2.1.2 一元二次方程的解集及根与系数的关系 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

**基本信息** 高中数学一元二次方程同步练习，分层设计从概念理解到综合应用，梯度合理，巩固知识同时培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|判别式/韦达定理概念|直接考查公式记忆与辨析，如填空3判别式与根的关系| |进阶层|根与系数关系简单应用|结合运算考查定理应用，如解答14韦达定理变形| |综合层|含参数方程综合应用|通过参数讨论培养推理能力，如解答15参数取值范围|

第二章 等式与不等式 2.1.2 一元二次方程的解集及根与系数的关系 同步练习卷 考试时长：45分钟　　满分：100分 姓名：__________　　班级：__________　　得分：__________ 一、填空题（本大题共8题，1—4题每题4分，5—8题每题5分，共36分） 1. 一元二次方程 （）的根的判别式为 ______。 2. 若一元二次方程 （）的两根为 、，则 ______， 。 3. 对于一元二次方程 （）： （1）当 时，方程有______实数根； （2）当 时，方程有______实数根； （3）当 时，方程______实数根。 4. 方程 的解集为______。 5. 若方程 的两根为 、，则 ______。 6. 若方程 的两根为 、，则 ______。 7. 方程 的根的个数为______，解集为______。 8. 已知方程 的一个根为 ，则另一个根为______。 二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分。每题只有一个正确选项） 9. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 10. 若方程 的两根为 、，则 的值为（　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 11. 方程 的解集为（　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 12. 已知关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值为（　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 三、解答题（本大题共4题，13—14题每题10分，15—16题每题14分，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13.（本题10分） 解下列方程，并根据判别式判断根的情况，写出解集。 （1）； （2）； （3）。 14.（本题10分） 已知方程 的两根为 、，不求根，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）。 15. （本题14分） 已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围。 16.（本题14分） 已知关于 的方程 的两根为 、。 （1）求 和 （用含 的代数式表示）； （2）若方程有一个根为 ，求实数 的值和另一个根。 参考答案与解析 一、填空题（共36分） 第1题（4分） 【答案】 【解析】一元二次方程 （）的根的判别式为 。 第2题（4分） 【答案】； 【解析】韦达定理：，。注意两根和符号为负。 第3题（4分） 【答案】（1）两个不相等的；（2）两个相等的；（3）没有 【解析】判别式与根的关系： 时有两个不相等的实数根； 时有两个相等的实数根（重根）； 时没有实数根。 第4题（4分） 【答案】 【解析】，解得 或 ，解集为 。 第5题（5分） 【答案】 【解析】，，。 第6题（5分） 【答案】 【解析】，，。 第7题（5分） 【答案】0 个； 【解析】，方程没有实数根，解集为 。 第8题（5分） 【答案】 【解析】设另一根为 ，由韦达定理：，解得 。 二、选择题（共16分） 题号 9 10 11 12 答案 C A A C 第9题（4分） 【解析】A：，无实数根；B：，重根；C：，两个不相等实数根；D：，无实数根。故选C。 第10题（4分） 【解析】由韦达定理，。故选A。 第11题（4分） 【解析】，，解集为 。故选A。 第12题（4分） 【解析】方程有两个相等的实数根，则 ，即 ，，解得 。故选C。 三、解答题（共48分） 第13题（10分） 【答案与评分细则】 （1）。 ，方程有两个不相等的实数根。…………（1分） 因式分解得 ， 或 。…………（1分） 解集为 。…………（1分） （2）。 ，方程有两个相等的实数根。…………（1分） ，。…………（1分） 解集为 。…………（1分） （3）。 ，方程没有实数根。…………（2分） 解集为 。…………（2分） 第14题（10分） 【答案与评分细则】 由韦达定理： （1）。…………（3分） （2）。…………（3分） （3）。…………（4分） 第15题（14分） 【答案与评分细则】 方程  中，，，。…………（2分） 方程有两个不相等的实数根，则 ： …………（3分） …………（2分） …………（2分）  恒成立，故当  取任意实数时，方程都有两个不相等的实数根。…………（3分） 故实数  的取值范围为 。…………（2分） 第16题（14分） 【答案与评分细则】 方程 中，，，。 （1）由韦达定理： 。…………（3分） 。…………（3分） （2）若方程有一个根为 ，代入方程： ，即 ，解得 或 。…………（4分） 当 时，方程为 ，另一根为 ；…………（2分） 当 时，方程为 ，另一根为 。…………（2分） 学科网（北京）股份有限公司 $