专题08 新定义（5年汇编）（北京专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦北京中考数学压轴题型“新定义”，汇编2022-2026年5年真题（5道）及2026年19道区域模拟题，精准匹配北京考情，强化顶尖学生区分能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |新定义解答题|24道/7分/道|平面直角坐标系、圆的性质、几何变换（旋转/对称）、动态探究，如2026真题“单弧三角形”结合圆与平行直线，2025真题“关联点”涉及圆与角度最值|遵循北京中考“读懂定义→特例应用→动态探究”三层设问逻辑，综合阅读、画图、数形结合、分类讨论能力；模拟题延续圆与坐标系核心载体，创新“折旋点”“补角点”等定义，适配真题命题趋势|

专题08 新定义 5年真题1年模拟 考点分类 北京考情（2022-2026） 命题规律 考点01新定义 2026北京卷 2025北京卷 2024北京卷 新定义题为试卷最后一道压轴解答题，固定分值 7 分，全卷最高难度、顶尖学生区分题型；统一依托平面直角坐标系 + 圆为核心载体，现场创设课本无全新几何概念，遵循 “读懂定义→特例应用→动态探究” 三层设问逻辑，综合阅读、画图、数形结合、分类讨论四大核心能力，是北京中考标志性特色题型。 考点01 新定义 1．（2026·北京·中考）对于不共线的三点A，B，C，连接，，并作劣弧，使得所在圆的圆心在过点A且与平行的直线上，称由，和组成的图形为单弧三角形，记作，其中所在圆的圆心称为的弧心． 在平面直角坐标系中， (1)如图1，点，，，直接写出的弧心的坐标及的长； (2)如图2，点，，当的弧心为O时，求点F的坐标； (3)已知点，对于平面内的点N，存在点P，Q满足和的弧心均为O，和都不是钝角三角形，且，记N的横坐标为t，直接写出t的取值范围． 2．（2025·北京·中考）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为． ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． 3．（2024·北京·中考）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”． (1)如图，点，． ①在点，，中，点___________是弦的“可及点”，其中____________； ②若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为__________； (2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“可及点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围． 4．（2023·北京·中考）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义： 若直线，中一条经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”．    (1)如图，点，， ①在点，，中，弦的“关联点”是______． ②若点C是弦的“关联点”，直接写出的长； (2)已知点，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围． 5．（2022·北京·中考）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”． (1)如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”． ①在图中画出点； ②连接交线段于点求证： (2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）. 1．（2026·北京密云·一模）在平面直角坐标系中，若将点P沿x轴翻折得到点，再将点绕点Q顺时针旋转得到点，则称点为点P的“折旋点”．例如：点的“折旋点”是点． (1)如图1，已知点． ①点，若点B是点A的“折旋点”，则点B的坐标为________； ②若点是点的“折旋点”，则点E的坐标为________； (2)已知点． ①如图2，的半径为2，若上存在点M，使得点是点M的“折旋点”，且点在直线上，求b的取值范围； ②已知是y轴上的动点，的半径为2，若上存在点N，使得点是点N的“折旋点”，且点在直线上，直接写出t的取值范围． 2．（2026·北京门头沟·综合练）在平面直角坐标系中，对于线段和点，（点，不在直线上），给出如下定义：如果，那么称点是点关于线段的“补角点”． (1)如图1，已知点，，． ①在点，，中，点关于线段的“补角点”是 ； ②如果点是点关于线段的“补角点”，那么点的纵坐标的最大值为 ； (2)如图2，已知的半径为2，线段是的一条弦，且，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，．如果线段上存在点是点关于线段的“补角点”，直接写出的取值范围． 3．（2026·北京东城·一模）在平面直角坐标系xOy中，对于的弦和点C，给出如下定义：若为锐角三角形，且直线，中有一条是的切线，则称点是的弦的“锐切点”． (1)如图，的半径为1． ①点，，在点，，中，点______是的弦的“锐切点”； ②若，点C是的弦AB的“锐切点”，则弦的长的取值范围是______； (2)已知点，经过点T，若存在一条长为的线段，线段上的任意一点都是的长为t的弦的“锐切点”，直接写出t的取值范围． 4．（2026·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，点，，的半径为1，线段的长度为1，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，若线段与有公共点，则称线段为点的旋转线段，并称，的较小值为线段关于点的旋转距离，记为． (1)如图，． ①点，，，，，，在线段，，中，点的旋转线段为________； ②点，，若线段为点的旋转线段，直接写出的取值范围； (2)已知线段平行于轴，中点为，若线段为点的旋转线段，直接写出的取值范围及的最大值． 5．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，已知点，，对于坐标原点和点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，称点是点的“对应点”． (1)如图，当点，时， ①画出点的“对应点”点； ②若点是点“的对应点”，则的坐标是______； (2)当点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”，则线段的最小值是_______，最大值是_____； (3)当点，时，是以线段为半径的上一点，若上存在点是点的“对应点”，直接写出的取值范围． 6．（2026·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，且与x轴的正半轴交于点A，对于的弦和弦外一点P，给出如下定义：对于给定的角度，若在弦上存在两个不同的点M，N，使得，则称点P是弦的关联点，称的长度的最大值为点P与弦的关联值． (1)若与y轴的正半轴交于点B，在点，，中，点_____是弦的关联点，该点与弦的关联值为________； (2)当弦的长为2时，若直线上存在弦的关联点，直接写出b的取值范围； (3)设弦的长为．对于每一个m的值，点P是弦的关联点，且点P与弦的关联值为，记此时满足条件的所有点P到弦中点的距离的最大值为d．当点B在上运动时，直接写出d的取值范围 7．（2026·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，对于和外一点A给出如下定义：若点P在上，且对圆上任意一点Q，都有，则称线段是点A关于的关联线段，称的大小是点A关于的关联角度． (1)如图，的半径为1． ①已知点，则点A关于的关联线段的长为______，点A关于的关联角度为______； ②已知上一点，点D在直线上，线段是点D关于的关联线段，则点D的坐标为_____； (2)已知点，的半径为2，直线上的所有点都有关于的关联线段，记这些点关于的关联角度的最大值为，若，直接写出t的取值范围． 8．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，对于线段和直线（点，均不在直线上且直线不与直线平行），给出如下定义：过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长． (1)如图，已知点，点，线段关于直线的纵影长为______； (2)已知点，点，线段关于直线的纵影长为4，则的值为______； (3)已知，的半径为．若上存在点，使线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，直接写出的取值范围． 9．（2026·北京昌平·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点A和线段，给出如下定义： 将线段绕点A顺时针旋转α可以得到线段（，分别是B，C的对应点），点P为线段上任意一点，若最小值为1，则称线段是的以点A为中心关于“α”的“关联线段”． (1)若． ①当时，如图点，，，，，，，的横、纵坐标都是整数，在线段，，，中，的以点A为中心关于“”的“关联线段”是_____； ②当时，且在直线上（点B在点C左侧），线段是的以点A为中心关于“”的“关联线段”，直接写出点B横坐标的取值范围； (2)若，，，点A在线段上，，直线与线段有交点，且线段是的以点A为中心关于“”的“关联线段”．直接写出b的取值范围． 10．（2026·北京西城·一模）对于点P，和直线l，若将绕点P逆时针旋转（）得到，使得与直线l相切，则称点P为和直线l的旋切点，当存在n个满足条件的时，称该点为n阶旋切点，其中最小的称为最小旋切角． 在平面直角坐标系中， (1)若的半径为1，直线，则在点，，中，点 是和直线l的旋切点，且为 阶旋切点； (2)已知点，的半径为2，直线，若点是和直线m的旋切点，则t的取值范围是 ； (3)已知点，的半径为1，直线，点是和直线n的2阶旋切点且最小旋切角不超过，直接写出b的取值范围． 11．（2026·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形G、图形R和直线l，给出如下定义：若图形G上存在点T（T在直线l外），使得图形R上至少有个点到直线l的距离与点T到直线l的距离相等，则称图形R为图形G关于直线l的“等距”图形． (1)已知点，，，． ①当时，在线段，，中，线段______为点A关于y轴的“等距”图形，其中k的值为______； ②若线段为线段关于y轴的“等距”图形，则t的取值范围是______； (2)已知直线，的圆心为，半径为1．若存在实数s以及的弦，使得任意以点为中心且边长为的等边均为弦关于直线l的“等距”图形，直接写出a的取值范围． 12．（2026·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，图形P上存在点A，图形Q上存在点B，图形R上存在点C，满足点A，点B，点C任意两点之间的距离都相等，称图形P，Q，R具有“平等关系”． (1)已知点． ①若点A，点B，点O具有“平等关系”，则点B的坐标为______； ②如图1，半径为1，若点A，，点具有“平等关系”，求a的值； (2)如图2，点，，以点O为圆心的两个同心圆，其中一个圆的半径为1，另一个圆的半径为r．若线段与这两个同心圆具有“平等关系”，直接写出r的取值范围． 13．（2026·北京平谷·一模）如图，是的一条弦，点关于的对称点为，在射线上截取，则点为“弦心衍生点”． (1)在平面直角坐标系中，的半径为2，以下各点属于“弦心衍生点”的有_____； (2)平面直角坐标系中，若的半径为1，直线分别与轴，轴交于点，若线段上的点都是“弦心衍生点”，则的取值范围是___； (3)在（2）的条件下，若存在上的所有点都是“弦心衍生点”，则的半径的取值范围为____． 14．（2026·北京市西城区·二模）在平面直角坐标系中，对于半径为1的和它的一条弦，若点满足是以为腰的等腰三角形，且劣弧上的所有点均在上及其内部，则称点为弦的关联点． (1)已知点，，，则在的弦，，中，存在关联点的弦是________； (2)直线：与轴，轴交于点，，若线段上存在的某条长度为的弦的关联点，直接写出的取值范围； (3)是的一条弦，，点是的中点，若直线上有且仅有两个弦的关联点，直接写出点的纵坐标的取值范围． 15．（2026·北京燕山教育集团·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和图形M，若存在以点A为直角顶点的直角，使得图形M都在该直角内部，就称点A是图形M的“直盖点”．如图①即为点A是图形M的“直盖点”的示例． （1）若图形M是线段PQ，其中点，点，则以下三点：，，是线段PQ的“直盖点”的为________； （2）若的半径为，直线l：，求直线l上的“直盖点”E的横坐标的取值范围； （3）设的半径为，圆心T是x轴上的动点，直线与x轴，y轴分别交于点G、H，若线段GH上存在的“直盖点”，直接写出圆心T的横坐标的取值范围． 16．（2026·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，对于和外一点P，给出如下定义：若上存在两个不同的点A，B，使得且，则称点P是的“关联点”． (1)如图，的半径为2． ①在点，，中，的“关联点”是________； ②点P在直线上，记点P的横坐标为．若点P是的“关联点”，则的取值范围是________； (2)已知点，，，的半径为．若线段上至少存在两个的“关联点”，直接写出t的取值范围． 17．（2026·北京平谷·二模）定义：如图1，的半径为，若平面内以为线段一端点的长度为的线段上存在的切点，则称点为的切线段端点，简称“切端点”． (1)以下各点中，是半径为2的的“切端点”的有：__________； ，，， (2)在（1）的条件下，若直线上存在的“切端点”，则的取值范围为__________； (3)在平面直角坐标系中，的半径为，直线分别与轴，轴交于点，，若线段上的所有点都是的“切端点”，则的半径的取值范围为__________． 18．（2026·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，对于不重合的点A和点B以及正实数m有如下定义：过B点的任意一条直线上都存在点C，D（B，C，D互不重合），满足，称点B是点A的“m－区域点”，线段的长度的最小值叫做点B关于点A的“m－区域距离”． (1)若点A坐标为，在，，这三个点中________是点A的“2－区域点”，此时这个点关于点A的“2－区域距离”是________； (2)若点A是直线上一动点，记点A的横坐标为t，则使得坐标原点O是点A的“5－区域点”的t的取值范围是________，点O关于点A的“5－区域距离”的最大值是________； (3)若点，是半径为的上的两动点，且，，，若对于线段上的任意一点M，都存在，，使得M既是的“－区域点”也是的“－区域点”，直接写出t的取值范围是________． 19．（2026·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，对于和外一点给出如下定义：在上任取两个不同的点，，连接，，当的大小取得最大值时，连接，相交于点，则称点是点关于的弦分点． (1)如图，的半径为． ①若点坐标为，则的最大值为________，此时在点，，中，点________是点关于的弦分点； ②若点在直线上，点是点关于的弦分点，则长的最大值为________； (2)已知的半径为，点，，，正方形以原点为中心．若在正方形的边上存在一点，使得点关于的弦分点在线段上，直接写出的取值范围． 20．（2026·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，的半径为，对于的弦和线段，给出如下定义：若弦上存在点，使线段关于点中心对称的线段是的弦（点，分别是点，的对应点），则称线段是弦的关联线段． (1)与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点． ①点，．在线段，，中，线段___________是弦的关联线段； ②若直线上存在两个不同的点，，使线段是弦的关联线段，直接写出的取值范围； (2)已知点，．若中存在长为的弦，使线段是弦的关联线段，直接写出t的取值范围． 21．（2026·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，给定图形和两点，．若图形上存在两个不重合的点，，使得将点沿方向平移线段的长度后得到的点与将点沿方向平移线段的长度后得到的点重合，则称点与点关于图形双向合． 已知点，，． (1)在点，，中，与原点关于线段双向合的点是________； (2)若点是的边上一点，且点与点关于线段双向合，求点的坐标； (3)点是直线上一动点，以为圆心作半径为的．当点运动时，对于上任意一点，都能在的边上找到一点，使得，两点关于双向合，直接写出点的纵坐标的取值范围． 22．（2026·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和给出如下定义：若存在的弦，使得点关于直线的对称点在上，则称点是的关联点，称弦是点与的关联线段． (1)如图，在点，，中，点______是的关联点； (2)已知点，，若弦是点与的关联线段，则线段长的取值范围是______； (3)直线（）分别与轴，轴交于，两点，当线段上存在的关联点时，记这些点与的关联线段长的最大值为，若，直接写出的取值范围． 23．（2026·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，是图形上的任意一点，将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点的对应点，所有的点组成的图形称为图形的关联图形．能完全覆盖图形和它的关联图形的最小的圆称为图形和它的关联图形的最小覆盖圆（图形和它的关联图形上的所有点都在圆上或内部，且该圆的半径最小）． (1)点的关联图形的坐标为________，点的关联图形的坐标为________； (2)点的关联图形的坐标为，用含的代数式表示：________； (3)已知点在直线上，点，直接写出线段和它的关联图形的最小覆盖圆的半径的最小值，及此时点的坐标． 24．（2026·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，对于点P和线段，给出如下定义：记点关于点的对称点为点Q（特别地，当时，P与Q重合），若线段上存在点M，N，使得，且，则称点P是线段的“称角点”． (1)已知点，在点，，中，线段的“称角点”是 ； (2)已知点，点． ①若点，点，线段上存在线段的“称角点”，直接写出m的取值范围； ②已知点，C的半径为1，若存在一个m值，使得上存在线段的“称角点”，直接写出t的取值范围． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08新定义 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 北京考情(2022-2026) 命题规律 新定义题为试卷最后一道压轴解答题，固定分 值7分，全卷最高难度、顶尖学生区分题型； 2026北京卷 统一依托平面直角坐标系+圆为核心载体，现 考点01新定义 2025北京卷 场创设课本无全新几何概念，遵循“读懂定义 2024北京卷 →特例应用→动态探究”三层设问逻辑，综合 阅读、画图、数形结合、分类讨论四大核心能 力，是北京中考标志性特色题型。 五年真题分类园 考点01新定义 1 【答案】，-2元 118 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②点F的坐标为w) 1 1 8)4s1 2 2. :②3 460 【答案】1)①， 3√2 ≤t<3 (2)2 或t>5或t≤-1- 3 1+V2 【答案】1)①C2,45:②2 3-31 -≤t< <1s3+E (2)4 2或 4 【答案】) 1、C2OC=V2 @1s1s2926 t≤V3 3或3 5. 【答案】(I) ①点Q如下图所示. !o D T ②证明：如图延长ON至点 ,连接AQ, M P A(3,3) .AOl/OP 218 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠A0T=∠OPT, 在△40T与△∠OPT中， [∠AQT=∠OPT ∠ATQ=∠OTP A0=OP :△MOT≡AoPT(AaS) u=0-0a, 433).M0,)N2,2) :0M=V32+32=32,0M=F+P=2,ON=2+2=22. 0=01=32 2 :7-0w-0m=25-5-9 2, .NT-TOM, 2 2)41-2 一年模拟练测园 【答案1003，-2）：@2刘 @022≤b≤25,24W5≤1≤8-4W5 2. 【anea,.e2.e5 318 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 46≤6<-2525<6≤4 (2) 3或3 3. 221<AB<2 【答案】1)①C2,C:② 2>25 4. 【答案1a0C0.CD,②5+1sh≤0或1≤b≤2. 或 11 13 15sas- 17 3V17 ≤a (2)4 4或4 4,d的最大值为4 5. 【答案】（①）①如图所示， 3 4-3-2-10 2 34 -2 ②2) g32-1.32+1 6)0<1s8 或1≥8 6 【答案】(1) 22 418 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a45s6s25 3 5+l≤ds3+1 3)2 7. 【答案】a0v5,30:②2，-2) 325-461 25 105<1≤25+46 3或3 8. 【答案】1)3 (2)k=-1或k=3 3)1≤r<5 9. 【答案】0BG,BC:②3≤x≤- 2 24-72sbs4+3V2 10. 【答案】I)C,2 2)1≤-4 82-5-2≤b<2-5或2-5+5sb<2+5 11 【路案100A山，2/号 3W2 (2)2 a≤1+ 2 2 12 【答案1aov5)或，-5)， ②a=2或0 518 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2)1sr≤22+1 13. 【答案】aR5,2),23,3) -22<k<-2、 <k<22 4或4 B)0<r<3 14 【答案】I)DF,EF ②5 sbsV而 )4sks! 2<ks3 1 15. 6 【答案】（山B、C:(2)x<5或x>2:(3)x,<4或x>25. 16 【答案灯00P.B: -V6≤xp<-V2V2<xp≤6 或 ②5-1<24w5 5 7 或)1<5+3m 5 17. 【答案】山，4 -4V5sbs4 45 3)5≤r≤2 18. 618 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】( B22V5 2)4<1<37V2 1 3)4 <t<- <1< 2或21 4 19 【答案】1)①60，M,②2 @22-251≤-4t4s1s25+2 或 20. 【答案】I)O1N,BN ②4-22<m<4+2N5 ②7-1s1≤-5-l或5-1s1≤7-l 21. 【答案】0)D(40) a43或4.- 2-2≤k<2+2 3)2 2或2≤k≤4 22. 【答案109，G @-IsODs+ 30<b<3V5 23. 【答案】4)1,2)，(3,0) (2)n=m-1 718 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 24. 【答案】@？乃 ②)04sms 1 3:② 1 -≤t≤1 3 818 专题08 新定义 5年真题1年模拟 考点分类 北京考情（2022-2026） 命题规律 考点01新定义 2026北京卷 2025北京卷 2024北京卷 新定义题为试卷最后一道压轴解答题，固定分值 7 分，全卷最高难度、顶尖学生区分题型；统一依托平面直角坐标系 + 圆为核心载体，现场创设课本无全新几何概念，遵循 “读懂定义→特例应用→动态探究” 三层设问逻辑，综合阅读、画图、数形结合、分类讨论四大核心能力，是北京中考标志性特色题型。 考点01 新定义 1．（2026·北京·中考）对于不共线的三点A，B，C，连接，，并作劣弧，使得所在圆的圆心在过点A且与平行的直线上，称由，和组成的图形为单弧三角形，记作，其中所在圆的圆心称为的弧心． 在平面直角坐标系中， (1)如图1，点，，，直接写出的弧心的坐标及的长； (2)如图2，点，，当的弧心为O时，求点F的坐标； (3)已知点，对于平面内的点N，存在点P，Q满足和的弧心均为O，和都不是钝角三角形，且，记N的横坐标为t，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2)点F的坐标为 (3) 【分析】（1）先根据、两点坐标求出的垂直平分线，再结合“过点且与平行”的条件进而得到弧心坐标，最后计算半径与圆心角，代入弧长公式即可； （2）先根据平行线的性质得出直线与的一次项系数相等，利用待定系数法代入点坐标求出直线的一次函数解析式；再根据同圆半径相等得到，结合勾股定理列出坐标方程，联立直线解析式求解并舍去已知点对应的解，即可得到点的坐标； （3）先利用同圆半径相等和勾股定理求出的长度，再通过作垂线构造矩形得到、为非钝角的有效线段长度；再分和两种情况，结合勾股定理逆定理判断是否为钝角，根据的条件列不等式求解；最后合并两种情况的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意可知：弧心在过点且与平行的直线上，且弧心是所在圆的圆心， ∴弧心到、距离相等，即在的垂直平分线上， ∵，，为水平线段（平行于x轴）， ∴过且平行于的直线为水平线：， ∴中点为，其垂直平分线为竖直线：， ∴两直线交点即为弧心，坐标为， ∵弧心到、距离相等， ∴半径为弧心到点的距离：， ∵，， ∴， ∴、与弧心构成直角三角形， ∴圆心角为， ∴的长． （2）解：设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， ∵的弧心为O， ∴， 设点坐标为，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（与点重合，舍去），， 将代入，解得， 故的坐标为． （3）解：弧心为，故，即在单位圆上， 设点的坐标为， 根据勾股定理可得， 过点、分别作坐标轴平行线，得：， 代入，得， 由题意可得已知直线过原点，且， 分别过点、作的垂线，交直线于、两点， 当点在线段上时，、均为直角或锐角（非钝角）； 若在左侧或右侧，对应角为钝角； 由、、，可判定四边形是矩形， 根据矩形对边相等得：， 情况1：当时， 当与原点重合时，， 代入得：， 此时为非钝角，因此整条线段都满足三角形非钝角的要求，有效区域长度为， 要存在，需有效长度， 解得， 结合得； 情况2：当时， 当与原点重合时，， 因此直线上，原点附近一段区域会使为钝角， 设中点为，∴， ，， ∵， ∴圆心到直线的距离的平方， ∴， 要存在，需钝角区域宽度， 解得， 结合得； 合并两种情况，得的取值范围为． 2．（2025·北京·中考）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） (1)如图，的半径为． ①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为； ②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______； (2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或或 【分析】本题考查了新定义，直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，理解新定义是解题的关键； （1）①根据新定义可得的是的关联点且其与的关联角度小于，进而根据切线的性质，解,即可求得，即可求解． ②根据定义可得为外一点，由，的半径为，得出，进而当时，勾股定理求得的值，即可求解； （3）由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近，根据，得出，根据已知可得，上距离最近的点在的圆环内，根据是固定线段，让移动，分四种情况讨论，求得的临界值，即可求解． 【详解】（1）解：①根据定义可得：当在上时，不存在都有，当在内部时，过的直径使得的关联角度为，当在的外部时，且为的切线时，最大； 如图，是的关联点且其与的关联角度小于，与的关联角度为，与的关联角度大于， ∵，的半径为， ∴，且是的切线， ∴， ∴ ∴，即与的关联角度为 故答案为：，． ②根据定义可得为外一点， ∵，的半径为， ∴，当时， 如图，取点，则， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． （2）解：由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近， ∵， ∴当时，由，如图， ∴四边形是矩形， 由∵ ∴四边形是正方形， ∴ 当时， ∵点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，则， ∴上距离最近的点在的圆环内， ①和的圆相切，如图， ∴ 解得： ②和半径为的圆相切时，如图， ∴（不包含临界值） ∴ ③当在半径为的圆，如图 解得：（不包含临界值） ∴时，都在内部，此时 ④当在半径为的圆，如图 设的半径为，则， ∵， 解得：， ∴时，此时， 综上所述，或或． 3．（2024·北京·中考）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”． (1)如图，点，． ①在点，，中，点___________是弦的“可及点”，其中____________； ②若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为__________； (2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“可及点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，45；② (2)或 【分析】（1）由相对运动理解，作出关于的对称圆，若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，则点C应在的圆内或圆上，先求得，根据点与圆的位置关系的判断方法分别判断即可得出在上，故符合题意，根据圆周角定理即可求解； ②取中点为H，连接，可确定点D在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B），当轴时，点D横坐标最大，可求，故点的横坐标的最大值为； （2）反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆，故点P需要在的圆内或圆上，作出的外接圆，连接，则点P在以为圆心，为半径的上运动（不包括端点M、N），可求，随着的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大，，由，故当最大，时，此时为等边三角形，此时，故当，的最大值为2，设，则，解得：，可求直线与交于点，，故t的取值范围是或． 【详解】（1）解：①：反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆， ∵若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”， ∴点C应在的圆内或圆上， ∵点，， ∴， 而， ∴, 由对称得：， ∴为等腰直角三角形， ∴, 设半径为， 则,故在外，不符合题意； ，故在上，符合题意； ，故在外，不符合题意， ∴点是弦的“可及点”， 可知三点共线， ∵， ∴， 故答案为：，45； ②取中点为H，连接， ∵， ∴， ∴点D在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B）， ∴当点轴时，点D横坐标最大， ∵，， ∴， ∴， ∵点，， ∴， ∴此时， ∴点的横坐标的最大值为， 故答案为：； （2）解：反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆， ∵若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”， ∴点C应在的圆内或圆上， 故点P需要在的圆内或圆上， 作出的外接圆，连接， ∴点P在以为圆心，为半径的上运动（不包括端点M、N）， ∴， ∴， 由对称得点在的垂直平分线上， ∵的外接圆为， ∴点也在的垂直平分线上，记与交于点Q， ∴， ∴， 随着的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大，， 连接， ∵， ∴当最大,时，此时为等边三角形， 由上述过程知 ∴， ∴当，的最大值为2， 设，则， 解得：， 而记直线与交于，与y轴交于点K，过点S作轴， 当，当时，， 解得， ∴与x轴交于点， ∴，而 ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴t的取值范围是或． 【点睛】本题考查了新定义，轴对称变换，点与圆的位置关系，圆周角定理，解直角三角形，一次函数与坐标轴的交点问题，已知两点求距离等知识点，正确添加辅助线，找到临界状态情况是解题的关键． 4．（2023·北京·中考）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义： 若直线，中一条经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”．    (1)如图，点，， ①在点，，中，弦的“关联点”是______． ②若点C是弦的“关联点”，直接写出的长； (2)已知点，．对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”，记的长为t，当点S在线段上运动时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】（1）根据题目中关联点的定义并分情况讨论计算即可； （2）根据，两点来求最值情况，S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂线上，运用相似三角形计算即可． 【详解】（1）解：①由关联点的定义可知，若直线中一经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦的“关联点”， ∵点，，，，， ∴直线经过点O，且与相切， ∴是弦的“关联点”， 又∵和横坐标相等，与都位于直线上， ∴与相切，经过点O， ∴是弦的“关联点”． ②∵，， 设，如下图所示，共有两种情况，   a、若与相切，经过点O， 则、所在直线为： ， 解得：， ∴， b、若与相切，经过点O， 则、所在直线为：， 解得：， ∴， 综上，． （2）解：∵线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”， 又∵弦随着S的变动在一定范围内变动，且，，， ∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂线上，如图所示，    ①当S位于点时，为的切线，作， ∵，的半径为1，且为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴根据勾股定理得，， 根据勾股定理，，同理，， ∴当S位于点时，的临界值为和． ②当S位于经过点O的的垂线上即点K时， ∵点，， ∴， ∴， 又∵的半径为1，∴， ∴三角形为等边三角形， ∴在此情况下，，， ∴当S位于经过点O的的垂线上即点K时，的临界值为和， ∴在两种情况下，的最小值在内，最大值在， 综上所述，t的取值范围为或， 【点睛】本题主要考查最值问题，题目较为新颖，要灵活运用知识点，明确新概念时解答此题的关键． 5．（2022·北京·中考）在平面直角坐标系中，已知点对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”． (1)如图，点点在线段的延长线上，若点点为点的“对应点”． ①在图中画出点； ②连接交线段于点求证： (2)的半径为1，是上一点，点在线段上，且，若为外一点，点为点的“对应点”，连接当点在上运动时直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）. 【答案】(1) ①点Q如下图所示． ②证明：如图延长ON至点，连接AQ， ∵ ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵ ，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）①先根据定义和求出点的坐标，再根据点关于点的对称点为求出点Q的坐标；②延长ON至点，连接AQ，利用AAS证明，得到，再计算出OA，OM，ON即可求出； （2）连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使，结合对称的性质得出NM为的中位线，推出，得出，则． 【详解】（1）解：①点Q如下图所示． ∵点， ∴点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点， ∴， ∵点关于点的对称点为，， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点，在坐标系内找出该点即可； ②略 （2）解：如图所示， 连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使， ∵，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点， ∴， ∵点关于点的对称点为， ∴， 又∵， ∴， ∴NM为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴，   在中，， 结合题意，，， ∴， 即长的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，第2问难度较大，根据题意，画出点Q和点的轨迹是解题的关键． 1．（2026·北京密云·一模）在平面直角坐标系中，若将点P沿x轴翻折得到点，再将点绕点Q顺时针旋转得到点，则称点为点P的“折旋点”．例如：点的“折旋点”是点． (1)如图1，已知点． ①点，若点B是点A的“折旋点”，则点B的坐标为________； ②若点是点的“折旋点”，则点E的坐标为________； (2)已知点． ①如图2，的半径为2，若上存在点M，使得点是点M的“折旋点”，且点在直线上，求b的取值范围； ②已知是y轴上的动点，的半径为2，若上存在点N，使得点是点N的“折旋点”，且点在直线上，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】（1）根据“折旋点”的定义，先求出点关于x轴的对称点，再利用旋转的性质构造全等三角形或利用坐标变换规律求解目标点坐标即可； （2）①设出点M的坐标，根据定义表示出的坐标，代入直线方程得到M满足的直线方程，转化为直线与圆有交点的问题，利用圆心到直线的距离小于等于半径求解即可； ②先求出点N满足的直线方程，转化为圆心T到该直线的距离小于等于半径，解不等式求t的取值范围． 【详解】（1）解：①点关于x轴翻折，横坐标不变，纵坐标取相反数，得到， ∵绕点顺时针旋转至B， ∴，， 如图，过点B作x轴的垂线，垂足为点H， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵点B在第三象限， ∴点B的坐标为； ②点沿x轴翻折得， 在直线上方作， ∴，， ∴点D可以看作点绕点E顺时针旋转得到， ∴点是点的“折旋点”， 如图，过点E作，则，， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴点E与点A的纵坐标相同，点E与G的横坐标相同， ∵点E在第二象限， ∴点E的坐标为． （2）解：①设动点，折旋后对应点， ∵点在直线上， ∴，即， ∴点M在直线上， 当直线与圆相切时，与y轴交点最高或最低， 如图，当点M在第二象限时，连接，记与y轴交点L，与x轴交点I， ∴， 令，则；令，则， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 同理可得：当点M在第四象限时，连接，记与y轴交点J，与x轴交点K， ∴， 令，则；令，则， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴b的取值范围为； ②由题意知，关于“折旋点”坐标为， ∴点N关于x轴—点的折旋点在以为圆心，半径为2的圆上， 如图，当圆在直线左侧与直线相切时， 过点作轴交x轴于点Q，交于点R，过点作交于点P， ∴， 将代入得：，即， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，，， ∴，解得：； 如图，当圆在直线右侧与直线相切时， 过点作交于点S，过点作轴交y轴于点V，与交点W， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，解得：， 综上所述，t的取值范围为． 2．（2026·北京门头沟·综合练）在平面直角坐标系中，对于线段和点，（点，不在直线上），给出如下定义：如果，那么称点是点关于线段的“补角点”． (1)如图1，已知点，，． ①在点，，中，点关于线段的“补角点”是 ； ②如果点是点关于线段的“补角点”，那么点的纵坐标的最大值为 ； (2)如图2，已知的半径为2，线段是的一条弦，且，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，．如果线段上存在点是点关于线段的“补角点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或 【分析】（1）①分两种情况讨论：若点和点在线段的两边，根据以及圆周角定理，得到点，，，在同一圆上，由圆心在中垂线上确定圆心在轴上，根据勾股定理解三角形求出半径大小得到圆心坐标，算出，，心距离，即可确定是否为补角点；若点和点在线段的同一侧，则点的可能坐标在第一种情况所求圆在下方圆弧关于翻折到上方所得圆弧上，即可确定是否为补角点；②根据①中所求圆弧即可得到点的纵坐标的最大值； （2）根据点是点关于线段的“补角点”，，得到，因此，点在以为弦、圆周角为的圆上，找出点的运动轨迹，结合图象，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：①若点和点在线段的两边，根据以及圆周角定理，可知点，，，在同一圆上， 又圆心在中垂线上，则圆心在轴上， 由，，，则关于轴对称， ，， ∴ ， ，故圆心在轴下方， 设圆的半径为，圆心为点，则，， 在中，有，即，解得， ，； 若点和点在线段的同一侧，则点的可能坐标在第一种情况所求圆在下方圆弧关于翻折到上方所得圆弧上，设圆心为点，则，； 点到点的距离为： ，故点是点关于线段的“补角点”； 点到点的距离为： ， 点到点的距离为： ，故点不是点关于线段的“补角点”； 点到点的距离为： ，故点是点关于线段的“补角点”． ②画出①中所得点可能坐标组成的两段圆弧，如图所示，可得点的纵坐标的最大值为若点和点在线段的同一侧时所得圆弧与轴交点，此时点的纵坐标，即最大值为． （2）解： 根据点是点关于线段的“补角点”，，得到，点，，，在同一圆上， 由，可知是等边三角形，，且点在中垂线上， 因此，点在以为弦、圆周角为的圆上，圆心为， 由，故该圆心在与之间， 设位置如图，作于，在上，，， 设圆的半径为， ，， 在中，有，即， 解得， ∴， 作关于线段的对称弧，由轴对称的性质可得，点在这段对称弧上，也满足题意，故点在以点为圆心，为半径，以点为圆心，为半径的圆环上， ∵直线与，轴交于，两点， ∴当时，，即， 当时，，解得，即， ， ∴为等腰直角三角形， 当直线与以点为圆心，为半径的圆相切于第二象限时，如图，设切点为，连接，则，且， ∴， ∴，即， 当直线与以点为圆心，为半径的圆相交于第二象限时，此时； 同理可得：当直线与以点为圆心，为半径的圆相切于第四象限时，；当直线与以点为圆心，为半径的圆相交于第四象限时，此时； ∴综上所述，或． 【点睛】本题考查了解直角三角形的相关计算、四点共圆、圆内接四边形对角互补、圆周角定理、轴对称、勾股定理、等边三角形性质与判定、点到直线的距离、一次函数图象，解题关键是分类讨论和数形结合． 3．（2026·北京东城·一模）在平面直角坐标系xOy中，对于的弦和点C，给出如下定义：若为锐角三角形，且直线，中有一条是的切线，则称点是的弦的“锐切点”． (1)如图，的半径为1． ①点，，在点，，中，点______是的弦的“锐切点”； ②若，点C是的弦AB的“锐切点”，则弦的长的取值范围是______； (2)已知点，经过点T，若存在一条长为的线段，线段上的任意一点都是的长为t的弦的“锐切点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①根据题目定义逐一判断即可；②，则点在以点为圆心，2为半径的圆上，利用圆的对称性，可以先固定点，点，根据为锐角三角形，讨论可能的位置； （2）根据题目信息可得，的半径为，为等边三角形，按照②的思路寻找锐切点所在的范围，利用极限思想即可求解． 【详解】（1）①如图， 为钝角三角形，则不符合题意； 为锐角三角形，且是的切线，则符合题意； 为锐角三角形，且是的切线，则符合题意； ②， 点在以点为圆心，2为半径的圆上， 设，， 则此时一定是的切线，只需满足为锐角三角形，则为直角三角形即可找到临界值， 如图，当时， 为圆的直径，即； 如图，当时，过点作于， ， 设，则， ， ， ， ，， ， 则， 解得，（不符题意，舍去）， 则； 则当时，为锐角三角形，即点C是的弦AB的“锐切点”； （2）解：已知点，经过点T，则的半径为， 由题可知，，则为等边三角形， 如图，过点分别作，，交过点垂直于轴的直线于点，；连接，， ， ， ， 则，， 当点C位于，之间时，为锐角三角形，此时，， 以点为圆心，分别以，为半径画圆，长为的线段在圆弧区域内时，线段上的任意一点都是的长为t的弦的“锐切点”， 如图，与圆环内圆相切时，是线段在此范围内的最长状态，仅有此时存在使得条件成立时，圆的半径最小，连接； ， ， 在中，， 解得，（不符合题意，舍去）， 即． 【点睛】本题为新定义题目，考查圆的性质，解直角三角形，动点问题，难度较大，能够将新概念转化为已有知识，并掌握以静制动，极限思维是解题的关键． 4．（2026·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，点，，的半径为1，线段的长度为1，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，若线段与有公共点，则称线段为点的旋转线段，并称，的较小值为线段关于点的旋转距离，记为． (1)如图，． ①点，，，，，，在线段，，中，点的旋转线段为________； ②点，，若线段为点的旋转线段，直接写出的取值范围； (2)已知线段平行于轴，中点为，若线段为点的旋转线段，直接写出的取值范围及的最大值． 【答案】(1)①，；②或； (2)或，的最大值为 【分析】本题主要考察图形的旋转性质与点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系： 1．旋转的本质：线段绕点逆时针旋转得到．因为，故的长度恒为1， 2．“旋转线段”的判定：线段是点的旋转线段，等价于旋转后的线段与定圆（圆心，半径）有公共点． 问题转化：第（1）问：已知旋转后的位置，反推原线段的参数． 第（2）问：线段平行于轴且中点轨迹已知，转化为在直线上滑动．通过计算与圆相交的临界位置，确定参数的范围． 距离计算：利用勾股定理计算和，并根据的不同取值范围讨论（较小值）的最大值． 【详解】（1）解：如图， 线段：端点和旋转后得、， ∵线段，故点在上，线段为点的旋转线段， 线段：端点和旋转后得、， ∵，∴点在上，线段为点的旋转线段， 线段：端点和旋转后得、， ∵，， ∴线段上的点到圆心的距离最小值为2，线段在圆外，线段不是点的旋转线段． ②∵，，， ∴， 线段绕点逆时针旋转．旋转后得，， ∴线段所在直线方程为， 如图： 点在圆上时，即， ∴， 解得：，， 点在圆上时，即， ∴， 解得：，， 结合图形可知： 当时，点在的下沿弧上，当增大时，向上平移，当时，点到达的下沿弧，故当时，线段与有公共点，即此时线段为点的旋转线段， 当时，点在的上沿弧上，当增大时，向上平移，当时，点到达的上沿弧，故当时，线段与有公共点，即此时线段为点的旋转线段， 综上所述：当或时，线段为点的旋转线段． （2）解：∵，线段平行于轴，中点为， 设点在点的左侧，则，， 线段绕点逆时针旋转．旋转后得，， 如图： ∴在直线上， 当在圆上时，，即，解得：，， 当在圆上时，，即，解得：，， 由图可知，当增大时，沿竖直方向向上平移， 当时，点在的下沿弧上，当增大时，向上平移，当时，点到达的下沿弧，故当时，线段与有公共点，即此时线段为点的旋转线段， 当时，点在的上沿弧上，当增大时，向上平移，当时，点到达的上沿弧，故当时，线段与有公共点，即此时线段为点的旋转线段， 综上所述：当或时，线段为点的旋转线段． ∵，， ①当时，，，即点在直线下方，点在直线上方，如图： 当垂直平分时，，取最大值为（或）， ∴，解得：， ， ②当时，，，即点、都在直线上方，如图： 此时， 当时，取最大值，最大为，即， ∵ ∴的最大值． 【点睛】这道题的核心在于理解“旋转线段”与“旋转距离”的定义，并将其转化为几何位置关系问题． 几何变换的代数化：旋转的坐标变换公式是解题关键（例如：点绕原点逆时针旋转变为，需结合平移处理）． 数形结合（临界法）：求解或的取值范围时，核心是找到临界状态（即线段的端点恰好落在圆上）． 分类讨论思想：在求的最大值时，需要根据相对于点的位置（即的大小）分情况讨论：跨越直线，或完全在直线同侧．最终通过比较得出． 5．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，已知点，，对于坐标原点和点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，称点是点的“对应点”． (1)如图，当点，时， ①画出点的“对应点”点； ②若点是点“的对应点”，则的坐标是______； (2)当点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”，则线段的最小值是_______，最大值是_____； (3)当点，时，是以线段为半径的上一点，若上存在点是点的“对应点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①如图所示， ② (2)；； (3)或 【分析】（1）①根据新定义，结合平移的性质，得出，描点，即可求解； ②根据新定义确定平移方式，即可求解； 设，根据新定义得，即可求解； （2）根据题意得出点在以为圆心半径为1的圆上，求得，再根据一点到圆上的距离的最值问题，即可求解； （3）根据新定义得出点是以为圆心，为半径的圆上运动，进而结合图形分析两圆相切或相交时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示， ∵， ∴， ∴， 将点向左平移4个单位，向上平移2个单位得到 ②依题意，点是点的“对应点”， ∴从点到，平移方式为向右平移2个单位向上平移1个单位 设， ∴，解得： ∴ （2）解：∵点，时，是半径为的上一点，点是点的“对应点”， 将向右平移3个单位，向上平移3个单位得到， ∴点在以为圆心半径为1的圆上 ∴ ∴线段的最小值是；最大值为； （3）解：点，时，是以线段为半径的上一点， ∴ ∵点是点的“对应点”， ∴ 如图，点是以为圆心，为半径的圆上运动， 依题意，点是沿方向平移得到的，则 若上存在点是点的“对应点”，则两圆相切或相交， 当两圆相切时， ∴ ∵， ∴， ∴ 解得：或 当点在的左侧时， 如图，当点在的右侧时， 综上所述若上存在点是点的“对应点”，的取值范围为或． 6．（2026·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，且与x轴的正半轴交于点A，对于的弦和弦外一点P，给出如下定义：对于给定的角度，若在弦上存在两个不同的点M，N，使得，则称点P是弦的关联点，称的长度的最大值为点P与弦的关联值． (1)若与y轴的正半轴交于点B，在点，，中，点_____是弦的关联点，该点与弦的关联值为________； (2)当弦的长为2时，若直线上存在弦的关联点，直接写出b的取值范围； (3)设弦的长为．对于每一个m的值，点P是弦的关联点，且点P与弦的关联值为，记此时满足条件的所有点P到弦中点的距离的最大值为d．当点B在上运动时，直接写出d的取值范围 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）以的中点为圆心，以为直径，作，当在圆上（不包括点）时，均满足，即弦的关联点在圆上（不包括点），故可以推导出弦的关联点的轨迹为是以为直径的圆围成的区域，包括边界（除线段外），设的中点为，只要点落在内部或者上（除线段外），均满足条件，即可判断； （2）以为底边，构造等腰三角形，使得，分别以为圆心，以长为半径画圆，先判断出弦的关联点的轨迹是和优弧（除外），以为底边，画等腰三角形，使得，再分别以点为圆心，以长为半径画圆，当的长度从0到2变动时，可知弦的关联点的轨迹在上以及内部（弦除外），那么只要与阴影部分有交点，即可满足题意，从而推出当与相切时，达到最大值，当与相切时，达到最小值，接着求得答案； （3）为底边分别向上向下构造顶角的等腰三角形和等腰三角形，分别以为圆心，以为半径作圆，当线段从左到右移动时，优弧所覆盖的区域（不包含线段）即为弦的关联点，设线段的中点为，由题意可知，，过点作于点，作于点，当点是弦的关联点且关联值为时，意味着为临界弦长，点在以该弦为底、顶角的等腰三角形顶点为圆心的圆弧上，取与重合的临界情况，此时圆心到弦中点的距离可由勾股定理求得，而满足条件的点到的最大距离为圆心距与半径之和。最后结合弦长的取值范围即可确定的范围． 【详解】（1）解：如图所示，以的中点为圆心，以为直径，作， 当在圆上（不包括点）时，均满足，即弦的的关联点在圆上（不包括点）， ∵是弦上的不同两点， ∴， ∴当的长度在变动时，弦的关联点的轨迹为是以为直径的圆围成的区域，包括边界（除线段外），如下图阴影部分所示，设的中点为： ∴只要点落在内部或者上（除线段外），均满足条件， ∵的半径为2，且与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴只有落在上，均在外部， ∴点是弦的关联点，且该点与弦的关联值为； （2）解：当时， ，将代入，得，令，过点作轴的垂线交轴于点，如图 ∴ ， ∴， ∴ ， ∵的半径为2，且与x轴的正半轴交于点A， ∴， 连接， ∵弦的长为2，的半径为2， ∴， ∴为等边三角形， ∴点可能在第一，或者第四象限， 如下图： 以为底边，构造顶角的等腰三角形，即 ，再分别以为圆心，以长为半径画圆，如图所示： ∵当在或的优弧时（不包括），都有 ， ∴或优弧上的点（不包括）都是弦的关联点， 以为底边，画顶角为的等腰三角形，即，分别以点为圆心，以长为半径画圆： ∵是弦上的不同两点， ∴， ∴当的长度在0到2变动时，优弧所覆盖的区域（不包含线段）即为弦的关联点， ∴弦的关联点的轨迹在上以及内部（包括边界，弦除外），如上图阴影部分所示， ∵直线上存在弦的关联点， ∴只要与阴影部分有交点，即可满足题意， ∴当与相切时，达到最大值，当与相切时，达到最小值， 如图，当与相切于，作 于，连接，延长交于点，设交轴于， ∵为等边三角形， ∴ ， ， ∵， ∴在上， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴，， ∴， 不妨设， ∴ ， ∵与相切于点， ∴， ， ∵与平行， ∴ ， ∴ ， ∴，即， ∴； 同理可求得，当与相切时，； 故； （3）解：以为底边分别向上向下构造顶角的等腰三角形和等腰三角形，分别以为圆心，以为半径作圆，如下图所示： ∴在优弧上所有的点（除外）都满足， 当线段从左到右移动时，优弧所覆盖的区域（不包含线段）即为弦的关联点，即上图中阴影部分（不包含线段），当点与重合时，设线段的中点为，由题意可知，，过点作于点，作于点， 由关联值为知， 以为底边向上作顶角的等腰三角形， 则，于， ，， ， ， ， ，， 圆的半径． 当点与重合时，为中点，， 为中点，， ． 在中， ． 点在圆上运动， 的最大值为（当在延长线上时取得）， ． 圆半径为，，点在圆上， （直径）， 又， ． 随增大而增大， 当时，， 当时，． 综上所述，的取值范围为． 7．（2026·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，对于和外一点A给出如下定义：若点P在上，且对圆上任意一点Q，都有，则称线段是点A关于的关联线段，称的大小是点A关于的关联角度． (1)如图，的半径为1． ①已知点，则点A关于的关联线段的长为______，点A关于的关联角度为______； ②已知上一点，点D在直线上，线段是点D关于的关联线段，则点D的坐标为_____； (2)已知点，的半径为2，直线上的所有点都有关于的关联线段，记这些点关于的关联角度的最大值为，若，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①，30；② (2)或 【分析】（1）①过点作的切线，点为切点，则线段即为点A关于的关联线段，利用勾股定理解得，由切线的性质可得，进而解得的长度，并利用三角函数解得的值，即可获得答案； ②如下图，设线段与轴交于点，根据关联线段的定义可得，过点作轴于点，证明为等腰直角三角形，进而确定点坐标；利用待定系数法解得直线的解析式，联立直线的解析式与直线解析式，求解即可获得答案； （2）设直线上一点，根据关联角的定义，点关于的关联角度满足，要使最大，则最大，此时最小，当垂直于直线时，最小，最小值为点到直线的距离，结合易得，再分点在点右侧和点在点左侧两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：①如下图，过点作的切线，点为切点，则线段即为点A关于的关联线段， ∵， ∴， ∵为的切线，且， ∴， ∴，即点A关于的关联线段的长为， 又∵， ∴， ∴点A关于的关联角度为； ②如下图，设线段与轴交于点， ∵线段是点D关于的关联线段， ∴直线是切线，即， 过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与直线解析式， 可得，解得， ∴点D的坐标为； （2）设直线上任一点， 根据关联角的定义，点关于的关联角度满足， 要使最大，则最大，此时最小， 当垂直于直线时，最小，最小值为点到直线的距离， ∴的最大值为， ∵， ∴，即， 解得， 设直线分别交轴于点，如下图， 对于直线， 当时，， 当时，可得，解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在点右侧时，如图， 此时，， 则， 即，可得， 解得； 当点在点左侧时，如下图， 此时，， 则， 即，可得， 解得． 综上所述，的取值范围为或． 8．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，对于线段和直线（点，均不在直线上且直线不与直线平行），给出如下定义：过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长． (1)如图，已知点，点，线段关于直线的纵影长为______； (2)已知点，点，线段关于直线的纵影长为4，则的值为______； (3)已知，的半径为．若上存在点，使线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数的图像与性质等知识点，能够掌握数形结合和极限思维是解题的关键． （1）根据题意可设为，为，根据待定系数法即可求得为，为，将分别代入上式，可得和，进而求出答案； （2）直线一条过点旋转的直线，可以先确定一条直线，根据定义画出图像，结合平行的性质，可以将进行平移，且，所以可以得到点坐标，从而利用待定系数法求解； （3）根据线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，确定点的运动轨迹，然后可以确定与该轨迹有交点的圆的位置，从而可以求出半径的范围． 【详解】（1）解：∵过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长， ∴，， 设为，为， 将点，点分别代入上面两个式子，即，， ∴，， ∴为，为， 将分别代入上面两个式子，即，， ∴点和 ∴， ∴线段关于直线的纵影长为． （2）解： 是一条过点旋转的直线，如图，根据定义可知，当线段关于直线的纵影长为4时，，则或， 将，代入得， ，解得， 根据纵影长的定义可知， ， 将，代入得， ，解得， 根据纵影长的定义可知， ， 综上所述，或． （3）过点分别作直线和直线的平行线，分别交轴于点，， 当线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为时，， 如图，当，位于点两侧时，，过点作，与轴交于，与轴交于， 设， 与平行； ， ， 与平行， ， ， ， 则， ，即点的横坐标为， 当点的横坐标为2时，令与重合，的纵坐标为2，令与重合，的纵坐标为4， 当点的横坐标为2时，令与重合，的纵坐标为2，令与重合，的纵坐标为4， 此时点的运动轨迹如图所示， 如图，当，位于点同侧时，设， 当在第一象限， 设过点分别与直线和直线平行的直线为，， 代入得，则， 故，， 令得，，， ，即在直线上运动， ， ， 同理可以找到在第二象限，第三象限和第四象限的运动轨迹，如下图， 整理可得完整的运动轨迹，以为圆心，为半径的圆需与此轨迹有交点， 当刚好与轨迹相切时，， 当过点时，， 综上，． 9．（2026·北京昌平·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点A和线段，给出如下定义： 将线段绕点A顺时针旋转α可以得到线段（，分别是B，C的对应点），点P为线段上任意一点，若最小值为1，则称线段是的以点A为中心关于“α”的“关联线段”． (1)若． ①当时，如图点，，，，，，，的横、纵坐标都是整数，在线段，，，中，的以点A为中心关于“”的“关联线段”是_____； ②当时，且在直线上（点B在点C左侧），线段是的以点A为中心关于“”的“关联线段”，直接写出点B横坐标的取值范围； (2)若，，，点A在线段上，，直线与线段有交点，且线段是的以点A为中心关于“”的“关联线段”．直接写出b的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①根据定义求解即可； ②根据逆向思维，将点O绕点A逆时针旋转后确定点的坐标，利用定义结合相似三角形，解直角三角形的性质求解即可； （2）先求出线段的解析式，根据定义，分情况讨论点A的位置，利用等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意，得，，，，，，，，， 旋转后， ，，，，，，，， 点O到的最小距离为，满足定义，此时符合要求； 点O到的最小距离为，不满足定义，此时不符合要求； 点O到的最小距离为点到的距离，与圆相切，距离等于半径1，满足定义，此时符合要求； 点O到的最小距离大于，不满足定义，此时不符合要求； ∴的以点A为中心关于“”的“关联线段”是；； ②设直线与x轴交于点G，与y轴交于点E， 则，， ∴， ∴， ∴， 将点O绕点逆时针旋转，得到， 连接，过点作轴于点Q，则，， ∴， ∴， ∵，且线段在直线上，点P为线段任意一点，的最小值为1， 此时分情况讨论： ①当点为临界点时， 如图，过点作， ∴， 在中，， ∴，即； ②当点为临界点时，此时点与点重合， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 此时点与点E重合， 在中，，， ∴， ∵，， ∴，即点，，Q三点共线， ∴， 过点作轴交点K， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点B横坐标的取值范围为． （2）解：设的解析式为， 将点M，N分别代入得：， 解得， ∴线段的解析式为， ①如图，当点N与点重合，将点O绕点逆时针旋转得点， ∵，且直线与线段有交点， ∴存在的区域为阴影部分的圆环， 当时，b有临界值， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴b的临界值为； ②如图，当点M与点重合， ∵，， ∴， 将点O绕点逆时针旋转得点，此时点在线段上， 同理可得，当时，b有临界值， ∵与的k均为1， ∴， ∴， 延长交于点S， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴ ∴b的临界值为， 综上所述，b的取值范围是． 10．（2026·北京西城·一模）对于点P，和直线l，若将绕点P逆时针旋转（）得到，使得与直线l相切，则称点P为和直线l的旋切点，当存在n个满足条件的时，称该点为n阶旋切点，其中最小的称为最小旋切角． 在平面直角坐标系中， (1)若的半径为1，直线，则在点，，中，点 是和直线l的旋切点，且为 阶旋切点； (2)已知点，的半径为2，直线，若点是和直线m的旋切点，则t的取值范围是 ； (3)已知点，的半径为1，直线，点是和直线n的2阶旋切点且最小旋切角不超过，直接写出b的取值范围． 【答案】(1)C，2 (2) (3)或 【分析】本题考查旋转的性质，切线的性质，勾股定理，一次函数与几何综合； （1）根据定义进行判断，作直线，以点为圆心，长为半径作圆，交直线于点、，分别以点、为圆心，1为半径画圆，与直线相切，符合定义要求，点是和直线的旋切点，且为2阶旋切点； （2）当时，圆无论如何都不可能与直线相切，不符合题意；当时，寻找临界状态，当绕点逆时针旋转至圆心刚好落在轴上的点时，即为临界状态，据此即可求解； （3）点是和直线n的2阶旋切点且最小旋切角不超过，即最小的要满足，找到旋切角等于和旋切角等于这两种临界情形下的b的值，即可求出b的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，作直线，以点为圆心，长为半径作圆，交直线于点、，分别以点、为圆心，1为半径画圆，与直线相切，符合定义要求，即将以点为中心逆时针旋转或时，与直线相切，且，， ∴点是和直线的旋切点，且为2阶旋切点， ∵以点为圆心，长为半径作圆，与直线没有交点， ∴点为旋转中心，将绕其逆时针旋转（），不能与直线相切，不符合定义要求， ∵以点为圆心，长为半径作圆，与直线的交点、， ∴、、共线， ∴在逆时针方向上，， ∴点为旋转中心，将绕其逆时针旋转（），也不能与直线相切，不符合定义要求， 综上：点是和直线的旋切点，且为2阶旋切点，点、点不是和直线的旋切点． （2）解：∵的半径为2，直线，， 又∵旋转方向为逆时针，旋转角度（）， ∴当时，圆无论如何都不可能与直线相切， 当时，寻找临界状态，当绕点逆时针旋转至圆心刚好落在轴上的点时，符合题意，此时， ∴，解得：（舍去）或， ∴如果点沿着轴向左运动，一定符合题意， ∴． （3）解：∵点是和直线n的2阶旋切点且最小旋切角不超过，即最小的要满足， ∴我们首先来讨论第一个临界状态，旋切角等于（虽然等于不符合定义，但是不妨碍其作为临界值）， 作的两条切线，如图所示，切点分别为点和点，也就是不用旋转即与直线相切，这种情况可以理解为旋切角等于的临界状态， 当直线与相切于点时， ∵，， ∴， ∴， 当直线与相切于点时， ∵， ∴， ∵旋切角， ∴此处的值不能取等号， 我们再来讨论第二个临界状态，旋切角等于， 将点绕点逆时针旋转得到点，以点为圆心，1为半径作，作的两条切线和，与轴分别交于点和点，其中切线与相切于点， ∵，，， ∴， 作的垂直平分线交轴于点，可得是底角的等腰三角形， 过点作轴于点，中，， 设，则，，， 在中，，即， 化简变形可得，，即，解得（舍去）或， ∴， ∴， ∴， 以为斜边作等腰，由，可得， ∴，代入的解析式，可得， ∵直线和在轴上截得的线段， ∴直线和在轴上截得的线段， ∴， 综上：或． 11．（2026·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形G、图形R和直线l，给出如下定义：若图形G上存在点T（T在直线l外），使得图形R上至少有个点到直线l的距离与点T到直线l的距离相等，则称图形R为图形G关于直线l的“等距”图形． (1)已知点，，，． ①当时，在线段，，中，线段______为点A关于y轴的“等距”图形，其中k的值为______； ②若线段为线段关于y轴的“等距”图形，则t的取值范围是______； (2)已知直线，的圆心为，半径为1．若存在实数s以及的弦，使得任意以点为中心且边长为的等边均为弦关于直线l的“等距”图形，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①，1；② (2) 【分析】（1）①先求出点A到y轴的距离为2，再根据“等距”图形的定义即可求解；②设线段上的点到y轴的距离为，当时，线段有2个点满足；当或时，线段有1个点满足；再结合线段为线段关于y轴的“等距”图形，即可求出t的取值范围； （2）由边长为的等边均为弦关于直线l的“等距”图形，得出这个等边三角形的中心点必然经过直线，即，且，再根据任意的弦，上都存在点，到直线l的距离的最大值也要为，可找到的临界状态，求出临界状态的的值，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：①当时，则点，如图所示： ∴点A到y轴的距离为2， ∵，， ∴线段上的点到y轴的距离最小值为0，最大值为1， ∴线段不是点A关于y轴的“等距”图形， ∵，， ∴线段上的点到y轴的距离最小值为0，最大值为1， ∴线段不是点A关于y轴的“等距”图形， ∵，， ∴线段上的点到y轴的距离最小值为0，最大值为3， ∴线段是点A关于y轴的“等距”图形， 设线段的解析式为， 则，解得， ∴线段的解析式为， 当时，， ∴线段上有1个点到y轴的距离为2， ∴k的值为1． ②∵，， ∴同理①的方法可得，线段的解析式为， 设线段上的点到y轴的距离为，如图所示： 当时，线段有2个点满足， 当或时，线段有1个点满足， 又∵线段为线段关于y轴的“等距”图形， ∴线段存在点T，使得点T到y轴的距离不大于， 又∵在y轴的右侧，且到y轴的距离为3， ∴点在直线上或直线的左侧，如图所示： ∴t的取值范围为． （2）解：∵边长为的等边均为弦关于直线l的“等距”图形， ∴等边上存在3个点到直线的距离等于某个具体数值， ∵是以点为中心的任意一个等边三角形，且均存在3个点到直线的距离等于，如图所示： ∴这个等边三角形的中心点必然经过直线，即，且， ∴任意的弦，上都存在点，到直线l的距离的最大值也要为， 如图所示，点在直线上，作直线，，且， 作与直线相切于点， 若上存在一点到直线的距离达到，则与直线有交点即可， ∵直线， ∴， ∴、是等腰直角三角形， ∵的半径为1， ∴， ∴，， ∴， 同理，当点在直线的下方时，，， ∴， ∵点在第四象限， ∴点，即， ∴． 12．（2026·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，图形P上存在点A，图形Q上存在点B，图形R上存在点C，满足点A，点B，点C任意两点之间的距离都相等，称图形P，Q，R具有“平等关系”． (1)已知点． ①若点A，点B，点O具有“平等关系”，则点B的坐标为______； ②如图1，半径为1，若点A，，点具有“平等关系”，求a的值； (2)如图2，点，，以点O为圆心的两个同心圆，其中一个圆的半径为1，另一个圆的半径为r．若线段与这两个同心圆具有“平等关系”，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)①或；②或0 (2) 【分析】（1）①根据题意得到，取点，分两种情况，连接，求出，利用勾股定理得到，进而求解即可； ②如图，点B的坐标为，点E在上，由等边三角形得到，，然后根据“平等关系”的定义得到是等边三角形，证明出，得到，进而求解即可； （2）首先得到是等边三角形，，求出轴，，在右侧作等边，证明出，得到，然后根据三角形三边关系分别求出最小值和最大值即可． 【详解】（1）解：①∵点A，点B，点O具有“平等关系”， ∴ ∴是等边三角形 如图，取点，当点B在x轴上方时，连接 ∵ ∴ ∴ ∴点B的坐标为 当点B在x轴下方时，同理可得，点B的坐标为 综上所述，点B的坐标为或； ②如图，点B的坐标为，点E在上， ∵是等边三角形 ∴， ∵半径为1的与点，点具有“平等关系”， ∴上存在一点E，直线上存在一点C，满足 ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点B的坐标为 ∴轴 ∴点C的坐标为或 ∴或0； （2）解：∵线段与这两个同心圆具有“平等关系”， ∴线段上存在一点M，半径为1的上存在一点H，半径为r的上存在一点N，满足 ∴是等边三角形 ∴ ∵，， ∴轴， ∴线段与半径为1的的最短距离为点和之间的距离 如图，在右侧作等边，当点M坐标为时， ∴， ∴ ∴ ∴ 如图，当点N在线段上时，取得最小值1，即r的最小值为1； 如图，在右侧作等边，当点M和点F重合时， ∴， ∴ ∴ ∴ 如图，当点I在线段上时，取得最大值，即r的最大值为； 综上所述，r的取值范围为． 13．（2026·北京平谷·一模）如图，是的一条弦，点关于的对称点为，在射线上截取，则点为“弦心衍生点”． (1)在平面直角坐标系中，的半径为2，以下各点属于“弦心衍生点”的有_____； (2)平面直角坐标系中，若的半径为1，直线分别与轴，轴交于点，若线段上的点都是“弦心衍生点”，则的取值范围是___； (3)在（2）的条件下，若存在上的所有点都是“弦心衍生点”，则的半径的取值范围为____． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由题意可得圆心到的“弦心衍生点”的距离，据此即可判断； （2）由题意得点到线段上的点的距离，，，过点作于点，则，则，，，则，即可求解； （3）设，的半径为，当与圆心重合时，的取值范围与的衍生点的范围一致，即：；当时，可得，综合两种情况，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，当的半径为时，设圆心到弦的距离为，则， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴圆心到的“弦心衍生点”的距离， ∵，，，， ∴属于“弦心衍生点”的有． （2）解：∵的半径为1， 设点到线段上的点的距离为， ∵线段上的点都是“弦心衍生点”， ∴， ∵直线分别与轴，轴交于点， ∴，， ∴，， ∴， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵线段上的点都是“弦心衍生点”， ∴，，， ∴，，， ∴，即， 当时，，当时，， 两条抛物线的形状，如下图所示， ∴，，，， ∴或． （3）解：设，的半径为，“弦心衍生点”与圆心的距离为m， 半径为1，m的范围：， 当与圆心重合时，r的取值范围与m一致，即：， 当在圆周之外时，即时， ，即 综上所述，． 14．（2026·北京市西城区·二模）在平面直角坐标系中，对于半径为1的和它的一条弦，若点满足是以为腰的等腰三角形，且劣弧上的所有点均在上及其内部，则称点为弦的关联点． (1)已知点，，，则在的弦，，中，存在关联点的弦是________； (2)直线：与轴，轴交于点，，若线段上存在的某条长度为的弦的关联点，直接写出的取值范围； (3)是的一条弦，，点是的中点，若直线上有且仅有两个弦的关联点，直接写出点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先明确“关联点”P需满足两个条件：① 是以()为腰的等腰三角形；② 劣弧上的所有点都在上或内部（即劣弧AB被包含在内）．条件②实际上限制了∠AOB（圆心角）的大小，当圆心角小于等于，即弦长小于等于时，的弦存在关联点．再根据坐标计算、、即可判断； （2）确定轨迹：由（1）可知，长度为的弦，其关联点P到圆心距离的最大值和最小值，根据圆旋转不变性得出长度为的弦的关联点在以为圆心，以、为半径的圆环上，再根据直线与圆的位置关系寻找b的取值范围，需考虑线段与轨迹圆相切或过端点的临界状态．最小值：当线段经过轨迹区域的最低点时，最大值：当直线与圆环相切时，利用圆心到直线的距离等于半径求解． （3）根据“关联点”的存在性，可得当到直线的距离小于1时，直线存在两个点满足，但满足关联点在位于过点的切线上或与圆不同侧，故以的等腰三角形在的关联点若存在，则只有一个，再分情况讨论，根据临界位置确定得出点的纵坐标的取值范围． 【详解】（1）解：如图解，设以为腰的等腰中，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵劣弧上的所有点均在上及其内部， ∴，， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， 当，，则， ∴当圆心角小于等于，即弦长小于等于时，的弦存在关联点， ∵点，，， ∴，故存在关联点， ，故存在关联点， ，故弦不存在关联点； 综上：存在关联点的弦为． （2）解：如图解，是长为的弦，过、作的切线，分别以、为圆心，为半径画弧，分别交两条切线于、、、， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是切线， ∴，， 结合（1）和辅助线作法可知：的关联点在、， 当在位置时，，此时取最大值， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 当时，取最小值，最小值为， 根据圆的旋转不变性可知，长度为的弦的关联点在以为圆心，以、为半径的圆环上，如图解图所示 ∵直线， 令，得；令，得，解得：； ∴，， ∴， 当直线经过内环与轴的交点时，取最小值，此时，得； 当直线与外环（外环半径）相切时， 取最大值， 设切点坐标为，切点到的距离为． 整理得， ∴方程有相等的实数根，即， 整理得：，解得；(负值不合题意已经舍去) 综上：． （3）解：∵与相切，设切点为，弦在直线上的关联点为， ∴，， 连接、， ∵， ∴为等边三角形， 结合（1）可知：当到直线的距离小于1时，直线存在两个点满足，但满足关联点在位于过点的切线上或与圆不同侧，故以的等腰三角形在的关联点若存在，则只有一个，或在轴下方时，即到直线距离大于1，直线上不存在关联点， 同理，以的等腰三角形在的关联点若存在也只有一个， ①当、位于轴两侧时，在不存在关联点， ②当在时，即与点重合时，直线上有且仅有两个弦的关联点，如解所示： 又∵是等边三角形， ∴点横坐标为，点纵坐标为， ∴此时点， ∴此时， ∴点的纵坐标为， ③当向下移动，到达时，此时到直线距离为1，此时到直线距离小于1，直线上有且仅有两个弦的关联点，如解所示： ∵是等边三角形，此时 ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点，的中点， ∴此时点的纵坐标为， ④当向下移动过程中是等边三角形时，即， 此时以为腰，以或为顶点的等腰三角形的关联点点重合，即此时只有一个关联点；如解所示： ∵， ∴四边形是菱形， ∴此时点为的中点， ∴点到直线的距离为， ∴点的纵坐标为，即此时只有一个关联点； ⑤当在第二象限时，纵坐标变化同第一象限． 综上：或． 15．（2026·北京燕山教育集团·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和图形M，若存在以点A为直角顶点的直角，使得图形M都在该直角内部，就称点A是图形M的“直盖点”．如图①即为点A是图形M的“直盖点”的示例． （1）若图形M是线段PQ，其中点，点，则以下三点：，，是线段PQ的“直盖点”的为________； （2）若的半径为，直线l：，求直线l上的“直盖点”E的横坐标的取值范围； （3）设的半径为，圆心T是x轴上的动点，直线与x轴，y轴分别交于点G、H，若线段GH上存在的“直盖点”，直接写出圆心T的横坐标的取值范围． 【答案】（1）B、C；（2）或；（3）或． 【分析】（1）根据“直盖点”的定义解答即可； （2）根据定义可得在其“直盖点”E为直角顶点的直角内部，引两条切线相交于点P，可求得的直盖点在以O为圆心，以2为半径的圆外，作以O为圆心，2为半径的圆与直线交于、两点，求出两点的坐标即可求解； （3）由（2）得的“直盖点”在以6为半径的圆外，可得当线段GH全部在半径为6的圆内时不能满足题意，分两种情况讨论①当圆心T在线段GH左侧时； ②当圆心T在线段GH右侧时. 【详解】（1）根据定义可得线段PQ的“直盖点”均在以该线段为直径的圆外，如图，作以PQ长为直径的圆，线段PQ的“直盖点”为点B、C． 故答案为：B、C （2）根据定义可得在其“直盖点”E为直角顶点的直角内部，如图，引两条切线相交于点P， ∵的半径为， ∴当两条切线夹角为90°时，． ∴的直盖点在以O为圆心，以2为半径的圆外． 作以O为圆心，2为半径的圆与直线交于、两点， 设、两点的坐标为、， 由勾股定理得，解得，， ∴点E的横坐标的取值范围为或； （3）∵， ∴由（2）得的“直盖点”在以6为半径的圆外， ∴当线段GH全部在半径为6的圆内时不能满足题意， ①当圆心T在线段GH左侧时，如图，作以T为圆心，6为半径的圆，当线段GH全部在大圆内时，设此时的圆心为，此时大圆过点G，易得圆心的坐标为； ②当圆心T在线段GH右侧时，如图，作以T为圆心，6为半径的圆，当线段GH全部被大圆包含时，设此时的圆心为，此时大圆过点H，在中，由勾股定理得，则的坐标为； 综上所述，观察图象可得圆心T的横坐标的取值范围是或． 【点睛】本题考查的是新定义问题，理解新定义并正确的画出图形是关键. 错因分析：较难题．失分原因：第（1）问：不能由定义得出线段的“直盖点”均在以该线段为直径的圆外；第（2）问：①不能由定义想到引出切线，从而得到的“直盖点”是在以2为半径的圆外；②不能正确求点、的坐标；第（3）问：①不能正确画出图象，找到线段GH全部被以T为圆心，6为半径的圆包含的两种极限情况；②不能正确观察图象，找到满足题意的情形 16．（2026·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，对于和外一点P，给出如下定义：若上存在两个不同的点A，B，使得且，则称点P是的“关联点”． (1)如图，的半径为2． ①在点，，中，的“关联点”是________； ②点P在直线上，记点P的横坐标为．若点P是的“关联点”，则的取值范围是________； (2)已知点，，，的半径为．若线段上至少存在两个的“关联点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2)或 【分析】（1）①根据“关联点”的定义结合图象即可判断； ②根据题意作出对应的图形，利用解直角三角形，相似三角形的判定与性质得出点P的运动轨迹为圆环，并求出圆环的半径范围，最后根据点P在直线上求出点P横坐标取值范围； （2）结合题意，先分析出的“”关联点，利用解直角三角形，相似三角形的判定与性质及勾股定理求出点P的运动轨迹为圆环，并得到圆环半径的取值范围，再分情况分析出圆环与线段的交点情况，得到其临界值，最终可求出t的取值范围． 【详解】（1）解：①由题意知，对于的“关联点”，则是等边三角形， 如图，，能与上不同两点A，B生成等边三角形， ∵与切线与y轴夹角小于，无法构成等边三角形， ∴的“关联点”是，； ②由题意知，若点P是的“关联点”，即，， ∴， 如图，在上任取两点A、B，作，使得，取，作，使，， ∴， 在中，， ∴， 易证得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 以点C为圆心，长为半径画圆，当点B固定，点A绕运动时，点P在优弧上， 当弦在上运动时，点P所在的轨迹为阴影部分的圆环，内环半径为2，外环半径为，即， 若点P在直线上，结合圆环半径，可得或． （2）解：对于的“关联点”， 如图，任作，取弦，作使得，，作交延长线于点C， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 作，使得，， 易证得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在以点Q为圆心，半径的圆上运动，则， 即点P的运动轨迹是一个圆环， ∵，，，的半径为， 设点T沿从上向下运动， 此时分情况讨论临界点的情况： ①当点N在以T为圆心，为半径的上时，则， 解得：； ②当线段与T为圆心，为半径的相切时，则， 解得：； ③当点M在以T为圆心，为半径的上时，则， 解得：，（舍去）， 综上所述，t的取值范围是或． 17．（2026·北京平谷·二模）定义：如图1，的半径为，若平面内以为线段一端点的长度为的线段上存在的切点，则称点为的切线段端点，简称“切端点”． (1)以下各点中，是半径为2的的“切端点”的有：__________； ，，， (2)在（1）的条件下，若直线上存在的“切端点”，则的取值范围为__________； (3)在平面直角坐标系中，的半径为，直线分别与轴，轴交于点，，若线段上的所有点都是的“切端点”，则的半径的取值范围为__________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据“切端点”定义可得，满足点是半径为的的“切端点”则，据此逐个判断即可； （2）设与轴交点为，与轴交点为，边上的高为，则，，，，，再根据“切端点”定义可得，，得到解得； （3）先求出，，则，，，设边上的高为，，设点是线段上任意一点，则，根据“切端点”定义可得，，即可得到，解得． 【详解】（1）解：根据“切端点”定义可得，，，与相切， ∴，， ∴， ∴， 根据垂线段最短可得最小值为， 即满足点是半径为的的“切端点”则， ∵半径为2的， ∴，， 对于，，故不是半径为2的的“切端点”； 对于，，故是半径为2的的“切端点”； 对于，，满足，故是半径为2的的“切端点”； 对于，，故不是半径为2的的“切端点”； 综上所述，是半径为2的的“切端点”的有，； （2）解：设与轴交点为，与轴交点为，边上的高为， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 即到直线的距离为， 在（1）的条件下，若直线上存在半径为2的的“切端点”，即直线上存在点，满足， ∴时，会存在在点，满足， 解得； （3）解：令得到，令得到，解得， ∴直线与轴交点，与轴交点， ∴，， ∴， 设边上的高为， ∴， ∴， 即到直线的距离为， 设点是线段上任意一点，则最小值为，最大值为， ∴， ∵线段上的所有点都是的“切端点”， ∴线段上的任意一点满足， ∴， 解得． 18．（2026·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，对于不重合的点A和点B以及正实数m有如下定义：过B点的任意一条直线上都存在点C，D（B，C，D互不重合），满足，称点B是点A的“m－区域点”，线段的长度的最小值叫做点B关于点A的“m－区域距离”． (1)若点A坐标为，在，，这三个点中________是点A的“2－区域点”，此时这个点关于点A的“2－区域距离”是________； (2)若点A是直线上一动点，记点A的横坐标为t，则使得坐标原点O是点A的“5－区域点”的t的取值范围是________，点O关于点A的“5－区域距离”的最大值是________； (3)若点，是半径为的上的两动点，且，，，若对于线段上的任意一点M，都存在，，使得M既是的“－区域点”也是的“－区域点”，直接写出t的取值范围是________． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】（1）根据“m－区域点”和“m－区域距离”的定义即可求解； （2）根据“m－区域点”的定义结合图象可得出，求得t的临界值并得出范围，再根据“m－区域距离”的定义可得出点O关于点A的“5－区域距离”存在最大值，则点O到点A的距离须为最小，即当时，存在最小值，利用勾股定理求得最大值即弦长最大值； （3）由题意可得，点M既在以为圆心，为半径的圆内，又在以为圆心，为半径的圆内，点M是线段上的动点，可得出线段均在如图所示的阴影部分内，结合图象并根据定义可得出与，与的交点坐标，从而得出t的临界值并得出范围． 【详解】（1）解：由题意知，点A的“m－区域点”是对过点B的任意直线与以A为圆心，m为半径的都有两个交点，点A的“m－区域距离”是与过点B的直径垂直的弦长， 如图，作以点A为圆心，半径为2的， 观察图象可知，点在内部，点在外部，点在上， ∴符合题意的点为，即点是点A的“2－区域点”， 过点作轴，交于点C，D，连接， ∴，， 在中，， 同理可得：， ∴，即点关于点A的“2－区域距离”是． （2）解：由题意知，点A是直线上一动点，且横坐标为t， ∴纵坐标为， 要使得坐标原点O是点A的“5－区域点”， 如图，分别作半径为5，且过点O的，，连接，， ∴， ∴， 解得：，， ∴t的取值范围是， 要使点O关于点A的“5－区域距离”存在最大值，则点O到点A的弦心距必为最小， ∴当时，存在最小值， 如图，作的平行线，连接，，设分别交x轴，y轴于点G，H， ∴， 易得，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 同理可得：， ∴， 即点O关于点A的“5－区域距离”的最大值是． （3）解：由题意可得，点M既在以为圆心，为半径的圆内，又在以为圆心，为半径的圆内， ∵点M是线段上的动点， ∴线段均在如图所示的阴影部分内， 如图，作半径为的，作直线交于点，，使得，交x轴于点P，分别以点，为圆心，为半径作，，两圆分别交，，连接，， ∴， 在中，， 同理可得：， ∴，， ∴，， ∵，在阴影区域内，且不与边界重合， ∴，解得：， 同理，作交于点，，使得，交x轴于点，分别以点，为圆心，为半径作，，两圆分别交，，连接，， ∴，， ∵，在阴影区域内，且不与边界重合， ∴，解得：， 综上所述，t的取值范围是或． 19．（2026·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，对于和外一点给出如下定义：在上任取两个不同的点，，连接，，当的大小取得最大值时，连接，相交于点，则称点是点关于的弦分点． (1)如图，的半径为． ①若点坐标为，则的最大值为________，此时在点，，中，点________是点关于的弦分点； ②若点在直线上，点是点关于的弦分点，则长的最大值为________； (2)已知的半径为，点，，，正方形以原点为中心．若在正方形的边上存在一点，使得点关于的弦分点在线段上，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，，② (2)或 【分析】（1）①当角的两条边分别与相切时（两条边不重合），此时构成的取最大值，据此计算判断即可； ②先证明，将用表示出来，即可求解； （2）先用待定系数法求出直线的解析式，根据点A关于的弦分点（记为M点）在线段上，设点，即，且，根据（1）中的方法表示出，此时可求出的范围，可确定点A的横坐标的最小值，当从最小值向最大值的变化过程中，在其中间必有点A的横坐标取最大值的位置点，点M在线段上，不含端点，根据待定系数法可得直线的解析式，根据点在射线上，设出点的坐标，再一次表示出，根据两次的代数式列等式，最后可用m表示出点A的横坐标，即可求出其最大值，要保证点在正方形的边上，且，即可求解． 【详解】（1）解：①当，分别与相切时，构成的取最大值，如图， 根据切线的性质有：，， 即有：， ∵，的半径为． ∴，， ∵， ∴在中，有， ∴， 同理有：， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴点是点关于的弦分点， ②如图， 根据①中方法，同理可证明， 又∵， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， 当取最小值时，有最大值， ∵点在直线上， ∴当点A在y轴上时，最小为， ∴最长的； （2）解：设直线的解析式为：， ∵点，， ∴，， ∴，即直线的解析式为：， ∵点A关于的弦分点（记为M点）在线段上， ∴设点，即，且， ∴， 根据（1）的方法同理可得：， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为：， 即， ∴直线的解析式为：， 此时点A在直线上； 当或时，取最小值，最小为：， 即或者， 此时点A在坐标轴上，且点A的横坐标的最小值为：4， 根据图形的对称性，如图， 当从最小值向最大值的变化过程中，点A的横坐标最小值为4，且在其中间必有点A的横坐标取最大值的位置点， 此时点M在线段上，不含端点，即，且， ∵， 根据待定系数法可得直线的解析式为：， ∵点A在射线上， ∴设，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当且仅当，即时，点A的横坐标取最大值，最大值为：； 综上有：， ∵要保证点在正方形的边上，， ∴， ∵正方形， ∴点P移动至其正方形对角顶点的位置同样满足条件，此时， 综上有：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，切线的性质等知识，正确理解弦分点的含义，是解答本题的关键． 20．（2026·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，的半径为，对于的弦和线段，给出如下定义：若弦上存在点，使线段关于点中心对称的线段是的弦（点，分别是点，的对应点），则称线段是弦的关联线段． (1)与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点． ①点，．在线段，，中，线段___________是弦的关联线段； ②若直线上存在两个不同的点，，使线段是弦的关联线段，直接写出的取值范围； (2)已知点，．若中存在长为的弦，使线段是弦的关联线段，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 或 【分析】（1）①设与轴的负半轴交于点，则，根据题意画出图形，得出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质结合新定义即可得出结论． ②设与轴交于点，则，关于点中心对称的点记为，关于点中心对称的点记为，分别求得，，进而得出直线的表达式为，上存在线段是线段是弦的关联线段，进而求得临界值，即当与相切时，求得的值，即可求解． （2）反向思考，作分别关于的对称点，分别以2为半径作圆，则在关于的中心对称的圆的内部，根据得出在半径为的上，在圆心为，半径分别为，的圆环内部，求得，则，据此列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：∵的半径为，与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点． ∴， 如图，设与轴的负半轴交于点，则 ∴， ∵，． ∴，且，轴 ∴四边形是平行四边形，为对角线 ∴与关于的中点中心对称，且为的一条弦， 与关于的中点中心对称，且为的直径， ∴线段，是弦的关联线段； 关于的中心对称点在上，且轴，则关于的中心对称的线段不是的一条弦， ∴线段 不 是弦 的关联线段； ②解：设与轴交于点，则， ∴， 当时，如图所示， 依题意，为上任意一点， 关于点中心对称的点记为，关于点中心对称的点记为 当重合时，则，即 当重合时，则，即 设直线的表达式为 代入， 解得： ∴直线的表达式为 ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， 同理可得直线的解析式为 ∴直线与直线平行， ∴与轴的夹角为 ∵直线上存在两个不同的点，，使线段是弦的关联线段， ∴上存在线段是线段是弦的关联线段 当与相切时，如图， 设切点为， ∴，则是等腰直角三角形， ∴，则 ∵ ∴ 解得；； 当时，同理可得 ∴直线上存在两个不同的点，，使线段是弦的关联线段，则与相交， ∴； （2）解：如图，，，则，为的中点，则 作分别关于的对称点，分别以2为半径作圆， ∴关于的中心的圆与重合， ∵， ∴， ∵中存在长为的弦，使线段是弦的关联线段， ∴在关于的中心对称的圆的内部， ∵，， ∴， 当在上滑动时，绕点旋转， ∵，则在半径为的上， ∵线段是弦的关联线段， ∴如图，在圆环内部（包括边界，图中阴影部分），圆环的内、外圆圆心皆为，半径分别为，6， ∴，即 ∵，， 的半径为，以为斜边作等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ 解得： 或 21．（2026·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，给定图形和两点，．若图形上存在两个不重合的点，，使得将点沿方向平移线段的长度后得到的点与将点沿方向平移线段的长度后得到的点重合，则称点与点关于图形双向合． 已知点，，． (1)在点，，中，与原点关于线段双向合的点是________； (2)若点是的边上一点，且点与点关于线段双向合，求点的坐标； (3)点是直线上一动点，以为圆心作半径为的．当点运动时，对于上任意一点，都能在的边上找到一点，使得，两点关于双向合，直接写出点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由，，设，，，且，得，设，根据双向合的定义可得，，，即可判断； （2）由，，设，，，且，得，设，根据双向合的定义可得，，，再由点是的边上一点，分点在上，点在上，点在上进行讨论即可求解； （3）由题意设圆心的坐标为，，是上任意两个不重合的点，点是的边上一点，设，，，，且或，根据双向合的定义可得，，由，是上任意两个不重合的点， 的半径为，可得，则上最远点到的边的最小距离，即圆心到的边的最小距离，再分圆心与上的点的最小距离，圆心与上的点的最小的距离，圆心与上的点的最小的距离进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴设，，，且， ∴， 设， ∵， 根据双向合的定义可得，或， ∴或， ∴，， ∴点与原点关于线段双向合，点，不与原点关于线段双向合． （2）解：∵，， ∴设，，，且， ∴， 设， ∵， 根据双向合的定义可得，或， ∴或， ∴，， ∵点是的边上一点， 当点在上时， ∵，， ∴，符合， ∴点的坐标为； 当点在上时，设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，符合， ∴； 当点在上时， ∵，， 则，不满足，不符合题意； 综上所述，点的坐标为或． （3）解：由题意设圆心的坐标为，，是上任意两个不重合的点，点是的边上一点， 设，，，，且或， 根据双向合的定义可得，或， ∴或， 即， ∵，， ∴， ∵，是上任意两个不重合的点， 的半径为， ∴， ∴， ∵对于上任意一点，都能在的边上找到一点，使得，两点关于双向合， ∴上最远点到对应的边的最小距离， ∵的半径为， ∴圆心到的边的最小距离， 如图，当圆心与上的点的最小距离时，过点作于点，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当圆心与上的点的最小的距离时，设与直线相交于点，连接，则 ， 由（2）可知，直线的解析式为， 联立， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴无论取何值，都成立， 当，即， 令 ， 当时， ， 解得，， ∴的解集为； 如图，当圆心与上的点的最小的距离时，连接，即 ， ∵，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴无论取何值， 都成立， 当 ，即 ， 令 ， 当时，， 解得，， ∴ 的解集为； 综上所述，或． 22．（2026·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和给出如下定义：若存在的弦，使得点关于直线的对称点在上，则称点是的关联点，称弦是点与的关联线段． (1)如图，在点，，中，点______是的关联点； (2)已知点，，若弦是点与的关联线段，则线段长的取值范围是______； (3)直线（）分别与轴，轴交于，两点，当线段上存在的关联点时，记这些点与的关联线段长的最大值为，若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由关联点的定义可得：若点是的关联点，即上存在点，使得点、能关于的某条弦所在的直线对称，的某条弦所在的直线是对称轴，寻找关联点的临界位置得出的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点，即，据此即可判断的关联点； （2）作与关于弦对称，得出点在上，连接，并延长交于点，，为最小值，为最大值，即可得出长的取值范围； （3）由（1）得：的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点，当线段上存在的关联点时，即要使线段与以点为圆心，以为半径的圆有两个交点，当线段与以点为圆心，以为半径的圆相切时，切点为，连接，由锐角三角函数求出此时的值，即可得出的取值范围，再由中最长的弦为直径得出关联线段长的最大值一定满足． 【详解】（1）解：由关联点的定义可得：若点是的关联点，即上存在点，使得点、能关于的某条弦所在的直线对称，的某条弦所在的直线是对称轴， 我们来寻找关联点的临界位置：如图，点为上的一点，过点作的直径， ∴临界状态为：当对称轴为过点的的切线时，此时点、关于对称， ∴， ∴， ∴临界位置的点是在以点为圆心，以为半径的圆上的， ∵此时对称轴是的切线，不是的弦， ∴的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点，并不包括圆上的点， ∴若点是的关联点，则， ∵，，， ∴，，， ∴点，为关联点，不是关联点． （2）解：作与关于弦对称，如图所示： ∴上的点是的关联点，关联线段为弦， 连接，并延长交于点，， ∴为最小值，为最大值， ∵点，， ∴， ∴，， ∴． （3）解：由（1）得：的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点， ∴当线段上存在的关联点时，即要使线段与以点为圆心，以为半径的圆有两个交点， 当线段与以点为圆心，以为半径的圆相切时，切点为，连接，如图所示： ∴，， ∵直线的解析式为， 令，得；令，得，解得：， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴在中，， ∴， ∴当时，线段上存在的关联点， ∵中最长的弦为的直径，的直径为， ∴线段上存在的关联点与的关联线段一定小于等于 ∵记这些点与的关联线段长的最大值为， ∴， ∵， ∴也一定成立， 综上：即可使线段上存在的关联点，且关联线段长的最大值为满足． 23．（2026·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，是图形上的任意一点，将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点的对应点，所有的点组成的图形称为图形的关联图形．能完全覆盖图形和它的关联图形的最小的圆称为图形和它的关联图形的最小覆盖圆（图形和它的关联图形上的所有点都在圆上或内部，且该圆的半径最小）． (1)点的关联图形的坐标为________，点的关联图形的坐标为________； (2)点的关联图形的坐标为，用含的代数式表示：________； (3)已知点在直线上，点，直接写出线段和它的关联图形的最小覆盖圆的半径的最小值，及此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）根据题意可得，点的关联图形的坐标为，即可求解； （2）根据题意可得点的关联图形的坐标，即可求解； （3）根据题意可得点的关联图形为，点的关联图形为，记线段和线段的最小覆盖圆为，取的中点，取的中点，连接，，，，，线段和线段的最小覆盖圆的半径取得最小值，由勾股定理可得的最小值，由中点坐标公式可得点的坐标． 【详解】（1）解：根据题意可得，点的关联图形的坐标为， ，，，， ∴点的关联图形的坐标为，点的关联图形的坐标为． （2）解：，， 根据题意可得，点的关联图形的坐标为， ∵点的关联图形的坐标为， ∴，， ∴． （3）解：∵点在直线上，点， ∴，， 又∵，，，， ∴点的关联图形为，点的关联图形为， ∴，，点、在直线上， 记直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点， 在中，令，得，令，得， ∴，， ∴， ∴，， 在中，令，得，令，得， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 记线段和线段的最小覆盖圆为，取的中点，取的中点，连接，，，，， ∴，， 当点、、、都在上时，， ∴，， 又∵， ∴此时，点、在上， ∴，， 又∵，， ∴点为的中点，点为的中点， ∴，，， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵点的关联图形为，点的关联图形为，， ∴当时，随着增大，线段和线段向右上方运动，线段的速度大于线段的速度，线段和线段的最小覆盖圆变大， 当时，随着减小，线段和线段向左下方运动，线段的速度大于线段的速度，线段和线段的最小覆盖圆变大， ∴当时，线段和线段的最小覆盖圆的半径最小，此时，点、、、都在上，， ∴线段和它的关联图形的最小覆盖圆的半径的最小值为，此时点的坐标为． 24．（2026·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，对于点P和线段，给出如下定义：记点关于点的对称点为点Q（特别地，当时，P与Q重合），若线段上存在点M，N，使得，且，则称点P是线段的“称角点”． (1)已知点，在点，，中，线段的“称角点”是 ； (2)已知点，点． ①若点，点，线段上存在线段的“称角点”，直接写出m的取值范围； ②已知点，C的半径为1，若存在一个m值，使得上存在线段的“称角点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据点关于点的对称点为点Q得，，由此画图即可判断； （2）①由于点 ，点，得，以为边向上和向下构造等边三角形和，则，，且四边形为菱形， 作点关于轴的对称点，作点关于的对称点，连接，的解析式为，当菱形与线段有交点时，线段上存在线段的“称角点”，由此即可求解； ②利用逆向思维，根据的轨迹确定的轨迹为菱形，根据（1）和①可得，，，，则满足条件时，与菱形有交点，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，则，，， 如图， 根据图象可知，，符合题意； （2）①由于点 ，点，则是和1的直角三角形的斜边，故，且和轴的夹角为， 以为边构造等边三角形和，则，， 由于， 则四边形为菱形， 对于上任意，,使得且成立的点都在菱形的边上或内部， 作点关于轴的对称点，作点关于的对称点，连接， 当线段上存在线段的“称角点”，则菱形与线段有交点， 设的解析式为，将和代入得， ，解得， 则； 当在上时，，即， 当在上时，，即， 综上所述，； ②由①可知，对于上任意，,使得且成立的点都在菱形的边上或内部， ∵关于点的对称点为点， ∵菱形所对应的点都在菱形的边上或内部，由于，，，，则变化前菱形顶点的坐标为，，，， 如图， 当与菱形有交点时，上存在线段的“称角点”， 当在左边与直线相切时，，即， 当在右边与直线相切时，，即， 综上所述，． 【点睛】本题考查了对称点坐标的特点，等腰三角形的性质，菱形的判定和性质，一次函数的解析式，圆与直线的位置，能够掌握逆向思维，准确确定动点轨迹是解题的关键． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $