专题02 数轴上的动点问题9大题型（专项训练）数学新教材冀教版七年级上册

**基本信息** 以“四步解题法”为核心，构建从单动点到新定义问题的9级题型体系，通过“步骤+易错点+变式”三维训练实现动点问题突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单动点问题|8题|代数化表示运动轨迹，分类讨论折返情况|从静态点表示到动态规律探究，渗透函数思想| |双动点问题|8题|相遇问题用路程和=距离，相距定值需绝对值方程|体现方程建模与分类讨论的结合，强化参数思想| |多动点/折叠/新定义|14题|多变量表示+中点公式+折叠对称性质|综合运用数形结合，衔接几何图形与代数推理|

专题02 数轴上的动点问题9大题型 常考题型·精准突破 考点一 数轴上动点问题 题型一：单动点问题（简单运动类） 题型二：单动点问题（规律变化类） 题型三：双动点问题（匀速运动类）（高频） 题型四：双动点问题（变速掉头运动类） 题型五：多动点问题（难） 题型六：动点中的定值、无关问题（难） 题型七：数轴上的折叠运动问题 题型八：几何图形在数轴上的运动问题（难） 题型九：新定义类运动问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 数轴上的动点问题 【解决技巧】数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高． 【解题技巧】数轴动点问题主要步骤： ①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； ②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“＋”表示，向左运动用“－”表示； ③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； ④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值． 注意： 1、要注意动点是否会来回往返运动． 2、学会用含字母的式子表示运动的距离； 【高频题型注意点】 题型 1：两点相遇问题 两个动点相向而行 等量关系：两者路程之和 = 初始两点距离 ⚠️ 验证：求出 t 后代回动点表达式，确认位置一致。 题型 2：两点相距定值（最容易漏解） 动点 A、B 相距 m 个单位 列式： ✅ 一定有两种情况： ① A 在 B 左边 ② A 在 B 右边 很多同学只算出一个答案，丢一半分数！ 题型 3：到两点距离相等（中点 / 两侧对称） 两种情况： 是 中点（常规答案） 在点 同侧（容易漏掉） 题型 4：中点公式 若点 M 是 A、B 中点 动点问题经常结合中点求值、定值探究。 【标准解题步骤】 1. 设运动时间为 2. 用含代数式表示每个动点对应的数（右加左减） 3. 根据题意列等式（距离用绝对值） 4. 解方程 5. 检验解是否符合实际（t≥0、运动范围） 6. 写出最终答案，多解分开说明 ◆题型1 单动点问题（简单运动类） 1．已知数轴上点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位长度得到点B，若数轴上点C到点A和点B的距离相等，则用含a的代数式表示点C对应的数为（   ） A． B． C． D． 2．在如图所示的数轴上，某点从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，再向左平移4个单位长度到达点B，最后向右平移10个单位长度到达点C． (1)分别写出点A，B，C表示的数． (2)若点P在线段上运动，当时，求出点P表示的数． (3)若点Q从点C出发，在线段的延长线上运动，M是的中点，N是的中点，试说明是一个定值． 3．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 4． A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求的值； (3) M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段的长． ◆题型2 单动点问题（规律变化类） 5．如图，等边三角形的周长为3个单位长度，三个顶点分别标上A、B、C，先将三角形如图位置摆放，将三角形沿着数轴向右翻滚，在翻滚过程中，下列数轴上的哪个数能与三角形上的重合（　　） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 6．如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字的点重合的是（ ）． A．0 B．1 C．2 D．3 7．正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是______． 8．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是________． ◆题型3 双动点问题（匀速运动类） 9．如图，数轴上点A、B所表示的数分别为、4．有P、Q两点分别从A、B两点出发同时以2个单位长度每秒的速度在数轴上同向运动，M、N分别是与的中点，当运动时间为4秒时，M、N两点之间的距离是________． 10．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100． (1)请求出在数轴上与A、B两点距离相等的点M所对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以4个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以6个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，通过计算，请你求出点C对应的数． (3)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度？ 11．如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 12．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向匀速运动，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)填空：当时，则点表示的数为________，点表示的数为________，此时线段的中点表示的数为________； (3)当点到达终点时，运动时间为多少？此时线段的中点表示的数是多少？ ◆题型4 双动点问题（变速掉头运动类） 13．如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 14．如图，数轴上A、B两点对应的有理数分别为20和30，点P和点Q分别同时从点A和点O出发，以每秒2个单位长度，每秒4个单位长度的速度向数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)当时，则P、Q两点对应的有理数分别是_______，______； (2)点C是数轴上点B左侧一点，其对应的数是x，且，求x的值； (3)在点P和点Q出发的同时，点R以每秒8个单位长度的速度从点B出发，开始向左运动，遇到点Q后立即返回向右运动，遇到点P后立即返回向左运动，与点Q相遇后再立即返回，如此往返，直到P、Q两点相遇时，点R停止运动，求点R运动的路程一共是多少个单位长度？点R停止的位置所对应的数是多少？ 15．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为. 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动.设运动时间为秒（）. 【综合运用】 （1）填空：秒后，点运动的路程为______；点表示的数为______；（用含的代数式表示） （2）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长. （3）当点运动到点时立即掉头，速度不变，此时点和点分别从点和点出发，向左运动，点的速度为1个单位长度/秒，点的速度为5个单位长度/秒，设点、、所对应的数分别是、、，点出发的时间为秒，当时，求的值. 16．在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． ◆题型5 多动点问题 17．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 18．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 19．已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 20．在数轴上点A在原点的左侧，点C在原点的右侧，点A距离原点2个单位长度，点C距离原点7个单位长度，点B表示的数是最小的正整数， (1)点A、B、C表示的数分别是：________，________，________； (2)点A与点B之间的距离为________，点A与点C之间的距离为________，点B与点C之间的距离为________； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，t秒钟过后，用含t的代数式分别表示点A与点B之间的距离，点A与点C之间的距离以及点B与点C之间的距离； (4)在（3）的条件下，若点B与点C之间的距离用BC表示，点A与点B之间的距离用AB表示，则的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由：若不变，请求其值． ◆题型6 动点中的定值、无关问题 21．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．    (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 22．如图，数轴上点、分别对应数、，其中，． (1)当，时，线段的中点对应的数是_________． (2)若该数轴上另有一点对应着数． ①当，，且时，求代数式的值； ②．且时，小明通过演算发现代数式是一个定值，老师点评：小明同学的演算发现还不完整！请你通过演算解释为什么“小明的演算发现”是不完整的？ 23．阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是． (1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______； (2)如果，求出点P表示的数以及b的值； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 24．（1）如图1，点，，，为直线上从左到右顺次的四个点． ①直线上以，，，为端点的射线共有______条； ②若，，，点为直线上一点，则的最大值为______； （2）从图1的位置开始，点在直线上向左运动，点，在直线上向右与点同时开始运动，运动过程中的长度保持不变，，分别为，的中点（如图2）．在此过程中，请指出三条线段，，之间的数量关系（用一个等式表示）并说明理由； （3）如图3，点，，为数轴上从左到右顺次的三个点，点，表示的数分别为，，为中点．若，且，，求线段的长． ◆题型7 数轴上的折叠运动问题 25．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．若数轴上点，分别对应数，．则点，两点之间的距离为． 如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数c；，且 (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合； (3)现有两个动点，同时从点，出发匀速运动，设运动时间为秒． ①若点、点分别以每秒个单位长度的速度和每秒个单位的长度的速度沿数轴均向左匀速运动．为何值时，点追上点． ②若点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求为何值时，点，相距个单位长度．并写出此时点，在数轴上表示的数． 26．翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．如图，纸面上有一数轴，现折叠纸面． (1)若表示的点与表示的点重合，则表示的点与___________表示的点重合． (2)若表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与___________表示的点重合； ②若假设纸张足够长，数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________． (3)若数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，请表示出此时折叠后与数表示的点重合的点（用含有，，的代数式表示）． 27．如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题：如图2：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足． (1)______，______，______； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与表示数______的点重合； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟后． 请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； 探究：若点A，C向右运动，点B向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 28．已知数轴上有、两点，分别表示有理数，，且，满足式子，动点（对应数，速度单位/秒）、（对应数，速度单位/秒）． (1)动点从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发，经过几秒、相遇？相遇点对应数为多少？ (2)已知点表示，若，求此时与的距离． (3)从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发秒（），当时，沿数轴折叠使与重合，求折叠后的对应点（对应数的值）． ◆题型8 几何图形在数轴上的运动问题 29．【新知理解】 如图①，点C在线段上，若，则称点C是线段的圆周率点，线段、称作互为圆周率伴侣线段． （1）若，则______； （2）若点D也是图①中线段的圆周率点（不同于点C），则_____；（填“”或“”） 【解决问题】 （3）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．若点M、N是线段的圆周率点，则的长_______； （4）图②中，若点D在射线上，且线段与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数． 30．如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径． (1)把圆片沿数轴向左滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是______； (2)把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是______； (3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3． ①第______次滚动后，A点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？ 31．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为；点A与点B在数轴上的“友好距离”为21个单位长度，并表示为，以此类推． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度．动点P从点A出发运动至点D的过程中，某个时刻满足，此时动点P运动的时间是_______．    32．正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数分别为 和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与数2026对应的是（   ） A．点D B．点C C．点B D．点A ◆题型9 新定义类运动问题 33．定义：已知点是线段上的一个点，若点到线段两个端点的距离之比为 ，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是5． (1)求点、之间的距离； (2)求线段的“理想点”表示的数； (3)点是线段上一点，将线段沿点向右折叠，使点的对应点仍落在数轴上，若点、、三点中，其中一点是另外两个点所连线段的理想点，直接写出此时点表示的数． 34．综合与实践 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究． 定义：点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． (1)观察判断 如图1，点为线段的“优点”． ①若，则__________________； ②若点也是线段的“优点”（不同于点），则________________（填“=”或“”）； (2)性质探究 如图2，在原点为的数轴上有E，F两点，其中点表示的数为1，F点表示的数为4．若点在点的左侧，且M，N均为线段的“优点”，求线段的长； (3)拓展应用 在（2）的探究中，若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，请直接写出点表示的数． 35．定义：已知点，，为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：． 应用： 如图有一条数轴，、、为数轴上三点，分别对应，，． (1)①、两点之间的距离是__________； ②求的值； (2)若点在数轴上且，求点表示的数； (3)若点是数轴上一点，且，直接写出点表示的数． 36．定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为，0，2，满足，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示． (1)A，B，C三点中，点 是点M，N的“倍分点”； (2)若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数是 ； (3)若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，数轴上点表示的数为，点，（不与重合）到0对应的点的距离相等，点，（不与重合）到1对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到2对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到3对应的点的距离相等，……，按此规律，点表示的数为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 2．如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度向射线AB方向运动，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①；②当时，；③，两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．如图，在数轴上点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，则线段的长度是_________． 4．如图，嘉嘉在纸片上画了一条不完整的数轴，折叠纸片，使数轴上表示的点与表示3的点重合，若该数轴上两点之间的距离是10，按上次折痕折叠之后也互相重合，则点表示的数为_______． 5．如图，在数轴上，点表示，现将点沿轴做如下移动：第一次点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离等于，那么的值是_____． 6．数轴上点的初始位置表示的数为1，将点做如下移动：第1次点向左移动3个单位长度至点，第2次从点向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离不小于，那么的最小值为___________． 7．阅读材料并回答问题： 对于数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离之间恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点A，B，C表示的数分别为1，3，4，点B与点A的距离是2，点B与点C的距离是1，此时，点B是点A，C的“关联点”． (1)若点P表示，点Q表示4．，0，2，6对应的点分别是，则其中哪几个点是点P，Q的“关联点”？ (2)点M表示的数是，点N表示的数是15，P为数轴上一个动点．若点P在点N的左侧，且点P是点M，N的“关联点”，则点P表示的数是___________． 8．如下图，已知数轴上两点对应的数分别为为数轴上的一个动点，其对应的数为． (1)若点P到点A，B的距离相等，则x的值为_________． (2)若将数轴折叠，使A，B两点重合，则表示的点与表示__________的点重合． (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2025（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（2）中的方式折叠后互相重合，求M，N两点表示的数． 9．对于数轴上的一点和线段（点不与点、点重合），给出如下定义：若点满足，则称点为线段的“偏移对称点”．已知数轴上、两点表示的数分别是、，且． (1)当时， ①若点表示的数分别为，则点是线段B的“偏移对称点”； ②已知点为数轴原点，点是数轴负半轴上的一个动点，若线段上存在一点，使得点是线段的“偏移对称点”，则线段长度的最小值为______； (2)对于数轴上的任意两点、（点在点的左侧），且，总存在线段，使得线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”，求的取值范围． 10．【问题提出】同学们在解决数学问题的时候，我们往往运用分类讨论来解决问题的多种情况，如此题．例如若有，求的值．在解决此题时，我们可以进行以下思考： ①当时，此时可以解得 ． ②当时，此时可以解得 ． 【知识迁移】 仿照上面的分析思路，解决下面两个问题 （1）如图，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为，2，1，请在数轴上标出线段的中点D，并写出D的所代表的数；若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求线段的长． （2）如图，有公共端点P的两条线段、组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 11．综合与与实践 数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴甲和数轴乙模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐．    思考解答下列问题: (1)如图中，数轴乙上表示的点与数轴甲上表示 的点对齐； (2)将图中的数轴乙向左移动，使得数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐，如图，    此时数轴甲上表示的点与数轴乙上表示 的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点与数轴甲上表示 的点对齐； (3)若数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点记作点，数轴甲上与点对齐的点记作点，求点表示的数． 12．综合与实践 已知数轴上A、B两点所表示的数分别为和9．    (1)观察发现： 直接写出线段__________． (2)情境探究： 情境①：当点P为线段的中点时，且M为的中点，N为的中点，请你借助直尺在图1中画出相应的图形，并写出线段__________； 情境②：当点P为线段AB上的一个动点时，如图2，且M为的中点，N为的中点，试通过计算判断的长度是否发生变化？ (3)迁移类比： 当点P为数轴上点A左侧的一个动点时，如图3，且M为的中点，N为的中点，直接写出线段的长． 13．A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长．    14．如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为，3，点P是射线上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点． (1)若点P表示的有理数是0，那么的长为___________；若点P表示的有理数是6，那么的长为___________． (2)点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请写出求的长的过程；若改变，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数轴上的动点问题9大题型 常考题型·精准突破 考点一 数轴上动点问题 题型一：单动点问题（简单运动类） 题型二：单动点问题（规律变化类） 题型三：双动点问题（匀速运动类）（高频） 题型四：双动点问题（变速掉头运动类） 题型五：多动点问题（难） 题型六：动点中的定值、无关问题（难） 题型七：数轴上的折叠运动问题 题型八：几何图形在数轴上的运动问题（难） 题型九：新定义类运动问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 数轴上的动点问题 【解决技巧】数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高． 【解题技巧】数轴动点问题主要步骤： ①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； ②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“＋”表示，向左运动用“－”表示； ③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； ④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值． 注意： 1、要注意动点是否会来回往返运动． 2、学会用含字母的式子表示运动的距离； 【高频题型注意点】 题型 1：两点相遇问题 两个动点相向而行 等量关系：两者路程之和 = 初始两点距离 ⚠️ 验证：求出 t 后代回动点表达式，确认位置一致。 题型 2：两点相距定值（最容易漏解） 动点 A、B 相距 m 个单位 列式： ✅ 一定有两种情况： ① A 在 B 左边 ② A 在 B 右边 很多同学只算出一个答案，丢一半分数！ 题型 3：到两点距离相等（中点 / 两侧对称） 两种情况： 是 中点（常规答案） 在点 同侧（容易漏掉） 题型 4：中点公式 若点 M 是 A、B 中点 动点问题经常结合中点求值、定值探究。 【标准解题步骤】 1. 设运动时间为 2. 用含代数式表示每个动点对应的数（右加左减） 3. 根据题意列等式（距离用绝对值） 4. 解方程 5. 检验解是否符合实际（t≥0、运动范围） 6. 写出最终答案，多解分开说明 ◆题型1 单动点问题（简单运动类） 1．已知数轴上点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位长度得到点B，若数轴上点C到点A和点B的距离相等，则用含a的代数式表示点C对应的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的动点问题． 点C到点A和点B的距离相等，故点C为线段的中点，利用中点公式即可求解． 【详解】解：∵点A对应的数为，将点A沿数轴向正方向移动a个单位得到点B， ∴点B对应的数为． ∵点C到点A和点B的距离相等， ∴点C为的中点， ∴点C对应的数为． 故选：A． 2．在如图所示的数轴上，某点从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，再向左平移4个单位长度到达点B，最后向右平移10个单位长度到达点C． (1)分别写出点A，B，C表示的数． (2)若点P在线段上运动，当时，求出点P表示的数． (3)若点Q从点C出发，在线段的延长线上运动，M是的中点，N是的中点，试说明是一个定值． 【答案】(1) (2)或0 (3)见解析 【分析】本题主要考查了数轴以及两点间的距离，线段的和差，解题的关键是正确理解题意，根据两点之间的距离等于差的绝对值求解． （1）根据数轴的意义解答即可； （2）分点在线段上和点在线段上时两种情况讨论即可； （3）根据线段中点的定义以及线段的和差关系解答即可． 【详解】（1）解：从原点开始运动，先向左平移2个单位长度到达点A，则点表示的数为， 再向左平移4个单位长度到达点B，则点表示的数为， 最后向右平移10个单位长度到达点C，则点表示的数为． （2）解：可分为以下两种情况讨论： ①当点在线段上时，． ， ． 解得． 点表示的数为． ②当点在线段上时，． ， ． 解得． 点表示的数为0． 综上所述，点表示的数为或0． （3）解：设点表示的数为，则，． 是的中点，是的中点， ． ． 是一个定值． 3．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 【答案】(1)见解析 (2)向左爬了4个单位长度 (3) 【分析】本题主要考查了数轴的表示及数轴上的点与数的对应关系、有理数的加减运算，熟练掌握数轴上点的移动规律（右移加、左移减）是解题的关键． （1）根据蚂蚁的移动方向和单位长度，确定、、三点对应的数，再在数轴上标出位置． （2）先计算点对应的数，再根据数的正负判断移动方向和单位长度． （3）逆向分析蚂蚁的移动过程，通过运算求出点表示的数． 【详解】（1）解：点三点在数轴上的位置如图所示， （2）解：点可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了个单位长度到达的； （3）解：由题意可知蚂蚁先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，即可以看作向右爬了个单位长度， 故点表示的数为． 4． A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）． (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求的值； (3) M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图象，并求出线段的长． 【答案】(1)； (2)4或6 (3)不变，见解析，长度始终是5 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以， 所以； 点P在点B的右侧时，， 所以； 综上分析可知：的值为4或6； （3）解：长度不变且长为5．理由如下： 当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图， 同理可得：； 综上：． ◆题型2 单动点问题（规律变化类） 5．如图，等边三角形的周长为3个单位长度，三个顶点分别标上A、B、C，先将三角形如图位置摆放，将三角形沿着数轴向右翻滚，在翻滚过程中，下列数轴上的哪个数能与三角形上的重合（　　） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、图形类规律探索，由题意可得，由等边三角形上重合的点以3个字母循环出现，第一个为B，第二个为C，第三个为A.，再根据各个选项逐项判断即可得解． 【详解】解：由等边三角形上重合的点以3个字母循环出现，第一个为B，第二个为C，第三个为A. A、，，故与三角形上的A重合，不符合题意； B、，，故2019与三角形上的B重合，符合题意； C、，，故2020与三角形上的C重合，不符合题意； D、，，故与三角形上的A重合，不符合题意； 故选：B． 6．如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字的点重合的是（ ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的数字在圆上的循环规律，由图可知，每个数为一个循环组，依次循环，由此即可得出答案，发现循环规律，并正确计算循环后处于第几组的第几个数，是解此题的关键． 【详解】解：由图可知，每个数为一个循环组，依次循环， ， 数轴上表示的点与圆周上第个循环组的第二个点重合，该点表示的数字为， 故数轴上表示的点与圆周上表示数字重合的点是， 故选：D． 7．正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是______． 【答案】D 【分析】本题考查数轴，掌握数轴表示数的方法以及正六边形翻滚时所对应数的变化规律是正确解答的关键．根据翻滚规律以及各个顶点所对应的数即可得出答案． 【详解】解：由题意得，点A，点B，点C，点D，点E，点F所对应的数分别为1，2，3，4，5，6， ∵， ∴数轴上数2026所对应的顶点是点D． 故答案为：D． 8．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是________． 【答案】或/1112或1115 【分析】本题考查了数轴上的动点问题．根据点的运动情况，可知第奇数次移动的点表示的数是，第偶数次移动的点表示的数是，再分两种情况分别求n的值即可． 【详解】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…， ∴第奇数次移动的点表示的数是， 第偶数次移动的点表示的数是， ∵点与原点的距离等于， ∴当n是奇数时， ，解得， 当n是偶数时， ，解得， 故答案为：或． ◆题型3 双动点问题（匀速运动类） 9．如图，数轴上点A、B所表示的数分别为、4．有P、Q两点分别从A、B两点出发同时以2个单位长度每秒的速度在数轴上同向运动，M、N分别是与的中点，当运动时间为4秒时，M、N两点之间的距离是________． 【答案】6 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，线段的中点，根据题意利用分类讨论思想解题是关键． 分点P，Q同时向右，同时向左两种情况，结合数轴上两点间的距离和线段中点的定义计算求解． 【详解】解：①当点P，Q同时向右运动时， 当运动时间为4秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵、分别是与的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴、两点之间的距离是； ②当点P，Q同时向左运动时， 当运动时间为4秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵、分别是与的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴、两点之间的距离是； 故答案为： 6． 10．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为100． (1)请求出在数轴上与A、B两点距离相等的点M所对应的数； (2)现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以4个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以6个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，通过计算，请你求出点C对应的数． (3)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度？ 【答案】(1)40 (2)52 (3)20秒或40秒 【分析】此题考查的是数轴上点的运动，还有相遇问题与追及问题．注意用到了路程=速度×时间． （1）根据中点坐标公式即可求解； （2）此题是相遇问题，先求出相遇所需的时间，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出向右运动到相遇地点所对应的数； （3）设当它们运动t秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度，分类讨论： ①蚂蚁P追上蚂蚁Q前，②蚂蚁P追上蚂蚁Q后，逐项求解即可． 【详解】（1）解：M点对应的数是； （2）由数轴，得A、B两点距离为， ∴两只蚂蚁相遇时间为秒， ∴点C对应的数为． （3）设当它们运动t秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度，依题意，得 ①蚂蚁P追上蚂蚁Q前， ， 解得，   ②蚂蚁P追上蚂蚁Q后， ， ． 答：当它们运动20秒或40秒时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度． 11．如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 【答案】(1)2 (2)，两点之间的距离是6.5个单位长度 (3)点表示的数为1008 【分析】本题考查数轴上点的移动，两点间的距离，熟练掌握平移规则，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据平移规则，列式计算即可； （2）求出点的运动时间，进而求出点表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据题意，得到每2次移动，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）点运动了个单位长度， 运动时间为（秒）． 这段时间点运动了个单位长度． 因为点从原点出发， 所以点运动到3所在点的位置， 所以，两点之间的距离是个单位长度； （3） ． 所以点表示的数为1008． 12．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向匀速运动，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)填空：当时，则点表示的数为________，点表示的数为________，此时线段的中点表示的数为________； (3)当点到达终点时，运动时间为多少？此时线段的中点表示的数是多少？ 【答案】(1)； (2)；； (3)； 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离以及中点： （1）根据题意带入计算即可； （2）先求出移动的距离，再找到对应的数，中点表示的数代入公式即可； （3）点到达终点时的距离就是，除以速度可得时间，求出此时点表示的数，代入中点公式即可． 【详解】（1）根据题意，可知：； 的中点表示的数为． 故答案为：；． （2）当时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动， 则此时点移动的距离为：， 故表示的数为：； 当时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向匀速运动， 则此时点移动的距离为：， 故表示的数为：； 线段的中点表示的数为：． 故答案为：；；． （3）当点到达终点时，移动的距离为， 由于点从点出发，以每秒个单位长度的速度向匀速运动， 所以， 此时表示的数为：， 线段的中点表示的数是：． ◆题型4 双动点问题（变速掉头运动类） 13．如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【分析】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 14．如图，数轴上A、B两点对应的有理数分别为20和30，点P和点Q分别同时从点A和点O出发，以每秒2个单位长度，每秒4个单位长度的速度向数轴正方向运动，设运动时间为t秒． (1)当时，则P、Q两点对应的有理数分别是_______，______； (2)点C是数轴上点B左侧一点，其对应的数是x，且，求x的值； (3)在点P和点Q出发的同时，点R以每秒8个单位长度的速度从点B出发，开始向左运动，遇到点Q后立即返回向右运动，遇到点P后立即返回向左运动，与点Q相遇后再立即返回，如此往返，直到P、Q两点相遇时，点R停止运动，求点R运动的路程一共是多少个单位长度？点R停止的位置所对应的数是多少？ 【答案】(1)24，8；16 (2)或10； (3)R运动的路程一共是．点R的位置所对应的数是40． 【分析】（1）根据路程速度时间，先求出即可解决问题； （2）由，可得或，即可求得的值； （3）设t秒后P、Q相遇．则有，此时P、Q、R在同一点，由此可以确定点R的位置． 【详解】（1）解：时，， ∴P、Q分别表示24和8，， 故答案为：24，8；16； （2）解：∵， ∴（此时点C在线段上）或（此时点C在点A的左边）， 点表示的数为或， ∴或10； （3）解：设t秒后P、Q相遇．则有， ， ∴R运动的路程一共是．此时P、Q、R在同一点，所以点R的位置所对应的数是40． 【点睛】本题考查数轴上动点问题，涉及行程问题中的追及问题，解题的关键是理解题意，学会转化为相应的模型思考问题． 15．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为. 【问题情境】 如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为．点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动.设运动时间为秒（）. 【综合运用】 （1）填空：秒后，点运动的路程为______；点表示的数为______；（用含的代数式表示） （2）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长. （3）当点运动到点时立即掉头，速度不变，此时点和点分别从点和点出发，向左运动，点的速度为1个单位长度/秒，点的速度为5个单位长度/秒，设点、、所对应的数分别是、、，点出发的时间为秒，当时，求的值. 【答案】（1）；； （2）线段的长度不变，长度为7； （3）0 【分析】本题考查了数轴上两点的距离公式，线段的中点，以及线段的和差，找出线段之间的数量关系是解题关键，注意分类讨论． （1）根据题意，t秒后，点运动的路程为，点表示的数为； （2）分两种情况讨论：①当点P在线段上；②当点P在线段的延长线上时，根据线段的和差关系，结合线段中点分别求解即可； （3）当点P追上T的时间．当Q追上T的时间．当Q追上P的时间，推出当时，位置如图，利用绝对值的性质即可解决问题． 【详解】解：（1）根据题意，秒后，点运动的路程为；点表示的数为； 故答案为：；； （2）线段的长度不变，理由如下： ①当点P在线段上时， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴； ②当点P在线段的延长线上时， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴； 所以线段的长度不变，是7． （3）当点P追上T的时间， 当Q追上T的时间， 当Q追上P的时间， ∴当时，位置如图， ∴． 16．在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或秒． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是计算数轴上两点间的距离，进行分类讨论． (1)根据定义求值即可； (2)分线段在线段左侧和右侧两种情况求解； (3)根据点的运动方向和速度分情况讨论． 【详解】（1）解：（点，线段）， （点，线段）， 故答案为：，； （2）解：当线段在线段左侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 当线段在线段右侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 综上所述，或； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：(不符合题意)； 当时，点表示的数是，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时， 则有（线段，线段）； 综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒． ◆题型5 多动点问题 17．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 18．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动： ①求15秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A：，B：，C：4 (2)①点P与点B之间的距离为1；②不存在一个有理数m，使的值始终保持不变，理由见解析 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，数轴上的点表示数，数轴上点的移动等知识点，解决此题的关键是读懂题意用式子表示出每个点； （1）运用数轴上的点可以用有理数表示和数轴上两点间的距离公式即可得到答案； （2）①根据点的运动规律用有理数表示出运动后点表示的数，再运用数轴上两点间的距离公式即可得到答案； ②先根据点的运动规律表示出运动后点表示的数，根据两点间的距离公式用式子表示运动距离，再根据题意列出整式，根据项无关得到结果进行对比即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点从数轴原点开始，向左移动3个单位， ∴点表示的数为，再向右移7个单位， ∴点表示的数为，、C两点间距离为， ∴接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B，那么B点到A、C的距离均为， ∴点表示的数为， 即A：，B：，C：4； （2）解：①动点P从点C出发，速度为每秒个单位长度，运动15秒，移动的距离为， ∵表示的数为4， ∴表示的数为：，又B表示的数为， ∴点P与点B之间的距离为1， 动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由． ②由题意知，运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为， 则，， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 当时， ， 当时， 解得， ， 所以，不存在一个有理数m，使的值始终保持不变． 19．已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 【答案】(1)B表示的数为：5；C表示的数为 (2)①左；②6秒，此时点M表示的数为；③8秒，此时点M表示的数为； (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，有理数的四则运算： （1）根据数轴上两点距离计算公式得到点到原点的距离为，再由点A和点B不重合，点B表示的数为5，再用点B表示的数减去点C到点的距离即可求出点C表示的数，最后在数轴上表示出点A，点B，点C即可； （2）①设运动时间为t，由于，且点M的运动速度大于点N的运动速度，故只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度；②二者相遇前运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数；③二者相遇后运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数； （3）根据题意可得动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度，据此求出2024次运动后点P表示的数，再由第2025次点P是向左运动2025个单位长度进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点与点到原点的距离相等， ∴点到原点的距离为， ∵点A和点B不重合， ∴点B表示的数为5， ∵点在原点的左侧，且到点的距离为7， ∴点C表示的数为， （2）解：①设运动时间为t， ∵，且点M的运动速度大于点N的运动速度， ∴只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度， 故答案为：左 ②当M、N相遇前二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； ③当M、N相遇后二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； （3）解：有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从向右运动2个单位长度到点，第三次从向左运动3个单位长度到点，第四次从向右运动4个单位长度到点……， ∴动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度， ∴第2024次运动后点P向右运动个单位长度，即此时点P表示的数为， ∵第2025次点P是向左运动2025个单位长度， ∴表示的数为． 20．在数轴上点A在原点的左侧，点C在原点的右侧，点A距离原点2个单位长度，点C距离原点7个单位长度，点B表示的数是最小的正整数， (1)点A、B、C表示的数分别是：________，________，________； (2)点A与点B之间的距离为________，点A与点C之间的距离为________，点B与点C之间的距离为________； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，t秒钟过后，用含t的代数式分别表示点A与点B之间的距离，点A与点C之间的距离以及点B与点C之间的距离； (4)在（3）的条件下，若点B与点C之间的距离用BC表示，点A与点B之间的距离用AB表示，则的值是否随着时间t的变化而改变？若改变，请说明理由：若不变，请求其值． 【答案】(1)-2，1，7； (2)3，9，6； (3)点A与点B之间的距离为3t+3，点A与点C之间的距离为5t+9，点B与点C之间的距离为2t+6； (4)不变，12． 【分析】本题考查数轴、列代数式，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据题意，直接写出点A、B、C表示的数即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （3）用含t的代数式写出点A、B、C表示的数，再分别表示出这三个点两两之间的距离即可； （4）将和分别代入并化简，根据其结果是否含有t即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，得点A、B、C表示的数分别是：，1，7． 故答案为：，1，7． （2）解：点A与点B之间的距离为，点A与点C之间的距离为，点B与点C之间的距离为． 故答案为：3，9，6． （3）解：t秒钟后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴t秒后，点A与B之间的距离为，点A与C之间的距离为，点B与C之间的距离为． （4）解：∵， ∴， ∴的值不随着时间t的变化而改变，其值为12． ◆题型6 动点中的定值、无关问题 21．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．    (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)的值不会随着t的变化而变化，定值是2 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．正确的表示数轴上两点之间的距离是解题的关键． （1）由，可知在之间，则，，即，计算求解即可； （2）由题意知，，即，计算求解即可； （3）由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，根据，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴在之间，则，， ∴， 解得，， ∴x的值为1． （2）解：由题意知，， ∵， ∴，即，或， 解得或． （3）解：的值不会随着t的变化而变化； 由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不会随着t的变化而变化，定值是2． 22．如图，数轴上点、分别对应数、，其中，． (1)当，时，线段的中点对应的数是_________． (2)若该数轴上另有一点对应着数． ①当，，且时，求代数式的值； ②．且时，小明通过演算发现代数式是一个定值，老师点评：小明同学的演算发现还不完整！请你通过演算解释为什么“小明的演算发现”是不完整的？ 【答案】(1)2 (2)①2021；②见解析 【分析】（1）根据数轴上两点之间中点的表示方法，直接列式计算即可； （2）①用含a、b的代数式表示AM、BM，根据AM＝2BM列式求出a＋2b＝9即可解决问题； ②分两种情况进行解答，一种是m＜b时，另一种是m＞b时，分别根据AM＝3BM列式整理，即可得出答案． 【详解】（1）解：线段的中点对应的数是：， 故答案为：2； （2）①由m＝3，b＞3，且AM＝2BM， 可得3−a＝2（b−3）， 整理得：a＋2b＝9， 所以，a＋2b＋2012＝9＋2012＝2021； ②当a＝−3，且AM＝3BM时，需要分两种情形： Ⅰ：当m＜b时，则m−（−3）＝3（b−m）， 整理得：3b−4m＝3； Ⅱ：当m＞b时，则m−（−3）＝3（m−b）， 整理得：2m−3b＝3； 综上，小明的演算发现并不完整． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，根据数轴上的点表示的数，求两点间的距离和中点所表示的数等，当不知道点所在位置的时候，要注意分情况讨论，避免漏解． 23．阅读理解，并完成下列各题：对于数轴上任意一点P，把与点P相距b个单位长度是正数的两点所表示的数分别记作m和其中，并把m、n这两个数叫做“点P关于b的对称数组”，记作．例如：原点O表示数0，原点O关于2的对称数组是． (1)如果点P表示数2，那么点P关于4的对称数组是______； (2)如果，求出点P表示的数以及b的值； (3)如果点P、Q是数轴上的两个动点，两点同时从原点出发，点P在数轴上以每秒3个单位长度沿着数轴正方向运动，点Q在数轴上以每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动，已知，，经过t秒后，是否存在常数k，使得为定值？若存在，请求出k的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P表示的数是2026，的值是2023 (3)，定值为 【分析】（1）根据“对称数组”的定义，点P表示数2，与P相距4个单位的两点m、可通过“，”计算； （2）设点P表示的数为x，根据对称数组的定义，，，因此，，代入，即可求解； （3）先根据点P、Q的运动速度和时间t，表示出t秒后P、Q的位置，再结合“对称数组”的定义求出n和q，最后分析为定值的条件． 【详解】（1）∵点P表示数2， ∴，， 对称数组是； （2）∵， ∴点P表示的数， ∴； （3）秒后，点P表示的数为， 由，得， 点Q表示的数为，由， 得， 假设存在常数k，使得为定值： ， 要使为定值，则t的系数为0，即， 解得， 此时定值为． 【点睛】本题考查了数轴上的新定义“对称数组”，理解定义并结合数轴运动、代数运算求解，熟练掌握“对称数组”的定义是解题关键． 24．（1）如图1，点，，，为直线上从左到右顺次的四个点． ①直线上以，，，为端点的射线共有______条； ②若，，，点为直线上一点，则的最大值为______； （2）从图1的位置开始，点在直线上向左运动，点，在直线上向右与点同时开始运动，运动过程中的长度保持不变，，分别为，的中点（如图2）．在此过程中，请指出三条线段，，之间的数量关系（用一个等式表示）并说明理由； （3）如图3，点，，为数轴上从左到右顺次的三个点，点，表示的数分别为，，为中点．若，且，，求线段的长． 【答案】（1）①8；②9；（2）；（3）5 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，数轴上两点的距离计算，射线的条数问题： （1）①根据射线的定义进行求解即可；②分点P在点A左侧，点P在A、B之间，点P在点D右侧三种情况讨论求解即可； （2）如图所示，当点B在点C左边时，由线段中点的定义得到，，根据，推出，则；如图所示，当点B在点C右侧时，由线段中点的定义得到，，根据．推出则； （3）由题意可知，根据求出表示的数为，表示的数为，进而可知，，根据得到，整理即可. 【详解】解：（1）①由题意得，图中的射线有射线，共8条射线， 故答案为：8； ②∵，，， ∴， 如图所示，当点P在点A左侧时（包括A）， 如图所示，当点P在A、D之间时，， 如图所示，当点P在点D右侧时（包括B），； 综上所述，的最大值为9； 故答案为：9； （2），理由如下： 如图所示，当点B在点C左边时， ∵，分别为，的中点， ∴，， ∴ ， ， ∴； 如图所示，当点B在点C右侧时， ∵，分别为，的中点， ∴，， ∴ ， ， ∴； 综上所述，； （3）如图， ∵点，表示的数分别，， ∴， ∵， ∴， ∵表示的数为， ∴表示的数为， ∴表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 整理得， ∴． ◆题型7 数轴上的折叠运动问题 25．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．若数轴上点，分别对应数，．则点，两点之间的距离为． 如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数c；，且 (1) ， ， ； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合； (3)现有两个动点，同时从点，出发匀速运动，设运动时间为秒． ①若点、点分别以每秒个单位长度的速度和每秒个单位的长度的速度沿数轴均向左匀速运动．为何值时，点追上点． ②若点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求为何值时，点，相距个单位长度．并写出此时点，在数轴上表示的数． 【答案】(1)，， (2) (3)①为秒时，点追上点；②此时点、在数轴上表示的数分别为和或和 【分析】本题考查了数轴上两点距离，数轴的折叠问题，一元一次方程的应用； （1）根据非负数的性质求得的值，进而根据数轴在点的右侧，，求得点表示的数，即可求得的值，即可求解； （2）先求得折叠中点表示的数为，进而根据折叠的性质得折叠后与点重合的点表示的数，即可求解； （3）①根据题意得出秒后，点，表示的数分别为，根据点追上点，列出一元一次方程，解方程，即可求解； ②根据题意得出秒后，点，表示的数分别为，根据点，相距个单位长度，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵，且在点的右侧， ∴点表示的数为，则， 故答案为：，，． （2）解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴中点为 ∵点表示的数为， ∴折叠后与点重合的点表示的数为 故答案为：． （3）解：①依题意，秒后，点，表示的数分别为， ∴当点追上点时， 解得： ②依题意，秒后，点，表示的数分别为 当点，相距个单位长度时，或 解得：或 当时，点，表示的数分别为和 当时，点，表示的数分别为和 综上所述，点、在数轴上表示的数分别为和或和 26．翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．如图，纸面上有一数轴，现折叠纸面． (1)若表示的点与表示的点重合，则表示的点与___________表示的点重合． (2)若表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与___________表示的点重合； ②若假设纸张足够长，数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________． (3)若数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，请表示出此时折叠后与数表示的点重合的点（用含有，，的代数式表示）． 【答案】(1) (2)① ②， (3) 【分析】本题考查了轴对称的性质，数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数．解决本题的关键是根据数轴上两点表示的数表示出两点之间的距离． (1)根据表示的点与表示的点重合，可知对称点表示的数为，与表示的点关于原点对称的点表示的数是； (2)①根据两个对称点表示的数分别是和，可以求出对称点表示的数是，根据关于对称点对称的两个点到对称点的距离相等，求出表示的点关于对称的点表示的数； ②因为，两点之间的距离为，所以，两点到对称点的距离都是，因为点在对称点的左侧，可知点表示的数是，因为点在对称点的右侧，可知点表示的数是； (2)根据数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，再根据两个对称的点到对称点的距离相等求出的对称点表示的数． 【详解】（1）解：表示的点与表示的点重合， 对称点为， 折叠的时候折痕过数轴的原点， 表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：表示的点与表示的点重合， 对称点为， 到对称点的距离是， 与表示的点重合的点表示的数是； 故答案为：； ②解：数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且两点经折叠后重合， ，两点到对称点的距离为， 又对称点所表示的数是， 点表示的数是：， 点表示的数是：， 故答案为：，； （3）解：数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，， 对称点为， 当在对称点右侧时，到对称点的距离为， 则与对称的点表示的数为； 当在对称点左侧时，到对称点的距离为， 则与对称的点表示的数为； 综上所述，与数表示的点重合的点为. 27．如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题：如图2：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足． (1)______，______，______； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与表示数______的点重合； (3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟后． 请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； 探究：若点A，C向右运动，点B向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，，； (2)； (3)不变，； t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为； ，； 当A、B重合时，，解得， 当A在B的左侧，即时，， ， 的值随时间t的变化而变化； 当A在B的右侧或A与B重合，即时，， ； 综上，当时，的值随t变化；当时，的值不变，为． 【分析】（1）根据最大的负整数是，绝对值和偶次方具有非负性可求解； （2）先求出数轴沿着表示1的数对折，即可求出点B关于表示3的数重合； （3）①先表示出t秒后A、B、C表示的数，然后分别求出，，再代入计算即可得出结论； ②先表示出t秒后A、B、C表示的数，然后分别求出，，然后分A在B的左侧，A在B的右侧讨论，再代入计算即可得出结论． 【详解】（1）解：是最大的负整数， ， ， 则，， 解得：，， 故答案为：，，； （2）点表示，C点表示5，折叠后A与C重合， ， 数轴沿着表示数1的点对折； 设点与表示数x的点重合，则， 解得：， 故答案为：； （3）①t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为； ，； ， 的值不变． ②略 【点睛】本题主要考查了绝对值、数轴及两点间的距离，整式的加减，解一元一次方程，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． 28．已知数轴上有、两点，分别表示有理数，，且，满足式子，动点（对应数，速度单位/秒）、（对应数，速度单位/秒）． (1)动点从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发，经过几秒、相遇？相遇点对应数为多少？ (2)已知点表示，若，求此时与的距离． (3)从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发秒（），当时，沿数轴折叠使与重合，求折叠后的对应点（对应数的值）． 【答案】(1)经过3秒相遇，相遇点对应数为5 (2)4或 (3) 【分析】（1）先通过非负数性质求出、，再根据相遇时、的路程和等于、距离列方程求时间，进而求相遇点； （2）根据列绝对值方程，分情况解出对应的数，再计算与的距离； （3）先表示秒后、的位置，结合、表示、，根据列方程求，再求折叠点，进而得． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴的距离：， 设经过秒、相遇，由题意得， 解得， 相遇点对应数：； （2）解：， 由，得， 当时，， 解得， 与的距离：； 当时，， 解得， 与的距离：； 当时：， 解得（舍去） 综上，与的距离为或． （3）解：秒后，对应数：，对应数：， ，， 由，得， 当时，， ， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，， ， ∴或 解得（舍去）或（舍去）， 当时，， ， ∴或， 解得，（舍去）， 此时对应数：， 折叠点（、中点）：， 设对应数为，则， 解得． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值与平方的非负性、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点间距离的表示方法，结合动点运动规律列方程求解是解题的关键． ◆题型8 几何图形在数轴上的运动问题 29．【新知理解】 如图①，点C在线段上，若，则称点C是线段的圆周率点，线段、称作互为圆周率伴侣线段． （1）若，则______； （2）若点D也是图①中线段的圆周率点（不同于点C），则_____；（填“”或“”） 【解决问题】 （3）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．若点M、N是线段的圆周率点，则的长_______； （4）图②中，若点D在射线上，且线段与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数． 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）点D所表示的数为或或或． 【分析】（1）本题考查对圆周率伴侣线段的理解，以及线段的和差，根据题意算出，再利用，即可解题． （2）本题考查对圆周率伴侣线段的理解，以及线段的和差，根据线段的和差得到、，再结合等量代换，即可解题． （3）本题考查数轴上两点之间的距离，以及对圆周率伴侣线段的理解，利用圆的周长公式以及轴上两点之间的距离，算出，根据点M、N是线段的圆周率点，分情况讨论，①当点M、N重合时，②当点M、N不重合时，结合（2）问中的数量关系，以及线段的和差，进行分析，即可解题． （4）本题考查数轴上两点之间的距离，线段的和差，以及对圆周率伴侣线段的理解，根据点D在射线上，且线段与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，分以下两种情况讨论，①点D在点左侧，有或，②点D在点右侧，有或，根据以上情况进行分析，即可解题． 【详解】（1）解：，， ， ， 故答案为：． （2）解：点D也是图①中线段的圆周率点（不同于点C），、 ， ， ， ， 同理可得， ， 故答案为：． （3）解：圆片的直径为1个单位长度， ， 若点M、N是线段的圆周率点， ①当点M、N重合时，， ②当点M、N不重合时， 有，（或点M、N交换位置，但的长不变）， 由（2）同理可得， ，解得， 同理可得， ， 综上所述，的长为或； 故答案为：或． （4）解：点D在射线上，且线段与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段， ①点D在点左侧， 或， 当时，由（2）同理可得， ， 点D所表示的数为， 当时，由（2）同理可得， ， 点D所表示的数为， ②点D在点右侧， 或， 当时，， ， ， 点D所表示的数为， 当时， ， ， 点D所表示的数为， 综上所述，点D所表示的数为或或或． 30．如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径． (1)把圆片沿数轴向左滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是______； (2)把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是______； (3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：+2，﹣1，+3，﹣4，﹣3． ①第______次滚动后，A点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，A点运动的路程共有多少？此时点A所表示的数是多少？ 【答案】(1)-π (2)±4π (3)①3；②A点运动的路程共有26π，此时点A所表示的数是-6π 【分析】（1）根据向左运动做减法求解； （2）分向左或向右运动两种情况求解； （3）①逐次求解，再比较大小求解；②把这些数的绝对值求解，再乘以周长，求出路程，把这些数求和，再乘以周长得出到原点距离． 【详解】（1）解：0-π=-π， 故答案为：-π； （2）若向左滚动，0-4π=-4π， 若向右滚动，0+4π=4π， 故答案为：±4π； （3）①|2|=2，|2-1|=1，|1+3|=4，|4-4|=0，|0-3|=3， 0＜1＜2＜3＜4， 故答案为：3； ②（|+2|+|-1|+|+3|+|-4|+|-3|）×2π=26π， +2-1+3-4-3=-3， 3×2π=6π， 答：A点运动的路程共有26π，此时点A所表示的数是-6π． 【点睛】本题考查了数轴和正负数，圆的周长公式是解题的关键． 31．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为；点A与点B在数轴上的“友好距离”为21个单位长度，并表示为，以此类推． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度．动点P从点A出发运动至点D的过程中，某个时刻满足，此时动点P运动的时间是_______．    【答案】14.5或19.5秒 【分析】本题考查了数轴动点问题，确定满足时，点P所在的位置是解题的关键．分点P在上和点P在上两种情况进行讨论求解，设P点所对应的数为x，根据，求出x的值，再根据点P的运动速度，求出相应的运动时间． 【详解】解：设P点所对应的数为， ①当点P在上， ∵，， 又∵， ∴， 解得，， ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度运动，点A表示， ∴动点P从点A到点O，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点O与点B之间时，速度为1个单位长度/秒， ∴动点P运动从点O运动到10时，所用时间为（秒）， ∴满足，此时动点P运动的时间是（秒）； ②当点P在上， ∵，， 又∵， ∴， 解得，， ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度运动，点A表示， ∴动点P从点A到点O，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点O与点B之间时，速度为1个单位长度/秒， ∴动点P从点O运动到B时，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点B与点C之间时，速度为6个单位长度/秒， ∴动点P从点B运动到C时，所用时间为（秒）， ∴动点P从点C运动到26时，所用时间为（秒）， ∴满足，此时动点P运动的时间是（秒）； 综上，满足，此时动点P运动的时间是14.5秒或19.5秒． 故答案为：14.5或19.5秒． 32．正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D表示的数分别为 和，若正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则在数轴上与数2026对应的是（   ） A．点D B．点C C．点B D．点A 【答案】D 【分析】本题考查了用点来表示数轴上的有理数，规律探究，正确理解正方形转动的规律是解题的关键．利用已知，找到循环规律，然后看对应的数2026的是谁即可． 【详解】解：正方形在数轴上点对应的数分别为， 正方形的边长为1， 转动时点对应的数依次为； 点对应的数依次是 点对应的数依次是 点对应的数依次是 ， 2026对应的是第507次循环后的点． 故选：. ◆题型9 新定义类运动问题 33．定义：已知点是线段上的一个点，若点到线段两个端点的距离之比为 ，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是5． (1)求点、之间的距离； (2)求线段的“理想点”表示的数； (3)点是线段上一点，将线段沿点向右折叠，使点的对应点仍落在数轴上，若点、、三点中，其中一点是另外两个点所连线段的理想点，直接写出此时点表示的数． 【答案】(1)20 (2)或1 (3)或或 【分析】本题主要考查了新定义问题，数轴上两点之间的距离，解绝对值方程等知识． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （2）设“理想点”P表示的数为x，分两种情况当时和当时，根据“理想点”的定义列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． （3）设点Q表示的数为q，然后分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：点M、N之间的距离为. （2）解：设“理想点”P表示的数为x， 当时， ， ， ； 当时， 综上，P表示的数为或1； （3）解：设点Q表示的数为q， 分两种情况讨论“理想点”： 情况1：当时，, 当是M、N的理想点， 即，即， 解得， 当，即 解得. 情况2：当时， N是、M的理想点， 当， 即， 解得 综上：点Q表示的数为或或． 34．综合与实践 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究． 定义：点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． (1)观察判断 如图1，点为线段的“优点”． ①若，则__________________； ②若点也是线段的“优点”（不同于点），则________________（填“=”或“”）； (2)性质探究 如图2，在原点为的数轴上有E，F两点，其中点表示的数为1，F点表示的数为4．若点在点的左侧，且M，N均为线段的“优点”，求线段的长； (3)拓展应用 在（2）的探究中，若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，请直接写出点表示的数． 【答案】(1)①18；② (2) (3)5.5或10 【分析】本题考查数轴相关知识点，线段之间的数量关系，用数轴上点表示有理数，解答本题需要分类讨论多种情况，解题的关键是读懂题中“优点”，“优点”伴侣线段的定义． （1）①由即可求解；②利用“优点”定义求出即可； （2）根据点M在N左侧，再由“优点”定义求解即可； （3）根据点G在线段的延长线上，可得出或，求解即可． 【详解】（1）解：①∵点C为线段的“优点”，， ∴， ∴， 故答案为：18； ②如图， ∵点D是线段的“优点”（不同于点）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵点表示的数为4， ∴， 当点在点左侧时，则，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵点E表示的数为1，点F表示的数为4， ∴， 线段互为“优点”伴侣线段时，有或， 当时，， ∴点表示的数为， 当时，， ∴点表示的数为10， 综上，点表示的数为或10． 35．定义：已知点，，为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：． 应用： 如图有一条数轴，、、为数轴上三点，分别对应，，． (1)①、两点之间的距离是__________； ②求的值； (2)若点在数轴上且，求点表示的数； (3)若点是数轴上一点，且，直接写出点表示的数． 【答案】(1)①8；②4； (2)2 (3)3或11 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，理解题中定义和分类讨论是解答的关键． （1）①根据两点之间的距离即可求解；②根据新定义，求得即可求解； （2）根据新定义得到点C为的中点，进而求解即可； （3）根据新定义分两种情况：点D在线段上和点D在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）解：①∵、、为数轴上三点，分别对应，，． ∴、两点之间的距离是， 故答案为：8； ②由数轴知， ∴，则； （2）解：∵点C在数轴上且， ∴，则点C为的中点， ∴点C表示的数为； （3）解：因为D是数轴上一点，且，所以． 因为点A表示的数为，点B表示的数为5，所以． 当点D在点A，B之间时，点D表示的数为； 当点D在点B的右边时，点D表示的数为． 所以点D表示的数为3或11． 36．定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为，0，2，满足，此时点B是点A，C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示． (1)A，B，C三点中，点 是点M，N的“倍分点”； (2)若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数是 ； (3)若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，求此时点P表示的数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了数轴结合新定义“倍分点”，正确理解“倍分点”的含义是解决问题的关键. （1）利用“倍分点”的定义即可求得答案； （2）设D点对应的数值为，利用“倍分点”的定义，分两种情况讨论即可求出答案； （3）利用“倍分点”的定义，结合点在点的右侧，分两种情况讨论即可求出答案. 【详解】（1），， ， ∴点是点的“倍分点”； 故答案为：； （2）解：， 设点对应的数值为， ①当时，， ， 解得：或； ②当时，， ， 解得：或； 综上所述，则点对应的数分别是,， 故答案为：； （3）解：， 当时，， ∵点在点的右侧， ∴此时点表示的数为， 当时，， ∵点在点的右侧， ∴此时点表示的数为， 综上所述，点表示的数为或． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，数轴上点表示的数为，点，（不与重合）到0对应的点的距离相等，点，（不与重合）到1对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到2对应的点的距离相等，点，（不与重合）分别到3对应的点的距离相等，……，按此规律，点表示的数为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的概念，两点间的距离公式及找规律进行归纳推理． 【详解】解：由题意知，∵数轴上点表示的数为，且，分别到0对应的点的距离相等，先根据数轴上两点到某点距离相等的性质求出前几个点所表示的数，再分析这些数的规律，最后根据规律求出表示的数． ∴， 即点表示的数为2， 依此类推，点表示的数为0，点表示的数为4，点表示的数为2，点表示的数为6，点表示的数为4，…， ∴点（n为正整数）表示的数为：，点（n为正整数）表示的数为， ∴当时，，即点表示的数为． 故选：B． 2．如图，数轴上点表示，点表示，动点，分别从，同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度向射线AB方向运动，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点．以下结论：①；②当时，；③，两点之间的距离不会随着的变化而变化．其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查数轴，动点的表示方法，线段长度的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，可以用含的代数式表示出所对应的数，然后逐项判断即可． 【详解】解析：点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ①，， ∴，正确，①符合题意； ②，， 当时， 或20； 故②不符合题意； ③， 故正确，③符合题意． 故答案为：B． 3．如图，在数轴上点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，则线段的长度是_________． 【答案】60 【分析】本题主要考查利用数轴探求规律的问题，可以结合每次移动的距离得到序数相邻的两个点之间的距离，由最简单的开始分析可得规律； 根据点的每次移动的方向和移动的距离，可以得到则；；；；；根据每次数字的变化规律，可以得到这个距离是3的倍数，即字母的最大序数乘以3，由此可以得到的长度. 【详解】解：第1次点A向左移动3个单位长度至点，则； 第2次从点向右移动6个单位长度至点，则； 第3次从点向左移动9个单位长度至点，则； 第4次从点向右移动12个单位长度至点，则； 第5次从点向左移动15个单位长度至点，则； …… 所以第20次移动后得：. 故答案为：60. 4．如图，嘉嘉在纸片上画了一条不完整的数轴，折叠纸片，使数轴上表示的点与表示3的点重合，若该数轴上两点之间的距离是10，按上次折痕折叠之后也互相重合，则点表示的数为_______． 【答案】6或/或6 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数等知识．根据数轴上表示的点与表示3的点重合得到从表示1的点处折叠，根据数轴上两点之间的距离是10得到点P到表示1的点的距离是5，即可得到点表示的数为6或． 【详解】解：因为轴上表示的点与表示3的点重合， 所以是从表示1的点处折叠， 因为数轴上两点之间的距离是10， 所以点P到表示1的点的距离是5， 所以点表示的数为6或． 故答案为：6或． 5．如图，在数轴上，点表示，现将点沿轴做如下移动：第一次点向左移动个单位长度到达点，第二次将点向右移动个单位长度到达点，第三次将点向左移动个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，如果点与原点的距离等于，那么的值是_____． 【答案】14或15/15或14 【分析】本题考查数字的规律．根据题意，将n分为奇数和偶数进行规律探寻，求出对应的点，故而可得答案． 【详解】解：由题意可得， 第n次移动后的点表示的数可表示为： n为奇数时：，点在原点左侧； n为偶数时：，点在原点右侧； ∵点与原点的距离等于15， ∴当为奇数时，，解得，； 当为偶数时，，解得． 故答案为：14或15． 6．数轴上点的初始位置表示的数为1，将点做如下移动：第1次点向左移动3个单位长度至点，第2次从点向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离不小于，那么的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律以及数轴上点的距离，根据题意，找到数轴上点所对应的数的变化规律，是解题的关键． 由题意得：序号为奇数的点在点的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点的右侧，各点所表示的数依次增加3，找出规律即可． 【详解】解：第1次点向左移动3个单位长度至点，则表示的数； 第2次从点向右移动6个单位长度至点，则表示的数为； 第3次从点向左移动9个单位长度至点，则表示的数为； 第4次从点向右移动12个单位长度至点，则表示的数为； 表示的数是，表示的数是， ∵， ∴令， 当为奇数，即时，点表示的数为， 由， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为，此时； 当为偶数，即时，点表示的数为， 由， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为，此时， 综上，满足条件的的最小值为． 故答案为： 7．阅读材料并回答问题： 对于数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离之间恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点A，B，C表示的数分别为1，3，4，点B与点A的距离是2，点B与点C的距离是1，此时，点B是点A，C的“关联点”． (1)若点P表示，点Q表示4．，0，2，6对应的点分别是，则其中哪几个点是点P，Q的“关联点”？ (2)点M表示的数是，点N表示的数是15，P为数轴上一个动点．若点P在点N的左侧，且点P是点M，N的“关联点”，则点P表示的数是___________． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． （1）根据“关联点的定义进行判断即可； （2）根据“关联点的定义得出关于点表示数的方程，再据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知，因为，，且不是的倍，所以点不是点，的”关联点； 因为，，且是的倍，所以点是点，的”关联点； 因为，，且是的倍，所以点是点，的”关联点； 因为，，且不是的倍，所以点不是点，的”关联点； 所以、是点P，Q的“关联点”； （2）解：设表示的数为，点在点的左侧，则， ∴，， 点是点，的“关联点”，分两种情况讨论： ①当时，即， 则或， 解得：或； ②当时，即， 则或， 解得：或（舍去）； 综上所述：点表示的数是或或． 故答案为：或或． 8．如下图，已知数轴上两点对应的数分别为为数轴上的一个动点，其对应的数为． (1)若点P到点A，B的距离相等，则x的值为_________． (2)若将数轴折叠，使A，B两点重合，则表示的点与表示__________的点重合． (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2025（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（2）中的方式折叠后互相重合，求M，N两点表示的数． 【答案】(1) (2) (3)点对应的数为，点对应的数为 【分析】本题主要考查了数轴上的点以及数轴上两点之间的距离，解题的关键是列出方程，解方程． （1）根据两点之间的距离公式，列出关于的方程，解方程即可； （2）先求出折叠点表示的数为，再设与表示的点重合的点为数，进而有，解方程即可； （3）设点表示的数是，则点表示的数是，列出关于的方程，解方程即可得出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：点到点的距离相等， ， 解得：． （2）解：将数轴折叠，使两点重合， 折叠点表示的数为． 设与表示的点重合的点为数， 则即， 解得：， 所以表示的点与表示的点重合． （3）解：设点表示的数是，则点表示的数是， 两点经过（2）中的方式折叠后互相重合 即 解得： 点对应的数为，点对应的数为 9．对于数轴上的一点和线段（点不与点、点重合），给出如下定义：若点满足，则称点为线段的“偏移对称点”．已知数轴上、两点表示的数分别是、，且． (1)当时， ①若点表示的数分别为，则点是线段B的“偏移对称点”； ②已知点为数轴原点，点是数轴负半轴上的一个动点，若线段上存在一点，使得点是线段的“偏移对称点”，则线段长度的最小值为______； (2)对于数轴上的任意两点、（点在点的左侧），且，总存在线段，使得线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”，求的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】本题考查了数轴上动点问题，线段的和差计算； （1）先分析定义，得出当在之间时，不满足；当在点的左侧时，满足；当在点的右侧时，满足； ①将点表示的数分别为，分别求得到的距离，进而结合定义进行判断，即可求解； ②根据在点的左侧，则得出的最小值为，进而得出点表示的数，即可得出长度的最小值； （2）分情况讨论，设是上的任意一点，当在点的左侧时，得出的最小值为，的最大值为，当在点的右侧时，得出的最小值为，的最大值为，进而根据线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”，进而求得的范围． 【详解】（1）解：∵数轴上、两点表示的数分别是、，且，则点在点的左侧， 当在之间时，不满足； 当在点的左侧时，， 设，则， ∵ ∴ ∴即 当在点的右侧时， 设，则 ∵ ∴ ∴即 ∵ ∴点表示的数为，点表示的数为， ①点表示的数分别为， ∵，则在之间，不合题意， ∵在左侧，，，满足 ∴是线段的“偏移对称点”； ∵在点的右侧，，，满足 ∴是线段的“偏移对称点”； 故答案为：，．     ②∵为数轴原点，点是数轴负半轴上的一个动点， 线段上存在一点，使得点是线段的“偏移对称点”， ∴在点的左侧，则 ∴当时取得最小值，此时点表示的数为 ∴长度的最小值为 故答案为：． （2）解：当在点的左侧时，如图所示，设是上的任意一点，则 ∴ 即，即的最小值为，的最大值为， ∵线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”， ∴ ∵， ∴ ∴； 当在点的右侧时，如图所示，设是上的任意一点，则 ∴ 即，即的最小值为，的最大值为， ∵线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”， ∴ ∵， ∴ ∴； 综上所述： 10．【问题提出】同学们在解决数学问题的时候，我们往往运用分类讨论来解决问题的多种情况，如此题．例如若有，求的值．在解决此题时，我们可以进行以下思考： ①当时，此时可以解得 ． ②当时，此时可以解得 ． 【知识迁移】 仿照上面的分析思路，解决下面两个问题 （1）如图，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为，2，1，请在数轴上标出线段的中点D，并写出D的所代表的数；若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求线段的长． （2）如图，有公共端点P的两条线段、组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为 ． 【答案】问题提出：①7；②；知识迁移：（1）数轴见解析，D表示，或8；（2）4或28 【分析】问题提出：根据绝对值的意义进行求解即可； 知识迁移：（1）根据中点公式求出点D表示的数，并表示在数轴上即可；设点E表示的数为，根据题意得：，求出点E表示的数为7或，求出或； （2）分两种情况进行讨论：当点D在上时，当点D在上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：问题提出：①当时，，解得：； ②当时，，解得：． 故答案为：①7；②． 知识迁移：（1）∵点A，B在数轴上对应的数分别为，2， ∴的中点D所表示的数为：，点D在数轴上的数，如图所示：． 设点E表示的数为，根据题意得：， 解得：或， ∴点E表示的数为7或， ∴或， ∴或8． （2）当点D在上时，如图所示： ∵点E为线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D在上时，如图所示： ∵点E为线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上分析可知，或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了线段中点的有关计算，绝对值的意义，线段上两点间的距离，用数轴上点表示有理数．解题的关键是数形结合，并注意进行分类讨论． 11．综合与与实践 数学活动课上，老师拿出两个单位长度不同的数轴甲和数轴乙模型，如图，当两个数轴的原点对齐时，数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐．    思考解答下列问题: (1)如图中，数轴乙上表示的点与数轴甲上表示 的点对齐； (2)将图中的数轴乙向左移动，使得数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐，如图，    此时数轴甲上表示的点与数轴乙上表示 的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点与数轴甲上表示 的点对齐； (3)若数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点对齐，数轴乙上距离原点个单位长度的点记作点，数轴甲上与点对齐的点记作点，求点表示的数． 【答案】(1)； (2)，或； (3)或． 【分析】（）根据题意可知数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度，据此求解即可； （）先求出数轴甲上表示的数与的距离，再根据数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度进行求解即可；求出数轴乙上距离原点个单位长度的点在数轴甲上距离的距离即可得到答案； （）要求乙轴对应甲轴的数，即要先求出乙轴上到对齐点的距离在甲轴上表示的是多少，同理，要求甲轴对应乙的数，即要先求出甲轴上到对齐点的距离在乙轴上表示多少，据此求解即可； 此题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，整式的加减计算，正确理解题意熟知数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度是解题的关键． 【详解】（1）∵数轴甲上表示的点与数轴乙上表示的点恰好对齐， ∴数轴乙上的个单位长度在数轴甲上表示个单位长度， ∴数轴乙上表示的点与数轴甲上表示的点对齐， 故答案为： ； （2）∵数轴乙的原点与数轴甲表示的点对齐， ∴数轴甲上表示的点与相距个单位长度，则在数轴乙上表示的点对齐； ∴数轴乙上距离原点个单位长度的点在数轴甲表示： 的点对齐， 的点对齐， 故答案为；；或； （3）由题意得： 当在数轴乙原点左侧时，即表示的数为， ∴与表示的点的距离为， 则点表示的数； 当在数轴乙原点右侧时，即表示的数为， ∴与表示的点的距离为， 则点表示的数， 综上可知：点表示的数为或． 12．综合与实践 已知数轴上A、B两点所表示的数分别为和9．    (1)观察发现： 直接写出线段__________． (2)情境探究： 情境①：当点P为线段的中点时，且M为的中点，N为的中点，请你借助直尺在图1中画出相应的图形，并写出线段__________； 情境②：当点P为线段AB上的一个动点时，如图2，且M为的中点，N为的中点，试通过计算判断的长度是否发生变化？ (3)迁移类比： 当点P为数轴上点A左侧的一个动点时，如图3，且M为的中点，N为的中点，直接写出线段的长． 【答案】(1)12 (2)情境①：图见解析，6；情境②：的长度不变． (3)6 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的中点，理解中点的定义是解答本题的关键． （1）根据两点间的距离求解即可； （2）情境①：先根据点P为线段的中点求出，再根据M为的中点，N为的中点求出，，然后相加即可； 情境②：根据M为的中点，N为的中点求出，，然后相加即可； （3）根据中点的定义得，，然后根据求解即可． 【详解】（1）． 故答案为：12； （2）情境①：如图，    ∵点P为线段的中点， ∴． ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴． 故答案为：6； 情境②：∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴． ∴， ∴的长度不变； （3）∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴． 13．A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)2，； (2)或； (3) 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以，所以； 点P在点B的是右侧时，，所以； （3）解：MN长度不变且长为5． 理由如下：当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图，    同理可得：； 综上：． 14．如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为，3，点P是射线上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点． (1)若点P表示的有理数是0，那么的长为___________；若点P表示的有理数是6，那么的长为___________． (2)点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请写出求的长的过程；若改变，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不会，的长为定值 【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据题意求出的长度，根据三等分点的定义求出的长度，即可得到答案； （2）分及两种情况分类讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：若点P表示的有理数是0， 根据题意可知：， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 若点P表示的有理数是6， ， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 故答案为：；； （2）解：的长不会发生改变； 设点表示的有理数为（且）， 当时，，， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 当时，，， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 综上所述，点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长不会发生改变，长是定值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $