暑假自学同步练——反比例函数的图像和性质基础过关训练2（2026年人教版九年级数学上册）

**基本信息** 聚焦反比例函数图像对称性与象限分布，通过基础题巩固核心概念，综合题提升推理与应用能力，分层设计适配暑假知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|对称性求坐标、象限与参数关系|单选题直接应用对称性求交点坐标，填空题直接求解参数范围，强化概念理解| |综合应用|跨函数结合、新定义与实际情境|结合一次函数图像辨析、“关联点对”新定义计算、镭放射实际情境分析，提升推理与模型意识|

2026-2027学年九年级数学暑假自学提升基础巩固 夯实基础，巩固提升 反比例函数的图像和性质基础过关训练2 内容：由反比例函数图象的对称性求点的坐标、已知双曲线分布的象限求参数范围 专题1由反比例函数图象的对称性求点的坐标 一、单选题 1．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 2．如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 3．如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，由此可解． 【详解】解：反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点， 、两点关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 故选D． 4．已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，则这个函数图象的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，两函数图象交于点， ∴这个函数图象的另一个交点为， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数图象的性质，掌握反比例函数与正比例函数图象的性质是解题的关键． 5．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点．若点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，利用反比例函数对称性求点坐标等．根据题意可知点A，B关于原点中心对称，继而求出本题答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为， ∴A，B两点关于原点中心对称， ∴点B的坐标为， 故选：B． 6．在同一坐标系内，反比例函数的图象与反比例函数的图象（k为常数）具有以下对称性：既关于x轴，又关于y轴成轴对称，那么k的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确理解反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的图象与性质可知，两个反比例函数的比例系数互为相反数，即可列方程求解． 【详解】解：反比例函数的图象与反比例函数的图象既关于x轴，又关于y轴成轴对称， ， ． 故选：C． 7．下列说法正确的是（   ） A．任意两个矩形都相似 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 【答案】D 【分析】本题考查矩形相似的条件、正方形的判定、反比例函数的对称性以及平行投影的性质。逐一分析各选项，A、B、C均错误，D正确。 【详解】解：∵ 矩形相似需对应角相等且对应边成比例，但任意两个矩形的边长不一定成比例，∴ A错误； ∵ 对角线互相垂直的四边形不一定是正方形，例如菱形对角线互相垂直但不是正方形，∴ B错误； ∵ 反比例函数图象既是轴对称图形（关于直线和对称），也是中心对称图形（关于原点对称），∴ C错误； ∵ 太阳光是平行光，同一时刻身高与影长构成相似三角形，故身高与影长的比相等，∴ D正确。 故选D 【点睛】本题涉及多个初中数学知识点，需熟练掌握相似多边形、特殊四边形、函数图象性质和平行投影的应用。 二、填空题 8．已知点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，若OA=OB，则点B的坐标为_________． 【答案】（2，1） 【分析】根据点A，B关于y=x（y-x=0）的对称，求解即可 【详解】解：∵点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，OA=OB， ∴点A，B关于直线y=x（y-x=0）的对称， 设点（1，2）关于直线y=x（y-x=0）的对称点设为（a，b） 由两点中点在直线y=x上及过两点的直线垂直直线y=x（斜率之积为-1） 可以得到：， 解得：a=2，b=1， ∴点B的坐标为（2,1） 故答案为：（2，1） 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用已知条件得出：点A，B关于直线y=x（y-x=0）的对称是解题的关键． 9．实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．上图为表示镭的放射规律的函数图像，据此可计算32mg镭缩减为1mg所需的时间大约是_______年． 【答案】8100 【分析】根据物质所剩的质量与时间的规律，即可求解． 【详解】解：由图象可知， 1620年时，镭质量缩减为原来的， 经过1620年，即3240年时，镭质量缩减为原来的， 经过年，即4860年时，镭质量缩减为原来的， 经过年，即6480年时，镭质量缩减为原来的， ∴经过年，即8100年时，镭质量缩减为原来的， 此时，， 故答案为：8100． 【点睛】本题考查函数图象，规律探索问题，解题的关键是找出物质所剩的质量与时间的规律． 10．我们把直角坐标平面内横、纵坐标互相交换的两个点称为“关联点对”，如点和点为一对“关联点对”．如果反比例函数在第一象限内的图像上有一对“关联点对”，且这两个点之间的距离为，那么这对“关联点对”中，距离轴较近的点的坐标为____________． 【答案】（5，2）或（﹣5，﹣2）． 【分析】根据题意利用反比例函数图象上点的坐标特征结合关联点的定义，求得关联点的坐标，即可得出结论． 【详解】解：设反比例函数y＝在第一象限内的图象上一对“关联点对”为A（a，b），B（b，a）且a＞b， ∴ab＝10， ∵这两个点之间的距离为3， ∴AB＝＝3， ∴a﹣b＝3， 由解得或（舍去）， ∴A（5，2），B（2，5）， ∴距离x轴较近的点的坐标为（5，2）， 故答案为（5，2）． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用反比例函数图象上点的坐标特征结合关联点的定义，求出反比例函数图象上的关联点． 11．已知直线y=kx与双曲线y=的一个交点的横坐标是2，则另一个交点坐标是_____． 【答案】（-2，-4） 【分析】根据交点的横坐标是2，得到，求得k值，确定一个交点坐标为（2，4），根据图像的中心对称性质，确定另一个交点坐标即可． 【详解】∵交点的横坐标是2， ∴， 解得k=2， 故函数的解析式为y=2x，y=， 当x=2时，y=4， ∴交点坐标为（2，4）， 根据图像的中心对称性质， ∴另一个交点坐标为（-2，-4）， 故答案为：（-2，-4）． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，函数图像的中心对称问题，熟练掌握交点的意义，灵活运用图像的中心对称性质是解题的关键． 12．直线与双曲线交于A、B两点，若点A的纵坐标为4，则点B的坐标为__________． 【答案】 【分析】将点A的纵坐标代入解析式可求出点A横坐标值值，再由点与点关于原点对称，再即可得出点的坐标． 【详解】解：直线与双曲线交于点，，点A的纵坐标为4， ∴ ， 解得： ，（不合题意，舍去）， ∴点的坐标为， ∵ 正比例函数图像和反比例函数图像都是关于原点对称， ∴点与点关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 专题2已知双曲线分布的象限求参数范围 一、单选题 1．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴比例系数， 解得． 2．若反比例函数 的图像在第二、四象限，则一次函数的图像经过 （    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】根据一次函数系数的符号判断图像经过的象限． 【详解】解：∵一次函数 ，， ∴一次函数的图像经过第二、三、四象限． 3．若反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数的比例系数，图象在第一、三象限，，图象在第二、四象限．根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解． 【详解】解：反比例函数的图象分别位于第一、三象限， ， ， 故选：A． 4．已知反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质及应用，解题的关键是掌握反比例函数图象在第一，三象限，则，属于基础题，根据反比例函数的性质：图象在第一，三象限，则，即可列出含的不等式，得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一，三象限， ， ， 故选：B． 5．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号．首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向上可得，由对称轴在y轴左边可得a、b同号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向上可得，由对称轴在y轴左边可得a、b同号，故， 则反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数经过第一、二、四象限， 故选：B． 6．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 根据反比例函数的性质即可解答． 【详解】解：由图象可知，反比例函数在二、四象限， ， 的值可能是， 故选：C． 7．已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质，先由已知反比例函数的象限位置得到k的取值范围，再判断所求反比例函数比例系数的正负，即可确定其图象所在象限． 【详解】解：∵函数的图象位于第二､四象限， ∴， 解得， ∴， 根据反比例函数性质，当比例系数大于0时，反比例函数图象位于第一､三象限， ∴反比例函数的图象位于第一､三象限． 8．已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ， 故选：D． 9．已知，两点在反比例函数的图象上，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．先根据反比例函数的增减性，判断其图象在二、四象限，得到不等式，再解不等式即可． 【详解】，， 反比例函数的图象在二、四象限， ， 解得． 故选：D． 10．已知反比例函数的图象如图所示，关于下列说法：①常数；②y的值随x值的增大而减小；③若点A为x轴上一点，点B为反比例函数图象上一点，则；④若点在反比例函数的图象上，则点也在该反比例函数的图象上．其中说法正确的是（　　） A．①②③ B．③④ C．①④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】反比例函数的图象在第一、三象限， ，故①说法正确； 反比例函数的增减性与所处象限有关， ②说法错误； 与轴不一定垂直， ，故③说法错误； 点在反比例函数的图象上， ， 点也在该反比例函数的图象上，故④说法正确； 故选：C． 二、填空题 11．如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的定义得到的次数与系数满足的条件，求出的所有可能值，再结合图象在第二、四象限的性质确定系数的符号，即可得到的值． 【详解】解：∵反比例函数的一般形式为，其中， ∴可得，解得且， ∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴，解得 ， ∴． 12．如图，在反比例函数的第二象限图象上存在一点．又在反比例函数的第三象限图象上存在一点，连接，和，已知轴，且的面积等于3，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义（在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变），以及反比例函数图象和性质，化简绝对值．根据题意得到，利用反比例函数图象和性质，得到，，化简绝对值进行求解，即可解题． 【详解】解：轴，且的面积等于3， ， 即， 的图象在第二象限， ， 的图象在第三象限， ， ， ， 故答案为：． 13．使关于x的分式方程的解为非负数，且使反比例函数的图象经过一，三象限，则满足条件的所有整数的和________． 【答案】1 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，反比例函数的图象和性质；先解分式方程，根据方程的解的情况，结合分式的分母不为0，求出的取值范围，进而求出整数的值． 【详解】解：解，得：， ∵式方程的解为非负数，且， ∴，且， ∴且， ∵反比例函数的图象经过一，三象限， ∴， ∴， ∴满足条件的整数为：， ∴； 故答案为：1． 14．已知反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴，解得， 故答案为：. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大. 15．现有四张正面分别标有数字，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将他们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，洗均匀后再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为、，则反比例函数的图象在一、三象限的概率是_____________． 【答案】/ 【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中的结果共有10种，即反比例函数的图象在一、三象限的情况有10种，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有16种等可能的结果数，其中的结果共有10种，即反比例函数的图象在一、三象限的情况有10种， ∴反比例函数的图象在一、三象限的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了反比例函数的性质． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学暑假自学提升基础巩固 夯实基础，巩固提升 反比例函数的图像和性质基础过关训练2 内容：由反比例函数图象的对称性求点的坐标、已知双曲线分布的象限求参数范围 专题1由反比例函数图象的对称性求点的坐标 一、单选题 1．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知正比例函数与反比例函数的图象交于点，则这个函数图象的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 5．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点．若点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．在同一坐标系内，反比例函数的图象与反比例函数的图象（k为常数）具有以下对称性：既关于x轴，又关于y轴成轴对称，那么k的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 7．下列说法正确的是（   ） A．任意两个矩形都相似 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等 二、填空题 8．已知点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，若OA=OB，则点B的坐标为_________． 9．实验证实，放射性物质在放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，实际上，物质所剩的质量与时间成某种函数关系．上图为表示镭的放射规律的函数图像，据此可计算32mg镭缩减为1mg所需的时间大约是_______年． 10．我们把直角坐标平面内横、纵坐标互相交换的两个点称为“关联点对”，如点和点为一对“关联点对”．如果反比例函数在第一象限内的图像上有一对“关联点对”，且这两个点之间的距离为，那么这对“关联点对”中，距离轴较近的点的坐标为____________． 11．已知直线y=kx与双曲线y=的一个交点的横坐标是2，则另一个交点坐标是_____． 12．直线与双曲线交于A、B两点，若点A的纵坐标为4，则点B的坐标为__________． 专题2已知双曲线分布的象限求参数范围 一、单选题 1．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．若反比例函数 的图像在第二、四象限，则一次函数的图像经过 （    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 3．若反比例函数的图象分别位于第一、三象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 7．已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 8．已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知，两点在反比例函数的图象上，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．已知反比例函数的图象如图所示，关于下列说法：①常数；②y的值随x值的增大而减小；③若点A为x轴上一点，点B为反比例函数图象上一点，则；④若点在反比例函数的图象上，则点也在该反比例函数的图象上．其中说法正确的是（　　） A．①②③ B．③④ C．①④ D．②③④ 二、填空题 11．如果反比例函数（是常数）的图像在第二、四象限，那么的值是__________． 12．如图，在反比例函数的第二象限图象上存在一点．又在反比例函数的第三象限图象上存在一点，连接，和，已知轴，且的面积等于3，则的值为______． 13．使关于x的分式方程的解为非负数，且使反比例函数的图象经过一，三象限，则满足条件的所有整数的和________． 14．已知反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围为______． 15．现有四张正面分别标有数字，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将他们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，洗均匀后再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为、，则反比例函数的图象在一、三象限的概率是_____________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $