2.2有理数的乘法与除法（讲义，知识点&13大题型&刷好题）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦有理数乘除法核心知识点，系统梳理乘法法则（同号得正、异号得负及绝对值相乘）、倒数概念、乘法运算律（交换律、结合律、分配律）、多个有理数相乘符号规律、除法法则（转化为乘法）及混合运算顺序，构建从基础运算到综合应用的递进学习支架。 资料亮点在于知识点分层细化，每个知识点配随学随练即时巩固，题型涵盖基础计算、数轴综合、实际应用等。通过“先符号后绝对值”培养抽象能力，多个负数相乘符号判断强化推理意识，仓库货品进出问题提升应用意识，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，提升运算能力与问题解决能力。

第一章 有理数 2.2有理数的乘法与除法 课标要点 1. 理解有理数乘、除法法则，掌握符号规律，熟练进行乘除运算。 2. 掌握倒数概念，会将除法转化为乘法计算。 3. 运用乘法运算律简便运算，分清混合运算顺序。 4. 能用乘除法解决简单实际问题，发展运算与转化思想。 学习重难点 重点： 1.有理数乘除法则、积与商的符号判断。 2. 倒数定义，除法化乘法的计算方法。 3. 乘法三大运算律，乘除、四则混合运算顺序。 难点： 1. 多个负数相乘快速判断符号，理解负负得正。 2. 区分倒数与相反数，带分数、负小数求倒数。 3. 灵活逆用分配律简算；乘除同级运算顺序易错。 4. 数轴、绝对值、倒数综合求值题型。 知识点 有理数的乘法 ◆有理数的乘法法则： 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积． 2．任何数与 0 相乘，都得 0. ◆有理数乘法的求解步骤: (1)确定积的符号； (2)确定积的绝对值． 【注意】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个因数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定积的符号，在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 随学随练 1．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）计算的结果为（   ） A．2026 B．-2026 C． D． 知识点 倒数 ◆倒数:乘积是 1 的两个数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． ◆方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【注意】 倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫另一个数的倒数，单独一个数不能称其为倒数． 随学随练 2.（25-26七年级上·湖南株洲·期末）的倒数是_____． 知识点 有理数的乘法运算律 ◆1、有理数的乘法交换律： 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变. 即a b = b a. ◆2、有理数的乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变. 用字母表示为：(a b) c = a (b c). 【注意】用字母表示乘数时，“×”号可以写成“·”或省略，如 a×b 可以写成 a·b 或 ab. ◆3、有理数的乘法分配律： 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加. 用字母表示为：a(b+c) = a b +ac 随学随练 3．计算（﹣3）×（4），用分配律计算过程正确的是（　　） A．（﹣3）×4+（﹣3）×（） B．（﹣3）×4﹣（﹣3）×（） C．3×4﹣（﹣3）×（） D．（﹣3）×4+3×（） 知识点 多个有理数的乘法 ◆几个不等于零的数相乘 几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数有偶数个时，积为正． ◆几个数相乘，如果其中有因数为 0，积等于0. 随学随练 4.（23-24七年级上·吉林长春·期中）下列式子中，积的符号为负的是（ ） A． B． C． D． 知识点 有理数的除法 ◆1、有理数的除法法则： 有理数除法法则（一）： 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示为：a÷b=a·(b≠0)； 有理数除法法则（二）： 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商. 0除以任何一个不等于0的数，都得0. ◆2、方法指引： ①能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除； ②不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算； ◆3、有理数的乘除混合运算： 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算） 随学随练 5．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 知识点 有理数的加减乘除混合运算 ◆有理数的加减乘除混合运算 先算乘除，再算加减，同级运算从左往右依次计算，如有括号，先算括号内的. 【注意】进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 随学随练 6．（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型一 两个有理数相乘 ▌例1 （2026·海南·模拟预测）我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 解题贴士 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.． 2．任何数同 0 相乘，都得 0. ▌对点练1-1 （2024·陕西西安·一模）计算：（　　） A． B．3 C． D．5 ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知 ，，则（ ） A． 且 B． 且 C． 均为正数 D． 均为负数 ▌对点练1-3（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二 多个有理数相乘 ▌例2（26-27七年级·全国·暑假作业）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 解题贴士 多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． ▌对点练2-1 （25-26七年级上·福建泉州·期末）四个互不相等的整数a，b，c，d满足．则的最大值是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 ▌对点练2-2 （24-25七年级上·湖南衡阳·阶段检测）计算：=______． ▌对点练2-3已知六个数：，，，，，； (1)在数轴上表示这六个数； (2)求这六个数中所有非负数的乘积． 题型三 倒数的概念及运用 ▌例3（2026·吉林松原·模拟预测）的倒数是（     ） A． B．5 C． D． 解题贴士 1、乘积是 1 的两个数互为倒数． 2、求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一． 3、求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置． ▌对点练3-1 （2026·江西·中考真题）有理数的倒数为_____________． ▌对点练3-2 （2026·福建福州·模拟预测）是2026的（     ） A．相反数 B．绝对值 C．倒数 D．平方根 ▌对点练3-3（2026·山东菏泽·二模）的相反数的倒数是（     ） A．2026 B． C． D． 题型四 运用乘法运算律进行简便计算 ▌例4（2026·河北邢台·二模）算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 解题贴士 1. 乘法交换、结合律：观察数字，优先找出 2 和 5、4 和 25、8 和 125 凑整；可以调换数字位置、添加括号，把能凑整的数先相乘。 2. 乘法分配律 正向：几个数的和（差）乘一个数，分开相乘再相加（减）。 逆向：两道乘法算式加减，如有相同乘数，提取相同数，剩下数字先求和差再相乘。 3. 数字拆分窍门 遇到 99 看成 100－1，101 看成 100+1；看到 25 拆出 4、看到 125 拆出 8；单独一个数可以看作乘 1，方便逆用分配律。 ▌对点练4-1 （26-27七年级·全国·暑假作业）下列各式运用运算律不正确的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练4-2 （25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算下面各题，怎样简便就怎样算． (1)； (2)． ▌对点练4-3 计算： (1)； (2)． 题型五 有理数的除法 ▌例5 （2026·天津河西·二模）计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 解题贴士 1、能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除； 2、不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算； ▌对点练5-1 在﹣1，2，﹣3，5这四个数中，任意取两个数相除，其中最小的商是　 　． ▌对点练5-2 化简下列分数： （1）； （2）； （3）； （4）． ▌对点练5-3计算：(1)(﹣15)÷(﹣3)； (2)12÷(﹣)； (3)(﹣0.75)÷(0.25)； (4)(-)÷(-). 题型六 有理数的乘除混合运算 ▌例6 计算：_____． 解题贴士 (1) 有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算； (2) 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果 (乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算). ▌对点练6-1 下列等式成立的是（         ） A． B． C． D． ▌对点练6-2 （24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2) ▌对点练6-2（2026·河北邢台·一模）阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； (2)请你写出这道题的正确解答过程． 题型七 有理数的加减乘除混合运算 ▌例7（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 解题贴士 有理数的加减乘除混合运算 （1）有理数的加减乘除混合运算顺序：先算乘除，再算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． ▌对点练7-1 （24-25七年级上·云南德宏·期末）下列运算，结果最小的是（　　） A． B． C． D． ▌对点练7-2（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) ▌对点练7-3 （25-26七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 题型八 有理数乘除法与数轴的综合 ▌例8（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）有理数a，b在数轴上的对应点如图，下列式子：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 解题贴士 有理数乘除法与数轴的综合主要是根据数轴的意义和有理数的乘除法法则即可解决问题. ▌对点练8-1 （22-23七年级上·辽宁丹东·阶段检测）点在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是和．对于下列四个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③⑤ D．②③④ ▌对点练8-2 （25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知、两个数在数轴上的位置如图所示，有如下几个结论： ； ； ； ，其中正确的是______．（填序号） ▌对点练8-3（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有_______． 题型九 有理数乘除法与相反数、倒数、绝对值的综合 ▌例9若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于5. (1)填空：__________；__________；__________； (2)求的值． 解题贴士 此类题考查了有理数的乘法，有理数的除法，相反数的性质、绝对值的性质，倒数的定义，熟记运算法则是解题的关键，难点在于绝对值的化简要分情况讨论． ▌对点练9-1 （25-26七年级·全国·暑假作业）已知，，，则的值等于____________． ▌对点练9-2 （25-26七年级上·湖南长沙·期中）已知非零实数，，，满足，则等于（    ） A． B．0 C．1 D． ▌对点练9-3（25-26七年级上·宁夏银川·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时， ，当时， ． （2）如果有理数a、b满足时，则 ． 【类比探究】 三个有理数a、b、c满足，求的值． 题型十 有理数乘除法在实际生活中的应用 ▌例10 某公司天内货品进出仓库的吨数如下：（“”表示进库，“”表示出库） ，，，，． (1)经过这天，仓库里的货品是______（填“增多了”还是“减少了”）． (2)经过这天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品吨，那么天前仓库里存有货品多少吨? (3)如果进出货的装卸费都是每吨元，那么这天一共要付多少元装卸费? 解题贴士 用有理数的乘除法求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题. ▌对点练10-1 （26-27七年级·全国·小升初衔接）2026年世界杯将于2026年6月在北美（美国、加拿大和墨西哥）举行．为了备战世界杯，某运动员沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑．记该运动员在跑道上的某一位置为点O，那么在点O的3秒后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于点O的哪个方向？相距多少米？ 提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负． ▌对点练10-2 焦作市交警大队一辆警车沿着南北方向的公路巡视，某天早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天行驶记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)B在A地哪个方向？相距多少千米？ (2)若该警车每千米耗油升，那么这天共耗油多少升？ (3)若油箱中有升油，中途是否需要加油？若需要，至少加多少升？ ▌对点练10-3某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 4 2 进出次数 2 1 3 3 2 (1)这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由： (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元； 方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元；从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适． 题型十一 有理数乘除法的程序计算题 ▌例11 （24-25七年级上·甘肃武威·期中）如图是一个数值转换机，若输入的为，则输出的结果是（     ） A．18 B． C．39 D．21 解题贴士 利用有理数的加减乘除混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可． ▌对点练11-1 （2026·广西南宁·三模）如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为1，则输出的结果是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 ▌对点练11-2如图是一个简单的数值运算程序图，当输入x的值为时，输出的数值为（    ） A．1 B． C．2 D． ▌对点练11-3 （25-26七年级上·全国·期中）根据如图所示的“数值转换机”，当输入x的值为时，输出y的值为（   ） A． B． C． D．5 题型十二 有理数乘除法的新定义运算问题 ▌例12 （25-26七年级上·安徽合肥·期中）规定一种新运算：，则的值是（   ） A．6 B． C． D．10 解题贴士 新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查. ▌对点练12-1规定a※b，例如2※3，则[2※（﹣5）]※4＝　 　． ▌对点练12-2 （24-25七年级上·江苏淮安·期中）规定一种新运算“※”如下：．如：．根据此规定解答下列两题： (1)求的值； (2)与的值相等吗？请计算说明． ▌对点练12-3（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 题型十三 有理数乘除法材料阅读问题 ▌例13 （25-26九年级下·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 解题贴士 材料阅读题要根据题中的材料来分析并解决问题，此题中是根据倒数法进行有理数的混合运算，有些含分数的数学问题直接求解比较麻烦，而若把分子、分母上下颠倒，则可立即找到突破口，这种解法称为倒数法，本题中先将被除数与除数的位置互换，先求其结果，再求出原式的结果. ▌对点练13-1 （23-24九年级上·甘肃兰州·期中）阅读下面的解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______． (2)请写出正确的解答过程． ▌对点练13-2 课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② ▌对点练13-3（22-23七年级上·甘肃陇南·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决． 例如：计算+． 此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂．但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单． 分析方法：因为＝1﹣，＝﹣，＝﹣，＝﹣，所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下： +＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）＝1﹣+﹣+﹣+﹣＝1﹣＝． 任务： (1)猜想并写出：＝　 　；（n为正整数） (2)①应用上面的方法计算：++⋯+． ②直接写出下列式子的计算结果：++⋯+＝　 　． (3)类比应用上面的方法探究并计算：++⋯+． 基础通关 1．（25-26七年级上·吉林·期中）下列算式中，积为负数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南信阳·模拟预测）若的运算结果为正数8，则□内的数字可以是（     ） A． B．0 C．2 D．4 3．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在算式变形：中，运用了（   ） A．分配律 B．乘法交换律 C．乘法交换律和分配律 D．分配律和乘法结合律 6．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）下列说法：①最大的负整数是；②相反数是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示的点一定在原点的左边；⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数，其中错误的个数是（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 素养提升 7．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）已知，，则( )． 8．（23-24七年级上·四川资阳·开学考试）一件商品，先提价，后又降价，这时的价格是原来的（     ）． A．80% B．90% C．95% D．99% 9．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）所有绝对值小于5的整数的积是____________． 10．（24-25七年级上·全国·期末）如图，数轴上点A、B、C分别表示有理数a、b、c，若a、b、c三个数的乘积为正数，这三个数的和与其中一个数相等，则b____0． 11．计算的结果是________． 12．设a、b、c为有理数，且满足， ，则a、b、c中正数的个数为________个． 迁移创新 13．（2026·河北保定·二模）一个不透明的袋子里装有4个小球，小球上分别标有数字：，0，2，5．现从袋子中随机摸出3个小球，对小球上的数字进行运算． (1)①若摸出的3个小球上分别标有2，，5，计算：； ②若摸出的3个小球上所标数字的积不为0，求这3个数字的和； (2)将随机摸出的3个小球上的数字按一定顺序填入“□-□-□”中的“□”内，直接写出计算结果的最大值． 14．（2026·河北邯郸·三模）请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 15．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（2025七年级上·全国·专题练习）小明有下列5张写着不同数的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数的乘积最大，最大值是 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数相除的商最小，最小值是 ． (3)算24点游戏：从中取出4张卡片，对卡片上的数用学过的“，，，”进行运算（每张卡片上的数必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为．请你任选4张卡片，写出1个满足条件的运算式． 17．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，， ， ，，，． (1)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (2)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 18．（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察下列各式： … (1)猜想_______ (2)根据上面的规律，解答下列问题： ① ②将减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？ 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 2.2有理数的乘法与除法 课标要点 1. 理解有理数乘、除法法则，掌握符号规律，熟练进行乘除运算。 2. 掌握倒数概念，会将除法转化为乘法计算。 3. 运用乘法运算律简便运算，分清混合运算顺序。 4. 能用乘除法解决简单实际问题，发展运算与转化思想。 学习重难点 重点： 1.有理数乘除法则、积与商的符号判断。 2. 倒数定义，除法化乘法的计算方法。 3. 乘法三大运算律，乘除、四则混合运算顺序。 难点： 1. 多个负数相乘快速判断符号，理解负负得正。 2. 区分倒数与相反数，带分数、负小数求倒数。 3. 灵活逆用分配律简算；乘除同级运算顺序易错。 4. 数轴、绝对值、倒数综合求值题型。 知识点 有理数的乘法 ◆有理数的乘法法则： 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积． 2．任何数与 0 相乘，都得 0. ◆有理数乘法的求解步骤: (1)确定积的符号； (2)确定积的绝对值． 【注意】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个因数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定积的符号，在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 随学随练 1．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）计算的结果为（   ） A．2026 B．-2026 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，需依据有理数乘法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 知识点 倒数 ◆倒数:乘积是 1 的两个数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． ◆方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【注意】 倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫另一个数的倒数，单独一个数不能称其为倒数． 随学随练 2.（25-26七年级上·湖南株洲·期末）的倒数是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查倒数的概念，乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数，将带分数化为假分数，再根据倒数定义求解． 【详解】解：， ∵， ∴的倒数是，即的倒数是， 故答案为：． 知识点 有理数的乘法运算律 ◆1、有理数的乘法交换律： 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变. 即a b = b a. ◆2、有理数的乘法结合律： 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变. 用字母表示为：(a b) c = a (b c). 【注意】用字母表示乘数时，“×”号可以写成“·”或省略，如 a×b 可以写成 a·b 或 ab. ◆3、有理数的乘法分配律： 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加. 用字母表示为：a(b+c) = a b +ac 随学随练 3．计算（﹣3）×（4），用分配律计算过程正确的是（　　） A．（﹣3）×4+（﹣3）×（） B．（﹣3）×4﹣（﹣3）×（） C．3×4﹣（﹣3）×（） D．（﹣3）×4+3×（） 【答案】A． 【分析】乘法的分配律：a（b+c）＝ab+ac． 【详解】解：原式＝（﹣3）×[4+（）] ＝（﹣3）×4+（﹣3）×（）． 故选：A． 【点睛】本题考查了乘法分配律在计算题中的应用． 知识点 多个有理数的乘法 ◆几个不等于零的数相乘 几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定． 当负因数有奇数个时，积为负； 当负因数有偶数个时，积为正． ◆几个数相乘，如果其中有因数为 0，积等于0. 随学随练 4.（23-24七年级上·吉林长春·期中）下列式子中，积的符号为负的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据有理数乘法的运算法则，几个非0的有理数的乘法，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、原式有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、原式有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、原式有一个因数为0，故积为0，不符合题意； D、原式有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 知识点 有理数的除法 ◆1、有理数的除法法则： 有理数除法法则（一）： 除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示为：a÷b=a·(b≠0)； 有理数除法法则（二）： 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商. 0除以任何一个不等于0的数，都得0. ◆2、方法指引： ①能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除； ②不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算； ◆3、有理数的乘除混合运算： 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算） 随学随练 5．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算的运算法则是解题关键． （1）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （2）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可； （3）按照有理数乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）． 知识点 有理数的加减乘除混合运算 ◆有理数的加减乘除混合运算 先算乘除，再算加减，同级运算从左往右依次计算，如有括号，先算括号内的. 【注意】进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 随学随练 6．（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）先计算括号的减法，再从左到右计算乘除法即可； （3）根据乘法分配律计算即可； （4）根据有理数加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型一 两个有理数相乘 ▌例1 （2026·海南·模拟预测）我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意给出的“同名相乘为正，异名相乘为负”，结合乘任何数都得的性质，判断各选项结果的符号，即可得出答案． 【详解】解：选项A：，不是负数，不符合要求； 选项B：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项C：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D：，两数异号，异名相乘得负，结果为负数，符合要求． 解题贴士 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.． 2．任何数同 0 相乘，都得 0. ▌对点练1-1 （2024·陕西西安·一模）计算：（　　） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】 本题主要考查了有理数的乘法，解题关键是熟练掌握有理数的乘法法则． 根据两个数相乘法则：异号两数相乘得负，并把绝对值相乘，进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故选：C． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知 ，，则（ ） A． 且 B． 且 C． 均为正数 D． 均为负数 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的性质的运用，掌握并灵活运用有理数的性质是解答本题的关键．由可得，，为异号，由可得正数绝对值大求解即可． 【详解】解：， ，为异号， 又 ， 正数绝对值大， 故选：A． ▌对点练1-3（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型二 多个有理数相乘 ▌例2（26-27七年级·全国·暑假作业）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数乘法的符号法则，同号为正，异号为负，积的符号由负因数的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负因数，积的符号为正，不符合题意； B、有3个负因数，积的符号为负，符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． 解题贴士 多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． ▌对点练2-1 （25-26七年级上·福建泉州·期末）四个互不相等的整数a，b，c，d满足．则的最大值是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键，根据题意判断出四个数的值即可求解． 【详解】解：∵a，b，c，d为互不相等的整数，且满足， ∴， ∴a、b、c、d的值的所有组合可能是或或或或， ∴当或时，有最大值为或． 故选：D． ▌对点练2-2 （24-25七年级上·湖南衡阳·阶段检测）计算：=______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算． 根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． ▌对点练2-3已知六个数：，，，，，； (1)在数轴上表示这六个数； (2)求这六个数中所有非负数的乘积． 【答案】(1)数轴见解析 (2)0 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握绝对值的定义、正负数的定义是解题的关键． （1）正数在原点右侧，负数在原点左侧，先化简各数，再在数轴上表示出来即可； （2）由（1）数轴可知，非负数有，，，，再求出乘积即可． 【详解】（1）解：，， 各数在数轴上表示为： （2）解：非负数有：，，，， 则所有非负数的乘积为：． 题型三 倒数的概念及运用 ▌例3（2026·吉林松原·模拟预测）的倒数是（     ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数. ∵， ∴的倒数是． 解题贴士 1、乘积是 1 的两个数互为倒数． 2、求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一． 3、求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置． ▌对点练3-1 （2026·江西·中考真题）有理数的倒数为_____________． 【答案】 【详解】解：有理数的倒数为． ▌对点练3-2 （2026·福建福州·模拟预测）是2026的（     ） A．相反数 B．绝对值 C．倒数 D．平方根 【答案】C 【详解】解：，而， ∴是2026的倒数． ▌对点练3-3（2026·山东菏泽·二模）的相反数的倒数是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】D 【分析】按照定义先求出的相反数，再计算该相反数的倒数即可得到结果． 【详解】解：的相反数为， 的倒数为， ∴的相反数的倒数是． 题型四 运用乘法运算律进行简便计算 ▌例4（2026·河北邢台·二模）算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律 【答案】D 【详解】解：原式变形为， 是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”， 符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律． 解题贴士 1. 乘法交换、结合律：观察数字，优先找出 2 和 5、4 和 25、8 和 125 凑整；可以调换数字位置、添加括号，把能凑整的数先相乘。 2. 乘法分配律 正向：几个数的和（差）乘一个数，分开相乘再相加（减）。 逆向：两道乘法算式加减，如有相同乘数，提取相同数，剩下数字先求和差再相乘。 3. 数字拆分窍门 遇到 99 看成 100－1，101 看成 100+1；看到 25 拆出 4、看到 125 拆出 8；单独一个数可以看作乘 1，方便逆用分配律。 ▌对点练4-1 （26-27七年级·全国·暑假作业）下列各式运用运算律不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法运算律进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，应用乘法交换律正确，故该选项不符合题意； B、，应用乘法结合律正确，故该选项不符合题意； C、，应用乘法结合律正确，故该选项不符合题意； D、，该等式应用乘法分配律错误，漏乘，故该选项符合题意． ▌对点练4-2 （25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算下面各题，怎样简便就怎样算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用乘法分配律计算即可； （2）先把除法变为乘法，再利用乘法交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． ▌对点练4-3 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用乘法分配律进行解答即可． 【详解】（1）解： （2）解： 题型五 有理数的除法 ▌例5 （2026·天津河西·二模）计算的结果等于（  ） A． B． C． D．30 【答案】A 【详解】解： 解题贴士 1、能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除； 2、不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算； ▌对点练5-1 在﹣1，2，﹣3，5这四个数中，任意取两个数相除，其中最小的商是　 　． 【答案】﹣5． 【分析】两个数相除，同号得正，异号得负，且正数大于一切负数，即可解答． 【详解】解：5÷（﹣1）＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点睛】本题考查了有理数的除法，解决本题的根据是熟记两个数相除，同号得正，异号得负． ▌对点练5-2 化简下列分数： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，依此即可求解． 【详解】解：（1）2； （2）； （3）4.5； （4）． 【点睛】本题考查了有理数的除法，有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分． ▌对点练5-3计算：(1)(﹣15)÷(﹣3)； (2)12÷(﹣)； (3)(﹣0.75)÷(0.25)； (4)(-)÷(-). 【分析】采用有理数的除法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除解答． 【详解】（1）(﹣15)÷(﹣3)＝＋(15÷3)＝5； （2）12÷(﹣)＝﹣(12÷)＝﹣48； （3）(﹣0.75)÷(0.25)＝﹣(0.75÷0.25)＝﹣3. （4）(-)÷(-)=+（）=. 【点睛】本题考查有理数的除法，正确掌握运算法则是解题的关键． 题型六 有理数的乘除混合运算 ▌例6 计算：_____． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 解题贴士 (1) 有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算； (2) 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果 (乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算). ▌对点练6-1 下列等式成立的是（         ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，解题的关键是掌握乘除混合运算法则及除法法则． 利用乘除混合运算法则及除法法则逐项进行判断即可． 【详解】解：，故A选项成立，B、D选项不符合题意； ，故C选项不符合题意； 故选：A． ▌对点练6-2 （24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌对点练6-2（2026·河北邢台·一模）阅读下面解题过程： 计算： 解：原式…………① …………② …………③ (1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步； (2)请你写出这道题的正确解答过程． 【答案】(1)②③ (2)36 【分析】（1）第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）根据乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错； （2）解：原式 ． 题型七 有理数的加减乘除混合运算 ▌例7（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）按照运算顺序，计算第一步应算（     ） A． B． C．同时计算 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：有理数混合运算顺序：先乘除，后加减，所以第一步先算． 解题贴士 有理数的加减乘除混合运算 （1）有理数的加减乘除混合运算顺序：先算乘除，再算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． ▌对点练7-1 （24-25七年级上·云南德宏·期末）下列运算，结果最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数混合运算法则计算每个选项的结果，再比较大小，即可得到结果最小的选项． 【详解】解：A、. B、. C、. D、. 又∵ ∴结果最小的是A． ▌对点练7-2（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ▌对点练7-3 （25-26七年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可； （2）先计算绝对值，并将小数、带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可； （3）先将带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型八 有理数乘除法与数轴的综合 ▌例8（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）有理数a，b在数轴上的对应点如图，下列式子：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点的特征、利用数轴确定式子的符号，绝对值的意义，有理数运算，根据数轴得出，，即可判断①，根据绝对值的意义，即可判断②，根据两数相乘，同号为正，异号为负，即可判断③，根据有理数运算法则，即可判断④和⑤． 【详解】解：由题知，， ，即①错误； ，即③正确； 离原点远，离原点近， ，即②错误； ，， ，即④错误； ，且， ∴，即⑤正确； 综上所述，正确的有③和⑤，共2个． 故选：B． 解题贴士 有理数乘除法与数轴的综合主要是根据数轴的意义和有理数的乘除法法则即可解决问题. ▌对点练8-1 （22-23七年级上·辽宁丹东·阶段检测）点在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是和．对于下列四个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③⑤ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了有理数与数轴，由数轴可得，，进而根据有理数的运算法则即可判断求解，掌握有理数运算法则是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，，，， ∴①②③⑤正确 故选：． ▌对点练8-2 （25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知、两个数在数轴上的位置如图所示，有如下几个结论： ； ； ； ，其中正确的是______．（填序号） 【答案】 【分析】先根据、在数轴上的位置确定出、的符号，以及、的大小，再进行解答即可． 【详解】解：由数轴可知，，则，原结论错误，不符合题意； 由数轴可知，则，原结论错误，不符合题意； 由数轴可知，则，原结论正确，符合题意； 由数轴可知，则，原结论正确，符合题意； ∴正确的是． ▌对点练8-3（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有_______． 【答案】①②④ 【详解】解：由数轴图可知，， 对于①：∵， ∴，故①正确； 对于②：∵， ∴，故②正确； 对于③：∵， ∴，， ∴，故③错误； 对于④：∵，， ∴，故④正确． 题型九 有理数乘除法与相反数、倒数、绝对值的综合 ▌例9若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于5. (1)填空：__________；__________；__________； (2)求的值． 【答案】(1)0；1； (2)或 【分析】本题考查了有理数的相反数、倒数和绝对值以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据相反数的定义、倒数的定义和绝对值的定义解答； （2）把（1）的结果代入求解即可，注意分类． 【详解】（1）解： 、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于． ，，， 故答案为：0；1；； （2）解：当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 综上，原式的值为或． 解题贴士 此类题考查了有理数的乘法，有理数的除法，相反数的性质、绝对值的性质，倒数的定义，熟记运算法则是解题的关键，难点在于绝对值的化简要分情况讨论． ▌对点练9-1 （25-26七年级·全国·暑假作业）已知，，，则的值等于____________． 【答案】8或 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴当时，，，两种情况均不符合条件，舍去， ∴， ①当，时，满足， ； ②当，时，满足， ； 综上所述，的值为或． ▌对点练9-2 （25-26七年级上·湖南长沙·期中）已知非零实数，，，满足，则等于（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的化简以及有理数的乘法法则，掌握这些是解题的关键． 根据题意，、、 的值均可能为．它们的和1，说明，，中有两个正数和一个负数，从而 为负数，故 ． 【详解】解：当时，；当时，； 所以可能为， 同理可得：、 的值均可能为， 又， 必有两个项为1，一个项为， 即 a、b、c 中有两个正数和一个负数． 的符号为负， 因此，． 故选：A． ▌对点练9-3（25-26七年级上·宁夏银川·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时， ，当时， ． （2）如果有理数a、b满足时，则 ． 【类比探究】 三个有理数a、b、c满足，求的值． 【答案】解决问题：（1）1；；（2）0；类比探究：0或 【分析】本题考查了绝对值的性质及分类讨论的数学思想，分类讨论是解题的关键． 解决问题：（1）根据绝对值的意义进行化简即可； （2）根据得出a、b异号，即，或，，分别代入求出结果即可； 类比探究：分两种情况，根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再进行计算即可． 【详解】解：解决问题：（1）当时，， 当时，； （2）∵， ∴，或，， 当，时，； 当，时，； 综上，当时，； 类比探究：， ∴a、b、c中有1个负数或三个都是负数， 当a、 b、c中有一个负数，两个正数时，不妨设， 则， 当a、 b、c均为负数时，不妨设， 则， 综上，的值为0或． 题型十 有理数乘除法在实际生活中的应用 ▌例10 某公司天内货品进出仓库的吨数如下：（“”表示进库，“”表示出库） ，，，，． (1)经过这天，仓库里的货品是______（填“增多了”还是“减少了”）． (2)经过这天，仓库管理员结算发现仓库里还有货品吨，那么天前仓库里存有货品多少吨? (3)如果进出货的装卸费都是每吨元，那么这天一共要付多少元装卸费? 【答案】(1)减少了； (2)天前仓库里存有货品吨； (3)这天一共要付元装卸费． 【分析】（）求出这天的进出货的总和，根据总和的结果，判断货品的增多或减少； （）根据现在的货品的吨数，逆推出天前的货品的吨数； （）计算进出货的绝对值的和，再乘以即可． 【详解】（1）解：（吨）， ∴经过这天，仓库里的货品是减少了； （2）解：由（）得， ∴（吨）， 答：天前仓库里存有货品吨； （3）解： （元）， 答：这天一共要付元装卸费． 解题贴士 用有理数的乘除法求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问题. ▌对点练10-1 （26-27七年级·全国·小升初衔接）2026年世界杯将于2026年6月在北美（美国、加拿大和墨西哥）举行．为了备战世界杯，某运动员沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑．记该运动员在跑道上的某一位置为点O，那么在点O的3秒后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于点O的哪个方向？相距多少米？ 提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负． 【答案】 3秒后 2秒后 1秒后 0秒 1 秒前 2秒前 3秒前 位于点O方向 东 东 东 西 西 西 距点O的距离 27米 18米 9米 0米 9米 18米 27米 【分析】根据速度，时间，路程之间的关系，结合有理数的乘法，以及绝对值的意义进行计算，即可解题． 【详解】解：某运动员以每秒钟9米的速度向东跑． 时间在当下及之后，向东运动， 3 秒后：距离为米； 2 秒后：距离为米； 1 秒后：距离为米； 0 秒：距离为米； 时间在当下之前，可理解为向西运动， 1 秒前：距离为米； 2 秒前：距离为米； 3 秒前：距离为米． 则可填表如下： 3秒后 2秒后 1秒后 0秒 1 秒前 2秒前 3秒前 位于点O方向 东 东 东 西 西 西 距点O的距离 27米 18米 9米 0米 9米 18米 27米 ▌对点练10-2 焦作市交警大队一辆警车沿着南北方向的公路巡视，某天早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天行驶记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)B在A地哪个方向？相距多少千米？ (2)若该警车每千米耗油升，那么这天共耗油多少升？ (3)若油箱中有升油，中途是否需要加油？若需要，至少加多少升？ 【答案】(1)在地的南方，相距千米 (2)共耗油升 (3)需要加油，至少升 【分析】本题主要考查了正数与负数、有理数的加法、乘法的应用． （1）把这些数值相加，根据结果就可知道在哪个方向，相距多少千米． （2）绝对值相加，乘以每千米耗油量即可． （3）总耗油量减去油箱已有油量即可得出至少加油量. 【详解】（1）解： （千米） 答：在地的南方，相距千米． （2）解：（千米） （升） 答：这天共耗油升． （3）解： ， （升） 答：需要加油，至少升. ▌对点练10-3某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 4 2 进出次数 2 1 3 3 2 (1)这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由： (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元； 方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元；从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适． 【答案】(1)减少9吨，见解析 (2)方案二运费少 【分析】（1）先分别将运进数量×运进次数，运出数量×运出次数，再把它们相加即可求解； （2）分别求出两种方案的运费，再进行比较，即可求解． 【详解】（1）解： 答：这天仓库的原料比原来减少了9吨； （2）解：方案一： （元）， 方案二 （元） ∵ ， ∴方案二运费少，选择方案二比较合适． 题型十一 有理数乘除法的程序计算题 ▌例11 （24-25七年级上·甘肃武威·期中）如图是一个数值转换机，若输入的为，则输出的结果是（     ） A．18 B． C．39 D．21 【答案】C 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，根据程序流程图列式计算即可． 【详解】解：输出的结果是：， 故选：C． 解题贴士 利用有理数的加减乘除混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，根据程序列出算式解答即可． ▌对点练11-1 （2026·广西南宁·三模）如图是一个运算程序的示意图，若输入x的值为1，则输出的结果是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据运算程序示意图，将代入代数式进行计算，若结果大于等于1则输出，否则将结果重新代入计算． 【详解】解：当输入时，， ， 输出结果为． ▌对点练11-2如图是一个简单的数值运算程序图，当输入x的值为时，输出的数值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，观察数值运算程序图，且结合输入x的值为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵输入x的值为， ∴观察数值运算程序图，得， 故选：D ▌对点练11-3 （25-26七年级上·全国·期中）根据如图所示的“数值转换机”，当输入x的值为时，输出y的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据输入值为，按流程图进行计算，运算结果小于，将结果作为输入，再次按流程图计算，直接得到结果输出即可． 【详解】解：当输入x的值为时， ， 输入x的值为5， ， 输入x的值为， ， 输出y的值为， 故选：B． 题型十二 有理数乘除法的新定义运算问题 ▌例12 （25-26七年级上·安徽合肥·期中）规定一种新运算：，则的值是（   ） A．6 B． C． D．10 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新运算定义，先计算括号内的运算，继而再利用新运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：D． 解题贴士 新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查. ▌对点练12-1规定a※b，例如2※3，则[2※（﹣5）]※4＝　 　． 【答案】﹣2.5 【分析】根据题意知道a※b等于，用此方法计算[2※（﹣5）]※4的值． 【解答】解：由题意可得：2※（﹣5）， ※4， 故答案为：﹣2.5 【点评】此题考查有理数的除法，关键是根据题意得出新的运算方法，再利用新的运算方法解决问题． ▌对点练12-2 （24-25七年级上·江苏淮安·期中）规定一种新运算“※”如下：．如：．根据此规定解答下列两题： (1)求的值； (2)与的值相等吗？请计算说明． 【答案】(1)23 (2)与的值不相等． 理由：∵， ∴， 由（1）知， ∵， ∴与的值不相等． 【分析】（1）直接根据新定义计算即可； （2）根据新定义计算出的值，然后结合（1）中计算结果判断即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴； （2）略 ▌对点练12-3（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”） (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） ， ； （2） ， ， ， ； （3） ， ． 题型十三 有理数乘除法材料阅读问题 ▌例13 （25-26九年级下·河北衡水·期中）黑板上有一道题：计算，嘉嘉和淇淇给出了两种不同的解法． 嘉嘉： 原式 淇淇： 原式 _________________ _________________ _________________ (1)请将淇淇的解法补充完整； (2)计算：． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 解题贴士 材料阅读题要根据题中的材料来分析并解决问题，此题中是根据倒数法进行有理数的混合运算，有些含分数的数学问题直接求解比较麻烦，而若把分子、分母上下颠倒，则可立即找到突破口，这种解法称为倒数法，本题中先将被除数与除数的位置互换，先求其结果，再求出原式的结果. ▌对点练13-1 （23-24九年级上·甘肃兰州·期中）阅读下面的解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)二，运算顺序不对 (2)见解析 【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算； （1）根据有理数的乘除混合运算的运算顺序可得答案； （2）先计算括号内的运算，再按照从左至右的顺序进行计算即可. 【详解】（1）解：上面解题过程从第二步开始出错，错误的原因是运算顺序不对； （2）解： . ▌对点练13-2 课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 【答案】(1)乙、丙；甲； (2)①；② 【分析】本题考查有理数的混合运算，核心知识点为有理数的除法法则与混合运算顺序，关键在于明确除法不满足分配律，对于复杂的除法运算可通过倒数法简化计算． （1）根据除法运算的性质判断：除法没有分配律，甲错误运用分配律导致结果错误；乙按照“先括号内，再括号外”的运算顺序计算，步骤正确；丙利用倒数的性质，先计算原式的倒数再求原式，方法简便且正确． （2）①可先计算括号内的加减运算，再进行除法运算； ②由于括号内的项较多，采用倒数法计算更简便，先求原式的倒数，再通过倒数关系得到原式的值． 【详解】（1）解：除法不具有分配律，甲同学将除法错误地使用分配律，甲的解法错误； 乙同学先计算括号内的有理数加减，再进行除法运算，符合有理数混合运算顺序，解法正确； 丙同学先计算原式的倒数，再根据倒数关系求出原式的值，方法正确；故正确的是乙、丙，错误的是甲； 故答案为：乙、丙；甲． （2）①解： ； ②解：设原式为，则的倒数为， ， 的倒数为， ． ▌对点练13-3（22-23七年级上·甘肃陇南·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问题来解决． 例如：计算+． 此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂．但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非常简单． 分析方法：因为＝1﹣，＝﹣，＝﹣，＝﹣，所以，将以上4个等式两边分别相加即可得到结果，解法如下： +＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）＝1﹣+﹣+﹣+﹣＝1﹣＝． 任务： (1)猜想并写出：＝　 　；（n为正整数） (2)①应用上面的方法计算：++⋯+． ②直接写出下列式子的计算结果：++⋯+＝　 　． (3)类比应用上面的方法探究并计算：++⋯+． 【答案】(1)﹣； (2)① ②1﹣ (3) 【分析】（1）根据题干给出的规律直接判断即可； （2）与（1）一样得到然后进行合并； （3）把原式变形为（2）中的形式得到，然后利用（2）中的方法计算． 【详解】（1）通过观察可得：； 故答案为： （2）① ＝ ＝ ＝． ②根据规律可得：原式＝． 故答案为：． （3）++⋯+ ＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，正确记忆先算乘方，再算乘除，然后进行加减运算有括号先算括号是解题关键． 基础通关 1．（25-26七年级上·吉林·期中）下列算式中，积为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则进行计算是解决本题的关键．根据有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同零相乘，都得0，逐项进行计算即可得出答案． 【详解】解：A、，积为正数，不符合题意； B、，积为正数，不符合题意； C、，积为零，既不是正数也不是负数，不符合题意； D、，积为负数，符合题意； 故选：D． 2．（2026·河南信阳·模拟预测）若的运算结果为正数8，则□内的数字可以是（     ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】先根据乘积为正判断两个因数同号，再结合选项特征筛选，最后计算验证即可得到答案. 【详解】解：∵ 有理数乘法中，乘积为正数时，两个因数同号，已知其中一个因数是负数， ∴ 方框内的数一定是负数， 观察选项，只有A选项是负数， 验证计算得：，符合题意. 3．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列各对数中互为倒数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】解：选项A：， 两数不互为倒数； 选项B：， 两数不互为倒数； 选项C：， 两数互为倒数； 选项D：没有倒数， 两数不互为倒数． 4．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，根据有理数的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 5．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在算式变形：中，运用了（   ） A．分配律 B．乘法交换律 C．乘法交换律和分配律 D．分配律和乘法结合律 【答案】B 【分析】本题考查乘法运算律的识别，需根据各运算律的定义判断算式变形所运用的规律． 【详解】解：运用了乘法交换律，未涉及分配律和结合律 故选：B． 6．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）下列说法：①最大的负整数是；②相反数是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示的点一定在原点的左边；⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数，其中错误的个数是（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：对于①：最大的负整数是，故①正确； 对于②：相反数是本身的数是，不是正数，故②错误； 对于③：有理数分为正有理数、负有理数和零，故③错误； 对于④：当时，在原点的右边，故④错误； 对于⑤：若因数中包含零，则乘积为零，不是负数，故⑤错误； ∴一共有4个错误结论． 素养提升 7．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）已知，，则( )． 【答案】 【分析】根据混合运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 8．（23-24七年级上·四川资阳·开学考试）一件商品，先提价，后又降价，这时的价格是原来的（     ）． A．80% B．90% C．95% D．99% 【答案】D 【分析】本题考查百分数计算问题，设原价是1，第一个单位“1”是原价，提价后的价格就是原价的；第二个的单位“1”是提价后的价格，现价是提价后价格的，求出现价再与原价比较即可，解答此题的关键是分清两个单位“1”的区别，找清各自以谁为标准，再把数据设出，根据基本的数量关系求解． 【详解】解：设原价是1，则提价后的价格是： 现价是： 故选：D． 9．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）所有绝对值小于5的整数的积是____________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质和有理数的乘法运算，先找出所有绝对值小于的整数，再算它们的乘积即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：绝对值小于的整数有：，共个， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·全国·期末）如图，数轴上点A、B、C分别表示有理数a、b、c，若a、b、c三个数的乘积为正数，这三个数的和与其中一个数相等，则b____0． 【答案】 【分析】根据有理数的乘法法则：几个数的积是正数，则这几个数中负因数的个数应该是偶数个，从而得出 a，b，c 三个数都是正数或其中两个是负数，又根据这三个数的和与其中一个数相等得出这三个数只能是一个正数，两个为负数，由数轴可知，故只能 a，b 是负数，c 是正数，即可得出结果． 【详解】解：∵a 、b、c 三个数的乘积为正数， ∴a，b，c 三个数都是正数或其中两个是负数， 又∵这三个数的和与其中一个数相等， ∴这三个数只能是一个正数，两个为负数， ∵， ∴只能 a，b 是负数，c 是正数， 即． 11．计算的结果是________． 【答案】 【分析】原式逆用乘法分配律进行简算即可． 【详解】解： ． 12．设a、b、c为有理数，且满足， ，则a、b、c中正数的个数为________个． 【答案】1 【分析】此题考查了有理数的乘法，以及有理数的加法，根据可得a、b、c中3个正数或1正2负，再结合可得只可能为1正2负． 【详解】解： ， a、b、c中有两个负数，一个正数或者三个都为正数， ， 不可能三个都为正数，只可能是两个负数，一个正数， 故答案为：1． 迁移创新 13．（2026·河北保定·二模）一个不透明的袋子里装有4个小球，小球上分别标有数字：，0，2，5．现从袋子中随机摸出3个小球，对小球上的数字进行运算． (1)①若摸出的3个小球上分别标有2，，5，计算：； ②若摸出的3个小球上所标数字的积不为0，求这3个数字的和； (2)将随机摸出的3个小球上的数字按一定顺序填入“□-□-□”中的“□”内，直接写出计算结果的最大值． 【答案】(1)①2；②这3个数字的和为 (2)计算结果的最大值为13 【分析】（1）①利用有理数的四则混合运算法则计算即可； ②根据题意得到摸出的3个数字为，2，5，再求和即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：① ； ②∵摸出的3个小球上所标数字的积不为0， ∴摸出的3个数字为，2，5． ∴这3个数字的和； （2）解：当摸出的3个小球上的数字为5，0，时，计算结果最大， 即，即计算结果的最大值为13． 14．（2026·河北邯郸·三模）请你参考下面黑板上老师的板书，计算下列各题． 利用运算律计算： 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1)11988 (2)99900 【分析】（1）将所求式子变形为，再结合有理数的混合运算法则计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，再结合乘法运算律计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算，应按从左到右的顺序进行计算：如果有括号，要先做括号内的运算． （1）运用加法结合律，将同分母的先相加，再进行计算； （2）运用乘除法混合运算进行解答即可； （3）运用乘法分配律进行计算即可； （4）先计算绝对值，再加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ． 16．（2025七年级上·全国·专题练习）小明有下列5张写着不同数的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数的乘积最大，最大值是 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数相除的商最小，最小值是 ． (3)算24点游戏：从中取出4张卡片，对卡片上的数用学过的“，，，”进行运算（每张卡片上的数必须用一次且只能用一次，可以加括号），使运算结果为．请你任选4张卡片，写出1个满足条件的运算式． 【答案】(1)15 (2) (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则． （1）根据乘积最大的就是找符号相同且数值最大的数，即可求解； （2）根据2张卡片上数字相除的商最小就要找符号不同，且分母越大越好，分子越小越好，据此求解即可； （3）用加减乘除只要答数是24即可． 【详解】（1）解：从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字乘积最大，最大值是：， 故答案为：15； （2）解：从中抽出2张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，最小值是：， 故答案为：； （3）解：由题意可得，． 17．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，， ， ，，，． (1)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (2)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)立方米； (2)元． 【分析】（1）先将8个数据的绝对值相加，求出总行车里程，再乘以每公里消耗天然气量求解即可； （2）分别求出位乘客的车费，再求和即可． 【详解】（1）解：总行车里程为， 共消耗天然气（立方米）， 答：共消耗天然气立方米； （2）解：行车里程为的乘客的车费为：元； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； 行车里程为的乘客的车费为：元； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； 行车里程为的乘客的车费为：元； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； 行车里程为的乘客的车费为：（元）； （元）， 答：小李这天上午共得车费元． 18．（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察下列各式： … (1)猜想_______ (2)根据上面的规律，解答下列问题： ① ②将减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，以此类推，直到最后减去余下的，最后结果是多少？ 【答案】(1) (2)①，② 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据有理数的乘法运算法则即可求解； （2）①根据材料提示，以及有理数的乘法运算法则即可求解；②有理数的乘法运算法则，材料提示信息进行计算即可． 【详解】（1）解：∵ … ∴ 故答案为：； （2）解：① ；                                  ②由题意得， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $