1.4 正方形的性质与判定同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本练习围绕正方形性质与判定，通过基础、中档、提升三层设计，实现从概念辨析到综合应用的知识巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|正方形与特殊四边形共性、基本判定|选择1-2考查概念辨析，填空4结合性质计算，解答1基础证明，强化抽象能力| |中档|性质简单应用、角度与长度计算|选择3-5涉及中点连线、角度推导，填空2-3需全等推理，解答2-3综合判定，发展推理意识| |提升|多图形综合、动态问题与开放探究|选择7-10含n个正方形重叠、综合图形计算，填空5结合勾股定理，解答4-5需判定条件探究，培养空间观念与创新意识|

1.4 正方形的性质与判定 一．选择题 1．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（　　） A．四条边相等，四个角相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 2．下列判断错误的是（　　） A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．四条边都相等的四边形是菱形 D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 3．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（　　） A． B．2 C．1 D．21 4．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（　　） A．①② B．②③ C． D．②④ 5．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP度数是（　　） A．45° B．22.5° C．67.5° D．75° 6．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME＝MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（　　） A．n B．n﹣1 C．（）n﹣1 D．n 8．如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①S△ABF＝S△ADF；②S△CDF＝4S△CEF；③S△ADF＝2S△CEF；④S△ADF＝2S△CDF，其中正确的是（　　） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 9．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，已知AD＝6（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），DF＝2，则S△AEF＝（　　） A．6 B．12 C．15 D．30 10．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是（　　） A．7 B．8 C．7 D．7 二．填空题 1．如图，两个正方形边长分别为2、a（a＞2），图中阴影部分的面积为 　 ． 2．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为　 　 ． 3．如图，P是正方形ABCD内一点，且PA＝PD，PB＝PC．若∠PBC＝60°，则∠PAD＝　 　 ． 4．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上任意一点，PM⊥AC，PN⊥BD，垂足分别为点M、N，若BD＝10，则PM+PN＝　 　 ． 5．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB，AG＝1，则EB＝　 　 ． 三．解答题 1．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF． 2．已知，如图，四边形ABCD和CEFG都是正方形，点K在BC上，延长CD到点H，使DH＝CE＝BK．求证：四边形AKFH是正方形． 3．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N． （1）求证：∠ADB＝∠CDB； （2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形． 4．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，连接DE交AC于点F． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明． （3）在（2）的条件下，若AB＝AC＝2，求正方形ADCE周长． 5．已知：如图，在平行四边形ABCD中，BC＝AC，E，F分别是AB，CD的中点，连接CE并延长交DA的延长线于M，连接AF并延长交BC的延长线于N． （1）求证：△ABN≌△CDM； （2）当平行四边形ABCD的边或角满足什么关系时，四边形AECF是正方形？请说明理由． 答案 一．选择题 1．【解答】解：菱形，矩形，正方形都具有的性质为对角线互相平分． 故选：D． 2．【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，故本选项错误； B、四个内角都相等的四边形是矩形，正确，故本选项错误； C、四条边都相等的四边形是菱形，正确，故本选项错误； D、两条对角线垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是菱形，故本选项正确． 故选：D． 3．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为1， ∴BC＝CD1，∠BCD＝90°， ∵E、F分别是BC、CD的中点， ∴CEBC，CFCD， ∴CE＝CF， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴EFCE， ∴正方形EFGH的周长＝4EF＝42； 故选：B． 4.【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， 当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形， 当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形， 当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， 当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形， 当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形， 当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意． 故选：B 5．【解答】解：∵ABCD是正方形， ∴∠DBC＝∠BCA＝45°， ∵BP＝BC， ∴∠BCP＝∠BPC＝67.5°， ∴∠ACP＝∠BCP﹣∠BCA＝67.5°﹣45°＝22.5°． 故选：B． 6．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，M为边DA的中点， ∴DMADDC＝1， ∴CM， ∴ME＝MC， ∵ED＝EM﹣DM1， ∵四边形EDGF是正方形， ∴DG＝DE1． 故选：D． 7．【解答】解：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的，即是4＝1， 5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4， n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）＝n﹣1． 故选：B． 8．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥CB，AD＝BC＝AB，∠FAD＝∠FAB， 在△AFD和△AFB中， ， ∴△AFD≌△AFB， ∴S△ABF＝S△ADF，故①正确， ∵BE＝ECBCAD，AD∥EC， ∴， ∴S△CDF＝2S△CEF，S△ADF＝4S△CEF，S△ADF＝2S△CDF， 故②③错误④正确， 故选：C． 9．【解答】解：如图，过点A作AH⊥AE，交CD的延长线于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD＝BC＝6，∠BAD＝∠ADC＝90°， ∵AH⊥AE， ∴∠HAE＝∠BAD＝90°， ∴∠HAD＝∠BAE， 在△ADH和△ABE中， ， ∴△ADH≌△ABE（ASA）， ∴BE＝HD，AH＝AE， ∵∠EAF＝45°， ∴∠HAF＝∠EAF＝45°， 在△AFH和△AFE中， ， ∴△AFH≌△AFE（SAS）， ∴EF＝HF， ∵DF＝2， ∴CF＝4， ∵EF2＝CE2+CF2， ∴（2+BE）2＝16+（6﹣BE）2， ∴BE＝3， ∴HF＝HD+DF＝5， ∵△AFH≌△AFE， ∴S△AEF＝S△AFHHF×AD5×6＝15， 故选：C． 10．【解答】解：如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD， ∴∠BAE+∠DAG＝90°， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SSS）， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴∠ABE+∠BAE＝90°， ∴∠ABE＝∠DAG＝∠CDF， 同理：∠ABE＝∠DAG＝∠CDF＝∠BCH， ∴∠DAG+∠ADG＝∠CDF+∠ADG＝90°， 即∠DGA＝90°， 同理：∠CHB＝90°， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（AAS）， ∴AE＝DG，BE＝AG， 同理：AE＝DG＝CF＝BH＝5，BE＝AG＝DF＝CH＝12， ∴EG＝GF＝FH＝EF＝12﹣5＝7， ∵∠GEH＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形EGFH是正方形， ∴EFEG＝7； 故选：C． 二．填空题 1．【解答】解：阴影部分的面积 2．【解答】解：∵ABCD是正方形 ∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90° ∵∠ABC+∠ABF＝∠BAD+∠DAE ∴∠ABF＝∠DAE 在△AFB和△AED中 ∠ABF＝∠DAE，∠AFB＝∠AED，AB＝AD ∴△AFB≌△AED ∴AF＝DE＝4，BF＝AE＝3 ∴EF＝AF+AE＝4+3＝7． 故答案为：7． 3．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝BC＝CD，∠DAB＝∠CBA＝90°， ∵PB＝PC，∠PBC＝60°， ∴△PBC是等边三角形， ∴∠CPB＝∠PBC＝60°，PC＝PB＝CB， ∴∠ABP＝∠PCD＝30°， ∵PA＝PD， ∴∠PAB75°． ∴∠PAD＝15°， 故答案为：15°． 4．【解答】解：在正方形ABCD中， ∴AC⊥BD，∠ABO＝45°， ∵PM⊥AC，PN⊥BD， ∴四边形PMON是矩形， ∴PM＝ON， ∵PN＝BN， ∴PM+PN＝ON+BN＝OBBD＝5， 故答案为：5 5．【解答】解：连接BD交AC于O， ∵四边形ABCD、AGFE是正方形， ∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG， ∴∠EAB＝∠GAD， 在△AEB和△AGD中， ， ∴△EAB≌△GAD（SAS）， ∴EB＝GD， ∵四边形ABCD是正方形，AB， ∴BD⊥AC，AC＝BDAB＝2， ∴∠DOG＝90°，OA＝ODBD＝1， ∵AG＝1， ∴OG＝OA+AG＝2， ∴GD， ∴EB． 故答案为：． 三．解答题 1．【解答】证明：在正方形ABCD中， AB＝BC＝CD＝DA，∠ABE＝∠BCF＝90°， ∵CE＝DF， ∴BE＝CF， 在△AEB与△BFC中， ， ∴△AEB≌△BFC（SAS）， ∴AE＝BF． 2．【解答】证明：∵四边形ABCD和CEFG都是正方形， ∴AB＝AD＝DC＝BC，GC＝EC＝FG＝EF， ∵DH＝CE＝BK， ∴HG＝EK＝BC＝AD＝AB， 在△ADH和△ABK中， ， ∴△ADH≌△ABK（SAS）， ∴∠HAD＝∠BAK． ∴∠HAK＝90°， 同理可得：△HGF≌△KEF≌△ABK≌△ADH， ∴AH＝AK＝HF＝FK， ∴四边形AKFH是正方形． 3．【解答】证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB； （2）∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∴∠PMD＝∠PND＝90°， ∵∠ADC＝90°， ∴四边形MPND是矩形， ∵∠ADB＝∠CDB， ∴∠ADB＝45° ∴PM＝MD， ∴矩形MPND是正方形． 4．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D， ∴∠CAD∠BAC． ∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴∠CAE∠CAM． ∵∠BAC与∠CAM是邻补角， ∴∠BAC+∠CAM＝180°， ∴∠CAD+∠CAE（∠BAC+∠CAM）＝90°． ∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90°， ∴四边形ADCE为矩形； （2）∠BAC＝90°且AB＝AC时，四边形ADCE是一个正方形， 证明：∵∠BAC＝90°且AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠CAD∠BAC＝45°，∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝∠CAD＝45°， ∴AD＝CD． ∵四边形ADCE为矩形， ∴四边形ADCE为正方形； （3）解：由勾股定理，得 AB，AD＝CD， 即AD＝2， AD＝2， 正方形ADCE周长4AD＝4×2＝8． 5．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，∠B＝∠D， ∵E，F分别是AB，CD的中点， ∴AEAB，CFCD， ∴AE＝CF， ∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC＝CB， ∴CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形AECF是矩形， ∴∠BAN＝∠DCM＝90°， 在△ABN与△CDM中，， ∴△ABN≌△CDM（ASA）； （2）解：当∠B＝45°时，四边形AECF是正方形， 理由：∵BC＝AC， ∴∠B＝∠BAC＝45°， ∵E是AB的中点， ∴CE⊥AB， ∴AE＝EC， ∴矩形AECF是正方形． 学科网（北京）股份有限公司 $