第一章 《勾股定理》单元测试卷-2026-2027学年 北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册《勾股定理》培优卷，以文化传承（赵爽弦图、程大位《算法统宗》）和实际应用（蚂蚁爬行、花洒水流）为情境，覆盖基础计算与综合探究，适配单元复习提升，体现数学眼光、思维与语言核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|勾股定理基本应用（如第1题直角边求斜边）、面积关系（第2题正方形面积差）|结合劳技课、花洒装置等真实情境，考查几何直观| |填空题|6题/18分|文化情境（第12题秋千绳索长度）、勾股数组规律（第14题第6组数组）|融入古代数学典籍，培养推理意识与应用意识| |解答题|6题/72分|赵爽弦图面积法证明（第18题）、最短路径（第19题圆柱展开）、正方形与勾股定理综合（第21题）|分层设计，从基础证明到跨学科拓展，发展空间观念与创新意识|

第一章 《勾股定理》培优卷-2026-2027北师大版数学八年级上册单元测试卷 班级： 姓名： 分数： 一、选择题（每题3分，共30分）(共10题；共30分) 1．（3分）劳技课上，小明用同样长度的小木棒去搭建直角三角形，他搭建两条直角边分别用了3根和4根小木棒，那么他搭建斜边用的小木棒数量是（　　）. A．3 B．4 C．5 D．6 2．（3分）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（　　） A．4 B．8 C．16 D．64 3．（3分）小明家的花洒装置示意图如图所示，花洒安装在距离地面厘米的处，花洒的长度为厘米．当花洒喷射出的水流与花洒成的角时，水流喷射到地面的位置与墙面之间的距离为厘米，则水流的长度为（　　） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 4．（3分）如图，△ABC中，AB=AC=4，BC=12，D点是△ABC所在平面上的一个动点，且∠BDC=60°，则△DBC面积的最大值是（　　） A．12 B．18 C．24 D．36 5．（3分） 如图， 在 中， 平分 ， 与 相交于点 ，交 延长线于 ， 且垂足为 是 边的中点， 连接 与 相交于点 ， 则下列结论(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) 正确的个数（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 6．（3分）如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（　　） A． B． C． D． 8．（3分） 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，此图形中连结四条线段得到阴影部分，若，，，为各直角边中点，且小正方形面积为4，阴影部分面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 9．（3分）在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学喜欢思考，借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上， 设CE=a， HG=b， 则正方形BDFA的面积是 (　　) A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分）(共6题；共18分) 11．（3分）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘 B 处离桌面的高度 BC 为7 cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24 cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时 (D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A 处与 E 之间的距离AE 为　 　. 12．（3分）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地⋯⋯”翻译成现代文为：如图，秋千绳索OA悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺(AC=1尺). 将它往前推进两步(EB⊥OC于点E，且EB=10尺)，踏板升高到点B位置，此时踏板离地五尺(BD=CE=5尺)，则秋千绳索(OA或OB)长　 　尺. 13．（3分）如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成图形的面积S=　 　． 14．（3分）勾股定理 本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解 常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组： ， ， ，…，分析上面勾股数组可以发现， ， ， ，…分析上面规律，第6个勾股数组为　 　． 15．（3分）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是　 　． 16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线l是的图象，点在x轴正半轴上，．作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点，作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点，作轴交直线l于点，以O为圆心，为半径画弧，交x轴正半轴于点．…按此作法进行下去，则点的横坐标为　 　． 三、解答题(共6题；共72分) 17．（10分） （1）（5分） 如图1， 和 都是等边三角形，点 B，C，D 在一条直线上，连接 AD，BE. 求证：. （2）（5分） 如图2， 和 都是等边三角形，，，，连接 AD. 求 AD 的长. 18．（12分）【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 19．（12分）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为、、，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则 ；（直接写出答案） 　【变式探究】 （2）如图③，一只圆柱体玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是厘米，高是厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，求该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图④，若圆柱体玻璃杯的高厘米，底面周长为厘米，在杯内壁离杯底厘米的点处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿厘米，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 20．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，点D重合)，连结BE，作 AG⊥BE于点F，交边 CD于点G，连结 CF. （1）（4分）求证：BE=AG. （2）（4分）已知E 是边AD 的中点，AD=10. ①分别求AF，BF的长. ②求证：CB=CF. 21．（12分）我国古代数学家商高在《周髀算经》中记载了勾股定理，指出“勾三股四弦五”这一特殊形式.如图 1，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它“赵爽弦图”，很巧妙利用面积关系证明了勾股定理.勾股定理在几何度量，定理证明，图形识别和构造等领域有重要用途，既是一个简单实用的工具，也是几何学的基石之一. （1）（4分）如图 2，正方形 ABCD和正方形 CEFG通过拼接，正好可以构造正方形 AHFK. ①若正方形 ABCD和正方形 CEFG的边长分别是 4，3，则△ABH的周长是 ▲ ； ②若正方形 ABCD，正方形 CEFG和正方形 AHFK的边长分别是 a，b，c，求证： （2）（4分） 如图 3，以 Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形 ACDE，正方形 BCGF，正方形 ABHK.连接 DG，FH.观察图形中的面积关系，容易看出 猜测 S△ABC与 S△BFH是否相等?并说明理由. （3）（4分）如图 4，在直线 l上方有正方形 ABCD，正方形 AEFG，正方形 CHMN，正方形 DGJK，正方形 DNPQ，求证： S正方形 DGJK+S正方形DNPQ=5S正方形 ABCD. 22．（14分）【问题提出】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有 个长方形（包括正方形）？ 【问题探究】：为解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手： （1）探究一：将一条线段上随机设置n个点，图中一共可以形成多少条线段？ 如图1，当时，图中线段有：线段；共有1条线段； 如图2，当时，以A为端点的线段有：线段和线段；以C为端点的有：线段；共有条线段； 如图3，当时，以A为端点的线段有：线段，，；以C为端点的有：线段和线段；以D为端点的有：线段；共有条线段； ……， 小结：当随机设置了n个点后，一共可以形成 条线段．（用含n的代数式表示） （2）探究二：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，则一共有多少个长方形（包括正方形）？ 首先我们先探究宽上不设置点的情况． 如图，当，时， 如图，当，时， 如图，当，时， ……， 小结：当长方形的长上随机设置m个点，宽上不设置点，一共有 个长方形．（用含m的代数式表示） 同理，当长方形的长上不设置点，宽上随机设置n个点，一共有 个长方形．（用含n的代数式表示） 如图，当，时，宽上共形成3条线段，图中一共有9个长方形（包括正方形）． 如图，当，时，宽上共形成6条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图，当，时，宽上共形成3条线段，图中一共有18个长方形（包括正方形）． 如图，当，时，宽上共形成6条线段，图中一共有36个长方形（包括正方形）． ……， 小结：将长方形的长上随机设置m个点，宽上随机设置n个点，连接各边对应的点，则图中一共有 个长方形（包括正方形）．（用含m、n的代数式表示） 【问题解决】：将长方形的长上随机设置29个点，宽上随机设置19个点（不含长方形的各顶点A、B、C、D，且相对的边点的位置相同），如图连接各边对应的点，则图中一共有 个长方形（包括正方形）．（直接写出最后计算结果） 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】D 10．【答案】B 11．【答案】15 12．【答案】14.5 13．【答案】50 14．【答案】13，84，85 15．【答案】6 16．【答案】​​​​​​​ 17．【答案】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， 点B，C，D在一条直线上， ， ， ， . （2）解：连接BE，如图所示： 和 都是等边三角形， ，，， ，即 ， ， ， ，， ， . 18．【答案】解：（1）， （2）证明： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴. ∴； (3)证明： 由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； (4)由题意，如图， ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为， ， 设则， 在中， ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为： 19．【答案】解：（1）由题意得：，， ， 故答案为：； （2）将圆柱体侧面展开，如下图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如下图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：，， ， 底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是厘米． 20．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中 ，AB=AD，∠BAE=∠D=90°， ∴∠BAF+∠EAF=90°， ∵ AG⊥BE ， ∴∠BAF+∠ABF=90°， ∴∠ABF=∠EAF， ∴△ABE≌△DAG（ASA）， ∴ BE=AG. （2）解：①∵E 是边AD 的中点，AD=10. ∴AB=AD=10，AE=5， ∴BE==， ∵ AG⊥BE ， ∴△ABE的面积=BE·AF=AB·AE，即×AF=×10×5， 解得AF=， ∴BF==； ②过点C作CH⊥BF，则∠HBC+∠HCB=90°， ∵+∠HBC=∠ABC=90°， ∴∠HCB=∠ABF， ∵∠AFB=∠BHC，AB=BC， ∴△ABF≌△BCH（AAS） ∴CH=BF=， ∴BH==， ∴FH=BF-BH=，即FH=BH， ∴CH垂直平分BF， ∴BC=CF. 21．【答案】（1）解：①12； ②如图 2，延长 FG交 AB 于点 J，连接 AF.则四边形 BCGJ是矩形， ∴BC=GJ=a， ∴FJ=a+b， 在直角三角形 AFK中，由勾股定理得： 在 Rt△AFJ中， （2）解：猜测 理由如下： 如图 3，作 CM⊥AB交 AB于点 M，作 FN⊥BH交 HB延长线于点 N.则∠CMB=∠FNB=90°. ∴∠CBM+∠CBN=90°， ∠CBN+∠NBF=90°， ∴∠CBM=∠FBN， 在△CBM和△FBN中， ∴△CBM≌△FBN （AAS) ， ∴CM=FN. （3）证明：设 CH=a， AE=b. 如图 4，作 DR⊥FM，分别延长 GA， NC，交 DR于点 S， T.则 GS⊥DS， NT⊥DT. 由（2）可知△ABE≌△BCH， BE=CH=a， A E=B H=b， 同理可得△DCT≌△BCH， △ABE≌△ADS， △ADS≌△DCT， ∴CT=DS=a， AS=DT=b， ∴GS=2b， NT=2a， ∴S正方形 DGJK+S正方形 DNPQ=5S正方形 ABCD 22．【答案】（1） （2），， [问题解决] 1 学科网（北京）股份有限公司 $