专题02 代数式规律探究（4题型突破·举一反三）（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 以“模型建构-题型突破-素养提升”为主线，系统整合代数式规律四大题型，提炼可迁移的解题方法论，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |纯数字数列规律|4典例+6变式|八大基础数列模型+四步解题法（标序号-判模型-拆元素-双验证）|从基础数列（等差、平方等）到符号与数值分离，构建“特征识别-公式匹配”逻辑链| |分数型规律|3典例+3变式|分子分母符号三分离技巧|延续数列分析框架，强化多元素分步拆解能力，渗透分类讨论思想| |图形规律|5典例+7变式|图形数字化转化法（数前3个数量→套数列模型）|实现“图形直观→数字抽象→代数表达”转化，培养几何直观与模型意识| |等式排列规律|3典例+3变式|横向对位法（固定位置不变量+变量n替换）|通过式子结构分析，深化符号意识与规律归纳能力，衔接代数推理|

专题02 代数式规律探究（4题型突破·举一反三） 题型01 纯数字数列规律（基础必考） 题型02 分数型规律（高频中档题） 题型03 图形规律（火柴棒、点阵、正方形，压轴常考） 题型04 等式排列规律（式子规律） ▌题型01 纯数字数列规律（基础必考） 八大基础数列万能模型 说明：n 代表第n项，n=1、2、3……正整数，所有复杂规律均可由基础模型变形而来。 数列类型 经典实例 通用通项公式 核心特征 等差数列 2，4，6，8…… 相邻两项差值固定（d为公差） 自然数数列 1，2，3，4…… 依次递增1 奇数数列 1，3，5，7…… 公差为2的等差数列 偶数数列 2，4，6，8…… 公差为2的等差数列 平方数列 1，4，9，16…… 数值增长速度快 平方变形1 2，5，10，17…… 平方数加1 平方变形2 0，3，8，15…… 平方数减1 正负交替数列 -1，2，-3，4……1，-2，3，-4…… 第一项为负用前者，第一项为正用后者 通用解题步骤 1.标序号：将数列每一项与n=1、2、3……一一对应； 2.判模型：看相邻差值（等差）、增长幅度（平方）、符号变化（交替）； 3.拆元素：符号、数值单独推导； 4.写通式+双验证：写出代数式，代入n=1、n=2校验。 【典例1-1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）有一组数：0，，8，，24，，…根据你所探索的规律第20个数是______． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】根据所给各数，发现其变化规律即可解决问题． 【详解】 解：由题知，第奇数个数为正数除外，第偶数个数为负数； 各数的绝对值依次可表示为：…， 所以第n个数可表示为：， 当时，第20个数是：， 故答案为：． 【典例1-2】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）将奇数，，…按图所示进行排列，各列分别用、、、、表示，则所在的行、列分别为（     ） A．行列 B．行列 C．行列 D．行列 【答案】D 【详解】解：由题意可知，奇数排列从列开始到列，再从列到列结束，每个奇数位置循环出现， 另第一个数字为，第个数字为，第个数字为， 则第个数字为， 是第个式子， 则， （行）， 可知在行列，选项符合题意． 【典例1-3】（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）位同学坐成一排，从左往右依次编号，，，，，第一次老师让编号是双数的同学站起来，然后余下的同学再从左往右编号，，，，第二次老师又让编号是双数的同学站起来，如此重复做了次后，共有（     ）位同学站着． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：初始人数为， 第一次剩余：（人）， 第二次剩余：（人）， 第三次剩余：（人）， 第四次剩余：（人）， 第五次剩余：（人）， 则站着的总人数为：（人）． 【典例1-4】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）现有一列数：，，若，且，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴当时， ，即， 又∵， ∴， 当时， ，即， 又∵， ∴， 当时， ，即， 又∵， ∴， 当时， ，即， 又∵， ∴． 【变式1-1】（24-25七年级上·河南鹤壁·期中）观察一列数：，4，，16，，64，，256，…将这列数排成如图所示的形式，则第10行第8个数是（   ） 4      16   64    256   … A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由排列规律可得，第行有个数. ∵第1行有个数，第2行有个数，，第9行有个数， ∴前9行数字的总个数为 ， ∴第10行第8个数是原数列的第个数， 观察原数列可得，第个数的绝对值为，为奇数时符号为负，为偶数时符号为正. ∵是奇数， ∴第10行第8个数为． 【变式1-2】（25-26七年级上·福建漳州·期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法（如图1）进行速算．图2表示的“竖式”，则的值为（   ） A．25 B．21 C．22 D．26 【答案】B 【详解】解：最上层的四个数字自左到右依次十位数字平方得到的两位数，个位数字平方得到的两位数，平方不是两位数时，十位数字用0补齐位； 中间行的数字是最右边一个空出来，计算十位数字与个位数字积的2倍，把结果的个位数字写在空格后的最右边空里，依次向左写， 故 故． 【变式1-3】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）如图所示，将部分偶数依顺序排列成三角形数阵，从上到下称为行．图中数6为第2行、从左向右第2个数；数为第4行、从左向右第3个数，那么第7行、从左向右第4个数为________． 【答案】 【详解】解：由题意得，第1行有1个偶数，第2行有3个偶数，第3行有5个偶数，第4行有7个偶数， ∴第5行有9个偶数，第6行有11个偶数， ∴前6行偶数的个数为， ∴从2开始的第36个偶数绝对值为， 又∵第6偶数行的最后一个数为负数， ∴第6行的最后一个数为， ∴第7行的数分别为74，，78，， ∴第7行左起第4个数为． 【变式1-4】（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）数字游戏：第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步：算出的各位数字之和得，再计算得以此类推，___． 【答案】26 【分析】分别计算出，，，，，的值，观察规律，再计算即可． 【详解】解：根据题意有， ，， ，， ，， ，， ，， ，， …， 则该数列是以26，65，122这三个数循环出现， ∵， ∴． 【变式1-5】（25-26七年级上·四川成都·期末）设一列数，，，，中任意三个相邻数之和都是15，已知，，，那么_____． 【答案】4 【详解】解：∵任意三个相邻数之和都是15， ∴，， 两式相减得， ∴数列周期为3． ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴， ， ， ． ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 【变式1-6】（24-25七年级上·云南·阶段检测）我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数，，，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)若数列，，，，，，是理想数列，则 ， ； (2)若数列，，，，是理想数列，求代数式的值． 【详解】（1）解：由题意可知，， 又， 相邻的三个数，，符合规律， ； （2）解：数列，，，，是理想数列， ， 即， ． ▌题型02 分数型规律（高频中档题） 核心技巧口诀：分子一套规律，分母一套规律，符号单独一套，最后整体合并。 【典例2-1】（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）观察这一列数：，根据它们的排列规律写出第6个数是___________． 【答案】 【详解】解：观察数列可得排列规律： 符号规律：第奇数个数为负，第偶数个数为正， 分子规律：第个数的分子为， 分母规律：第个数的分母为， 第个数位于偶数位置． 符号为正．分子为．分母为． 第个数为． 【典例2-2】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，我们把称为的“差倒数”，如：2的“差倒数”是，的“差倒数”是．若，是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，…，依此类推，则的值是(     ) A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴ ∴该数列以三个数为一个周期循环 ∵，刚好整除 ∴ 故选：C． 【典例2-3】（2026七年级上·吉林长春·专题练习）数形结合是一种重要的数学方法，许多重要的计算转化成图形后，非常奇妙而简单，观察下表： (1)图表中表示的数值是___________； (2)根据你的观察，猜想：______________________ (3)你能猜想下列式子的值吗？ ①； ②． 【详解】（1）解：图表中A表示的数值是：； （2）解：根据图形面积得出：； （3）解：① ； ②． 【变式2-1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知，，，，则________ ． 【答案】 【详解】解：由题知， 所给各数的分子依次为3，5，7，9，…， 所以第n个数的分子可表示为； 所给各数的分母依次为2，5，10，17，…， 所以第n个数的分母可表示为， 又因为第奇数个数为负数，第偶数个数为正数， 所以第n个数可表示为：； 当时， ． 【变式2-2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）类比裂项相消： (1)猜想： ； (2)计算： ① ② 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ∴； （2）解：① ； ② ． 【变式2-3】（25-26七年级上·广东茂名·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过把抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化．如图，数学活动课上，小颖将一张面积为2的长方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推． 认真观察图形，解答下列问题： (1)图中阴影部分的面积为______（直接写出答案）； (2)______（直接写出答案）； (3)请类比（2），求的值． 【详解】（1）解：由题意，得：①的面积为，②的面积为，③的面积为：，， ∵阴影部分的面积与⑥的面积相同， ∴阴影部分的面积为． （2）解：因为的和可以看作（1）中大长方形的面积减去阴影部分的面积， 所以． （3）解：类比（2），将面积为1的长方形纸片分割成2026份，每次分割后，最小部分的面积都是前一次分割后的最小部分面积的一半，故第2025次分割后最小块的面积为，所以原式等于总面积1减去第2025次分割后最小块的面积，即 ． ▌题型03 图形规律（火柴棒、点阵、正方形，压轴常考） 核心思路：图形数字化，数出前3个图形的对应数量，转化为纯数列，直接套用基础模型。 分类突破 1.等差累加型（最常考）：每次增加固定数量，对应等差数列 示例：火柴摆图形，第1个4根，第2个7根，第3个10根 公差d=3，首项a₁=4，通项： 2.平方增长型：数量增长越来越快，出现1、4、9、16等数字，优先套用及变形公式。 避坑关键：不看图猜规律，列表记录「图形序号n—对应数量」，数据说话零失误。 【典例3-1】（25-26七年级上·江西赣州·期末）如图是用火柴棍拼成的图形，其中第1个图形由22根火柴棍拼成，第2个图形由33根火柴棍拼成，按此规律，则拼成第n个图形需要（    ）根火柴棍(用含n的代数式表示)． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵第一个图形有根火柴棍， 第二个图形有根火柴棍， 第三个图形有根火柴棍， ∴第个图形有：根火柴棍， 故选：B． 【典例3-2】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）观察下列由字母“”和“”组成的图形规律： 已知“”表示碳原子，“”表示氢原子，在化学中由碳和氢组成的化合物称为烃．此规律对应的是一类常见的烃——烷烃的分子通式．根据以上规律，第个图形对应的烷烃化学式为：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：第①个图中“C”的个数为1，“”的个数为， 第②个图中“C”的个数为2，“”的个数为， 第③个图中“C”的个数为3，“”的个数为， …… 则第个图形中“C”的个数为，字母“”的个数是，即． 故选：B． 【典例3-3】（24-25七年级上·湖南·期中）在日历上，某些数满足一定的规律，某年月份的日历如图所示，用方框框住任意个数，设右上角的数字为，则下列说法正确的是（    ） A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中的个数相加，结果是的倍数 【答案】D 【详解】解：日历中的数字规律是：同一行中后面的数字比前面大；同一列中下面的数字比上面大． 用方框框住任意个数，设右上角的数字为，则左上角数字为，故A选项错误； 左下角的数字为，故B选项错误； 右下角的数字为，故C选项错误； 综上所述方框中的四个数字和为，故D选项正确． 【典例3-4】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）如图①，数轴上方有个方块，记图①为；图②的数轴上方有个方块，数轴的下方有个方块，记图②为；图③的数轴上方有个方块，下方有个方块，记图③为；同理，记图④为，．按照此规律，第2026个图记为___________． 【答案】 【详解】解：根据题意得， 第1个图记为， 第2个图记为， 第3个图记为， 第4个图记为， 以此类推， 第个图记为，为正整数， 当，即时，， 因此，第2026个图记为， 故答案为：． 【典例3-5】（25-26七年级上·陕西西安·期末）用大小相同的“○”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有6个“○”，第②个图案中有10个“○”，第③个图案中有14个“○”，……按此规律继续拼图案． (1)第⑦个图案中有________个“○”； (2)用含n的代数式表示第n个图案中“○”的个数； (3)求第120个图案中“○”的个数比第132个图案中“○”的个数少多少个？ 【详解】（1）解：第⑦个图案中有30个“○”， 故答案为：30； （2）解：第n个图案中“○”的个数为个； （3）解：第120个图案中“○”的个数为（个）． 第132个图案中“○”的个数为（个）． 所以第120个图案中“○”的个数比第132个图案中“○”的个数少（个）． 【变式3-1】（25-26七年级上·甘肃甘南·期末）现用围棋中的黑子摆出如图所示的图案，则第个图案中黑子的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：依题意，观察图形，得第1个图案，黑子有个； 第2个图案，黑子有个； 第3个图案，黑子有个； …… 第n个图案，黑子个， 【变式3-2】（25-26七年级上·山西晋中·期末）在三角形内取一定数量的点，连同三角形的3个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到三角形内所有区域都变成三角形．如图，当三角形内有1个点时，可分得3个三角形；当三角形内有2个点时，可分得5个三角形；当三角形内有3个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）……按此规律，当三角形内有个点时，可分得________个三角形．（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】解：图1中三角形内有1个点时，三角形个数为个）； 图2中三角形内有2个点时，三角形个数为（个）； 图3中三角形内有3个点时，三角形个数为（个）； 以此类推……； 三角形内有n个点时，三角形个数为个． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级上·湖南·期中）蜜蜂不仅给人类带来了蜂蜜等营养品，也给仿生学提供了技术支持，科学家们正是模仿蜂房的结构，找到了人造卫星比较理想的结构，蜜蜂蜂房的一组有规律的图案如图所示，它们由相同的小正六边形组成，依此规律，第100个图案中有_____个小正六边形． 【答案】302 【详解】解：观察图形可知， 第1个图案中有5个小正六边形， 第2个图案中有个小正六边形， 第3个图案中有个小正六边形， ⋯ 归纳可得，第个图案中小正六边形的个数为； 当时， ． 【变式3-4】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数为________． 【答案】 【分析】观察图形，得出第个图中所贴剪纸“〇”的个数为个，据此求解即可． 【详解】解：当时，剪纸“○”的个数有个； 当时，剪纸“○”的个数有个； 当时，剪纸“○”的个数有个； … 从而可以探究：第n个图案所贴剪纸“○”的个数为个， ∴第个图中所贴剪纸“○”的个数为个． 【变式3-5】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，小王沿虚线对正方形进行裁剪，第一次裁剪后手里有4张纸片，依图继续裁剪，当裁剪到第n次时，手里共有______个纸片．（用含n的代数式表示） 【答案】 【详解】解：第一次有个纸片，第二次有个纸片，第三次有个纸片，第n次有个纸片， 故答案为：． 【变式3-6】（25-26七年级上·山东菏泽·期末）规律探究，用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼正方形． 第1个图形中有1张正方形纸片； 第2个图形中有（张）正方形纸片； 第3个图形中有（张）正方形纸片； 第4个图形中有（张）正方形纸片； … (1)根据上面的发现我们可以猜想： 第n个图形中有____=_____ （张）正方形纸片； (2)请根据你的发现计算： ①； ②（提示：可适当进行拆分） 【详解】（1）解：∵第1个图形中有（张）正方形； 第2个图形有（张）小正方形； 第3个图形有（张）小正方形； 第4个图形有（张）小正方形； …… 第n个图形有（张）小正方形； ∴． （2）解：， ∴． ． 【变式3-7】（25-26七年级上·四川成都·期末）用长度相同的小棒按图所示的方式摆正方形，从上往下数，第2层起，每层比上一层多一个正方形，第1个图形需要4根小棒，第2个图形需要10根小棒，第3个图形需要18根小棒． 【特例感知】（1）第4个图形比第3个图形多_____根小棒； 【探索规律】（2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多100根，求的值； 【拓展运用】（3）若第个图形竖放小棒根数是其序号的倍，请用含的代数式表示． 【详解】解：（1）由题意知，第2个图形比第1个图形多6根小棒，， 第3个图形比第2个图形多8根小棒，， 以此类推，第4个图形比第3个图形多：根小棒， 故答案为：10； （2）由（1）知第个图形需要的小棒根数比第个图形多根小棒， 令， 解得； （3）由题意得，第n个图形竖放小棒根数为， 解得． ▌题型04 等式排列规律（式子规律） 核心方法：横向对位法：对比每一行等式的相同位置，固定不变的直接照抄，随序号变化的替换为含n的代数式。 【典例4-1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）观察下列等式：，，，，，，，…解答问题：…的末位数字是（   ） A．9 B．0 C．3 D．2 【答案】D 【详解】解：∵，末位数字为；，末位数字为；，末位数字为；，末位数字为；，末位数字回到， ∴的末位数字每个为一个循环，依次为， ∴一个循环内四个数的末位和为，末位数字是， ∵ 原式从到，共项， ， ∴个完整循环的各项末位数字之和的末位数字为，余下两个项的末位分别为和， ∴原式总和的末位数字为，末位数字为． 【典例4-2】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的算式： … 解答下列问题：请用上面得到的规律计算：（    ） A．30000 B．25000 C．8000 D．7500 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， ， ……， 以此类推，可知， ∴ ． 【典例4-3】【变式4-2】（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)写出第5个等式； (2)用含n的式子表示第n个等式； (3)计算． 【详解】（1）解：观察等式可知，第5个等式：． （2）解：观察等式可知，第个等式：． （3）解：由题意得： ． 【变式4-1】（25-26七年级上·河北衡水·期末）观察下列等式，回答问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … (1)按以上规律写出第6个等式： ； (2)若是正整数，请用含的代数式表示第个等式： ； (3)求的值． 【详解】（1）解：观察等式可知，第个等式的分母为两个连续奇数的乘积，即，当时，，， ； （2）解：由前个等式的规律可得，第个等式的分母为， ； （3）解： ． 【变式4-2】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）观察下列等式： ，．．．． (1)猜想并写出： _________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①___________． ②___________． (3)探究并计算，请写出计算过程：． 【详解】（1）解：根据题意可得，； （2）解：① ； ② ； （3）解： ． 【变式4-3】（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 【详解】（1）解：根据前面三个等式及图形规律求解可知：； （2）解：根据前五个等式及图形规律求解可知： 第7个等式为； ∵， ， ； ， ， … 依此类推，第个等式：； （3）解： ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 代数式规律探究（4题型突破·举一反三） 题型01 纯数字数列规律（基础必考） 题型02 分数型规律（高频中档题） 题型03 图形规律（火柴棒、点阵、正方形，压轴常考） 题型04 等式排列规律（式子规律） ▌题型01 纯数字数列规律（基础必考） 八大基础数列万能模型 说明：n 代表第n项，n=1、2、3……正整数，所有复杂规律均可由基础模型变形而来。 数列类型 经典实例 通用通项公式 核心特征 等差数列 2，4，6，8…… 相邻两项差值固定（d为公差） 自然数数列 1，2，3，4…… 依次递增1 奇数数列 1，3，5，7…… 公差为2的等差数列 偶数数列 2，4，6，8…… 公差为2的等差数列 平方数列 1，4，9，16…… 数值增长速度快 平方变形1 2，5，10，17…… 平方数加1 平方变形2 0，3，8，15…… 平方数减1 正负交替数列 -1，2，-3，4……1，-2，3，-4…… 第一项为负用前者，第一项为正用后者 通用解题步骤 1.标序号：将数列每一项与n=1、2、3……一一对应； 2.判模型：看相邻差值（等差）、增长幅度（平方）、符号变化（交替）； 3.拆元素：符号、数值单独推导； 4.写通式+双验证：写出代数式，代入n=1、n=2校验。 【典例1-1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）有一组数：0，，8，，24，，…根据你所探索的规律第20个数是______． 【典例1-2】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）将奇数，，…按图所示进行排列，各列分别用、、、、表示，则所在的行、列分别为（     ） A．行列 B．行列 C．行列 D．行列 【典例1-3】（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）位同学坐成一排，从左往右依次编号，，，，，第一次老师让编号是双数的同学站起来，然后余下的同学再从左往右编号，，，，第二次老师又让编号是双数的同学站起来，如此重复做了次后，共有（     ）位同学站着． A． B． C． D． 【典例1-4】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）现有一列数：，，若，且，则的值为_________． 【变式1-1】（24-25七年级上·河南鹤壁·期中）观察一列数：，4，，16，，64，，256，…将这列数排成如图所示的形式，则第10行第8个数是（   ） 4      16   64    256   … A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级上·福建漳州·期中）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法（如图1）进行速算．图2表示的“竖式”，则的值为（   ） A．25 B．21 C．22 D．26 【变式1-3】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）如图所示，将部分偶数依顺序排列成三角形数阵，从上到下称为行．图中数6为第2行、从左向右第2个数；数为第4行、从左向右第3个数，那么第7行、从左向右第4个数为________． 【变式1-4】（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）数字游戏：第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步：算出的各位数字之和得，再计算得以此类推，___． 【变式1-5】（25-26七年级上·四川成都·期末）设一列数，，，，中任意三个相邻数之和都是15，已知，，，那么_____． 【变式1-6】（24-25七年级上·云南·阶段检测）我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数，，，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)若数列，，，，，，是理想数列，则 ， ； (2)若数列，，，，是理想数列，求代数式的值． ▌题型02 分数型规律（高频中档题） 核心技巧口诀：分子一套规律，分母一套规律，符号单独一套，最后整体合并。 【典例2-1】（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）观察这一列数：，根据它们的排列规律写出第6个数是___________． 【典例2-2】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知有理数，我们把称为的“差倒数”，如：2的“差倒数”是，的“差倒数”是．若，是的“差倒数”，是的“差倒数”，是的“差倒数”，…，依此类推，则的值是(     ) A． B． C．4 D． 【典例2-3】（2026七年级上·吉林长春·专题练习）数形结合是一种重要的数学方法，许多重要的计算转化成图形后，非常奇妙而简单，观察下表： (1)图表中表示的数值是___________； (2)根据你的观察，猜想：______________________ (3)你能猜想下列式子的值吗？ ①； ②． 【变式2-1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）已知，，，，则________ ． 【变式2-2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）类比裂项相消： (1)猜想： ； (2)计算： ① ② 【变式2-3】（25-26七年级上·广东茂名·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过把抽象的数量关系与直观的几何图形相结合，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化．如图，数学活动课上，小颖将一张面积为2的长方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依次类推． 认真观察图形，解答下列问题： (1)图中阴影部分的面积为______（直接写出答案）； (2)______（直接写出答案）； (3)请类比（2），求的值． ▌题型03 图形规律（火柴棒、点阵、正方形，压轴常考） 核心思路：图形数字化，数出前3个图形的对应数量，转化为纯数列，直接套用基础模型。 分类突破 1.等差累加型（最常考）：每次增加固定数量，对应等差数列 示例：火柴摆图形，第1个4根，第2个7根，第3个10根 公差d=3，首项a₁=4，通项： 2.平方增长型：数量增长越来越快，出现1、4、9、16等数字，优先套用及变形公式。 避坑关键：不看图猜规律，列表记录「图形序号n—对应数量」，数据说话零失误。 【典例3-1】（25-26七年级上·江西赣州·期末）如图是用火柴棍拼成的图形，其中第1个图形由22根火柴棍拼成，第2个图形由33根火柴棍拼成，按此规律，则拼成第n个图形需要（    ）根火柴棍(用含n的代数式表示)． A． B． C． D． 【典例3-2】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）观察下列由字母“”和“”组成的图形规律： 已知“”表示碳原子，“”表示氢原子，在化学中由碳和氢组成的化合物称为烃．此规律对应的是一类常见的烃——烷烃的分子通式．根据以上规律，第个图形对应的烷烃化学式为：（   ） A． B． C． D． 【典例3-3】（24-25七年级上·湖南·期中）在日历上，某些数满足一定的规律，某年月份的日历如图所示，用方框框住任意个数，设右上角的数字为，则下列说法正确的是（    ） A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中的个数相加，结果是的倍数 【典例3-4】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）如图①，数轴上方有个方块，记图①为；图②的数轴上方有个方块，数轴的下方有个方块，记图②为；图③的数轴上方有个方块，下方有个方块，记图③为；同理，记图④为，．按照此规律，第2026个图记为___________． 【典例3-5】（25-26七年级上·陕西西安·期末）用大小相同的“○”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有6个“○”，第②个图案中有10个“○”，第③个图案中有14个“○”，……按此规律继续拼图案． (1)第⑦个图案中有________个“○”； (2)用含n的代数式表示第n个图案中“○”的个数； (3)求第120个图案中“○”的个数比第132个图案中“○”的个数少多少个？ 【变式3-1】（25-26七年级上·甘肃甘南·期末）现用围棋中的黑子摆出如图所示的图案，则第个图案中黑子的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-2】（25-26七年级上·山西晋中·期末）在三角形内取一定数量的点，连同三角形的3个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到三角形内所有区域都变成三角形．如图，当三角形内有1个点时，可分得3个三角形；当三角形内有2个点时，可分得5个三角形；当三角形内有3个点时，可分得7个三角形（不计被分割的三角形）……按此规律，当三角形内有个点时，可分得________个三角形．（用含的代数式表示） 【变式3-3】（24-25七年级上·湖南·期中）蜜蜂不仅给人类带来了蜂蜜等营养品，也给仿生学提供了技术支持，科学家们正是模仿蜂房的结构，找到了人造卫星比较理想的结构，蜜蜂蜂房的一组有规律的图案如图所示，它们由相同的小正六边形组成，依此规律，第100个图案中有_____个小正六边形． 【变式3-4】（25-26七年级上·山西吕梁·期末）下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸，则第个图中所贴剪纸“○”的个数为________． 【变式3-5】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，小王沿虚线对正方形进行裁剪，第一次裁剪后手里有4张纸片，依图继续裁剪，当裁剪到第n次时，手里共有______个纸片．（用含n的代数式表示） 【变式3-6】（25-26七年级上·山东菏泽·期末）规律探究，用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼正方形． 第1个图形中有1张正方形纸片； 第2个图形中有（张）正方形纸片； 第3个图形中有（张）正方形纸片； 第4个图形中有（张）正方形纸片； … (1)根据上面的发现我们可以猜想： 第n个图形中有____=_____ （张）正方形纸片； (2)请根据你的发现计算： ①； ②（提示：可适当进行拆分） 【变式3-7】（25-26七年级上·四川成都·期末）用长度相同的小棒按图所示的方式摆正方形，从上往下数，第2层起，每层比上一层多一个正方形，第1个图形需要4根小棒，第2个图形需要10根小棒，第3个图形需要18根小棒． 【特例感知】（1）第4个图形比第3个图形多_____根小棒； 【探索规律】（2）第个图形需要的小棒根数比第个图形多100根，求的值； 【拓展运用】（3）若第个图形竖放小棒根数是其序号的倍，请用含的代数式表示． ▌题型04 等式排列规律（式子规律） 核心方法：横向对位法：对比每一行等式的相同位置，固定不变的直接照抄，随序号变化的替换为含n的代数式。 【典例4-1】（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）观察下列等式：，，，，，，，…解答问题：…的末位数字是（   ） A．9 B．0 C．3 D．2 【典例4-2】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的算式： … 解答下列问题：请用上面得到的规律计算：（    ） A．30000 B．25000 C．8000 D．7500 【典例4-3】【变式4-2】（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… (1)写出第5个等式； (2)用含n的式子表示第n个等式； (3)计算． 【变式4-1】（25-26七年级上·河北衡水·期末）观察下列等式，回答问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … (1)按以上规律写出第6个等式： ； (2)若是正整数，请用含的代数式表示第个等式： ； (3)求的值． 【变式4-2】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）观察下列等式： ，．．．． (1)猜想并写出： _________； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①___________． ②___________． (3)探究并计算，请写出计算过程：． 【变式4-3】（25-26七年级上·广东东莞·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的答案； ①；②；③； ④__________；⑤；… (2)参照上面的等式，请写出第⑦个等式：______________________________； 第个等式：__________； (3)根据上述的规律，计算：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $