直线与圆限时练（2）-2026届高三数学一轮复习

直线与圆限时练（2）--2026届高三数学一轮复习 一、单选题 1．人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，设是平面内的任意一点，由，可得，此即平面的点法式方程．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线和直线，点M，N分别是直线和上的点，点，则周长的最小值是（   ） A．4 B．6 C．9 D．12 3．是圆上两点，，若在圆上存在点恰为线段的中点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．已知直线：与直线：交于点A，若点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 6．已知实数x，y满足，则的最大值为（    ） A．3 B． C．2 D．1 7．已知，，动点C满足．则面积的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．若圆上总存在两点到点的距离等于3，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列四个命题中正确的是（   ） A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线的方程为 B．向量是直线的一个方向向量 C．若直线与平行，则与的距离为 D．圆与圆有两条公切线 10．下列四个命题中正确的是（    ） A．过定点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为 B．过定点的直线与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或 C．定点到圆上的点的最大距离为 D．过定点且与圆相切的直线方程为或 三、填空题 11．过点与轴、轴正半轴围成的三角形面积最小时的直线一般式方程为 ． 12．写出与圆和圆都相切的一条直线方程 ． 四、解答题 13．已知直线经过点． (1)若原点到直线的距离为2，求直线的方程； (2)若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程． 14．已知两圆和． (1)求两圆的公共弦所在直线的方程； (2)求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 15．在平面直角坐标系中，已知圆．点，是直线与圆的两个公共点，点在圆上． (1)若为正三角形，求直线的方程； (2)在（1）的条件下，若直线上存在点满足，求实数的取值范围． 16．已知，，，， (1)求证：，，，四点共圆； (2)，，，所在圆记为，点是上一点，从点向作切线，，切点为，． ①若，求点坐标并求此时切线，的直线方程； ②求证：经过，，三点的圆必经过定点，并求出所有定点坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 直线与圆练习（2）解析 1．B【详解】因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为,2,， 直线的方向向量为， 设直线与平面所成角为，则,． 2．B【详解】设关于直线的对称点，则，解得，即, 设关于直线的对称点，则，解得，即, 所以，当且仅当共线时取等号． 3．A【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径，由是弦的中点，且，则， 所以，故点在以为圆心， 以为半径的圆上. 又在圆上存在点恰为线段的中点，， 则两圆有公共点，可得，即，解得或. 则实数的取值范围为， 4．B【详解】因为 表示到点和的距离之和.又在直线上，关于的对称点为， 所以，三点共线时等号成立， 所以，所求最小值为：. 5．A【详解】当时，直线：，直线：，此时直线与直线垂直； 当时，直线的斜率为，直线的斜率为，因为，所以直线与直线垂直； 易知直线经过定点，直线经过定点，所以点A在以为直径的圆上， 的中点为，所以，所以圆， 所以,所以， 6．D【详解】在方程中，用换方程不变，用换方程不变， 因此曲线关于x轴和y轴对称， 当，时，方程为，即，方程表示的曲线如图（含原点）： 令，则表示过点的直线（不含点）， 观察图知，当直线与曲线在第四象限部分半圆（圆心为，半径为）相切时，斜率最大， 由圆心到直线的距离为得，，而，解得，所以的最大值为 7．A【详解】令，则，所以，即， 由构成三角形，所以点轨迹为且， 要使面积最大，只需与边最远，即为，所以最大面积为. 8．A【详解】因为圆上总存在两个点到点的距离为， 所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点， 则圆与圆相交，所以，即， 解得：或，所以实数的取值范围是． 9．BCD【详解】选项A：由题意可知直线斜率存在且不为，设直线方程为， 令解得，令解得， 因为该直线在轴上的截距是在轴上截距的倍，所以，解得或， 所以直线方程为或，A错误； 选项B：直线的斜率为，方向向量为，当时，方向向量为，B正确； 选项C：因为直线与平行，所以，由得， 则直线与直线之间的距离，C正确； 选项D：由题意圆圆心为，半径， 圆圆心为，半径， 因为，，所以两圆相交，有且仅有两条公切线，D正确； 10．BD【详解】A：过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线，包含过原点的直线，其方程为，错误； B：直线PM，PN的斜率分别为， 依题意，或，即或，正确； C：圆的圆心，半径， 定点到圆上的点的最大距离错误； D：圆的圆心，半径，过点斜率不存在的直线与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线方程为，则，解得，此切线方程为， 所以过点且与圆相切的直线方程为或，正确； 11．【详解】由题可设直线方程为，又直线过点， 得到，又三角形面积为， 又，得到，当且仅当，即时取等号， 又，得到，所以直线方程为，即， 12．或或（写出其中一条即可）. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则,即两圆外切，故共有3条公切线(如图). 又因，且与关于直线对称，故直线即为两圆的一条公切线； 由图知，另两条公切线与直线平行，又, 故可设公切线方程为，即， 由圆心到直线的距离，解得：或， 则另两条切线方程为：或. 综上，与两圆都相切的直线方程为或或. 13．(1)或；(2)． 【详解】(1)①直线的斜率不存在时，显然成立，直线方程为． ②当直线斜率存在时，设直线方程为， 由原点到直线的距离为2得，解得，故直线的方程为，即， 综上，所求直线方程为或． (2)设直线夹在直线，之间的线段为（在上，在上），、的坐标分别设为、， 因为被点平分，所以，，于是， 由于在上，在上，即，解得，， 即的坐标是，故直线的方程是，即． 14．(1) (2) 【详解】（1）解：由圆和， 两个圆的方程相减，可得，即两圆的公共弦所在直线的方程为． （2）解：由两圆方程，可得圆心，可得圆心连线所在直线的方程为， 由圆的性质，可得所求圆的圆心在直线上， 由方程组，解得，又由方程组，解得或， 即两个圆的交点为或，即所求圆的圆心坐标为，半径， 所以所求圆的方程为. 15．(1)(2) 【详解】（1）圆的半径为，若是正三角形，则到的距离为，，， 又因为，所以，直线的方程为； （2）设，，设线段的中点为，联立方程得，则有， 则，，则， 则，代入得，则圆心，半径， 因为，所以点在以为直径的圆上， 又因为点直线上，则直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离，即，解得. 16．【详解】（1）因为，，，，易知点到四个点的距离相等，均为， 所以四点都在圆上，即四点共圆； （2）①，又，所以，（负值舍去）， ，，即，所以， 设，则，解得，所以，显然切线斜率存在， 设切线方程为，即， 则，解得， 所以切线方程为， 即或；    ②因为，所以四点共圆，为圆直径， 设，则圆心为的中点，半径为， 所以圆方程为， 化为一般式方程为， 整理为关于的方程为：， 由，得或，定点为和， 所以经过，，三点的圆必经过定点，定点坐标为和． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$