乘法的实际应用】 例1．在某次抗险救灾中，消防官兵的冲锋舟沿东西方向的河流营救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：）：，，，，，，，． (1)通过计算说明地在地的什么方向，与地相距多远？ (2)若冲锋舟每千米耗油，油箱容量为，求途中还需补充多少升油． 例2．奥运pin（徽章）是奥运会期间由主办方、参赛代表队等推出的一种纪念品，奥运pin的交换，不仅是一种收藏行为，更是一种跨越语言障碍的文化交流，也传递了奥林匹克精神中的团结与相互理解．巴黎奥运会期间，中国的熊猫pin因其可爱的形象和精美的工艺深受大家的喜爱．某工厂从制作的熊猫pin中抽取30枚样品，检测每枚的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值/g 0 1 2 3 枚数 1 3 5 9 6 4 2 (1)若允许有的误差，30枚样品中不合格的有 枚． (2)30枚样品中，质量最大的一枚比质量最小的一枚多多少克？ (3)与标准质量相比，30枚样品总计超过或不足的质量为多少克？ 变式1．“国庆黄金周”的某天下午，出租车司机小张的客运路线是在南北走向的建军路大街上，如果 规定向南为正、向北为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下： ． (1)求收工时小张在出发点的什么方向？此时距离下午出车时的出发点多远？ (2)若汽车耗油量为，这天下午小张共耗油多少升？ 变式2．如图是某市某一条东西方向直线上的公交线路，东起公园路站，西至西城站，途中共设个上下车站点，某天，小刚参加该线路上的志愿者服务活动，从家家悦站出发，最后在站结束服务活动，如果规定向东为正，向西为负，小刚当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：，，，，，，，，． (1)请通过计算说明站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离约为千米，求这次小刚志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是多少千米？ 变式3．爱乐实水果超市以每箱元的价格从水果批发市场购进箱橘子，若以每箱净重为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表： 与标准质量的差值/kg 0 箱数 3 3 7 5 2 (1)这箱橘子的总质量是多少？ (2)需要将橘子从批发市场送到水果超市，现有两种取货方式：方式一：批发市场送货上门，需另交120元送货费；方式二：超市雇车自取，需支付租车费和装卸费：租车费80元，装卸费：以内（包括）30元，超出的部分元．请你根据计算说明超市应选择哪种取货方式，并求出20箱橘子的成本． 变式4．“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人）： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 已知9月30日的游客人数为0.5万人，请回答下列问题： (1)10月2日的游客有______万人； (2)这七天内游客人数最多的是哪天，最少的是哪天，分别有多少万人？ (3)若该景区的票价为100元／人，求这7天该景区门票的总收入是多少万元？ 【考点3：有理数乘法的新定义问题】 例1．定义“”运算：，则的运算结果是（   ） A． B． C． D． 例2．对于有理数a，b，定义新运算：，则的值为（   ） A．12 B． C． D．48 变式1．定义新运算“”，规定，则的值为（      ） A． B． C．6 D．18 变式2．用“※”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定．如，则的值为（    ）． A．12 B． C．4 D． 变式3．定义新运算：．请利用此定义计算：______． 【考点4：有理数的除法运算】 例1．计算： (1)； (2)． 例2．计算： (1)； (2)． 变式1．化简： (1)； (2)； (3)． 变式2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式4．计算： (1)； (2)． 【考点5：有理数除法的实际应用】 例1．小虫从某点出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬过的路程依次为（单位：厘米）：，，，，，，．问： (1)小虫是否回到出发点？ (2)小虫离开出发点最远是多少厘米？ (3)在爬行过程中，如果每爬行3厘米奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？ 例2．某牛肉干的某种包装每袋标准克数为克，小明在超市购买时，对五袋牛肉干称量结果（记超过标准的克数为正，单位：克）记录如下：．   (1)这五袋牛肉干合计多少克？ (2)若重量超过标准克数的牛肉干为良品，求这五袋牛肉干的良品率．（良品率良品数总数） 变式1．某次数学演讲比赛中，某选手得分情况如下：90、85、89、92、80、88、87、93．要想计算出平均分，可以直接把8个数相加，再用和除以8．小明在学习了正负数以后，提出以下方法：若以90分为标准，超出部分记为正，低于部分记为负，那么这位选手的得分是：0、、、、、、、．请帮助小明继续完成计算． 变式2．某食品厂在产品中抽出20袋样品，检查其质量是否达标，每袋的标准质量为200克，超过标准的部分用正数表示，不足的部分用负数表示： 与标准质量的差/克 0 1 1.5 2.5 袋数/袋 1 4 3 4 3 2 3 (1)这批样品的总质量比标准总质量多还是少？