第八章 平面解析几何（培优综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 以平面解析几何核心概念为纲，整合直线与圆、圆锥曲线等知识，通过多省市模拟题覆盖基础辨析、性质应用及新情境创新，突出逻辑推理与数学建模。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念辨析|选择1-3|直线平行条件、双曲线渐近线、圆的弦长计算|从定义到性质，构建几何量关系推导链条| |几何性质应用|选择4-7、填空12-13|轨迹方程、抛物线光学性质、双曲线离心率|结合图形直观，强化性质与方程的转化| |综合问题解决|解答15-18|轨迹方程求解、直线与圆锥曲线位置关系|以方程思想为核心，整合代数运算与几何论证| |新情境创新|选择8、填空14、解答19|双纽线、利萨如曲线、双曲函数|拓展数学眼光，关联跨学科情境与创新意识|

第八章 平面解析几何（培优综合训练）（全国通用） 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C C B A B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC AD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．①③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）设点的坐标为，则点的坐标为， 点为圆上的动点， ，化简得， 故的轨迹方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）圆的圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件；．．．．．．．．．7分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 化简得， 因为，所以圆心到直线的距离， 由圆心到直线的距离公式得， 所以，即，平方得， 整理得，解得，故直线的方程为，即．．．．．．．12分 综上，直线的方程为或．．．．．．．．．．．．．．13分 16．（15分） 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为. 依题意可得，又， 所以，则. 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率；．．．．．．．．．．．．．5分 （2）（ⅰ）设，. 联立，整理得.．．．．．．．．．．．．．7分 由，解得或 即的取值范围为.．．．．．．．．．．．．．9分 （ⅱ）由（ⅰ）可得，，，（*）．．．．．．．．．．．．．10分 则.．．．．．．．．．．．．．11分 因为，所以，．．．．．．．．．．．．．12分 则得， 将（*）代入，可得. 解得，满足. 所以的值为.．．．．．．．．．．．．．15分 17．（15分） 【详解】（1）记C的焦点为F，因为C的焦点恰好是的垂心，所以，， 设，则，又，由可得 ， 解得或，所以．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）（ⅰ）显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，， 由，得，．．．．．．．．．．．．．6分 所以 ，，，．．．．．．．．．．．．．7分 又直线OA与直线OB的斜率之积为，所以 ，解得， 所以直线AB的方程为，故直线AB过定点．．．．．．．．．．．．．．9分 （ⅱ）由题意知，可得，即，所以或， 当时，MN的中点为，直线MN的斜率为，方程为． 此时直线AB的方程为，．．．．．．．．．．．．．11分 由，得，解得或， 即，或，， 故，又，．．．．．．．．．．．．．13分 点到直线MN的距离为，．．．．．．．．．．．．．4分 所以； 当时，同理可得． 综上，的面积为．．．．．．．．．．．．．．15分 18．（17分） 【详解】（1）直线的斜率为，双曲线的一条渐近线与直线垂直， 所以这条渐近线的斜率为. 依题意，可得解得. 所以双曲线的标准方程为：.．．．．．．．．．5分 （2）由题意，对于，当时，，即或. ① 当时，，则， 设，，由， 即，解得，所以，则 ② 当时，同法可得. 所以点坐标为或.．．．．．．．．．10分 （3）不存在常数，使恒为定值.理由如下：．．．．．．．．．11分 如图： 将直线代入，整理得：.．．．．．．．．．12分 由可得， 设，，则，， 则.．．．．．．．．．15分 则 . 要使为定值，不随的改变而改变，须使， 该方程在实数范围内无解，故不存在常数，使为定值.．．．．．．．．．17分 19． （17分） 【详解】（1）设根据，消去，得， 即的标准方程为，表示以坐标原点为圆心，半径为的圆； 设，则, 因， 则得的标准方程为， 曲线是以坐标原点为中心，半实轴与半虚轴长均为的等轴双曲线．．．．．．．．．．5分 （2）依题意，直线与的斜率均存在，分别设为， 则直线的方程为：，直线的方程为：， 联立方程，消去 ，整理得，．．．．．．．．．6分 则，即， 得，， 所以点的坐标为，．．．．．．．．．7分 同理点的坐标为，．．．．．．．．．8分 所以直线的斜率， 所以直线的方程为． 令 ，得，所以点 的坐标为， 同理联立方程，类似可得 ，，．．．．．．．．．．10分 （ⅰ）直线的斜率为， 同理直线 的斜率为，所以， 所以；．．．．．．．．．13分 （ⅱ）设，由 、、 、四点共圆：可知： ， 又，而， 所以， 所以、、、四点共圆．．．．．．．．．．17分 答案第2页，共2页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 平面解析几何（培优综合训练）（全国通用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三下·北京·阶段检测）“”是“直线：和直线：平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】必要性：若直线和平行，则有，解得或， 当时，，不成立，无意义，舍去， 故两直线平行必有，必要性成立； 充分性：时，直线为，直线为， 因为，且，所以两直线平行，充分性成立； 综上所述，“”是“直线和平行”的充分必要条件． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知双曲线的一条渐近线斜率为2， 则，即. 因为双曲线焦距为，所以. 又，所以， 解得，. 故双曲线方程为. 3．（2026·海南三亚·一模）若圆与直线相交于，且，则实数的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．1或3 【答案】C 【分析】先由圆的方程得到圆心、半径，结合圆心角，利用等腰三角形求出圆心到直线的距离，再用点到直线距离公式列方程求出即可. 【详解】由题可知，圆心为，半径为， 过圆心作，垂足为，又，则， 所以在中，，则， 即圆心到直线的距离， 解得或. 4．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用相关点法，通过向量坐标关系建立动点与圆上点的坐标联系，代入圆的方程化简得轨迹方程. 【详解】设动点，圆上点， 因为是在轴上的投影，则易得， ，， 因为 ，所以，解得， （*）， 因为是圆上，所以， 将（*）代入得，即， 则点的轨迹方程为. 5．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】圆，得圆，圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 四边形的面积， 要使其最小，需取最小值，而，此时. 6．（2026·湖南·模拟预测）抛物线的光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．设抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则（    ） A．10 B．12.5 C．15 D．30 【答案】A 【分析】设，由题知三点共线，则，，再解方程得，最后根据焦半径公式求解即可. 【详解】由题知，代入抛物线方程得，即， 因为抛物线的焦点为， 所以，设， 因为三点共线，则，即， 即，解得或（舍），所以， 所以，由焦半径公式得 7．（2026·山东东营·模拟预测）已知双曲线（，）的左右顶点分别为A，B，右焦点为F．点是双曲线右支上异于点B的任意一点，直线与直线的交点为Q，若，则双曲线的离心率（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题直接计算的话，计算量比较大，由题意，可利用点取特殊位置（点在双曲线右支上且在第一象限且使得直线垂直于轴），进一步求出各点坐标，根据已知条件，结合双曲线的基本性质和离心率公式，建立关于和的方程，解得，即离心率. 【详解】由题意得，、、，. 因为点是双曲线右支上异于点B的任意一点， 当点在第一象限且直线垂直于轴时，有. ，直线的方程为：. 将代入直线的方程，得，即. 所以，，. ， ， ， 由得， ， ， ， ，化简得，，因为，所以，，即. 【点睛】方法归纳： 双曲线离心率问题可以通过取特殊值（比如：顶点、焦点垂线与曲线的交点）简化运算，再利用几何条件转化为代数方程，再结合双曲线的、、的关系求解. 易错归纳： 计算时容易出错，需要准确代入坐标，利用变形时要避免符号出错，注意利用双曲线的离心率验证所求结果是否符合题意. 8．【新考法】双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（    ） A． B．上存在点，使得 C．若直线与只有一个公共点，则的取值范围为 D．上的点的纵坐标的最大值为 【答案】D 【分析】根据图象所过的定点，即可判断A，根据方程可得，即可判断B，联立方程后，方程的根只有0，求的取值范围，即可判断C，根据方程的转化，变量的转化，利用韦达定理和判别式求得到取值范围，判断D. 【详解】对于A，由图可知，点在上，则，所以，故A错误； 对于B，设曲线上任一点（且）， 由，可得，则， 即上不存在点，使得，故B错误； 对于C，直线与均经过原点，则直线与除原点外无其他公共点， 联立方程组，整理得， 当时，方程仅有一解，满足题意， 当时，整理得， 当时，方程恒成立，因为恒有一解， 所以无解，即当时，方程无解， 综上，，解得或，即的取值范围为，故C错误； 对于D，方程可化为， 令，得， 由，可得， 即，易知等号成立，故上的点的纵坐标的最大值为，故D正确； 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与圆相切 C．存在实数，使得直线与圆相交于两点，且 D．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为 【答案】AC 【分析】对于A选项，将直线方程变形；对于B选项代入m的值，联立圆的方程判断有几个解即可；对于C选项，运用点到直线的距离公式，判断圆心到直线的距离是否小于半径；对于D选项，运用半径与圆心到直线的距离关系求出三角形的面积公式，再根据m的取值，再根据三角形的面积公式求出最大值. 【详解】对于A选项，由得， 则当时，直线方程不含且，故过定点，A选项正确； 对于B选项，当，则直线方程为，联立圆的方程得， 解得，有两个解，故与圆相交，B选项错误； 对于C选项，圆心坐标为，圆心到直线的距离为， 因为，故，解得， 因此存在实数，使得直线与圆相交于两点，且，故C选项正确； 对于D选项，由C选项可得， 则，，则， 令，则，令，为开口向下的二次函数， 对称轴为，因此在上，单调递增， 所以，因此没有最大值，故D选项错误. 10．（2026·海南三亚·一模）已知曲线：和曲线：，是的两个焦点，下列描述正确的是（     ） A．与有两个交点 B．的焦点到准线的距离为 C．的离心率为 D．为与的公共点，则的周长为 【答案】AD 【分析】本题结合抛物线、椭圆的基本性质，通过联立方程判断交点个数，再利用圆锥曲线定义、离心率公式、焦点三角形周长公式逐一求解，分析选项即可． 【详解】    对于A，联立，整理为，解得， 抛物线中，则，（舍去负根）， 对应，存在两个互为相反数的值，因此两曲线有个交点，A正确； 对于B，抛物线：中，， 焦点到准线的距离等于，不是，B错误； 对于C，椭圆中，，， 所以离心率，C错误； 对于D，是椭圆上的点，由椭圆定义得， 又，所以的周长为，D正确． 11．（2026·四川成都·三模）已知点为抛物线的焦点，点分别为抛物线上两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（    ） A．若点，则的最小值为3 B．点与点的纵坐标相等 C．若点在直线上，则直线过点 D．若三点共线，则的面积的最小值为1 【答案】BCD 【分析】对于A，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可得；对于B，设，过点的切线方程为，联立得到切线方程，进而得到过点的切线方程为，同理可得过点的切线方程为，再联立得到点与点的纵坐标即可判断；对于C，设直线的方程为，联立，结合韦达定理可得即可判断；对于D，由三点共线，可得，即直线的方程为，再利用弦长公式，结合三角形面积公式进行计算． 【详解】对于A，因为抛物线的焦点为，所以， 抛物线的准线方程为. 如图，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，， 则，当且仅当三点共线时取等号，故A错误； 对于B，设，过点的切线方程为（切线斜率不为0）， 联立抛物线方程，化简并整理，得. 又，所以， 所以，所以过点的切线方程为，即. 同理可得，过点的切线方程为. 联立得. 因为线段的中点的坐标为，所以点的纵坐标相等，故B正确； 对于C，设直线的方程为，联立， 化简并整理，得，则. 又因为点在直线上，所以，所以， 即直线的方程为，则直线过点，故C正确； 对于D，因为三点共线，所以， 即直线的方程为， 所以点到直线的距离，， 所以，当时取最小值为1，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线与圆 相交于 ， 两点，则 ____. 【答案】 【详解】已知双曲线，则双曲线的两条渐近线方程分别为和， 双曲线的一条渐近线与圆相交于，两点， 由圆关于轴对称，而双曲线的两条渐近线均关于轴对称， 因此，无论选择哪一条渐近线，其与圆相交所得弦长都相等. 由圆可知，圆心坐标为，半径， 将其中一条渐近线化为一般式：， 则圆心到渐近线的距离， 则弦长. 13．（2026·河南周口·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则以点为圆心长为半径的圆在轴上截得的弦长为__________． 【答案】 【分析】利用抛物线定义、垂直平分弦的性质求出，结合圆的弦长公式求解． 【详解】 抛物线的焦点，准线， 准线与轴交点， 设抛物线上点，由得， 为线段的垂直平分线，则， 即，的横坐标，则， 则， 解得，此时，， 圆心到轴的距离， 由弦长公式得：． 14．（2026·北京西城·二模）在物理实验中，当相互垂直的两个简谐振动的频率比为简单整数比时，示波器上会显示出一条“利萨如曲线”.曲线C：是一条常见的“利萨如曲线”.给出以下四个结论： ①若为曲线C上一点，则，； ②曲线C上两点间距离的最大值为； ③曲线C所围成的区域的面积小于3； ④过原点的直线与曲线C最多有3个公共点. 其中，所有正确结论的序号是__________. 【答案】①③④ 【分析】根据方程求的范围判断①，求出曲线上关于原点对称两点距离的最大值判断②，根据第一象限内曲线所围成面积的范围判断③，直线方程与曲线方程联立，由方程解得个数判断④. 【详解】由方程得，所以，解得，即， 又，所以，即，故①正确； 因为曲线C：的图象关于轴对称，关于原点对称， 则关于原点的对称点也在曲线C上，则，代入，可得， 令，则，对称轴方程为， 所以最大值为，即，故②错误； 由曲线关于两坐标轴对称，所以只看第一象限所围成面积，总的面积为， 第一象限中，，当时，，所以这一部分包含在直角三角形内，面积小于等于， 当时，由①知，所以这部分包含在矩形内，面积小于等于， 因此曲线在第一象限内面积，所以曲线所围成区域面积，故③正确； 若直线过原点斜率不存在时，直线方程，代入曲线的方程，可得，解得，所以直线与曲线C的交点为； 当直线斜率存在时，设直线方程为，代入曲线方程可得，解得或，若，即时，，可得共有3个交点，若，则只有一解，即交点只有1个，故④正确. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知定点，点为圆上的动点，为的中点． (1)求的轨迹方程； (2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程． 【详解】（1）设点的坐标为，则点的坐标为， 点为圆上的动点， ，化简得， 故的轨迹方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）圆的圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件；．．．．．．．．．7分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 化简得， 因为，所以圆心到直线的距离， 由圆心到直线的距离公式得， 所以，即，平方得， 整理得，解得，故直线的方程为，即．．．．．．．12分 综上，直线的方程为或．．．．．．．．．．．．．．13分 16．（15分）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为. 依题意可得，又， 所以，则. 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率；．．．．．．．．．．．．．5分 （2）（ⅰ）设，. 联立，整理得.．．．．．．．．．．．．．7分 由，解得或 即的取值范围为.．．．．．．．．．．．．．9分 （ⅱ）由（ⅰ）可得，，，（*）．．．．．．．．．．．．．10分 则.．．．．．．．．．．．．．11分 因为，所以，．．．．．．．．．．．．．12分 则得， 将（*）代入，可得. 解得，满足. 所以的值为.．．．．．．．．．．．．．15分 17．（15分）（2026·陕西榆林·模拟预测）已知A，B是抛物线上异于坐标原点O的两点． (1)若C的焦点恰好是的垂心，求； (2)若直线OA与直线OB的斜率之积为． （ⅰ）求证：直线AB恒过定点； （ⅱ）已知点G是线段AB的中点，点关于直线AB的对称点N在C上，求的面积． 【详解】（1）记C的焦点为F，因为C的焦点恰好是的垂心，所以，， 设，则，又，由可得 ， 解得或，所以．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）（ⅰ）显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，， 由，得，．．．．．．．．．．．．．6分 所以 ，，，．．．．．．．．．．．．．7分 又直线OA与直线OB的斜率之积为，所以 ，解得， 所以直线AB的方程为，故直线AB过定点．．．．．．．．．．．．．．9分 （ⅱ）由题意知，可得，即，所以或， 当时，MN的中点为，直线MN的斜率为，方程为． 此时直线AB的方程为，．．．．．．．．．．．．．11分 由，得，解得或， 即，或，， 故，又，．．．．．．．．．．．．．13分 点到直线MN的距离为，．．．．．．．．．．．．．4分 所以； 当时，同理可得． 综上，的面积为．．．．．．．．．．．．．．15分 18．（17分）（2026·河北·模拟预测）已知双曲线：（，）的焦距为，其中的一条渐近线与直线垂直． (1)求的方程； (2)记的右顶点为，横坐标为4的点在上，射线上的点满足，求点的坐标； (3)直线：与交于，两点，为坐标原点．是否存在常数，使恒为定值？若存在，求出常数；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）直线的斜率为，双曲线的一条渐近线与直线垂直， 所以这条渐近线的斜率为. 依题意，可得解得. 所以双曲线的标准方程为：.．．．．．．．．．5分 （2）由题意，对于，当时，，即或. ① 当时，，则， 设，，由， 即，解得，所以，则 ② 当时，同法可得. 所以点坐标为或.．．．．．．．．．10分 （3）不存在常数，使恒为定值.理由如下：．．．．．．．．．11分 如图： 将直线代入，整理得：.．．．．．．．．．12分 由可得， 设，，则，， 则.．．．．．．．．．15分 则 . 要使为定值，不随的改变而改变，须使， 该方程在实数范围内无解，故不存在常数，使为定值.．．．．．．．．．17分 19．（17分）（2026·云南·模拟预测）在单位圆上取一点，与圆心相连的线段、圆周及x轴非负半轴围成的扇形面积为s，扇形面积的2倍来定义圆角，即．对于一个确定的圆角，定义六种三角函数：（正弦），（余弦），（正切），（余切），（正割），（余割），此点的坐标为． 类比三角函数与单位圆，在单位等轴双曲线上取一点，与坐标原点相连的线段、双曲线及x轴非负半轴围成的图形面积为，定义双曲角，对于一个确定的双曲角t，定义六种双曲函数：双曲正弦，双曲余弦，双曲正切，双曲余切，双曲正割，双曲余割.此点的坐标为．双曲函数可以用指数形式表示．对于双曲角t，有：，等． 点、所在曲线分别记为、． (1)描述曲线、的形态并写出、的标准方程； (2)过点作两条直线（不同于x轴）分别交和（y轴右侧部分）于点M、P，N、Q；线段MN、线段PQ与x轴的交点分别为C、D，O为坐标原点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：O、M、D、N四点共圆． 【详解】（1）设根据，消去，得， 即的标准方程为，表示以坐标原点为圆心，半径为的圆； 设，则, 因， 则得的标准方程为， 曲线是以坐标原点为中心，半实轴与半虚轴长均为的等轴双曲线．．．．．．．．．．5分 （2）依题意，直线与的斜率均存在，分别设为， 则直线的方程为：，直线的方程为：， 联立方程，消去 ，整理得，．．．．．．．．．6分 则，即， 得，， 所以点的坐标为，．．．．．．．．．7分 同理点的坐标为，．．．．．．．．．8分 所以直线的斜率， 所以直线的方程为． 令 ，得，所以点 的坐标为， 同理联立方程，类似可得 ，，．．．．．．．．．．10分 （ⅰ）直线的斜率为， 同理直线 的斜率为，所以， 所以；．．．．．．．．．13分 （ⅱ）设，由 、、 、四点共圆：可知： ， 又，而， 所以， 所以、、、四点共圆．．．．．．．．．．17分 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 平面解析几何（培优综合训练）（全国通用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高三下·北京·阶段检测）“”是“直线：和直线：平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·海南三亚·一模）若圆与直线相交于，且，则实数的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．1或3 4．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知圆，点是圆上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当四边形 的面积最小时，的长为（   ） A．2 B． C．3 D． 6．（2026·湖南·模拟预测）抛物线的光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．设抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则（    ） A．10 B．12.5 C．15 D．30 7．（2026·山东东营·模拟预测）已知双曲线（，）的左右顶点分别为A，B，右焦点为F．点是双曲线右支上异于点B的任意一点，直线与直线的交点为Q，若，则双曲线的离心率（     ） A． B．2 C． D．3 8．【新考法】双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（    ） A． B．上存在点，使得 C．若直线与只有一个公共点，则的取值范围为 D．上的点的纵坐标的最大值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与圆相切 C．存在实数，使得直线与圆相交于两点，且 D．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为 10．（2026·海南三亚·一模）已知曲线：和曲线：，是的两个焦点，下列描述正确的是（     ） A．与有两个交点 B．的焦点到准线的距离为 C．的离心率为 D．为与的公共点，则的周长为 11．（2026·四川成都·三模）已知点为抛物线的焦点，点分别为抛物线上两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（    ） A．若点，则的最小值为3 B．点与点的纵坐标相等 C．若点在直线上，则直线过点 D．若三点共线，则的面积的最小值为1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·陕西西安·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线与圆 相交于 ， 两点，则 ____. 13．（2026·河南周口·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则以点为圆心长为半径的圆在轴上截得的弦长为__________． 14．（2026·北京西城·二模）在物理实验中，当相互垂直的两个简谐振动的频率比为简单整数比时，示波器上会显示出一条“利萨如曲线”.曲线C：是一条常见的“利萨如曲线”.给出以下四个结论： ①若为曲线C上一点，则，； ②曲线C上两点间距离的最大值为； ③曲线C所围成的区域的面积小于3； ④过原点的直线与曲线C最多有3个公共点. 其中，所有正确结论的序号是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知定点，点为圆上的动点，为的中点． (1)求的轨迹方程； (2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程． 16．（15分）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 17．（15分）（2026·陕西榆林·模拟预测）已知A，B是抛物线上异于坐标原点O的两点． (1)若C的焦点恰好是的垂心，求； (2)若直线OA与直线OB的斜率之积为． （ⅰ）求证：直线AB恒过定点； （ⅱ）已知点G是线段AB的中点，点关于直线AB的对称点N在C上，求的面积． 18．（17分）（2026·河北·模拟预测）已知双曲线：（，）的焦距为，其中的一条渐近线与直线垂直． (1)求的方程； (2)记的右顶点为，横坐标为4的点在上，射线上的点满足，求点的坐标； (3)直线：与交于，两点，为坐标原点．是否存在常数，使恒为定值？若存在，求出常数；若不存在，请说明理由． 19．（17分）（2026·云南·模拟预测）在单位圆上取一点，与圆心相连的线段、圆周及x轴非负半轴围成的扇形面积为s，扇形面积的2倍来定义圆角，即．对于一个确定的圆角，定义六种三角函数：（正弦），（余弦），（正切），（余切），（正割），（余割），此点的坐标为． 类比三角函数与单位圆，在单位等轴双曲线上取一点，与坐标原点相连的线段、双曲线及x轴非负半轴围成的图形面积为，定义双曲角，对于一个确定的双曲角t，定义六种双曲函数：双曲正弦，双曲余弦，双曲正切，双曲余切，双曲正割，双曲余割.此点的坐标为．双曲函数可以用指数形式表示．对于双曲角t，有：，等． 点、所在曲线分别记为、． (1)描述曲线、的形态并写出、的标准方程； (2)过点作两条直线（不同于x轴）分别交和（y轴右侧部分）于点M、P，N、Q；线段MN、线段PQ与x轴的交点分别为C、D，O为坐标原点． （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：O、M、D、N四点共圆． 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $