5.3 实际问题与一元一次方程 讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦“实际问题与一元一次方程”核心知识点，衔接一元一次方程解法，通过“审题找未知量、设未知数、用含x式子表示相关量、列等量关系”的学习支架，系统覆盖由实际问题抽象方程及方程应用两大题型。 资料特色在于融入《增删算法统宗》等古代数学问题与粽子制作、跑步计时等生活实例，以典例带动变式训练，培养抽象能力（数学眼光）和推理意识（数学思维），课中助力教学互动，课后通过过关验收强化模型意识（数学语言），有效查漏补缺。

第5章 5.3 实际问题与一元一次方程 内 容 导 航 题型1 由实际问题抽象出一元一次方程 题型2 一元一次方程的应用 考 点 演 练 题型1 由实际问题抽象出一元一次方程 解｜题｜知｜识 审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程． （1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程． （2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程． 【典例1】我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有x人，则可列方程为（　　） A．5x+3＝7x﹣5 B．5x+3＝7x+5 C．5x﹣3＝7x+5 D．5x﹣3＝7x﹣5 【变式1】粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　） A．6×24x＝4×16（6﹣x） B．4×24x＝6×16（6﹣x） C．24x＝16（6﹣x） D．16x＝24（6﹣x） 【变式2】《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，则可列方程为（　　） A．9 B．2 C．2 D．9 【变式3】某工厂生产一批零件，原计划每天生产100个，实际每天生产120个，结果提前5天完成任务．设原计划生产x天，列方程正确的是（　　） A．100x＝120（x+5） B．100x＝120（x﹣5） C．120x＝100（x﹣5） D．120x＝100（x+5） 【变式4】我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？其大意是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺：绳长、井深各几尺？若设绳长x尺，则可列方程为 　 ． 【变式5】小李和小王假期到上海滨江绿道跑步．他们按规划好的同一条路线同时起跑，小李每小时跑15km，小王每小时跑9km，他们完成全部路程所用的时间，小李比小王快40分钟．设他们这次跑步路线长为ykm，依题意，可列方程为　 　 ． 【变式6】如图，将正方形纸片剪去一张宽为4cm的长方形纸条，再将剩下的纸片剪去一张宽为5cm的长方形纸条，两次剪去的长方形纸条面积相等．设原正方形纸片的边长为xcm，根据题意可列方程为　 　 ． 题型2 一元一次方程的应用 解｜题｜知｜识 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 【典例1】如图，宽为50cm的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，则大长方形的面积为（　　） A．4000cm2 B．5000cm2 C．6000cm2 D．3000cm2 【变式1】如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出5个数，这5个数的和不可能是（　　） A．125 B．110 C．75 D．60 【变式2】如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，部分数字已填入圆圈中，则a的值为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 【变式3】学校组织了一次知识竞赛，共有25道题，每一道题答对得5分，答错或不答都扣3分，小明得了85分，那么他答对的题数是（　　） A．22 B．20 C．19 D．18 【变式4】如图，甲、乙两人沿着边长为90m的正方形，按A→B→C→D→A的方向行走，甲从点A出发，以50m/min的速度行走；同时，乙从点B出发，以65m/min的速度行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的（　　） A．BC边上 B．CD边上 C．点C处 D．点D处 【变式5】有长度相等粗细不同的两根蜡烛，一支可以燃烧4小时，另一只可以燃烧5小时．同时点燃，同时熄灭，余下的长度一支是另一支的4倍，蜡烛点燃了（　　）分钟． A．210 B．165 C．185 D．225 【变式6】小朋友们分苹果，若每人8个，则多出3个苹果；若每人9个苹果，则最后一个小朋友只能拿到5个苹果，这些苹果一共有 　 　 个． 【变式7】随着时代和科技的快速发展，抖音电商利用自身的智能化推荐、定位、搜索等先进技术迅速占领线上购物市场．10月初，某抖音主播用11000元从厂家购进了A、B两种商品共500件，其中A商品每件进价40元，B商品每件进价10元． （1）求10月初购进A、B两种商品各多少件？ （2）该主播在抖音平台上出售10月初购进的A、B两种商品．A商品在进价的基础上加价50%出售，并全部售完：B商品的售价为30元/件，并以此价格售出后迎来了双“十一”促销活动，剩下的B商品在原来售价基础上打m折销售，并将剩下的商品全部售完．最后销售10月初购进的A、B两种商品一共获得的利润为9400元，求m的值． 过 关 验 收 1. 《九章算术》中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有x只小船，则可列方程为（　　） A．4x+6（8﹣x）＝38 B．6x+4（8﹣x）＝38 C．4x+6x＝38 D．8x+6x＝38 2. 如图，某校需要向某工厂定制一批四条腿的凳子，已知该工厂有9名工人，每人每天可以生产20块凳面或100条凳腿，1块凳面需要配4条凳腿，为使每天生产的凳面和凳腿刚好配套，设安排x名工人生产凳面，则下面所列方程正确的是（　　） A．4×20x＝100（9﹣x） B．20x＝4×100（9﹣x） C．4×100x＝20（9﹣x） D．100x＝4×20（9﹣x） 3. 整理一批图书，由一个人做要30小时完成，现在计划由一部分人先做2小时，再增加3人和他们一起做4小时，完成这项工作，假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 4. 成语“朝三暮四”是源自于《庄子•齐物论》的寓言故事，讲述了一位老翁喂养猴子的故事．老翁每天分早晚两次喂食猴子，早上喂食的粮食重量是晚上喂食的粮食重量的，猴子们对这个安排很不满意，于是老翁进行了调整，从晚上喂食的粮食中取出2千克放在早上喂食的粮食中，这样早上喂食的粮食重量是晚上喂食的粮食重量的，猴子们对这样的安排非常满意．设调整前晚上喂食的粮食重量是x千克，由题意可得（　　） A． B． C． D． 5. 某数的3倍减去5等于这个数加3，设这个数为x，列方程正确的是（　　） A．3x﹣5＝x+3 B．3（x﹣5）＝x+3 C．3x+5＝x﹣3 D．3x﹣5＝3x+3 6. 某车间有30名工人，每人每天可以生产A部件12个或B部件18个，一个A部件需要配两个B部件，应该如何安排工人进行生产，才能让A部件和B部件正好配套？设有x名工人生产A部件，其余工人生产B部件，依题意列方程（　　） A．12x＝18（30﹣x） B．2×12x＝18（30﹣x） C．12×18x＝18（30﹣x） D．12x＝2×18（30﹣x） 7. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百六十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行160里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（　　） A． B． C．240（x﹣12）＝160x D．240x＝160（x+12） 8. 轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2小时，若船速为20千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 9. 如图，梦之队同学们在编写数学谜题时“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内的数字为x，则列出的方程正确的是（　　） A．4（140+x）＝100x+80 B．4（140+x）＝80x C．14+x＝100x+80 D．4×14x＝80x 10. 如图是2025年10月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为5、7、13、19、21），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（　　） A．75 B．100 C．115 D．120 11. 某商店卖出两件衣服，每件售价120元，其中一件赚25%，另一件亏25%，那么两件衣服卖出后，商家（　　） A．不赚不亏 B．赚了16元 C．亏了16元 D．亏了12元 12. 由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为 　 　 元． 13. 某种商品的标价为120元，若以九折降价出售，仍获利20%，该商品的进货价为 　 　 元． 14. 如图所示，在长方形ABCD中放入8个完全相同的小长方形，若AB＝5，则图中阴影部分面积之和为 　 ． 15. 一列火车匀速行驶，经过一条长200m的隧道需要20s的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s．则这列火车的长度是　 　 m． 16. 一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是　 　 岁． 17. 为了回馈广大消费者一直以来的支持与厚爱，潭洲会展中心举行“迎元旦，大促销”活动，活动从12月18日一直持续至1月17日．某种商品每件的进价为120元，标价为180元，为了扩大营销，现准备打折销售，若使利润率为32%，则应打　 　 折． 18. 如图，将一个长方形剪去一个长为4的长条，再将剩余的长方形补上一个宽为2的长条就变成了一个正方形．若增加的与剪去的两个长条的面积相等，则这个相等的面积是　 　 ． 19. 年底促销，某商场推出“寒冬送温暖”活动，具体活动如表： 所购商品原价 优惠方案 不超过200元 不优惠 超过200元，但不超过400元 其中200元不优惠， 超过200元的部分按9折优惠 超过400元 其中400元按9折优惠， 超过400元的部分按8折优惠 小北和小关均在该商场购买了商品，其中小北实际付款218元，小关实际付款362元，请问他们两人购买的商品原价之和是 　 　 元． 20. 小深、小圳约定同时从各自家里出发前往植物园大门口集合“拾秋”，已知小深家、小圳家分别位于植物园正东方向2.5km、2km处，小深、小圳的步行速度分别为4km/h、3km/h，先到达大门口的人停下等待另一人到达，则小深与小圳相距不超过100m的时间共计　 小时． 21. 某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货价恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润＝售价﹣进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 （1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ （2）在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 5.3 实际问题与一元一次方程 内 容 导 航 题型1 由实际问题抽象出一元一次方程 题型2 一元一次方程的应用 考 点 演 练 题型1 由实际问题抽象出一元一次方程 解｜题｜知｜识 审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程． （1）“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题中一个基本的关系式，在这一类问题中，表示出各部分的量和总量，然后利用它们之间的等量关系列方程． （2）“表示同一个量的不同式子相等”是列方程解应用题中的一个基本相等关系，也是列方程的一种基本方法．通过对同一个量从不同的角度用不同的式子表示，进而列出方程． 【典例1】我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有x人，则可列方程为（　　） A．5x+3＝7x﹣5 B．5x+3＝7x+5 C．5x﹣3＝7x+5 D．5x﹣3＝7x﹣5 【答案】A 【解答】解：由题意可得：5x+3＝7x﹣5． 故选：A． 【变式1】粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　） A．6×24x＝4×16（6﹣x） B．4×24x＝6×16（6﹣x） C．24x＝16（6﹣x） D．16x＝24（6﹣x） 【答案】B 【解答】解：设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用（6﹣x）千克糯米制作碱水粽， 根据题意得4×24x＝6×16（6﹣x）． 故选：B． 【变式2】《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，则可列方程为（　　） A．9 B．2 C．2 D．9 【答案】B 【解答】解：依题意，得：2． 故选：B． 【变式3】某工厂生产一批零件，原计划每天生产100个，实际每天生产120个，结果提前5天完成任务．设原计划生产x天，列方程正确的是（　　） A．100x＝120（x+5） B．100x＝120（x﹣5） C．120x＝100（x﹣5） D．120x＝100（x+5） 【答案】B 【解答】解：设原计划生产x天， 由题意得：100x＝120（x﹣5）． 故选：B． 【变式4】我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？其大意是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺：绳长、井深各几尺？若设绳长x尺，则可列方程为　　 ． 【答案】． 【解答】解：设绳长x尺，根据井深不变，即可得出关于x的一元一次方程为： ． 故答案为：． 【变式5】小李和小王假期到上海滨江绿道跑步．他们按规划好的同一条路线同时起跑，小李每小时跑15km，小王每小时跑9km，他们完成全部路程所用的时间，小李比小王快40分钟．设他们这次跑步路线长为ykm，依题意，可列方程为　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意得， ， 即， 故答案为：． 【变式6】如图，将正方形纸片剪去一张宽为4cm的长方形纸条，再将剩下的纸片剪去一张宽为5cm的长方形纸条，两次剪去的长方形纸条面积相等．设原正方形纸片的边长为xcm，根据题意可列方程为　4x＝5（x﹣4）　 ． 【答案】4x＝5（x﹣4）． 【解答】解：根据题意得：4x＝5（x﹣4）， 故答案为：4x＝5（x﹣4）． 题型2 一元一次方程的应用 解｜题｜知｜识 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 【典例1】如图，宽为50cm的长方形图案由10个全等的小长方形拼成，则大长方形的面积为（　　） A．4000cm2 B．5000cm2 C．6000cm2 D．3000cm2 【答案】A 【解答】解：设小长方形的宽为xcm，则小长方形的长为（50﹣x）cm， 根据题意得：2（50﹣x）＝50﹣x+4x， 解得：x＝10， ∴10（50﹣x）x＝10×（50﹣10）×10＝4000（cm2）， ∴大长方形的面积为4000cm2． 故选：A． 【变式1】如图是某月的月历，用形如“十”字型框任意框出5个数，这5个数的和不可能是（　　） A．125 B．110 C．75 D．60 【答案】A 【解答】解：设框出的5个数中中间一个数为x，则同一行的另外两个数从左到右分别为x﹣1、x+1，同一列的两个数从上到下分别为x﹣7、x+7， 这5个数的和为：（x﹣1）+x+（x+1）+（ x﹣7）+（x+7）＝5x， 因此这5个数的和是5的倍数， 由于一个月最多31天，则x+7≤31，即x≤24， 则5x≤120，即框里的5个数之和最大为120，显然当x＝22时，5个数的和为110； 当x＝15时，5个数的和为75； 当x＝12时，5个数的和为60； 当x＝25时，则这5个数分别为24、25、26、18、32，显然一个月没有32天，这5个数的和为125．这是不可能的． 故选：A． 【变式2】如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，部分数字已填入圆圈中，则a的值为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：设右下边为x，由满足6条边上四个数之和都相等，他们的和为x﹣1，如图所示： 观察图形还有﹣4，﹣3，0，3，4，6五个数字，观察“六角幻星”图可知﹣a+3与﹣a﹣3相差6，只有﹣3，3或0，6满足， 则﹣a﹣3＝﹣3或﹣a﹣3＝0， 解得a＝0或a＝﹣3， 当a＝0时，x﹣（x+a﹣4）＝4，x或x+a﹣4又有1个为0（不合题意舍去）， 当a＝﹣3时，符合题意． 方法二：由题意可知，b比c大1，所以要么4和3，要么﹣3和﹣4， z比d大6，所以要么是﹣3和3，要么是6和0， 不管b和c选哪组都和3或者﹣3有关，所以z和d不可能是3和﹣3，只能是6和0， 代入即可求出a＝﹣3； 故选：B． 【变式3】学校组织了一次知识竞赛，共有25道题，每一道题答对得5分，答错或不答都扣3分，小明得了85分，那么他答对的题数是（　　） A．22 B．20 C．19 D．18 【答案】B 【解答】解：设答对的题数为x道，答错或不答的题数为（25﹣x）道，由题意得 5x﹣3（25﹣x）＝85 解得：x＝20 答：他答对的题数是20道． 故选：B． 【变式4】如图，甲、乙两人沿着边长为90m的正方形，按A→B→C→D→A的方向行走，甲从点A出发，以50m/min的速度行走；同时，乙从点B出发，以65m/min的速度行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的（　　） A．BC边上 B．CD边上 C．点C处 D．点D处 【答案】C 【解答】解：设乙行走tmin后第一次追上甲，根据题意得： 甲的行走路程为50tm，乙的行走路程65tm， 当乙第一次追上甲时， 270+50t＝65t， 解得t＝18， 此时乙所在位置为： 65×18＝1170（m）， 1170÷（90×4）＝3……90（m）， ∴当乙第一次追上甲时，在正方形的点C处． 故选：C． 【变式5】有长度相等粗细不同的两根蜡烛，一支可以燃烧4小时，另一只可以燃烧5小时．同时点燃，同时熄灭，余下的长度一支是另一支的4倍，蜡烛点燃了（　　）分钟． A．210 B．165 C．185 D．225 【答案】D 【解答】解：设点燃的时间为x小时， ， ， （小时）＝225（分钟）． 故选：D． 【变式6】小朋友们分苹果，若每人8个，则多出3个苹果；若每人9个苹果，则最后一个小朋友只能拿到5个苹果，这些苹果一共有 　59　 个． 【答案】59． 【解答】解：设共有x个小朋友，则苹果有（8x+3）个， （8x+3）﹣9（x﹣1）＝5， 解得x＝7， ∴7×8+3＝56+3＝59（个） 即有7个小朋友，有59个苹果． 故答案为：59． 【变式7】随着时代和科技的快速发展，抖音电商利用自身的智能化推荐、定位、搜索等先进技术迅速占领线上购物市场．10月初，某抖音主播用11000元从厂家购进了A、B两种商品共500件，其中A商品每件进价40元，B商品每件进价10元． （1）求10月初购进A、B两种商品各多少件？ （2）该主播在抖音平台上出售10月初购进的A、B两种商品．A商品在进价的基础上加价50%出售，并全部售完：B商品的售价为30元/件，并以此价格售出后迎来了双“十一”促销活动，剩下的B商品在原来售价基础上打m折销售，并将剩下的商品全部售完．最后销售10月初购进的A、B两种商品一共获得的利润为9400元，求m的值． 【答案】（1）10月初购进200件A商品，300件B商品； （2）m＝9． 【解答】解：（1）设10月初购进x件A商品，则购进（500﹣x）件B商品， 根据题意得：40x+10（500﹣x）＝11000， 解得：x＝200， ∴500﹣x＝500﹣200＝300． 答：10月初购进200件A商品，300件B商品； （2）根据题意得：40×（1+50%）×200+30×30030300×（1）﹣11000＝9400， 解得：m＝9． 答：m的值为9． 过 关 验 收 1. 《九章算术》中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有x只小船，则可列方程为（　　） A．4x+6（8﹣x）＝38 B．6x+4（8﹣x）＝38 C．4x+6x＝38 D．8x+6x＝38 【答案】A 【解答】解：设有x只小船，则有大船（8﹣x）只，由题意得： 4x+6（8﹣x）＝38， 故选：A． 2. 如图，某校需要向某工厂定制一批四条腿的凳子，已知该工厂有9名工人，每人每天可以生产20块凳面或100条凳腿，1块凳面需要配4条凳腿，为使每天生产的凳面和凳腿刚好配套，设安排x名工人生产凳面，则下面所列方程正确的是（　　） A．4×20x＝100（9﹣x） B．20x＝4×100（9﹣x） C．4×100x＝20（9﹣x） D．100x＝4×20（9﹣x） 【答案】A 【解答】解：设安排x名工人生产凳面，则安排（9﹣x）名工人生产凳腿， 依题意，得：4×20x＝100（9﹣x）． 故选：A． 3. 整理一批图书，由一个人做要30小时完成，现在计划由一部分人先做2小时，再增加3人和他们一起做4小时，完成这项工作，假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：假设每个人的工作效率相同，具体先安排x人工作，则：一个人做要30小时完成，现在计划由一部分人先做2小时，工作量为x，再增加3人和他们一起做4小时的工作量为（x+3），故可列式， 故选：D． 4. 成语“朝三暮四”是源自于《庄子•齐物论》的寓言故事，讲述了一位老翁喂养猴子的故事．老翁每天分早晚两次喂食猴子，早上喂食的粮食重量是晚上喂食的粮食重量的，猴子们对这个安排很不满意，于是老翁进行了调整，从晚上喂食的粮食中取出2千克放在早上喂食的粮食中，这样早上喂食的粮食重量是晚上喂食的粮食重量的，猴子们对这样的安排非常满意．设调整前晚上喂食的粮食重量是x千克，由题意可得（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意可得， x+2（x﹣2）， 故选：D． 5. 某数的3倍减去5等于这个数加3，设这个数为x，列方程正确的是（　　） A．3x﹣5＝x+3 B．3（x﹣5）＝x+3 C．3x+5＝x﹣3 D．3x﹣5＝3x+3 【答案】A 【解答】解：根据题意得：3x﹣5＝x+3． 故选：A． 6. 某车间有30名工人，每人每天可以生产A部件12个或B部件18个，一个A部件需要配两个B部件，应该如何安排工人进行生产，才能让A部件和B部件正好配套？设有x名工人生产A部件，其余工人生产B部件，依题意列方程（　　） A．12x＝18（30﹣x） B．2×12x＝18（30﹣x） C．12×18x＝18（30﹣x） D．12x＝2×18（30﹣x） 【答案】B 【解答】解：设有x名工人生产A部件，其余工人生产B部件，根据配套条件，A部件数量的2倍等于B部件数量，由此列方程可得：2×12x＝18（30﹣x）， 故选：B． 7. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百六十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行160里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（　　） A． B． C．240（x﹣12）＝160x D．240x＝160（x+12） 【答案】D 【解答】解：∵慢马先行12天，快马x天可追上慢马， ∴快马追上慢马时，慢马行了（x+12）天． 根据题意得：240x＝160（x+12）． 故选：D． 8. 轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2小时，若船速为20千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意得：．即． 故选：A． 9. 如图，梦之队同学们在编写数学谜题时“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内的数字为x，则列出的方程正确的是（　　） A．4（140+x）＝100x+80 B．4（140+x）＝80x C．14+x＝100x+80 D．4×14x＝80x 【答案】A 【解答】解：由给定的乘法竖式，即可得出关于x的一元一次方程为： 4（140+x）＝100x+80， 故选：A． 10. 如图是2025年10月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为5、7、13、19、21），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（　　） A．75 B．100 C．115 D．120 【答案】D 【解答】解：设中间的数为x，则上面一行的两个数分别为x﹣7﹣1＝x﹣8和x﹣7+1＝x﹣6，下面一行的两个数分别为x+7﹣1＝x+6和x+7+1＝x+8， ∴这五个数之和为（x﹣8）+（x﹣6）+x+（x+6）+（x+8）＝5x， A项：若五个数之和为75，即5x＝75，解得x＝15，此时最小的数是x﹣8＝15﹣8＝7，最大的数是x+8＝15+8＝23； B项：若五个数之和为100，即5x＝100，解得x＝20，此时最小的数是x﹣8＝20﹣8＝12，最大的数是x+8＝20+8＝28； C项：若五个数之和为115，即5x＝115，解得x＝23，此时最小的数是x﹣8＝23﹣8＝15，最大的数是x+8＝23+8＝31； D项：若五个数之和为120，即5x＝120，解得x＝24，此时最小的数是x﹣8＝24﹣8＝16，最大的数是x+8＝24+8＝32，而日历中一个月最多31天，不存在32号，所以结果不可能是120，在日历表中不可以框出这样的五个数， 故选：D． 11. 某商店卖出两件衣服，每件售价120元，其中一件赚25%，另一件亏25%，那么两件衣服卖出后，商家（　　） A．不赚不亏 B．赚了16元 C．亏了16元 D．亏了12元 【答案】C 【解答】解：设盈利的进价是x元，则 x+25%x＝120， x＝96． 设亏损的进价是y元，则 y﹣25%y＝120， y＝160． 120+120﹣96﹣160＝﹣16， ∴亏了16元． 故选：C． 12. 由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为 　300　 元． 【答案】300 【解答】解：设该商品的原售价为x元， 依题意得：75%x+25＝90%x﹣20， 解得：x＝300． 故答案为：300． 13. 某种商品的标价为120元，若以九折降价出售，仍获利20%，该商品的进货价为 　90　 元． 【答案】90 【解答】解：设进货价为x元， 由题意得，0.9×120﹣x＝0.2x， 解得：x＝90． 故答案为：90． 14. 如图所示，在长方形ABCD中放入8个完全相同的小长方形，若AB＝5，则图中阴影部分面积之和为 　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：设小长方形的长为x，则宽为x，AD＝2x， 由题意得：x+2x＝5， 解得：x＝3， ∴x3＝1，AD＝2x＝2×3＝6， ∴图中阴影部分面积之和为：AB•AD﹣8×3×1＝5×6﹣24＝6， 故答案为：6． 15. 一列火车匀速行驶，经过一条长200m的隧道需要20s的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10s．则这列火车的长度是　200　 m． 【答案】200 【解答】解：设这列火车的长度是xm． 根据题意，得 解得 x＝200． 答：这列火车的长度是200m． 故答案为200． 16. 一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是　65　 岁． 【答案】65． 【解答】解：设爷爷现在的年龄是x岁，小红现在的年龄是y岁． 依题意得：， 解得， 故爷爷现在的年龄是65岁． 故答案为：65． 17. 为了回馈广大消费者一直以来的支持与厚爱，潭洲会展中心举行“迎元旦，大促销”活动，活动从12月18日一直持续至1月17日．某种商品每件的进价为120元，标价为180元，为了扩大营销，现准备打折销售，若使利润率为32%，则应打　八八　 折． 【答案】八八． 【解答】解：设应打x折， 根据题意得：180120＝120×32%， 解得：x＝8.8， ∴应打八八折． 故答案为：八八． 18. 如图，将一个长方形剪去一个长为4的长条，再将剩余的长方形补上一个宽为2的长条就变成了一个正方形．若增加的与剪去的两个长条的面积相等，则这个相等的面积是　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：设这个正方形边长为x， 减去的面积：4（x﹣2）， 增加的面积：2x， ∵增加的与剪去的两个长条的面积相等， ∴4（x﹣2）＝2x 解得：x＝4， 2x＝8， 故答案为：8． 19. 年底促销，某商场推出“寒冬送温暖”活动，具体活动如表： 所购商品原价 优惠方案 不超过200元 不优惠 超过200元，但不超过400元 其中200元不优惠， 超过200元的部分按9折优惠 超过400元 其中400元按9折优惠， 超过400元的部分按8折优惠 小北和小关均在该商场购买了商品，其中小北实际付款218元，小关实际付款362元，请问他们两人购买的商品原价之和是 　600或622.5　 元． 【答案】600或622.5． 【解答】解：设小北购买商品的原价为x元， ∵小北实际付款218元， ∴小北购买商品的原价超过200元，但不超过400元， 依题意得200+0.9（x﹣200）＝218， 解得x＝220， ∴小北购买商品的原价为220元； 设小关购买商品的原价为y元， ∵小关实际付款362元， ∴分两种情况： ①小关购买的商品原价超过200元，但不超过400元， 依题意得200+0.9（x﹣200）＝362， 解得x＝380， ∴小北购买商品的原价为380元， ∴他们两人购买的商品原价之和是220+380＝600（元）； ②小关购买的商品原价超过400元， 依题意得400×0.9+0.8（x﹣400）＝362， 解得x＝402.5， ∴小北购买商品的原价为402.5元， ∴他们两人购买的商品原价之和是220+402.5＝622.5（元）． 故答案为：600或622.5． 20. 小深、小圳约定同时从各自家里出发前往植物园大门口集合“拾秋”，已知小深家、小圳家分别位于植物园正东方向2.5km、2km处，小深、小圳的步行速度分别为4km/h、3km/h，先到达大门口的人停下等待另一人到达，则小深与小圳相距不超过100m的时间共计　　 小时． 【答案】． 【解答】解：设时间t（单位：h），植物园大门口为数轴原点，正东方向为正方向．100m＝0.1km， 小深的位置为2.5﹣4t，小圳的位置为2﹣3t，则小深在t＝0.625时到达门口并停止运动，小圳在时到达门口， 当0≤t≤0.625时，两人距离|2.5﹣4t﹣（2﹣3t）|＝|0.5﹣t|， 令|0.5﹣t|＝0.1， 解得t＝0.4或t＝0.6， ∴在0≤t≤0.625阶段，当0.4≤t≤0.6时，两人相距不超过100m， 但小深在t＝0.625时到达门口并停止运动，此时位置固定为0， 当t＞0.625时，两人距离|0﹣（2﹣3t）|＝2﹣3t， 令2﹣3t＝0.1， 解得， 小圳在时到达门口， ∴当时，小深与小圳相距不超过100m， 因此，总时长为（小时）． 故答案为：． 21. 某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货价恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如表：（利润＝售价﹣进价） 型号 进价（元/只） 预售价（元/只） 甲型 20 25 乙型 35 40 （1）求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？ （2）在实际销售过程中，商店按预售价将购进的全部甲型号节能灯和部分乙型号节能灯售出后，决定将剩下的乙型号节能灯打九折销售，两种节能灯全部售完后，共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只． 【答案】（1）购进甲种型号的节能灯60只，购进乙种型号的节能灯40只； （2）乙型节能灯按预售价售出的数量是10只． 【解答】解：（1）设该商店购进甲种型号的节能灯x只，则可以购进乙种型号的节能灯（100﹣x）只， 由题意可得：20x+35（100﹣x）＝2600， 解得：x＝60，100﹣60＝40（只）， 答：该商店购进甲种型号的节能灯60只，购进乙种型号的节能灯40只； （2）设乙型节能灯按预售价售出的数量是y只， 由题意得60×（25﹣20）+（40﹣35）y+（40﹣y）×（40×90%﹣35）＝380， 解得：y＝10， 答：乙型节能灯按预售价售出的数量是10只． 学科网（北京）股份有限公司 $