第一章《勾股定理》单元测试卷 2026～2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学《勾股定理》单元复习卷，以文化传承（赵爽弦图、总统证法）和生活实践（蚂蚁爬行、工程问题）为情境，覆盖定理应用、验证及实际建模，适配单元复习，发展几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股数判定（第2题）、方位角应用（第6题）|结合赵爽弦图（第3题）考查直观想象| |填空题|5/15|圆柱最短路径（第12题）、新定义“勾股标准形”（第14题）|以猴子爬树（第13题）体现实际应用| |解答题|8/75|等面积法验证（第22题）、台阶展开最短路径（第21题）|分层设计探究实践（第21题）与综合应用（第23题），发展推理能力|

第一章《勾股定理》单元测试卷 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1．如图，两个较小正方形的面积分别为9，16，则字母A所代表的正方形的面积为（　　） A．5 B．10 C．15 D．25 2．下列各组数中不是勾股数的是（　　） A．3，4，5 B．5，12，13 C．12，15，18 D．7，24，25 3．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若AB＝17，AH＝8，则正方形EFGH的边长是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4．如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，下列结论错误的是（　　） A．AB＝5 B．∠C＝90° C．AC2＝20 D．BC2＝4 5．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边长的平方为（　　） A．16 B．256 C．34 D．16或34 6．如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（　　） A．45m B．40m C．50m D．56m 7．如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） cm2． A．3 B．4 C．6 D．12 8．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c．下列条件中；不能说明△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A＝∠B＝∠C B．a2＝b2+c2 C．∠A+∠B＝∠C D．a：b：c＝3：4：5 9．勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法．如图所示，一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，证明中用到的面积相等关系是（　　） A．S△ABC+S△ABD＝S△AFG+S△AEF B．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEF C．S△BDH＝S△FGH D．S梯形BCEF＝S△ABC+S△ABF+S△AEF+S△FGH 10．由于大风，山坡上的一棵树甲从A点处被拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=4米，BC=13米，两棵树的水平距离为12米，这棵树原来的高度是（　　） A.12米　 B.13米　 C.15米　 D.19米 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11．若边长为a的正方形的面积等于长为b+c，宽为b﹣c的长方形的面积，则以a、b、c为三边长的三角形是　 　 三角形． 12．如图，有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约是（π取3）　 　 ． 13．在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 　 　 米． 14．定义：若一个直角三角形的两条直角边a和b满足（k为正实数），则称这个直角三角形为“勾股标准形”直角三角形．现有一个“勾股标准形”直角三角形，若其面积为24，则它的斜边长是　 　 ． 15．如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，已知斜放置的3个正方形的面积分别为1，1.21，1.44，正放置的4个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4＝　 　 ． 三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题7分，共21分) 16．如图：已知直角三角形一直角边a＝8cm，斜边c＝17cm，求这个直角三角形的周长． 17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE、EC的长． 18．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯AC水平放置，则刚好与AB一样长，已知滑梯的高度CE＝5m，BE＝1m，CE⊥AE，求滑梯的水平距离AE的长． 四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分) 19．学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为30元，学校修建这个花园需要投资多少元？ 20．如图，学校高17m的教学楼AB上有一块高5m的校训宣传牌AC，为美化环境，对校训牌AC进行维护．一辆高2m的工程车在教学楼前点M处，伸长25m的云梯（云梯最长25m）刚好接触到AC的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处？ 21．综合与实践 【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为5、3、1，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接AB，经过计算得到AB长度即为最短路程，则AB＝ 　 　 ；（直接写出答案） 【变式探究】（2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】（3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高10厘米，底面周长为24厘米，在杯内壁离杯底2厘米的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿1厘米，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 五、解答题(三)(本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分) 22． 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： （1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c2＝a2+b2； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度； （3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值（a＜b）． 23．【问题背景】著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，则a2+b2＝c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【结论探究】（1）如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； 【结论应用】（2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB于点H．测得CH＝0.8千米，HB＝0.6千米，求新路CH比原路AC少多少千米； 【问题拓展】（3）在△ABC中，AC=10，BC=17，AB=21，CH⊥AB，垂足为点H，请用勾股定理求出CH的值 . 学科网（北京）股份有限公司 $