1.4.2《正方形的判定》分层作业 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础判定到综合应用再到中考衔接，梯度递进，适配新授课知识巩固与推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|正方形判定定理、矩形/菱形→正方形转化、中点四边形|以选择、证明题为主，直接考查判定方法识别（如对角线相等的菱形是正方形），强化几何直观| |进阶思维题|判定与性质综合、中点四边形拓展、动态问题|含折叠（长方形折最大正方形）、动点探究（对角线上动点），培养推理能力与创新意识| |中考链接题|中考常考综合题型、折叠与几何变换|题型贴合中考（假命题判断、添加条件证正方形），注重应用意识与逻辑推理|

北师大版九年级上册 第1章 特殊平行四边形 1.4正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定 本节知识点总结 1. 正方形的判定定理： ① 有一组邻边相等的矩形是正方形； ② 对角线互相垂直的矩形是正方形； ③ 有一个角是直角的菱形是正方形； ④ 对角线相等的菱形是正方形。 2. 判定的两种基本思路： ① 先证矩形 → 再证邻边相等或对角线垂直 → 正方形 ② 先证菱形 → 再证一个直角或对角线相等 → 正方形 3. 中点四边形： ① 正方形各边中点连线得到的四边形是正方形； ② 矩形各边中点连线得到的四边形是菱形； ③ 菱形各边中点连线得到的四边形是矩形。 4. 正方形性质与判定的综合应用：灵活运用性质和判定解决证明和计算问题。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 正方形判定方法的识别与判断 1．（2024秋·北京朝阳·单元测）下列命题中，正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 【答案】C 【分析】根据正方形的判定定理逐一判断。对角线相等的菱形是正方形，这是正方形的判定定理之一。 【详解】解：A．对角线相等的四边形不一定是正方形，如等腰梯形对角线相等，但不是正方形，故A错误； B．对角线互相垂直的四边形不一定是正方形，如菱形对角线互相垂直，但不一定是正方形，故B错误； C．对角线相等的菱形是正方形，这是正方形的判定定理，故C正确； D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是正方形，故D错误。 故选：C。 2．（2024秋·上海闵行·期中）下列条件中，能判定一个四边形是正方形的是（　　） A．四边相等的四边形 B．四角相等的四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形 D．对角线相等且互相垂直平分的四边形 【答案】D 【分析】对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。对角线互相垂直平分说明是菱形，对角线相等说明是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形。 【详解】解：A．四边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故A错误； B．四角相等的四边形是矩形，不一定是正方形，故B错误； C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是正方形，故C错误； D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形， 对角线相等且互相垂直平分的四边形既是菱形又是矩形，因此是正方形，故D正确。 故选：D。 3．（2024秋·广东广州·期末）下列说法中，错误的是（　　） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．有一个角是直角的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．对角线相等的四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据正方形的判定定理逐一判断。对角线相等的四边形不一定是正方形。 【详解】解：A．一组邻边相等的矩形是正方形，这是正方形的判定定理，故A正确； B．有一个角是直角的菱形是正方形，这是正方形的判定定理，故B正确； C．对角线互相垂直的矩形是正方形，这是正方形的判定定理，故C正确； D．对角线相等的四边形不一定是正方形，如等腰梯形对角线相等，但不是正方形，故D错误。 故选：D。 4．（2024秋·江苏南京·月考）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是正方形的有（　　） ① AB = BC = CD = DA，AC = BD； ② AO = BO = CO = DO，AC⊥BD； ③ AB∥CD，AD∥BC，AC = BD； ④ AB = BC，∠ABC = 90°。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据正方形的判定定理逐一判断。①四边相等说明是菱形，对角线相等说明是矩形，既是菱形又是矩形的是正方形；②对角线互相平分且相等说明是矩形，对角线互相垂直说明是菱形，既是矩形又是菱形的是正方形；③只能说明是矩形；④只能说明是菱形。 【详解】解：① AB = BC = CD = DA，说明四边形ABCD是菱形，又AC = BD，说明对角线相等， 对角线相等的菱形是正方形，故①正确； ② AO = BO = CO = DO，说明对角线互相平分且相等，四边形ABCD是矩形，又AC⊥BD， 对角线互相垂直的矩形是正方形，故②正确； ③ AB∥CD，AD∥BC，说明四边形ABCD是平行四边形，又AC = BD，说明对角线相等， 对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故③错误； ④ AB = BC，∠ABC = 90°，只能说明△ABC是等腰直角三角形，不能判定四边形ABCD是正方形，故④错误。 ∴能判定四边形ABCD是正方形的有①②，共2个。 故选：B。 题型02 矩形→正方形的判定（邻边相等或对角线垂直） 5．（2024秋·浙江杭州·期中）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列条件中的一个，能使矩形ABCD成为正方形的是（　　） A．AB = CD B．AD = BC C．AB = BC D．AC = BD 【答案】C 【分析】矩形ABCD中，AB = BC说明一组邻边相等，一组邻边相等的矩形是正方形。 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB = CD，AD = BC，AC = BD，这些都是矩形的性质，不能判定是正方形，故A、B、D错误； 若AB = BC，说明矩形ABCD有一组邻边相等， 根据"有一组邻边相等的矩形是正方形"， ∴矩形ABCD是正方形，故C正确。 故选：C。 6．（2024秋·山东济南·期末）已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AC⊥BD，则下列结论中正确的是（　　） A．四边形ABCD是菱形，但不是正方形 B．四边形ABCD是矩形，但不是正方形 C．四边形ABCD既是矩形，又是菱形，是正方形 D．无法判断 【答案】C 【分析】矩形ABCD中，对角线互相垂直，根据"对角线互相垂直的矩形是正方形"，可判定是正方形。正方形既是矩形又是菱形。 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是矩形； 又∵AC⊥BD，即矩形的对角线互相垂直， 根据"对角线互相垂直的矩形是正方形"， ∴四边形ABCD是正方形； 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形。 故选：C。 7．（2024秋·湖北武汉·月考）如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的形状是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】矩形各边中点连线得到的四边形是菱形。利用三角形中位线定理证明四边相等。 【详解】解：连接AC、BD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC = BD（矩形的对角线相等）。 ∵E、F分别是AB、BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF = AC，EF∥AC。 同理可得：GH = ½AC，GH∥AC， EH = BD，EH∥BD， FG =BD，FG∥BD。 ∴EF = GH = EH = FG， ∴四边形EFGH是菱形（四边相等的四边形是菱形）。 故选：C。 8．（2024秋·四川成都·期中）矩形ABCD的对角线相交于点O，若∠AOB = 90°，AB = 2，则矩形ABCD的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】∠AOB = 90°说明矩形的对角线互相垂直，因此矩形是正方形。边长为2，面积为4。 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA = OB = OC = OD（矩形的对角线相等且互相平分）。 又∵∠AOB = 90°，即对角线互相垂直， ∴矩形ABCD是正方形（对角线互相垂直的矩形是正方形）。 ∵AB = 2， ∴正方形ABCD的面积 = AB² = 2² = 4。 故选：B。 题型03 菱形→正方形的判定（一个直角或对角线相等） 9．（2024秋·陕西西安·期末）如图，菱形ABCD中，添加下列条件中的一个，能使菱形ABCD成为正方形的是（　　） A．AB = AD B．AC = BD C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD 【答案】B 【分析】对角线相等的菱形是正方形。AC = BD说明菱形的对角线相等，可判定为正方形。 【详解】解：A．AB = AD是菱形的性质（菱形四边相等），不能判定是正方形，故A错误； B．AC = BD说明菱形的对角线相等，根据"对角线相等的菱形是正方形"，可判定菱形ABCD是正方形，故B正确； C．AC⊥BD是菱形的性质（菱形对角线互相垂直），不能判定是正方形，故C错误； D．AC平分∠BAD是菱形的性质（菱形对角线平分一组对角），不能判定是正方形，故D错误。 故选：B。 10．（2024秋·重庆渝中·月考）已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AC = BD，则下列结论中正确的是（　　） A．四边形ABCD是菱形，但不是正方形 B．四边形ABCD是矩形，但不是正方形 C．四边形ABCD既是菱形，又是矩形，是正方形 D．无法判断 【答案】C 【分析】菱形ABCD中，对角线相等，根据"对角线相等的菱形是正方形"，可判定是正方形。正方形既是菱形又是矩形。 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是菱形； 又∵AC = BD，即菱形的对角线相等， 根据"对角线相等的菱形是正方形"， ∴四边形ABCD是正方形； 正方形既是特殊的菱形，又是特殊的矩形。 故选：C。 11．（2024秋·辽宁沈阳·期中）如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的形状是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】菱形各边中点连线得到的四边形是矩形。利用三角形中位线定理证明是平行四边形，再利用菱形对角线垂直证明有一个角是直角。 【详解】解：连接AC、BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）。 ∵E、F分别是AB、BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AC。 同理可得：GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD。 ∴EF∥GH，EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形。 ∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD， ∴EF⊥EH，即∠HEF = 90°， ∴平行四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。 故选：B。 12．（2024秋·河南郑州·期末）菱形ABCD的边长为5，一条对角线长为6，若另一条对角线长为（ ）时，则菱形ABCD是正方形。 A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】对角线相等的菱形是正方形。若两条对角线相等，则菱形是正方形。 【详解】解：根据"对角线相等的菱形是正方形"， 若菱形ABCD是正方形，则两条对角线相等。 已知一条对角线长为6， ∴另一条对角线长也为6时，菱形ABCD是正方形。 故选：A。 题型04 正方形判定的证明题 13．（2024秋·河北石家庄·月考）已知：如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F。 求证：四边形CEDF是正方形。 【答案】证明见详解 【分析】先证是矩形，再证一组邻边相等。 【详解】证明：∵∠ACB = 90°，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴∠DEC = ∠DFC = ∠ACB = 90°， ∴四边形CEDF是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。 ∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 ∴矩形CEDF有一组邻边相等， ∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）。 14．（2024秋·湖南长沙·期中）如图，将绕着点顺时针旋转得到，射线与相交于点，，求证：四边形为正方形． 【答案】 见解答. 【解析】 利用正方形的概念判定。 【解答】 证明：绕着点顺时针旋转得到， ，，， ， 四边形为矩形． 又， 矩形为正方形， 四边形为正方形. 15．（2024秋·安徽合肥·期末）在正方形中，，，，分别在它的四条边上，且．四边形是什么特殊四边形？你是如何判断的？ AE = BF = CG = DH 【答案】 解：四边形是正方形． 证明：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ，． ∴ 四边形是菱形． ∵ ，， ∴ ． ∴ ． ∴ 四边形是正方形． 【解析】 是正方形．可通过证明，，，全等，先得出四边形是菱形，再证明四边形中一个内角为，从而得出四边形是正方形的结论． 【解答】 解：四边形是正方形． 证明：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ，． ∴ 四边形是菱形． ∵ ，， ∴ ． ∴ ． ∴ 四边形是正方形． 题型05 中点四边形问题 16．（2024秋·福建福州·月考）顺次连接正方形各边中点所得的四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】D 【分析】正方形各边中点连线得到的四边形是正方形。利用三角形中位线定理证明四边相等且有一个角是直角。 【详解】解：设正方形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， 连接AC、BD。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC = BD，AC⊥BD（正方形的对角线相等且互相垂直）。 ∵E、F分别是AB、BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF = AC，EF∥AC。 同理可得：GH = AC，GH∥AC， EH = BD，EH∥BD， FG = BD，FG∥BD。 ∴EF = GH = EH = FG， ∴四边形EFGH是菱形。 ∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD， ∴EF⊥EH，即∠HEF = 90°， ∴菱形EFGH有一个角是直角， ∴四边形EFGH是正方形。 故选：D。 17．（2024秋·江西南昌·期中）顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】矩形各边中点连线得到的四边形是菱形。利用三角形中位线定理证明四边相等。 【详解】解：设矩形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， 连接AC、BD。 ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC = BD（矩形的对角线相等）。 ∵E、F分别是AB、BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF =AC。 同理可得：GH = AC，EH = BD，FG = BD。 ∴EF = GH = EH = FG， ∴四边形EFGH是菱形（四边相等的四边形是菱形）。 故选：C。 18．（2024秋·山东青岛·期末）顺次连接菱形各边中点所得的四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】菱形各边中点连线得到的四边形是矩形。利用三角形中位线定理证明是平行四边形，再利用菱形对角线垂直证明有一个角是直角。 【详解】解：设菱形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， 连接AC、BD。 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）。 ∵E、F分别是AB、BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AC。 同理可得：GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD。 ∴EF∥GH，EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形。 ∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD， ∴EF⊥EH，即∠HEF = 90°， ∴平行四边形EFGH是矩形。 故选：B。 题型06 正方形性质与判定综合应用 19．（2024秋·广东深圳·月考）矩形纸片中，，．现将其沿对折，使得点落在边上的点处，折痕与边交于点，则的长为（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据翻折的性质可得，，然后求出四边形是正方形，再根据正方形的性质可得，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 【解答】 沿对折点落在边上的点处，，， 又， 四边形是正方形， ， ． 故选． 20.（25-26·湖南月考）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．在下列结论中：①；②；③；④．其中正确的是（       ） A.②③④ B.①②③ C.①②④ D.①③④ 【答案】 B 【解析】 ①过作于点，过作于点，如图所示：根据正方形的性质得到，，推出四边形为正方形，由矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，故①正确；②利用已知条件可以推出矩形为正方形；根据正方形的性质得到，，推出，故②正确； ③根据②的结论可得，所以，故③正确； ④当时，点与点重合，得到不一定等于，故④错误． 【解答】 解：①过作于点，过作于点，如图所示： 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形为正方形， 四边形是矩形， ，， ， 又， 在和中， ， ， ，故①正确； ②矩形为正方形； ，， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ，故②正确； ③根据②得， ， ，故③正确； ④当时，点与点重合， 不一定等于，故④错误， 综上所述：①②③正确． 故此题答案为． 21.（25-26·全国同步）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作．交射线于点，以、为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】 见解析;是定值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 分析：①作出辅助线，得到，然后判断，得到，则有即可； ②同①的方法证出得到，得出即可． 详解：①过作于点，过作于点，如图所示： 正方形， ，， ，且，四边形为正方形． 四边形是矩形，，， ，又．在和中，，，，，，矩形为正方形， ②的值为定值，理由如下： 矩形为正方形，，． 四边形是正方形，，， ．在和中，，，，，， ，是定值． 二、进阶思维题 （一）选择题 1.（25-26·广东期中）下列说法错误的是（          ） A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B.对角线相等的平行四边形是矩形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线相等的菱形是正方形 【答案】 C 【解析】 根据平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定定理进行判断即可. 【解答】 A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，故不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，故不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，题中说法错误，故符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，正确，故不符合题意. 故选：C. 2.（24-25·山东期末）如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点．则正确的是（       ） A.若，则四边形为矩形 B.若，则四边形为菱形 C.若是平行四边形，则与互相平分 D.若是正方形，则与互相垂直且相等 【答案】 D 【解析】 根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，再根据矩形、菱形、正方形的判定和性质定理判断即可． 本题考查的是矩形、菱形、正方形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【解答】 解：点 、、、分别是四边形边、、、的中点， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， 但与不一定互相平分，故选项不符合题意； ．， ， 四边形为菱形，故本选项不符合题意； ．时，， 则四边形为矩形，故本选项不符合题意； ．当四边形是正方形时，与互相垂直且相等，故本选项不符合题意； 故选：． 3.（24-25·湖南期末）做一做：用一张长方形纸片折出一个最大正方形．如下图，步骤①将长方形纸片沿痕折叠，使点落在边上与点重合；步骤②用剪刀沿剪掉长方形；步骤③将沿折痕展开得到正方形．其依据是（       ） A.有一个角是直角的菱形是正方形 B.有一组邻边相等的矩形是正方形 C.对角线相等的菱形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】 A 【解析】 本题考查了正方形的判定与性质，矩形与翻折的性质等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．根据折叠的性质可得，，，再证明四边形是菱形，再由，再结合正方形的判定即可证明， 【解答】 如图， 将长方形纸片沿痕折叠，使点落在边上与点重合， ，，， 又， ， ， ， ， 四边形是菱形， 又， 四边形是正方形， 故选： 4.（24-25·山东期末）如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（       ） A.当时，它是正方形 B.当时，它是菱形 C.当时，它是矩形 D.当时，它是矩形 【答案】 A 【解析】 根据正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定逐项判断即可得． 【解答】 解：、当时，它是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形），不一定是正方形，则此项错误，符合题意； 、当时，它是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），则此项正确，不符合题意； 、当时，它是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），则此项正确，不符合题意； 、当时，它是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），则此项正确，不符合题意； 故选：． 5.（24-25·陕西期末）如图，在中，点，，分别在边、、上，且，．下列四个判断中，不正确的是（       ） A.四边形是平行四边形 B.如果，那么四边形是矩形 C.如果平分，那么四边形是菱形 D.如果且，那么四边形是正方形 【答案】 D 【解析】 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形． 【解答】 解：、因为，所以四边形是平行四边形．故选项正确． 、，四边形是平行四边形，所以四边形是矩形．故选项正确． 、因为平分，所以，又因为四边形是平行四边形，所以是菱形．故选项正确． 、如果且不能判定四边形是正方形，故选项错误． 故选：． （二）填空题 6.（24-25·河南期末）如图，将长方形纸片折叠，使点落在上的处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是____邻边相等的矩形是正方形_______． 【答案】 邻边相等的矩形是正方形 【解析】 将长方形纸片折叠，使点落在上的处，可得到，折痕为，沿剪下，故四边形为矩形，且有一组邻边相等，故四边形为正方形，即可得到答案． 【解答】 将长方形纸片折叠，使点落在上的处， ， 折痕为，沿剪下， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形， 则其数学原理为：邻边相等的矩形是正方形， 故答案为：邻边相等的矩形是正方形． 7.（23-24·云南期末）如图，点，，分别是三边的中点，连接，，，有下列结论： ①四边形一定是平行四边形； ②若，则四边形是矩形； ③若平分，则四边形是正方形； ④若，则四边形是菱形． 其中正确的有___①②④_____.（填序号） 【答案】 【解析】 两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 【解答】 解：点，，分别是三边的中点， ，为的中位线， ，且， ，且， ∴ 四边形一定是平行四边形，故正确. 由得四边形一定是平行四边形， 若，则平行四边形是矩形，故正确. 若平分，则. ， ， ， . 又四边形是平行四边形， 四边形是菱形， 不能判定四边形是正方形，故错误. 若，则垂直平分， ，平分， 即. ， ， ， . 又四边形是平行四边形， 四边形是菱形，故正确． 故答案为：①②④．  8.（2024·吉林期末）探究：如图①，在四边形中，，，于点．若，求四边形的面积． 应用：如图②，在四边形中，，，于点．若，，，则四边形的面积为___152_____． 【答案】 【解析】 探究：过点作，交的延长线于点，先判定四边形为矩形，根据矩形的四个角都是直角可得，然后利用同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得到四边形是正方形，然后根据正方形的面积公式列计算即可得解； 应用：过点作交的延长线于，连接，根据同角的补角相等可得，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据列式计算即可得解． 【解答】 解：探究：如图①，过点作，交的延长线于点， ∵ ，， ∴ 四边形为矩形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ 在和中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 四边形为正方形， ∴ ； 应用：如图，过点作交的延长线于，连接， 则， ∵ ， ∴ ， ∵ 在和中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：．  9.（23-24·辽宁期中）如图，正方形的边长为，点是对角线上的动点（点不与，重合），连接交于点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．下列结论：①；②；③若四边形的面积是正方形面积的一半，则的长为；④．其中正确的是  ①②④     ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】 【解析】 过作，，可证得，故①正确；可证四边形是正方形得，，可证，进而得到，所以，得，即，可证②正确；由可求，过作，则，知，设，则，由，得到，从而得到，知③错误；由②可知，，所以，而可求，④正确． 【解答】 解：过作， 四边形是正方形，平分 ， 故①正确； ，， ， 四边形是平行四边形 ， 四边形是正方形 ， 又， ，即 故②正确； 过作 四边形是正方形 设，则 解得 故③错误； 由②可知， 故④正确， 所以答案为：①②④． 10.（24-25·安徽期末）如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．给出以下结论： ①矩形是正方形； ②；③平分； ④．其中正确的序号为_____①③④________． 【答案】 ①③④ 【解析】 过点作于点，作于点，根据正方形对角线性质和角平分线性质得到，结合矩形性质推出，，得到， 得到，即可判断①；根据，判断②；根据正方形性质得到，，，得到，得到，得到，平分，判断③；过点作交于点，可得，，得到，根据，，得到，得到，即得，判断④． 【解答】 解：过点作于点，作于点，如图所示， 则， 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 矩形是正方形， 故①正确； ， 当时，， 故②不正确； ， ， ， ，， ， ， ， ， 平分， 故③正确； 过点作交于点， 则， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故④正确． 综上可知①③④正确． 故答案为：①③④， （三）解答题 11.如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，．求证：四边形是正方形． 【答案】 证明过程见解答 【解析】 菱形的两条对角线相互垂直且平分，再根据两条对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形即可证明四边形是正方形． 【解答】 证明：四边形是菱形，且， 又 即 且 又 四边形是正方形．  12.（24-25·山东期末） 如图，在平行四边形中，点，，，分别在边，，，上，，，且平分． （1）求证：． （2）若．求证：四边形是正方形． 【答案】 证明见解答； 证明见解答. 【解析】 （1）根据全等三角形的判定定理证得结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明有一组邻边相等，然后结合，即可证得该平行四边形是正方形． 【解答】 （1）证明：四边形是平行四边形，． 在与中， ， ； （2）四边形是平行四边形，，，． ，， ，． ， ． 又， ． 四边形为平行四边形． ， ． 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形． 又， 平行四边形是正方形．   13.（25-26·山东开学） 已知：在平行四边形中，分别延长，到点，，使得，．连接，分别交，于点，． （1）求证：； （2）连接交于点，若，则当线段与线段满足什么数量关系时，四边形是正方形？ 【答案】 见解答 当时，四边形是正方形 【解析】 （1）要证明，只要证明即可； （2）利用已知可得四边形是菱形，所以当时，，四边形是正方形． 【解答】 证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ； 解：当时，四边形是正方形； 理由： 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， 当时，则， 四边形是正方形，即， ， 当时，四边形是正方形．   14.（24-25·四川期末）问题情境：如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接. 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； （3）解决问题： 如图①，若，，请直接写出的长. 【答案】 四边形是正方形. . ， 【解析】 （1）由旋转的性质可得＝＝，＝，＝，由正方形的判定可证四边形是正方形； （2）过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得＝，由旋转的性质可得＝，可得结论； （3）利用勾股定理可求＝＝，再利用勾股定理可求的长． 【解答】 （1）解：四边形是正方形，理由如下： ∵ 将绕点按顺时针方向旋转，得到， ∴ ，， . 又∵ ， ∴ 四边形是矩形. 又∵ ， ∴ 四边形是正方形. （2），理由如下： 如图②，过点作于， ∵ ，， ∴ ， ∴ . ∵ 四边形是正方形， ∴ ，， ∴ ， ∴ . 又∵ ，，. ∴ ， ∴ . ∵ 将绕点按顺时针方向旋转，得到， ∴ . ∵ 四边形是正方形， ∴ ， ∴ ， ∴ . （3）， 如图①，过点作于， ∵ 四边形是正方形， ∴ . ∵ ，，， ∴ ， 可得， ∴ . 由可知：，， ∴ ， ∴ 根据勾股定理得：. 三、中考链接题 1.（2026·浙江中考）下列命题为假命题的是（        ） A.四边形内角和等于 B.平行四边形对角线互相平分 C.有一组邻边相等的矩形是正方形 D.四个角相等的四边形是菱形 【答案】 D 【解析】 根据相关性质和判定求解。 【解答】 选项A，任意四边形的内角和均为，该命题为真命题，不符合题意； 选项B，平行四边形的对角线互相平分是平行四边形的基本性质，该命题为真命题，不符合题意； 选项C，矩形的四个角均为直角，若矩形有一组邻边相等，则满足正方形的判定条件，该命题为真命题，不符合题意； 选项D，四边形内角和为，若四个角相等，则每个角的度数为，四个角均为直角的四边形是矩形，不一定是菱形，该命题为假命题，符合题意。 2.（24-25·湖南中考）四边形的对角线相交于点，能判定它是正方形的条件是（       ） A. B.，， C.，且、互相平分 D.， 【答案】 C 【解析】 根据正方形的判定对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，对各个选项进行分析从而得到最后的答案． 【解答】 解：、错误，只能判定为菱形； 、错误，只能判定为菱形； 、正确，且、互相平分可判定为菱形，再由判定为正方形； 、错误，可以判定为筝形，但筝形不是正方形； 故选．   3.（2024云南中考）如图，是的角平分线，，分别是和的高，得到下列四个结论： ①； ②； ③当时，四边形是正方形； ④． 其中正确的是（       ） A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】 D 【解析】 ①如果，则四边形是矩形，，不符合题意，所以①不正确． ②首先根据全等三角形的判定方法，判断出，，；然后根据全等三角形的判定方法，判断出，即可判断出． ③首先判断出当时，四边形的四个角都是直角，四边形是矩形，然后根据，判断出四边形是正方形即可． ④根据，判断出，，即可判断出成立，据此解答即可． 【解答】 解：如果，则四边形是矩形，，不符合题意， ∴ ①不正确； ∵ 是的角平分线， ∴ ， 在和中， ∴ ， ∴ ，， ∴ ， ∴ ④正确； 在和中， ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ 是的中垂线， ∴ ， ∴ ②正确； ∵ 当时，四边形的四个角都是直角， ∴ 四边形是矩形， 又∵ ， ∴ 四边形是正方形， ∴ ③正确． 综上，可得 正确的是：②③④． 故选：． 4.（23-24·山东中考）如图，在平行四边形中，于点，于点，，当边________时，四边形是正方形． 【答案】 【解析】 根据平行四边形的性质和正方形的判定解答即可． 【解答】 解：∵ 平行四边形中，， ，， ∴ ，四边形是矩形. ∵ ，， ∴ ，. 若四边形是正方形，则 ，则 . 故答案为：. 5.（24-25·安徽中考）在平行四边形中，对角线与相交于点，要使四边形是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①，且；②，且；③，且；④，且．其中正确的序号是____①③④____． 【答案】 ①③④ 【解析】 本题考查了矩形、菱形、正方形的判定． 【解答】 解：∵ 四边形是平行四边形，， ∴ 四边形是菱形， 又∵ ， ∴ 四边形是正方形，①正确； ∵ 四边形是平行四边形，，， ∴ 平行四边形不可能是正方形，②错误； ∵ 四边形是平行四边形，， ∴ ， ∴ 四边形是矩形， 又，即对角线互相垂直， ∴ 平行四边形是正方形，③正确； ∵ 四边形是平行四边形，， ∴ 四边形是菱形， 又∵ ， ∴ 四边形是矩形， ∴ 平行四边形是正方形，④正确； 故答案为：①③④． 6.（24-25·安徽中考）已知：如图，等边的顶点，在矩形的边，上，且．求证：矩形是正方形． 【答案】 证明：∵ 四边形是矩形， ∴ ， ∵ 是等边三角形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 矩形是正方形． 【解析】 先判断出，，进而求出，进而判断出，即可得出结论． 【解答】 证明：∵ 四边形是矩形， ∴ ， ∵ 是等边三角形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 矩形是正方形． 7.（24-25·江西中考） 已知：如图，在菱形中，点，，分别为，，的中点，连接，，，． （1）求证：； （2）当与满足什么关系时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】 见解答． 【解析】 （1）由菱形的性质得出＝，＝＝＝，由已知和三角形中位线定理证出＝＝＝，，，，由证明即可； （2）由（1）得：＝＝＝，证出四边形是菱形，再证出＝，四边形是正方形． 【解答】 （1）证明：∵ 四边形是菱形， ∴ ＝，＝＝＝， ∵ 点，，分别为，，的中点， ∴ ＝＝＝，，，， 在和中，， ∴ ； （2）当时，四边形是正方形，理由如下： 由（1）得：＝＝＝， ∴ 四边形是菱形， ∵ ，， ∴ ， ∴ ＝， ∴ 四边形是正方形．  8.（24-25·贵州中考） 综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则四边形的形状为_． （2）如图，矩形纸片的边长，用图中的方法折叠纸片，折痕为，接着沿过点的直线折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为．则 ， ． （3）如图，矩形纸片的长为，宽为，用图的方法折叠纸片，折痕为，在线段上取一点（不与点重合），沿折叠，点的对应点为延长交直线于点．①判断与的数量关系，并证明； ②当射线经过的直角边的中点时，请直接写出的长． 【答案】 正方形； ； ①，证明见解答；②或 【解析】 （1）根据矩形的性质得到，，由折叠得，，即可证得四边形是正方形； （2）先推出，根据矩形的性质推出，即可求出,由矩形，即可求出； （3）①由矩形性质得，推出，由折叠可知，，由此推出，即可推出；②分两种情况：若过中点，即为中点；若过中点，连接，根据矩形的性质及勾股定理求解即可． 【解答】 （1）解：四边形是矩形， ，， 由折叠性质可得，，， 四边形是正方形； （2）由知四边形为正方形，， ， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， 折叠，点落在点处， ，， ， 正方形， ， 在中，，即， , , 矩形， ， , ，， ； （3）①，四边形是矩形， ， ， 由折叠可知，， ， ； ②四边形是矩形， ， 由知四边形，均为正方形， ， 由折叠得，，, 若过中点，即为中点， ， , 在中，, ； 若过中点，连接， ， ，且， ， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， 即， 综上，的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版九年级上册 第1章 特殊平行四边形 1.4正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定 本节知识点总结 1. 正方形的判定定理： ① 有一组邻边相等的矩形是正方形； ② 对角线互相垂直的矩形是正方形； ③ 有一个角是直角的菱形是正方形； ④ 对角线相等的菱形是正方形。 2. 判定的两种基本思路： ① 先证矩形 → 再证邻边相等或对角线垂直 → 正方形 ② 先证菱形 → 再证一个直角或对角线相等 → 正方形 3. 中点四边形： ① 正方形各边中点连线得到的四边形是正方形； ② 矩形各边中点连线得到的四边形是菱形； ③ 菱形各边中点连线得到的四边形是矩形。 4. 正方形性质与判定的综合应用：灵活运用性质和判定解决证明和计算问题。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 正方形判定方法的识别与判断 1．（2024秋·北京朝阳·单元测）下列命题中，正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是正方形 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 2．（2024秋·上海闵行·期中）下列条件中，能判定一个四边形是正方形的是（　　） A．四边相等的四边形 B．四角相等的四边形 C．对角线互相垂直的平行四边形 D．对角线相等且互相垂直平分的四边形 3．（2024秋·广东广州·期末）下列说法中，错误的是（　　） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．有一个角是直角的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．对角线相等的四边形是正方形 4．（2024秋·江苏南京·月考）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是正方形的有（　　） ① AB = BC = CD = DA，AC = BD； ② AO = BO = CO = DO，AC⊥BD； ③ AB∥CD，AD∥BC，AC = BD； ④ AB = BC，∠ABC = 90°。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 矩形→正方形的判定（邻边相等或对角线垂直） 5．（2024秋·浙江杭州·期中）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，添加下列条件中的一个，能使矩形ABCD成为正方形的是（　　） A．AB = CD B．AD = BC C．AB = BC D．AC = BD 6．（2024秋·山东济南·期末）已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AC⊥BD，则下列结论中正确的是（　　） A．四边形ABCD是菱形，但不是正方形 B．四边形ABCD是矩形，但不是正方形 C．四边形ABCD既是矩形，又是菱形，是正方形 D．无法判断 7．（2024秋·湖北武汉·月考）如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的形状是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 8．（2024秋·四川成都·期中）矩形ABCD的对角线相交于点O，若∠AOB = 90°，AB = 2，则矩形ABCD的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 题型03 菱形→正方形的判定（一个直角或对角线相等） 9．（2024秋·陕西西安·期末）如图，菱形ABCD中，添加下列条件中的一个，能使菱形ABCD成为正方形的是（　　） A．AB = AD B．AC = BD C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD 10．（2024秋·重庆渝中·月考）已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AC = BD，则下列结论中正确的是（　　） A．四边形ABCD是菱形，但不是正方形 B．四边形ABCD是矩形，但不是正方形 C．四边形ABCD既是菱形，又是矩形，是正方形 D．无法判断 11．（2024秋·辽宁沈阳·期中）如图，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的形状是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 12．（2024秋·河南郑州·期末）菱形ABCD的边长为5，一条对角线长为6，若另一条对角线长为（ ）时，则菱形ABCD是正方形。 A．6 B．8 C．10 D．12 题型04 正方形判定的证明题 13．（2024秋·河北石家庄·月考）已知：如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F。 求证：四边形CEDF是正方形。 14．（2024秋·湖南长沙·期中）如图，将绕着点顺时针旋转得到，射线与相交于点，，求证：四边形为正方形． 15．（2024秋·安徽合肥·期末）在正方形中，，，，分别在它的四条边上，且．四边形是什么特殊四边形？你是如何判断的？ 题型05 中点四边形问题 16．（2024秋·福建福州·月考）顺次连接正方形各边中点所得的四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 17．（2024秋·江西南昌·期中）顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 18．（2024秋·山东青岛·期末）顺次连接菱形各边中点所得的四边形是（　　） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 题型06 正方形性质与判定综合应用 19．（2024秋·广东深圳·月考）矩形纸片中，，．现将其沿对折，使得点落在边上的点处，折痕与边交于点，则的长为（       ） A. B. C. D. 20.（25-26·湖南月考）如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，过点作，交延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．在下列结论中：①；②；③；④．其中正确的是（       ） A.②③④ B.①②③ C.①②④ D.①③④ 21.（25-26·全国同步）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作．交射线于点，以、为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 二、进阶思维题 （一）选择题 1.（25-26·广东期中）下列说法错误的是（          ） A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B.对角线相等的平行四边形是矩形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线相等的菱形是正方形 2.（24-25·山东期末）如图，点、、、分别是四边形边、、、的中点．则正确的是（       ） A.若，则四边形为矩形 B.若，则四边形为菱形 C.若是平行四边形，则与互相平分 D.若是正方形，则与互相垂直且相等 3.（24-25·湖南期末）做一做：用一张长方形纸片折出一个最大正方形．如下图，步骤①将长方形纸片沿痕折叠，使点落在边上与点重合；步骤②用剪刀沿剪掉长方形；步骤③将沿折痕展开得到正方形．其依据是（       ） A.有一个角是直角的菱形是正方形 B.有一组邻边相等的矩形是正方形 C.对角线相等的菱形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 4.（24-25·山东期末）如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（       ） A.当时，它是正方形 B.当时，它是菱形 C.当时，它是矩形 D.当时，它是矩形 5.（24-25·陕西期末）如图，在中，点，，分别在边、、上，且，．下列四个判断中，不正确的是（       ） A.四边形是平行四边形 B.如果，那么四边形是矩形 C.如果平分，那么四边形是菱形 D.如果且，那么四边形是正方形 （二）填空题 6.（24-25·河南期末）如图，将长方形纸片折叠，使点落在上的处，折痕为，若沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是___________． 7.（23-24·云南期末）如图，点，，分别是三边的中点，连接，，，有下列结论： ①四边形一定是平行四边形； ②若，则四边形是矩形； ③若平分，则四边形是正方形； ④若，则四边形是菱形． 其中正确的有________.（填序号） 8.（2024·吉林期末）探究：如图①，在四边形中，，，于点．若，求四边形的面积． 应用：如图②，在四边形中，，，于点．若，，，则四边形的面积为________． 9.（23-24·辽宁期中）如图，正方形的边长为，点是对角线上的动点（点不与，重合），连接交于点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．下列结论：①；②；③若四边形的面积是正方形面积的一半，则的长为；④．其中正确的是       ．（填写所有正确结论的序号） 10.（24-25·安徽期末）如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．给出以下结论： ①矩形是正方形； ②；③平分； ④．其中正确的序号为_____________． （三）解答题 11.如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，．求证：四边形是正方形． 12.（24-25·山东期末） 如图，在平行四边形中，点，，，分别在边，，，上，，，且平分． （1）求证：． （2）若．求证：四边形是正方形． 13.（25-26·山东开学）已知：在平行四边形中，分别延长，到点，，使得，．连接，分别交，于点，． （1）求证：； （2）连接交于点，若，则当线段与线段满足什么数量关系时，四边形是正方形？ 14.（24-25·四川期末）问题情境：如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接. 猜想证明： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明； （3）解决问题： 如图①，若，，请直接写出的长. 三、中考链接题 1.（2026·浙江中考）下列命题为假命题的是（        ） A.四边形内角和等于 B.平行四边形对角线互相平分 C.有一组邻边相等的矩形是正方形 D.四个角相等的四边形是菱形 2.（24-25·湖南中考）四边形的对角线相交于点，能判定它是正方形的条件是（       ） A. B.，， C.，且、互相平分 D.， 3.（2024云南中考）如图，是的角平分线，，分别是和的高，得到下列四个结论： ①； ②； ③当时，四边形是正方形； ④． 其中正确的是（       ） A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④ 4.（23-24·山东中考）如图，在平行四边形中，于点，于点，，当边________时，四边形是正方形． 5.（24-25·安徽中考）在平行四边形中，对角线与相交于点，要使四边形是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①，且；②，且；③，且；④，且．其中正确的序号是________． 6.（24-25·安徽中考）已知：如图，等边的顶点，在矩形的边，上，且．求证：矩形是正方形． 7.（24-25·江西中考）已知：如图，在菱形中，点，，分别为，，的中点，连接，，，． （1）求证：； （2）当与满足什么关系时，四边形是正方形？请说明理由． 8.（24-25·贵州中考） 综合与实践课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则四边形的形状为_． （2）如图，矩形纸片的边长，用图中的方法折叠纸片，折痕为，接着沿过点的直线折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为．则 ， ． （3）如图，矩形纸片的长为，宽为，用图的方法折叠纸片，折痕为，在线段上取一点（不与点重合），沿折叠，点的对应点为延长交直线于点．①判断与的数量关系，并证明； ②当射线经过的直角边的中点时，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $