1.2　子集、全集、补集 课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修 第一册

该高中数学课件聚焦子集、全集、补集核心知识，以南京红山森林动物园猴子集合的情境导入，衔接集合基本概念，构建从子集、真子集到全集、补集的递进脉络，通过Venn图、定义辨析和例题解析搭建学习支架。 其亮点在于融合数学抽象、逻辑推理与直观想象，如用Venn图表示集合关系、数轴分析参数范围，总结集合关系判断、子集个数计算等通性通法。学生能提升抽象思维与推理能力，教师可借助系统情境、例题及分层训练优化教学。

1.2　子集、全集、补集 新课程标准解读 核心素养 1.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的 子集 数学抽象、 逻辑推理 2.了解全集的概念，理解在给定集合中一个子集的补 集的含义，能求给定子集的补集 数学抽象、 数学运算 3.能理解用Venn图表示集合的基本关系，体会图形对 理解抽象概念的作用 数学抽象、 直观想象 目录 数学·必修第一册（SJ） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 南京红山森林动物园拥有世界上具有代表性的动物和珍稀动物近 300种4 000余只，有近二十多个品种的猴子，猴山是动物园最热闹的 地方，聚集了100多只猕猴.如果猴山上的所有猕猴组成集合 A ，动物 园内的所有猴子组成集合 B . 目录 数学·必修第一册（SJ） 【问题】　（1）集合 A 与集合 B 存在什么关系？ （2）如何用数学语言来表示这两个集合之间的关系？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点一　子集、真子集 子集 真子集 概 念 如果集合 A 的 ⁠元素 都是集合 B 的元素（若 a ∈ A ，则 a ∈ B ），那么集合 A 称为集合 B 的子集，记作 或 ⁠ ，读作“集合 A ⁠集 合 B ”或“集合 B 包含集合 A ” 如果 ，并且 ⁠ ，那么集合 A 称为集合 B 的 真子集，记为 或 ⁠ ，读作“ ⁠ ”或“ ⁠” 任意一个　 A ⊆ B 　 B ⊇ A 　 包含于　 A ⊆ B 　 A ≠ B 　 A ⫋ B 　 B ⫌ A 　 A 真包含于 B 　 B 真包含 A 　 目录 数学·必修第一册（SJ） 子集 真子集 图 示 结 论 （1）任何一个集合是它本身的子 集，即 ⁠； （2）对于集合 A ， B ， C ，如果 A ⊆ B ，且 B ⊆ C ，那么 ⁠ ⁠； （3）规定⌀⊆ A ，即空集是任何 集合的子集 （1）若 A ⫋ B 且 B ⫋ C ，则 A C ； （2）若 A ⊆ B 且 A ≠ B ，则 A B ； （3）空集是任何非空集合的真 子集 A ⊆ A 　 A ⊆ C 　 ⫋　 ⫋　 目录 数学·必修第一册（SJ） 提醒　（1）子集刻画了两个集合之间的关系，它反映的是局部与整 体之间的关系（而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关 系）.“集合 A 是集合 B 的子集”可表述为：若 x ∈ A ，则 x ∈ B ； （2）在真子集的定义中， A ⫋ B 首先要满足 A ⊆ B ，其次至少有一个 x ∈ B ，但 x ∉ A ；（3）对于集合 A ， B ，子集、真子集与集合相等的关 系如下： A ⊆ B ⇒ A ＝ B 或 A ⫋ B . 即子集包含真子集和集合相等两种 情况. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【想一想】 1. 任意两个集合之间的关系有哪些情形，你能用Venn图表示吗？ 提示：对于任意两个集合 A ， B ，它们可能是包含关系、相等关系 （即互相包含）、真包含关系、互不包含关系.Venn图表示为： 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 你能用Venn图表示常用数集之间的关系吗？ 提示： 目录 数学·必修第一册（SJ） 知识点二　全集、补集 1. 全集：如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的 ⁠， 那么就称这个集合为全集，全集通常记作 U . 所有元素　 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 补集 文字 语言 设 A ⊆ S ，由 S 中不属于 A 的 组成的集合称为 S 的子集 A 的补集，记作 （读作“ A 在 S 中的补集”） 符号 语言 ∁ SA ＝ ⁠ 图形 语言 所有元素　 ∁ SA 　 { x ｜ x ∈ S ，且 x ∉ A }　 目录 数学·必修第一册（SJ） 提醒　（1）补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割；（2） 补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求 集合 A 的补集的前提是 A 为全集 U 的子集，随着所选全集的不同， 得到的补集也是不同的. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 已知集合 P ＝{－1，0，1，2}， Q ＝{－1，0，1}，下列关系中正 确的是（　　） A. P ∈ Q B. P ⊆ Q C. Q ⊆ P D. Q ∈ P 解析：　集合 Q 中的元素都在集合 P 中，所以 Q ⊆ P . 故选C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 已知全集 U ＝{0，1，2}，且∁ UA ＝{2}，则 A ＝（　　） A. {0} B. {1} C. {0，1} D. {0，1，2} 解析：　∵ U ＝{0，1，2}，∁ UA ＝{2}，∴ A ＝{0，1}.故选C. 3. 若全集 U ＝R，求集合 A ＝{ x ｜ x ＞2}的补集∁ UA . 解：借助数轴得∁ UA ＝{ x ｜ x ≤2}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 集合间关系的判断 【例1】　（链接教科书第9页例1）判断下列两个集合之间的关系： （1） A ＝{1，2，3}， B ＝{ x ｜（ x －1）（ x －2）（ x －3）＝0}； 解： B ＝{ x ｜（ x －1）（ x －2）（ x －3）＝0}＝{1，2，3}＝ A . （2） A ＝{1，2，4}， B ＝{ x ｜ x 是8的约数}； 解：∵ A ＝{1，2，4}， B ＝{1，2，4，8}，如图， ∴ A ⫋ B . 目录 数学·必修第一册（SJ） （3） A ＝{ x ｜0＜ x ＜2}， B ＝{ x ｜－1＜ x ≤3}； 解：∵ A ＝{ x ｜0＜ x ＜2}， B ＝{ x ｜－1＜ x ≤3}， 用数轴表示如下： ∴ A ⫋ B . 目录 数学·必修第一册（SJ） （4） A ＝{ x ｜ x ＝2 k ＋1， k ∈Z}， B ＝{ x ｜ x ＝2 k －1， k ∈Z}. 解：法一　任取 x0∈ A ，则 x0＝2 k0＋1， k0∈Z. 又∵ x0＝2（ k0＋1）－1， k0∈Z，∴ k0＋1∈Z，∴ x0∈ B ，则 A ⊆ B . 同理可得， B ⊆ A . 由 A ⊆ B ， B ⊆ A ，得 A ＝ B . 法二　集合 A ＝{…，－5，－3，－1，1，3，5，7，…}，集合 B ＝{…，－7，－5，－3，－1，1，3，5，…}，根据规律可知集合 A 与 B 所含元素相同，∴ A ＝ B . 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 判断集合间关系的常用方法 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 能正确表示集合 M ＝{ x ∈R｜0≤ x ≤2}和集合 N ＝{ x ∈R｜ x2－ x ＝0}关系的Venn图是（　　） 解析：　解 x2－ x ＝0得 x ＝1或 x ＝0，故 N ＝{0，1}，易得 N ⫋ M ，其对应的Venn图如选项B所示. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. （多选）下列关系中正确的有（　　） A. 0∈{0} B. ⌀⫋{0} C. {0，1}⫋{（0，1）} D. {（1，2）}＝{（2，1）} 解析：　对于A，集合{0}中含有1个元素0，所以0∈{0}正确； 对于B，由于空集是任何非空集合的真子集，所以⌀⫋{0}正确；对 于C，{0，1}是数集，{（0，1）}是点集，所以C错误；对于D， {（1，2）}与{（2，1）}是不同的点集，所以D错误. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 确定集合的子集和真子集 【例2】　（链接教科书第9页例2）写出下列集合的所有子集，并指 出哪些是它的真子集： （1）集合{ a ， b }； 解：集合{ a ， b }的所有子集为⌀，{ a }，{ b }，{ a ， b }.真子集 为⌀，{ a }，{ b }. （2）集合{ a ， b ， c }. 解：集合{ a ， b ， c }的所有子集为⌀，{ a }，{ b }，{ c }，{ a ， b }，{ a ， c }，{ b ， c }，{ a ， b ， c }.真子集为⌀，{ a }，{ b }， { c }，{ a ， b }，{ a ， c }，{ b ， c }. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 求集合子集、真子集个数的步骤 提醒　（1）要注意两个特殊的子集：⌀和自身；（2）对含有 n 个 元素的集合，它的子集有2 n 个，非空子集有2 n －1个，非空真子集 有2 n －2个. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 集合 M ＝{1，2，3}的子集个数为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析：　法一　由题设， M 的所有子集为⌀，{1}，{2}，{3}， {1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共8个.故选D. 法二　集合 M ＝{1，2，3}含有3个元素，所以其子集个数为23＝8， 故选D. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 满足{1}⊆ A ⊆{1，2，3}的集合 A 的个数为 ⁠. 解析：∵{1}⊆ A ⊆{1，2，3}，∴ A ＝{1}或{1，2}或{1，3}或 {1，2，3}，故集合 A 的个数为4. 4　 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型三 确定集合的补集 【例3】　（链接教科书第10页例4）（1）设全集 U ＝{0，1，2，3， 4，5}， A ＝{2，4}，试求∁ UA ； 解：因为全集 U ＝{0，1，2，3，4，5}， A ＝{2，4}，由补集的定 义，得集合∁ UA ＝{0，1，3，5}. 目录 数学·必修第一册（SJ） （2）设全集 U ＝R，不等式组的解集为 A ，试求 A 及∁ UA ，并把它们分别表示在数轴上. 解： A ＝ ，∁ UA ＝{ x ｜ x ≤ ，或 x ＞ ，在数轴 上分别表示如下： 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 求集合补集的2种方法 （1）当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解； （2）当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴 分析求解. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 1. 若全集 U ＝{ x ∈R｜－2≤ x ≤2}，集合 A ＝{ x ∈R｜－2≤ x ≤0}，则∁ UA ＝（　　） A. { x ∈R｜0＜ x ＜2} B. { x ∈R｜0≤ x ＜2} C. { x ∈R｜0＜ x ≤2} D. { x ∈R｜0≤ x ≤2} 解析：　借助数轴（如图）易得∁ UA ＝{ x ∈R｜0＜ x ≤2}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 若集合 A ＝{ x ｜ x ＞1}，则∁R A ＝ ⁠. 解析：∵ A ＝{ x ｜ x ＞1}，∴∁R A ＝{ x ｜ x ≤1}. { x ｜ x ≤1}　 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型四 由集合间的关系求参数的范围 【例4】　（链接教科书第12页习题7题）已知集合 A ＝{ x ｜－3≤ x ≤4}， B ＝{ x ｜1＜ x ＜ m ， m ＞1}，且 B ⊆ A ，则实数 m 的取值范围 是 ⁠. { m ｜1＜ m ≤4}　 解析：由于 B ⊆ A ，结合数轴分析可知， m ≤4，又 m ＞1，所以1＜ m ≤4. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【母题探究】 1. （变条件）本例若将“ B ＝{ x ｜1＜ x ＜ m ， m ＞1}”改为“ B ＝ { x ｜1＜ x ＜ m }”，其他条件不变，则实数 m 的取值范围是什么？ 解：若 m ≤1，则 B ＝⌀，满足 B ⊆ A . 若 m ＞1，则由例题解析可知1＜ m ≤4. 综上可知 m ≤4. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. （变条件）本例若将“ B ＝{ x ｜1＜ x ＜ m ， m ＞1}”改为“ B ＝ { x ｜2 m －1＜ x ＜ m ＋1}”，其他条件不变，则实数 m 的取值范围 是什么？ 解：因为 B ⊆ A ， ①当 B ＝⌀时， m ＋1≤2 m －1，解得 m ≥2. ②当 B ≠⌀时，有 解得－1≤ m ＜2. 综上得 m ≥－1. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 由集合间的包含关系求参数的方法 （1）当集合为不连续数集时，常根据集合间包含关系的意义，转化 为方程或方程组求解，此时应注意分类讨论； （2）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注 意端点处是实点还是虚点. 提醒　（1）不能忽视集合为⌀的情形； （2）当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 　已知全集 U ＝R， A ＝{ x ｜ x ＜3}， B ＝{ x ｜ x ＜ a }. （1）若 B ⊆ A ，求 a 的取值范围； 解：因为 B ⊆ A ， B 是 A 的子集，由图①得 a ≤3. （2）若 A ⊆ B ，求 a 的取值范围； 解：因为 A ⊆ B ， A 是 B 的子集，由图②得 a ≥3. （3）若∁ UB ＝ A ，求 a 的取值范围. 解：因为∁ UB ＝ A ，所以∁ UB ＝{ x ｜ x ＜3}，所以 B ＝ { x ｜ x ≥3}，又 B ＝{ x ｜ x ＜ a }，所以实数 a 的取值范围为⌀. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 下列结论中正确的是（　　） A. {1}∈{0，1，2} B. {1，－3}＝{－3，1} C. {0，1，2}⫋{1，0，2} D. ⌀∈{0，1，2} 解析：　对于A，应是{1}⊆{0，1，2}，故A错误；对于B，集合 中的元素有无序性，故B正确；对于C，任何集合都是本身的子 集，但不是真子集，故{0，1，2}⊆{1，0，2}，故C错误；对于 D，应是⌀⊆{0，1，2}，故D错误.故选B. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 设集合 U ＝{1，2，3，4，5，6}， M ＝{1，2，4}，则∁ UM ＝（　） A. U B. {1，3，5} C. {3，5，6} D. {2，4，6} 解析：　∵ U ＝{1，2，3，4，5，6}， M ＝{1，2，4}，∴∁ UM ＝{3，5，6}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 设集合 A ＝{0，1，2}， B ＝{4，5}， M ＝{ x ｜ x ＝ a ＋ b ， a ∈ A ， b ∈ B }，则集合 M 的真子集的个数为 ⁠. 解析：集合 M ＝{4，5，6，7}，所以集合 M 的真子集的个数为24－ 1＝15. 15　 目录 数学·必修第一册（SJ） 4. 已知集合 A ＝{ x ｜ x ＞4}，非空集合 B ＝{ x ｜2 a ≤ x ≤ a ＋3}，若 B ⊆ A ，求实数 a 的取值范围. 解：因为 B ≠⌀，根据题意作出如图所示的数轴， 则解得2＜ a ≤3. 所以实数 a 的取值范围为{ a ｜2＜ a ≤3}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $