6.1 几何图形 讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“几何图形”核心知识，构建从立体图形认识到点线面体关系，再到平面图形、几何体展开图与折叠，最终到三视图的完整学习支架。系统梳理立体图形分类、点动成线等运动观点，以及展开图与几何体转化、三视图判断等关键内容，形成递进式知识脉络。 资料以“题型+典例+变式”为框架，融入“乌鸦喝水”“折扇文化”等生活实例，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识。通过正方体展开图折叠、三视图绘制等实践，发展几何直观与空间观念，综合实践活动如“长方体纸盒制作”提升应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，强化知识应用能力。

第6章 6.1 几何图形 内 容 导 航 题型1 认识立体图形 题型2 点、线、面、体 题型3 认识平面图形 题型4 几何体的展开图 题型5 展开图折叠成几何体 题型6 专题：正方体相对两个面上的文字 题型7 简单几何体的三视图 题型8 简单组合体的三视图 题型9 由三视图判断几何体 考 点 演 练 题型1 认识立体图形 解｜题｜知｜识 （1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形． （2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． （3）重点和难点突破： 结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内． 【典例1】一个几何体只有一个顶点，一个侧面，一个底面，则这个几何体可能是（　　） A．棱柱 B．球 C．棱锥 D．圆锥 【变式1】下列几何体中，属于棱柱的有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式2】下列图形中不是柱体的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】乌鸦喝水，是《伊索寓言》中一个有趣的寓言故事．在圆柱形玻璃杯中已有定量的水，将大小相同的石子一个个慢慢投入其中．图①，②，③分别为投入2个，3个，10个石子后的水位情况，当投入10个石子时，水位恰好到达水杯的高度．若水位高度为17cm，则此时杯中投入了　 　 个石子． 题型2 点、线、面、体 解｜题｜知｜识 （1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． （2）从运动的观点来看 点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． （3）从几何的观点来看 点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合． （4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体． （5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成． 【典例1】将下列平面图形绕轴旋转一周，能得到图中所示立体图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【变式2】在飘着墨香的书院门，书法家写毛笔字时，笔尖（可看作一个点）在纸上移动形成笔画．这一现象符合哪一个数学原理？（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交成线 【变式3】国扇文化有深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为 　 　 ． 题型3 认识平面图形 解｜题｜知｜识 （1）平面图形： 一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等． （2）重点难点突破： 通过以前学过的平面图形：三角形、长方形、正方形、梯形、圆，了解它们的共性是在同一平面内． 【典例1】图中的几何体由平面图形旋转得到，这个平面图形是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下面的几何体中，哪一个不能由平面图形绕某直线旋转一周得到（　　） A． B． C． D． 【变式2】把一个圆分成若干个扇形，若其中一个扇形占整个圆的，则这个扇形的圆心角为（　　） A．144° B．288° C．72° D．36° 【变式3】如图，将一个圆分成甲、乙、丙、丁四个扇形，且这四个扇形的圆心角的度数比为2：1：4：3，则这四个扇形的圆心角的度数最大的是　 　 °． 题型4 几何体的展开图 解｜题｜知｜识 （1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形． （2）常见几何体的侧面展开图： ①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形． （3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决． 从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 【典例1】如图，涂色的小正方形是一个正方体展开图的其中5个面，添上①～④中的（　　）号面可以使其折成一个完整的正方体． A．① B．② C．③ D．④ 【变式1】如图，裁掉甲、乙、丙、丁中的一个正方形，得到的图形不是正方体展开图的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2】如图是一个长方体纸盒的表面展开图，纸片厚度忽略不计，按图中数据，这个盒子容积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．15 【变式3】请你相信“努力总会发光!”．如图是正方体的展开图，已知一个正方体展开图六个面依次书写“努”“力”“总”“会”“发”“光”，则折叠后与“总”相对的是　 　 ． 题型5 展开图折叠成几何体 解｜题｜知｜识 通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 【典例1】明明用纸（如图）折成了一个正方体的盒子，里面装了一瓶墨水，与其它空盒子混放在一起，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最近的点是（　　） A．B点 B．C点 C．D点 D．E点 【变式3】综合实践 “长方体纸盒的制作”实践活动 素材一 走进商场，各种各样的商品琳琅满目，其中很多商品有着形形色色的包装盒．作为吸引顾客的第一道惊喜，厂家对包装盒的设计与制作可谓煞费苦心．包装盒上同样蕴涵着丰富的数学知识，而设计师与企业家们都是数学能手，对包装盒的设计在更优、更省、更美的目标上精益求精． 素材二 某纸箱厂用边长为a（cm）的正方形纸板设计出两种不同的方案制作长方体盒子用于包装瓷器（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式设计制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四个角剪去四个同样大小边长为b（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来． ②图2方式设计制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四个角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 素材三 包装盒的拆解，我们可以将同一形状的包装盒进行不同方式的拆解，从而得到不同的表面展开图．下面是对一个无盖长方体盒子（它缺一个长为8cm，宽为5cm的长方形盖子）的长、宽、高分别为8cm、5cm、4cm进行拆解，如图是该长方体盒子的一种平面展开图，它的外围周长为4×8+5×2+2×8＝58cm．事实上，该长方体盒子的平面展开图还有不少种不同的方法． 任务一 下列图形中，不是无盖正方体盒子的表面展开图的是 　 　 （填序号）． 任务二 由材料二可知，如果a＝20cm，b＝4cm，图1长方体纸盒的底面周长为 　 　 cm，体积为 　 　 cm3． 图2的设计中，如果a＝48cm，b＝8cm，计算该长方体纸盒的体积． 任务二 在材料三，这个无盖长方体的其它不同平面展开图中，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 题型6 专题：正方体相对两个面上的文字 解｜题｜知｜识 （1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象． （2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面． 【典例1】由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“我”字所在的面的对面的汉字是（　　） A．中 B．国 C．的 D．梦 【变式1】数学是研究数量关系和空间形式的科学．数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每个公民应该具有的基本素养．如图是一个正方体盒子的展开图，每个面上各写有一个字，那么“素”字相对面的字是（　　） A．核 B．心 C．学 D．数 【变式2】一个正方体的平面展开图如图所示．若将展开图折叠成正方体后，相对面上所标的两个数互为相反数，则b﹣a+c的值为（　　） A．14 B．7 C．﹣14 D．2 【变式3】如图，这是一个正方体的展开图，若原正方体相对面上的两个数互为相反数，求3x+2y﹣z的值． 题型7 简单几何体的三视图 解｜题｜知｜识 （1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． （2）常见的几何体的三视图： 圆柱的三视图： 【典例1】鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构．图（2）是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【变式1】学生玩一种游戏，需按墙上的空洞造型摆出相同姿势才能穿墙而过，否则会被墙推入水池，类似地，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（　　） A． B． C． D． 【变式2】图中的三棱柱的三视图是（　　） A．三个三角形 B．两个长方形和一个三角形 C．三个长方形 D．两个长方形，且长方形内有一条连接对边的点的线段和一个三角形 【变式3】请你写出一种几何体，使得它的主视图、左视图和俯视图都一样，它是　 题型8 简单组合体的三视图 解｜题｜知｜识 （1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图． （2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． （3）画物体的三视图的口诀为： 主、俯：长对正； 主、左：高平齐； 俯、左：宽相等． 【典例1】如图，是由6个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（　　） A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图不变 C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图不变 【变式1】六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 【变式2】一个由若干大小相同的小正方体搭成的几何体，从上面看到的几何体的形状图如图所示，每个正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则从正面看到的这个几何体的形状图是（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，是由多个小正方体组合成的立体图形， （1）分别画出从正面、左面、上面观察到的图形． （2）如果将这个立体图形表面涂上红色（底面不涂），则需要涂 　 　 个面． 题型9 由三视图判断几何体 解｜题｜知｜识 （1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． （2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析： ①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高； ②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线； ③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助； ④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法． 【典例1】如图所示是一个物体的三视图，则这个物体可以是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列图形是某几何体的三视图，则这个几何体是（　　） A．三棱锥 B．四棱柱 C．圆锥 D．圆柱 【变式2】在九三阅兵仪式上，歼﹣20系列的单座、双座变体，还有舰载型的歼﹣35和歼﹣35A，这些第五代隐身战机齐刷刷亮相，展示出中国航空工业在隐身技术和多用途设计上的硬实力．如图为歼﹣20战斗机的三视图，若想通过测量了解该战斗机的机身长度（指机头与机尾之间的长度），可以选择以下哪些视图进行测量（　　） A．主视图或左视图 B．左视图或俯视图 C．主视图或俯视图 D．主视图或左视图或俯视图 【变式3】从正面、左面、上面看到的圆柱的形状图如图所示．（计算结果用π表示） （1）求这个圆柱的表面积； （2）求这个圆柱的体积． 过 关 验 收 1. 数学活动课要求用一张正方形纸片制作圆锥，同学们分别剪出一个扇形和一个小圆作为圆锥的侧面和底面．下列图示中的剪法恰好能构成一个圆锥的是（　　） A． B． C． D． 2. 如图是一面带有圆形和三角形窟窿的艺术墙，下面的立体图形中，（　　）既能塞住圆形窟窿，又能塞住三角形窟窿． A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 3. 将如图所示的平面图形绕轴旋转一周，可以得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 4. 中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（　　） A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体 C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线 5. 下面几种几何图形中，属于平面图形的有（　　） ①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱；⑦线段；⑧点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6. 小学阶段学习了很多数学知识，它们之间有着密切的联系．下面不能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． 7. 如图是一个正方体的表面展开图，则该正方体可能是（　　） A． B． C． D． 8. 如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是（　　） A． B． C． D． 9. 如图，小明网购了一个精美的正方体礼物盒，需要动手将平面展开图折叠成立体纸盒，则完成后的正方体纸盒是（　　） A． B． C． D． 10. 问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是　 　 ；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为a（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中a＝30cm，b＝5cm． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的体积为　 　 cm3； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为　 　 cm3； （3）若一个有盖长方体的长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长是多少？请你画出外围周长最大时的一个表面展开图并标上相应的数据． 11. 有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2038次后，骰子朝下一面的点数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 12. 如图，是一个根据展开图来判断折叠后的正方体盒子是否有盖的魔法机，现输入的这个正方体展开图的相对面上两个数之和均为8，则输出为“　无　 盖”正方体盒（填“有”或“无”）． 13. 下列几何体中，①圆柱；②球；③三棱锥；④圆锥；⑤长方体．从正面看图形可能是长方形的是 　 　 （填序号）． 14. 如图是由棱长都为1cm的6块小正方体组成的简单几何体． （1）请在方格中画出该几何体的三个视图． （2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加 　 块小正方体， 15. 淘气做了四个不同的模型，每个模型都是由五个棱长1dm的正方体粘贴而成的，如图所示．能从墙面的空隙中钻过去的模型有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16. 在河南博物院的藏品中，有一件商代原始瓷尊，光亮晶莹，细腻坚硬，不仅掀开了3600多年前商王朝的神秘面纱，也以清脆的金石之声，拉开了我国瓷器发展的序幕，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于从三个不同的方向观察看到的平面图形，下列说法正确的是（　　） A．从正面与从左面看到的图形相同 B．从正面与从上面看到的图形相同 C．从左面与从上面看到的图形相同 D．从正面、左面、上面看到的图形都相同 17. 珍珍观察一个用小正方体搭成的几何体，从不同方向看到的图形如图所示，这个几何体至少需要　 个小正方体． 18. 如图是某几何体从三个不同方向看到的形状图，根据图中所给数据算出该几何体的体积是　 　 cm3（结果保留π）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 6.1 几何图形 内 容 导 航 题型1 认识立体图形 题型2 点、线、面、体 题型3 认识平面图形 题型4 几何体的展开图 题型5 展开图折叠成几何体 题型6 专题：正方体相对两个面上的文字 题型7 简单几何体的三视图 题型8 简单组合体的三视图 题型9 由三视图判断几何体 考 点 演 练 题型1 认识立体图形 解｜题｜知｜识 （1）几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫几何图形．几何图形分为立体图形和平面图形． （2）立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． （3）重点和难点突破： 结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．能区分立体图形与平面图形，立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内． 【典例1】一个几何体只有一个顶点，一个侧面，一个底面，则这个几何体可能是（　　） A．棱柱 B．球 C．棱锥 D．圆锥 【答案】D 【解答】解：只有一个顶点，一个底面，一个侧面，这个几何体可能是圆锥， 故选：D． 【变式1】下列几何体中，属于棱柱的有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】D 【解答】D 【分析】本题考查的是立体图形的认识； 根据棱柱的概念、结合图形解得即可． 认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥是解题的关键． 【详解】解：第一、第三、第六个几何体是棱柱，共有3个． 故选：D． 【变式2】下列图形中不是柱体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、几何体为圆柱，符合柱体定义，不符合题意； B、几何体为正方体，符合柱体定义，不符合题意； C、几何体为三棱柱，符合柱体定义，不符合题意； D、几何体为圆锥，不符合柱体定义，符合题意． 故选：D． 【变式3】乌鸦喝水，是《伊索寓言》中一个有趣的寓言故事．在圆柱形玻璃杯中已有定量的水，将大小相同的石子一个个慢慢投入其中．图①，②，③分别为投入2个，3个，10个石子后的水位情况，当投入10个石子时，水位恰好到达水杯的高度．若水位高度为17cm，则此时杯中投入了　8　 个石子． 【答案】8． 【解答】解：由图②，图③可知，每个石子能使水面上升2cm， 当水位高度为17cm时，所投入石子的个数为（17﹣5）÷2+2＝8（个）， 故答案为：8． 题型2 点、线、面、体 解｜题｜知｜识 （1）体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． （2）从运动的观点来看 点动成线，线动成面，面动成体．点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． （3）从几何的观点来看 点是组成图形的基本元素，线、面、体都是点的集合． （4）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体． （5）面有平面和曲面之分，如长方体由6个平面组成，球由一个曲面组成． 【典例1】将下列平面图形绕轴旋转一周，能得到图中所示立体图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：将下列平面图形绕轴旋转一周， A．能得到图中所示的立体图形，故A符合题意； B．能得到圆台，故B不符合题意； C．能得到圆柱，故C不符合题意； D．能得到圆锥，故D不符合题意； 故选：A． 【变式1】在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【答案】A 【解答】解：在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了：点动成线， 故选：A． 【变式2】在飘着墨香的书院门，书法家写毛笔字时，笔尖（可看作一个点）在纸上移动形成笔画．这一现象符合哪一个数学原理？（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交成线 【答案】A 【解答】解：将“笔尖”看作一个点，笔尖在纸上移动形成笔画，体现的数学原理是点动成线． 故选：A． 【变式3】国扇文化有深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为 　线动成面　 ． 【答案】线动成面． 【解答】解：由题意知，这种现象可以用数学原理解释为线动成面， 故答案为：线动成面． 题型3 认识平面图形 解｜题｜知｜识 （1）平面图形： 一个图形的各部分都在同一个平面内，如：线段、角、三角形、正方形、圆等． （2）重点难点突破： 通过以前学过的平面图形：三角形、长方形、正方形、梯形、圆，了解它们的共性是在同一平面内． 【典例1】图中的几何体由平面图形旋转得到，这个平面图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由图可知，几何体是由A选项平面图形沿虚线旋转一周得到． 故选：A． 【变式1】下面的几何体中，哪一个不能由平面图形绕某直线旋转一周得到（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A．因为正方体不能由由一个平面图形绕某直线旋转一周得到，故A选项符合题意； B．因为球体可以由一个圆绕一条直径旋转一周得到，故B选项不符合题意； C．因为圆锥可以由一个直角三角形绕一条直角边旋转一周得到，故C选项不符合题意； D．因为圆柱可以由一个长方形绕一条边旋转一周得到，故D选项不符合题意． 故选：A． 【变式2】把一个圆分成若干个扇形，若其中一个扇形占整个圆的，则这个扇形的圆心角为（　　） A．144° B．288° C．72° D．36° 【答案】A 【解答】解：由题意得： 360°144°， ∴这个扇形的圆心角为144°， 故选：A． 【变式3】如图，将一个圆分成甲、乙、丙、丁四个扇形，且这四个扇形的圆心角的度数比为2：1：4：3，则这四个扇形的圆心角的度数最大的是　144　 °． 【答案】144． 【解答】解：∵甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角的度数比为2：1：4：3， ∴总份数为2+1+4+3＝10（份）， ∵4＞3＞2＞1， ∴最大圆心角占4份， 又∵整个圆的圆心角是360°， ∴， ∴这四个扇形的圆心角的度数最大的是144°． 故答案为：144． 题型4 几何体的展开图 解｜题｜知｜识 （1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形． （2）常见几何体的侧面展开图： ①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形． （3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决． 从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 【典例1】如图，涂色的小正方形是一个正方体展开图的其中5个面，添上①～④中的（　　）号面可以使其折成一个完整的正方体． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解答】解：根据题意正方体展开图的特征可得：添上①～④中的④号面可以使其折成一个完整的正方体． 故选：D． 【变式1】如图，裁掉甲、乙、丙、丁中的一个正方形，得到的图形不是正方体展开图的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【解答】解：根据正方体表面展开图的特征可知，裁掉正方形甲，得到的图形不是正方体展开图， 故选：A． 【变式2】如图是一个长方体纸盒的表面展开图，纸片厚度忽略不计，按图中数据，这个盒子容积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】A 【解答】解：根据题意得：1×2×3＝6， 则这个盒子的容积为6， 故选：A． 【变式3】请你相信“努力总会发光!”．如图是正方体的展开图，已知一个正方体展开图六个面依次书写“努”“力”“总”“会”“发”“光”，则折叠后与“总”相对的是　光　 ． 【答案】光． 【解答】解：根据正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“总”与“光”是对面， 故答案为：光． 题型5 展开图折叠成几何体 解｜题｜知｜识 通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 【典例1】明明用纸（如图）折成了一个正方体的盒子，里面装了一瓶墨水，与其它空盒子混放在一起，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据展开图中各种符号的特征和位置，可得墨水在B盒子里面． 故选：B． 【变式1】下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、不能折叠成正方体，故选项错误，不符合题意； B、不能折成圆锥，故选项错误，不符合题意； C、能折成圆柱，故选项正确，符合题意； D、不能折成三棱柱，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【变式2】如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最近的点是（　　） A．B点 B．C点 C．D点 D．E点 【答案】C 【解答】解：将展开图折叠成正方体后，距顶点A最近的点是点D， 故选：C． 【变式3】综合实践 “长方体纸盒的制作”实践活动 素材一 走进商场，各种各样的商品琳琅满目，其中很多商品有着形形色色的包装盒．作为吸引顾客的第一道惊喜，厂家对包装盒的设计与制作可谓煞费苦心．包装盒上同样蕴涵着丰富的数学知识，而设计师与企业家们都是数学能手，对包装盒的设计在更优、更省、更美的目标上精益求精． 素材二 某纸箱厂用边长为a（cm）的正方形纸板设计出两种不同的方案制作长方体盒子用于包装瓷器（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1方式设计制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四个角剪去四个同样大小边长为b（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来． ②图2方式设计制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四个角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 素材三 包装盒的拆解，我们可以将同一形状的包装盒进行不同方式的拆解，从而得到不同的表面展开图．下面是对一个无盖长方体盒子（它缺一个长为8cm，宽为5cm的长方形盖子）的长、宽、高分别为8cm、5cm、4cm进行拆解，如图是该长方体盒子的一种平面展开图，它的外围周长为4×8+5×2+2×8＝58cm．事实上，该长方体盒子的平面展开图还有不少种不同的方法． 任务一 下列图形中，不是无盖正方体盒子的表面展开图的是 　②　 （填序号）． 任务二 由材料二可知，如果a＝20cm，b＝4cm，图1长方体纸盒的底面周长为 　48　 cm，体积为 　576　 cm3． 图2的设计中，如果a＝48cm，b＝8cm，计算该长方体纸盒的体积． 任务二 在材料三，这个无盖长方体的其它不同平面展开图中，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值． 【答案】任务一：②； 任务二：48；576；4096cm3； 任务三：图见解析，76cm． 【解答】解：任务一：根据无盖正方体纸盒的展开图特征可知： 不是无盖正方体盒子的表面展开图的是②， 故答案为：②； 任务二：图1长方体纸盒的底面周长为：48cm，体积为：576cm3． 故答案为：48，576； 图2的设计中，该长方体纸盒的体积为：， 当a＝48cm，b＝8cm时，该长方体纸盒的体积为：8×（24﹣8）×（48﹣16）＝4096（cm3）， 故答案为： 任务三：该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图如下： 周长为：4×2+5×4+8×6＝76cm． 题型6 专题：正方体相对两个面上的文字 解｜题｜知｜识 （1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象． （2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面． 【典例1】由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“我”字所在的面的对面的汉字是（　　） A．中 B．国 C．的 D．梦 【答案】B 【解答】解：根据正方体相对的面的特点，“我”字所在的面的对面的汉字是“国”， 故选：B． 【变式1】数学是研究数量关系和空间形式的科学．数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每个公民应该具有的基本素养．如图是一个正方体盒子的展开图，每个面上各写有一个字，那么“素”字相对面的字是（　　） A．核 B．心 C．学 D．数 【答案】B 【解答】解：正方体的展开图的性质可知：“素”字相对面的字是“心”， 故选：B． 【变式2】一个正方体的平面展开图如图所示．若将展开图折叠成正方体后，相对面上所标的两个数互为相反数，则b﹣a+c的值为（　　） A．14 B．7 C．﹣14 D．2 【答案】C 【解答】解：由正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可知： “a”的对面是“﹣7”， “b”的对面是“9”， “c”的对面是“﹣2”， 又∵相对面上所标的两个数互为相反数， ∴a＝7，b＝﹣9，c＝2， ∴b﹣a+c＝﹣9﹣7+2＝﹣14， 故选：C． 【变式3】如图，这是一个正方体的展开图，若原正方体相对面上的两个数互为相反数，求3x+2y﹣z的值． 【答案】﹣1． 【解答】解：因为正方体相对面上的两个数互为相反数， 所以x＝﹣（﹣1）＝1，y＝﹣5，z＝﹣6， 所以3x+2y﹣z＝3×1+2×（﹣5）﹣（﹣6）＝3﹣10+6＝﹣1． 题型7 简单几何体的三视图 解｜题｜知｜识 （1）画物体的主视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等． （2）常见的几何体的三视图： 圆柱的三视图： 【典例1】鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构．图（2）是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：从前面看到的图形为： 故选：C． 【变式1】学生玩一种游戏，需按墙上的空洞造型摆出相同姿势才能穿墙而过，否则会被墙推入水池，类似地，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、三视图分别为正方形，三角形，圆，故A选项符合题意； B、三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，故B选项不符合题意； C、三视图分别为正方形，正方形，正方形，故C选项不符合题意； D、三视图分别为三角形，三角形，矩形及对角线，故D选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】图中的三棱柱的三视图是（　　） A．三个三角形 B．两个长方形和一个三角形 C．三个长方形 D．两个长方形，且长方形内有一条连接对边的点的线段和一个三角形 【答案】D 【解答】解：从正面看，是一个长方形，且长方形内有一条连接对边的点的线段；从左面看，是一个长方形，且长方形内有一条连接对边的点的线段；从上面看，一个三角形；故选D． 【变式3】请你写出一种几何体，使得它的主视图、左视图和俯视图都一样，它是　答案不惟一，如球、正方体等　 ． 【答案】答案不惟一，如球、正方体等 【解答】解：球的3个视图都为圆； 正方体的3个视图都为正方形； 所以主视图、左视图和俯视图都一样的几何体为球、正方体等． 题型8 简单组合体的三视图 解｜题｜知｜识 （1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图． （2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． （3）画物体的三视图的口诀为： 主、俯：长对正； 主、左：高平齐； 俯、左：宽相等． 【典例1】如图，是由6个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（　　） A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图不变 C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图不变 【答案】D 【解答】解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；主视图发生改变． 将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；左视图没有发生改变． 将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；俯视图发生改变． 故选：D． 【变式1】六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：观察图形可知，可知该几何体的俯视图如选项A所示． 故选：A． 【变式2】一个由若干大小相同的小正方体搭成的几何体，从上面看到的几何体的形状图如图所示，每个正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则从正面看到的这个几何体的形状图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：从正面看，一共有三列，小正方形的个数分别为3、2、3． 故选：C． 【变式3】如图，是由多个小正方体组合成的立体图形， （1）分别画出从正面、左面、上面观察到的图形． （2）如果将这个立体图形表面涂上红色（底面不涂），则需要涂 　32　 个面． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）从正面、左面、上面观察到的图形如图所示： （2）这个立体图形表面涂上红色（底面不涂），需要涂色的面数为（6+6）×2+6+2＝32（个）， 故答案为：32． 题型9 由三视图判断几何体 解｜题｜知｜识 （1）由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． （2）由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析： ①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高； ②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线； ③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助； ④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法． 【典例1】如图所示是一个物体的三视图，则这个物体可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据主视图发现该物体有两层组成， 根据左视图和俯视图确定该物体底层是长方体，第二层是圆柱， 故选：C． 【变式1】下列图形是某几何体的三视图，则这个几何体是（　　） A．三棱锥 B．四棱柱 C．圆锥 D．圆柱 【答案】D 【解答】解：根据主视图和俯视图为矩形可得这个几何体是柱体，根据左视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱． 故选：D． 【变式2】在九三阅兵仪式上，歼﹣20系列的单座、双座变体，还有舰载型的歼﹣35和歼﹣35A，这些第五代隐身战机齐刷刷亮相，展示出中国航空工业在隐身技术和多用途设计上的硬实力．如图为歼﹣20战斗机的三视图，若想通过测量了解该战斗机的机身长度（指机头与机尾之间的长度），可以选择以下哪些视图进行测量（　　） A．主视图或左视图 B．左视图或俯视图 C．主视图或俯视图 D．主视图或左视图或俯视图 【答案】B 【解答】解：能测量该战斗机的翼展长度的是左视图或俯视图． 故选：B． 【变式3】从正面、左面、上面看到的圆柱的形状图如图所示．（计算结果用π表示） （1）求这个圆柱的表面积； （2）求这个圆柱的体积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）π×（）2×2+π×4×6 ＝8π+24π ＝32π． 故这个圆柱的表面积是32π； （2）π×（）2×6 ＝π×4×6 ＝24π． 故这个圆柱的体积是24π． 过 关 验 收 1. 数学活动课要求用一张正方形纸片制作圆锥，同学们分别剪出一个扇形和一个小圆作为圆锥的侧面和底面．下列图示中的剪法恰好能构成一个圆锥的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：直观可能是B，B中设小圆半径为r，则大圆半径为2r， 得小圆周长为2πr，扇形弧长•2π（2r）＝2πr， 故小圆周长＝扇形弧长， 故恰好能构成一个圆锥． 故选：B． 2. 如图是一面带有圆形和三角形窟窿的艺术墙，下面的立体图形中，（　　）既能塞住圆形窟窿，又能塞住三角形窟窿． A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．圆锥 【答案】D 【解答】解：如图是一面带有圆形和三角形窟窿的艺术墙，由图可得： 根据圆锥的特征可知，圆锥既能塞住圆形窟窿，又能塞住三角形窟窿． 故选：D． 3. 将如图所示的平面图形绕轴旋转一周，可以得到的立体图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：绕直线l旋转一周，可以得到圆台， 故选：B． 4. 中华武术是中国传统文化之一，是独具民族风貌的武术文化体系．“枪挑一条线，棍扫一大片”，从数学的角度解释为（　　） A．点动成线，线动成面 B．线动成面，面动成体 C．点动成线，面动成体 D．点动成面，面动成线 【答案】A 【解答】解：枪挑一条线即为点动成线，棍扫一大片即为线动成面， 故选：A． 5. 下面几种几何图形中，属于平面图形的有（　　） ①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱；⑦线段；⑧点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【解答】解：由有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形可得： ①三角形；②长方形；④圆；⑦线段；⑧点，它们的各部分都在同一个平面内，属于平面图形； ③正方体；⑤四棱锥；⑥圆柱属于立体图形． 故选：D． 6. 小学阶段学习了很多数学知识，它们之间有着密切的联系．下面不能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． 【答案】A 【解答】解：A、平面图形可以包含梯形和平行四边形，但梯形不能包含平行四边形，关系错误，符合题意； B、立体图形包含长方体，而长方体包含正方体，关系正确，不符合题意； C、三角形包含等腰三角形，而等腰三角形包含等边三角形，关系正确，不符合题意； 故选：A． 7. 如图是一个正方体的表面展开图，则该正方体可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据正方体的表面展开图，可知该正方体可能为： ． 故选：D． 8. 如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因圆柱的侧面展开面为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C． 故选：A． 9. 如图，小明网购了一个精美的正方体礼物盒，需要动手将平面展开图折叠成立体纸盒，则完成后的正方体纸盒是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意可知， 没有阴影的两个面是相对面，故选项D不符合题意； 含有两个阴影三角形的面与含有一个小正方形的面是相对面，含有两个阴影三角形的面中的每个带阴影的三角形的底边与没有阴影的长方形共棱，故选项B、C不符合题意； 所以完成后的正方体纸盒是A， 故选：A． 10. 问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． （1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是　②　 ；（填序号） （2）综合实践小组利用边长为a（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中a＝30cm，b＝5cm． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b（cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的体积为　2000　 cm3； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为　1000　 cm3； （3）若一个有盖长方体的长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长是多少？请你画出外围周长最大时的一个表面展开图并标上相应的数据． 【答案】（1）②； （2）①2000；②1000； （3）70cm． 【解答】解：（1）根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”可知，②不是无盖正方体的表面展开图， 故答案为：②； （2）①按照图1的方式折叠可得到底是边长为a﹣2b的正方形，高为b的长方体，即底面边长为30﹣2×5＝20（cm），高为5cm，因此体积为20×20×5＝2000（cm3）， 故答案为：2000； ②按照图2的方式折叠可得到底面长为a﹣2b＝30﹣2×5＝20（cm），宽为10（cm），高为b＝5cm的长方体．因此体积为20×10×5＝1000（cm3） 故答案为：1000； （3）将一个有盖长方体的长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该展开图的最大外围周长如图所示： 最大周长为6×8+4×4+3×2＝70（cm）． 答：这个展开图的最大周长为70cm． 11. 有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2038次后，骰子朝下一面的点数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环， ∵2038÷4＝509余2， ∴朝下的数字是3， 故选：B． 12. 如图，是一个根据展开图来判断折叠后的正方体盒子是否有盖的魔法机，现输入的这个正方体展开图的相对面上两个数之和均为8，则输出为“　无　 盖”正方体盒（填“有”或“无”）． 【答案】无 【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“3”与“x”，“1”与“y”是对面， 又∵这个正方体展开图的相对面上两个数之和均为8， ∴3+x＝8，1+y＝8， 即x＝5，y＝7， ∴x＜y， 由魔法机可知，剪去x所在的正方形，所以是无盖的正方体盒子， 故答案为：无． 13. 下列几何体中，①圆柱；②球；③三棱锥；④圆锥；⑤长方体．从正面看图形可能是长方形的是 　①⑤　 （填序号）． 【答案】①⑤． 【解答】解：①圆柱从正面看是长方形，符合题意； ②球从正面看是圆，不符合题意； ③三棱锥从正面看是三角形，不符合题意； ④圆锥从正面看是三角形，不符合题意； ⑤长方体从正面看是长方形，符合题意． 故从正面看图形是长方形的是①⑤． 故答案为：①⑤． 14. 如图是由棱长都为1cm的6块小正方体组成的简单几何体． （1）请在方格中画出该几何体的三个视图． （2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加 　2　 块小正方体， 【答案】（1）见解答； （2）2． 【解答】解：（1）该几何体的主视图、左视图和俯视图如下： （2）在备注数字的位置加摆相应数量的小正方体， 所以最多可以添加2个， 故答案为：2． 15. 淘气做了四个不同的模型，每个模型都是由五个棱长1dm的正方体粘贴而成的，如图所示．能从墙面的空隙中钻过去的模型有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：图①和④从左边看到的图形为： 图②从左边看到的图形为： 图③从左边看到的图形为： 所以能从墙面的空隙中钻过去的模型有①③④，共3个． 故选：C． 16. 在河南博物院的藏品中，有一件商代原始瓷尊，光亮晶莹，细腻坚硬，不仅掀开了3600多年前商王朝的神秘面纱，也以清脆的金石之声，拉开了我国瓷器发展的序幕，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于从三个不同的方向观察看到的平面图形，下列说法正确的是（　　） A．从正面与从左面看到的图形相同 B．从正面与从上面看到的图形相同 C．从左面与从上面看到的图形相同 D．从正面、左面、上面看到的图形都相同 【答案】A 【解答】解：这个几何体从正面与从左面看到的图形相同的，因此选项A符合题意，其它的三个选项是不正确的， 故选：A． 17. 珍珍观察一个用小正方体搭成的几何体，从不同方向看到的图形如图所示，这个几何体至少需要　7　 个小正方体． 【答案】7 【解答】解：几何体底层有5个小正方体，结合从前面和左面看到的形状，可知几何体有2层，上层至少有2个小正方体， 这个几何体至少需要7个小正方体． 故答案为：7． 18. 如图是某几何体从三个不同方向看到的形状图，根据图中所给数据算出该几何体的体积是　24π　 cm3（结果保留π）． 【答案】24π． 【解答】解：根据题意得该几何体为圆柱． ∵从上面看到的圆直径为4cm， ∴底面半径r＝4÷2＝2（cm）， 由从正面看到的长方形可知，圆柱的高h＝6cm， ∴圆柱体积为V＝π×22×6＝π×4×6＝24π， 故答案为：24π． 学科网（北京）股份有限公司 $