多或少几克？ (2)求这批样品每袋的平均质量是多少克？ 变式3．小李服装店里有30件上衣，这些上衣每件进价为32元，小李由于急用钱，他利用三天的时间将30件上衣全部甩卖．在卖的过程中，他针对不同顾客，30件上衣的售价不完全相同，他原计划以平均每件32元的价格售出，将每件超过32元的钱数记为正，每件不足的钱数记为负，小李记录结果如下： 售出件数 7 6 3 5 4 5 售价／（元／件） 0 (1)这30件上衣中，卖最贵的上衣比最便宜的上衣一件贵多少元． (2)小李售完30件上衣，一共赚（赔）多少钱？ (3)请帮小李算算售完30件上衣，平均每件价格比进价多了几元？ 【考点6：有理数除法的新定义问题】 例1．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（   ） A． B． C． D． 例2． （其中表示不超过的最大整数，如，等等）． 变式1．对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．对下列三个人的说法判断正确的是（　　） 小嘉说：247是13的“和倍数”    小淇说：441是9的“和倍数” 小华说：214、357均不是“和倍数” A．三人说法都对 B．只有一人说法不对 C．小华说的不对 D．只有一人说法对 变式2．我们规定，则（    ） A． B．1 C． D． 变式3．对于任意的非零且不相等的两个有理数a，b，定义：，解决以下问题：(1)计算； (2)计算； (3)请你举例验证一下交换律即在这一运算中是否成立。（举一个例子即可）。 【考点7：有理数的四则混合运算】 例1．计算：． 例2．计算： (1)； (2)． 变式1．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 变式2．能简算的要简算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式3．计算： (1) (2) 变式4．计算： (1) (2) 【考点8：有理数四则混合运算的实际应用】 例1．最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加，国庆期间小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） 0 (1)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)已知小明家原汽油车每行驶需用汽油8.5升，汽油价7.8元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为0.56元，请估计小明家换成新能源汽车后这7天的行驶费用比原来节省多少钱？ 例2．小明家在电影院的正西650米，小东家在电影院的正东700米．周末两人约好去看下午3时放映的电影．两人下午同时从家里出发走向电影院，小明每分钟步行70米，小东每分钟步行65米．两人能在电影院相遇吗？如果小明先到电影院后不停留继续向东走，从出发到两人相遇要用多长时间？相遇地点距离电影院有多远？ 变式1．某车厂计划平均每天生产童车200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入。如表是某周的生产情况（超产为正、减产为负，单位：辆） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 (1)根据记录可知前三天共生产_____辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产_____辆； (3)该厂实行计件工资制，生产一辆童车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元? 变式2．甲、乙印刷厂印制材料费用如下表． 甲厂：印刷一份材料1.5元，不收取制版费． 乙厂：印刷一份材料1元，另收取制版费150元． 两厂均要求最低印制200份． (1)如果选择甲厂印制280份材料，那么需___________元； (2)如果选择乙厂印制400份材料，那么需多少元？（不要忘记制版费哦！） (3)如果印制一批材料预计费用为750元，你认为哪个厂印制份数比较多？通过计算加以说明． 变式3．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） 0 (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走___________． (2)请求出小明家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (3)已知新能源汽车每行驶耗电量为15度，每度电为元，请计算小明家这7天的行驶费用是多少钱？ 变式4．星期天，李老师从学校出发，开车去游玩，她先向东行，到陈家峪，下午她又向西行，回到家中（学校、陈家峪、李老师家在同一直线上），若规定向东的方向为正方向． (1)用有理数表示李老师两次所行的路程； (2)如果汽车行驶耗油，计算这天汽车共耗油多少升？ 课后作业 1．（2026·山东德州·一模）的相反数的倒数是（   ） A． B． C． D．2026 2．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）先锋小学开展奖章兑换活动，20个奖章可以换4支钢笔，笑笑有100个奖章，可以换（   ）支钢笔 A．40 B．5 C．10 D．20 3．（2026·山东青岛·一模）实数，在数轴上的位置如图所示，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·北京朝阳·一模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·广东江门·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·广西河池·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号，天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则对应天干序号为10，地支序号为12）．以2026年为例，天干为：；地支为：；对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2035年为（   ） A．农历己巳年 B．农历己卯年 C．农历乙巳年 D．农历乙卯年 7．（25-26七年级上·福建泉州·期末）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点位置如图所示．在下列选项中，正确的是（   ） A．如果，则一定会有 B．如果，则一定会有 C．如果，则一定会有 D．如果，则一定会有 8．（25-26七年级上·河南新乡·期末）如表，张老师把教室里的白板密码设置成了数学问题，某同学看到图表后思索了片刻，之后输入密码，顺利地进入了白板页面，那么他输入的密码是（   ） 账号： 密码 A． B． C． D． 9．（25-26六年级下·黑龙江绥化·月考）的相反数是______，的绝对值是______，的倒数是______． 10．（25-26七年级下·重庆·自主招生）定义新运算“”，规定：，则若，则________． 11．（25-26七年级下·重庆·自主招生）规定，算一算的结果是________． 12．（2026·甘肃定西·模拟预测）对于任意实数，，定义一种新运算：，例如：，，则________，________． 13．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，有一块长为m，宽为m的长方形草地，为方便行人走路，在草地中建设了“土”字形状的小路，小路的宽度都为m，则剩余的草地的面积是_____m2． 14．（2026·河南周口·一模）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按________的先后顺序彩排． 15．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）我国古代数学家很早就对整数乘积最值问题进行了深入研究，《九章算术》中便蕴含着丰富的整数运算与优化思想，彰显了古人对数字规律的智慧探索．请你探究： （1）用数字1，2，3，4组成两个没有重复数字的两位数，使其乘积最小，这两个数是_______； （2）用5个数字组成一个没有重复数字的两位数和一个没有重复数字的三位数，使其乘积最小，这两个数是_______． 16．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将，，，这四个数填入了圆圈，则图中的值为_____ 17．（2026·湖南长沙·二模）某公司有七台办公电脑，编号依次为①～⑦号，工作期间，这七台电脑突然出现故障，处于待机状态，立即安排对这七台电脑进行维修．已知维修①～⑦号电脑所需时间依次为13分钟，17分钟，9分钟，20分钟，26分钟，30分钟，14分钟，已知工作日每台电脑待机1分钟，会造成5元的经济损失．若安排三名工作效率相同的维修人员同时开始单独工作，且每台电脑只能由一名维修人员维修，当这七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为______元． 18．（25-26七年级上·福建厦门·期末）学校科技节上，小华制作的“慧湖机器人”在一条东西方向的跑道上进行取卡片比赛，从O点出发依次取得A，B，C，D，E五张卡片，取得全部卡片后再返回出发点算完成一次全程比赛．约定向东为正方向，取得五张卡片的移动记录（单位：米）如下： ． (1)请准确描述出卡片B的具体位置； (2)该机器人完成一次全程比赛共移动的路程为多少米？ 19．（25-26六年级下·上海静安·期中）计算：． 20．（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．（25-26六年级下·黑龙江大庆·月考）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 22．（25-26七年级上·四川乐山·月考）计算：． 23．（25-26七年级上·广东·月考）计算下列各题 (1) (2) 24．（25-26七年级上·甘肃甘南·月考）计算：． 25．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）计算： (1) (2) 26．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）用简便方法计算：． 27．（25-26七年级上·四川成都·月考）对于有理数，，定义了一种“”的新运算，具体为，计算：①；②． 28．（2026·河北沧州·二模）洪洪在计算的过程中产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 思路二： 解：原式 = (1)在思路一中的“□”内填上合适的数，并完成计算； (2)在思路二中的“○”内填上“”“”、“×”、或“÷”中的一个运算符号，使得运算过程正确．并完成计算． 29．（25-26六年级下·上海·期中）王明开着小轿车去“中石化”加油站加“92#”汽油（当天油价“92#”是元/升，“95#”是元/升，“98#”是元/升，“0#”柴油是元/升）．“中石化”加油站规定若用卡加油，“92#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，“95#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，正好该加油站当天也在搞促销活动，一张面值300元加油卡打九折出售，且两项活动可一起享受，他盘算了一下，决定这次买一张面值300元加油卡加油． (1)他实际花了多少钱购买了这张加油卡？ (2)假设这次加油他把这张卡内钱一次性全部用完，求：用卡加油比不用卡加油在加油量相等的条件下一共便宜了多少钱？ 30．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）近几年，新能源汽车产销量大幅增加．明明家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足50km的部分记为负，刚好50km的记为零． 第天 1 2 3 4 5 6 7 路程/km (1)请求出明明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ (2)已知燃油车每行驶100km需用汽油8升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为16度，每度电为0.5元，请计算这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省多少钱？ 31．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）促销问题某商场店庆促销，全部商品打八折，直播设备在八折基础上又推出以下三种优惠结算方式． 现金支付：八五折 A平台支付：每实付500元返100元 B平台支付：随机减免金额（元） 小涵购买了一台原价1000元的直播设备，选择用B平台支付，随机减免了104元．小涵选用的结算方式是最划算的吗？请通过计算进行说明． 32．（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）如图是一块长为30米，宽为15米的长方形空地，政府准备在该空地上铺草坪并修建一条宽为2米的小路（小路宽度处处相同），若铺草坪平均每平方米需要花费100元，则铺设该草坪一共需要花费多少元？ 33．（2026·河北邯郸·一模）小河和小北计算的过程如下． 小河的解答 解：原式  ……第一步   ……第二步   ……第三步 小北的解答 解：原式  ……第一步   ……第二步   ……第三步 (1)小河和小北的解题过程都出现了错误，小河是第________步开始出现错误，小北是第________步开始出现错误； (2)请你正确计算该题． 34．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）根据题意解答下列问题： (1)去年年底，在“机器人”创新生态发展大会上，科技园的梅卡曼德机器人展厅中，多模态大模型，能让机器人准确理解语音下达的指令，从操作台上无规律放置的物体模型之中，自动识别出水果种类并进行抓取分类．如图所示，下面直线上的一格表示1米． ①问题1：机器人向西走了4米到达点M，记作米．若机器人到5米的位置，则它应该从起点向（    ）走（    ）米． ②问题2：如果机器人从起点出发，先向西走3米，再向东走7米，那么这时的位置记作（    ）米，请在图中用点N表示出来． (2)材料1：在大自然中，气温会随着海拔的升高而降低．海拔越高，气温越低． 材料2非洲乞力马扎罗山海拔5895米，雄伟、神秘，有“赤道雪山”的美誉． ①问题1：根据如图描述的气温变化规律推算，从海拔0米到山顶，乞力马扎罗山的气温会下降多少摄氏度？ ②问题2：乞力马扎罗山位于赤道附近，地处热带，地面的年平均气温一般在20摄氏度以上． 结合上题的计算结果分析，这座山的山顶景色是（    ）． A．四季如春 B．炎热多雨 C．终年积雪 35．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）探秘铺地锦中的代数规律． 【问题情境】明代著作《算法统宗》中记载一种古代用于笔算乘法的格子算法——铺地锦． 【知识理解】如图①，计算：，先将乘数和分别写在大方格的上面和右面，然后用的每位数字分别乘以的每位数字，并将结果记入对应小方格的三角形中，最后再把大方格内同一斜线上的数相加，满十进一，得． 【知识初探】（1）如图②，是用铺地锦计算的过程，格子中___________； （2）如图③，是用铺地锦计算两个两位数乘积的过程，则___________． 【知识再探】在铺地锦算法中，我们把大方格内同一斜线从右下向左上编号，最右下角为第条斜线，设表示铺地锦表格中第条斜线上所有数字之和；为第条斜线相加后的进位值，如相加后没有进位，则．如图①中，，． 【知识应用】（3）如图④，是用铺地锦计算乘积的过程，___________，___________； 【拓展创新】（4）将十进制铺地锦推广到五进制，即满五进一，如图⑤，是用铺地锦计算五进制下的过程，格子中___________，___________；它们的乘积等于___________． 36．（25-26七年级上·广东肇庆·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 37．（25-26七年级上·四川达州·期中）如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $