专题09 新定义与填空压轴（北京专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 北京多区2026年二模数学填空压轴与新定义解答题汇编，聚焦中考高频难点，情境真实且梯度分明。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |填空题|13道|行程问题（研学基地出行）、优化分配（选手积分安排）、游戏策略（取棋子规则）、工序调度（3D打印模型）|情境融合绿色出行、机器人比赛等时代素材，分基础计算与策略优化两层次| |解答题|12道|平面直角坐标系几何变换（折旋点）、圆的性质（关联点）、对称与平移（双向合）|新定义结合几何直观与逻辑推理，与中考真题命题趋势高度契合|

专题09 新定义与填空压轴 2大考点概览 考点01填空压轴 考点02新定义 填空压轴 考点01 一、填空题 1．（2026·北京东城·二模）某中学组织300名师生前往距学校13千米的研学基地，为践行“绿色出行、高效协同”的研学理念，校方经综合评估，调度一辆额定载客50人的新能源巴士，该车行驶的平均速度为60千米/小时，师生步行的平均速度为4千米/小时．为安全高效抵达，将师生平均分为6组，采取步行与乘车相结合的方式，以实现“各组同时出发、尽早抵达”． （1）若第一组师生先步行2千米，余下的路程坐车，则第一组师生到达研学基地用时________分钟（不考虑上、下车时间）； （2）若从全体师生出发开始，到全体师生都到达研学基地为止，所经历的时间称为总耗时，则总耗时最少为________分钟（不考虑上、下车时间）． 2．（2026·北京朝阳·二模）某校举办的创新能力大赛共有5个环节．九年级代表队有A，B，C，D，E五名选手，每个人完成一个环节后获得的积分如下表所示： 选手 积分（单位：分） 环节1 环节2 环节3 环节4 环节5 A 16 17 17 19 19 B 23 24 22 25 22 C 16 11 12 15 14 D 13 9 13 11 11 E 16 15 13 17 17 现要求每个人只完成一个环节． （1）若A，B，C，D，E五名选手分别完成环节1，环节2，环节3，环节4，环节5，则九年级代表队共获得________分； （2）若九年级代表队要获得最多积分，则选手B应完成环节________． 3．（2026·北京顺义·二模）两名同学玩取棋子游戏，游戏规则如下： ①两名同学轮流取棋子； ②每次至少取走一颗棋子； ③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定； ④取走最后一颗棋子的同学获胜． 例如：一共有5颗棋子，两名同学约定每次最多取走2颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走2颗棋子． （1）如果一共有6颗棋子，两名同学约定每次最多取走3颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子； （2）如果一共有28颗棋子，两名同学约定每次最多取走4颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子． 4．（2026·北京石景山·二模）某校运动会上，名运动员参加米跑、立定跳远、实心球、跳高四项全能比赛．每个单项计分规则：第一名分，第二名分，第三名分，第四名分．四项比赛全部结束后，统计比赛结果，发现每个单项无并列名次，总分第一名得分，且该运动员实心球得分低于另外三个单项得分；总分第三名得分，且该运动员实心球得分高于另外三个单项得分． （1）总分第一名的运动员，获得________个单项第一名； （2）总分第二名的运动员，在实心球项目中的得分为________分． 5．（2026·北京丰台·二模）某工厂生产一种产品，每个产品由甲、乙各一个零件组成．该工厂有四条流水线A，B，C，D生产这两种零件，每条流水线一天只能生产同一种零件，第二天可以更换零件类型．每条流水线每天生产零件的数量如下表： 流水线 A B C D 甲零件/个 32 42 34 45 乙零件/个 35 50 56 60 若四条流水线都开通，1天最多生产该产品________个，5天最多生产该产品________个． 6．（2026·北京丰台·二模）某日小王将一辆小型车停到路边收费停车区域内，第二天离开时缴费24元．该区域停车收费标准如图： 根据以上信息，判断他离开的时刻可能是________（写出一个即可）． 7．（2026·北京房山·二模）某校举办“机器人武术动作编程”比赛，要求选手按固定顺序对组武术动作进行编程．每组动作按完成情况分为良好和优秀两个等级，可获得对应得分；若连续组及以上动作被评为优秀，则从该段连续优秀的第组动作开始（包含第二组动作），每一组动作还可获得表格中对应的额外加分．如：动作、、均评为优秀，则总得分为． 动作顺序及对应得分如下： 动作序号 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作名称 抱拳礼起势 开步双劈 按掌前推 搂手勾踢 缠腕斩拳 闪身冲拳 弹踢穿顶 掼拳戳脚 闪身砍推收势 良好 优秀 额外加分 —— 小宇参加了此次比赛，若他在动作中未获得额外加分，在动作中被评为优秀但未获得额外加分，全程最多连续组动作评为优秀，且连续组动作评为优秀的情况仅出现次．则小宇在前组动作中的得分之和最高为________分，他参加此次比赛的总得分最高为________分． 8．（2026·北京大兴·二模）某兴趣小组有3件打印模型需要制作，每个模型都要按四道工序的顺序完成．现安排甲、乙、丙3名同学来做，甲只负责A、D工序，乙只负责B工序，丙只负责C工序．同一模型同一时间只能进行一道工序，完成一道工序后才能开始下一道工序．一个人只有完成一个模型的一道工序后，才能进行下一个模型的工序．各工序耗时（单位：分钟）如下表： 模型1 模型2 模型3 A 3 6 4 B 5 3 4 C 4 7 5 D 2 9 3 （1）只完成模型1和模型3的制作，最少需要________分钟； （2）要完成这3件模型的制作，最少需要________分钟． 9．（2026·北京平谷·二模）某工厂需要加工4种零部件，每个零部件必须先经过加工工序，再经过组装工序．两道工序分别在两条独立的生产线上并行完成，各零部件在两道工序上的所需时间（单位：分钟）如下表所示： 零部件 甲 乙 丙 丁 加工时间 9 4 8 6 组装时间 7 5 3 10 （1）若按零部件顺序甲→乙→丙→丁依次进行加工（即零部件在加工工序上的处理顺序为甲、乙、丙、丁，组装工序在不违反“先加工后组装”的前提下，可按实际完成顺序安排），则全部零部件完成两道工序至少需要__________分钟； （2）若要使全部零部件完成两道工序的总时间最短，则加工工序上的处理顺序应为__________（写出一种即可）． 10．（2026·北京海淀·二模）某地推出4种特色农产品，每种农产品货源充足，均为独立包装且不可拆分．各农产品每包的重量与价值如下表： 农产品 A B C D 重量（kg） 7 12 8 5 价值（元） 60 100 58 45 在某批农产品的销售中，根据客户需求，助农志愿者使用纸箱装运农产品，且每箱所装农产品的总重量不超过28kg． （1）若每箱只装同一种农产品，则一箱农产品的总价值最大是________元； （2）若每箱中每种农产品最多装包，则一箱农产品的总价值最大是________元． 11．（2026·北京燕山教育集团·二模）小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有40盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现40盏小灯中，已知有15盏灯亮，其余都是暗的．要求玩家蒙上双眼，将40盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功． （1）若将灯平均分成两组，经检查第一组里有5盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍________盏，挑战成功． （2）小云的做法是：从40盏灯中任意选出n盏作为一组，然后将这n盏灯逐一拍一下，结果他挑战成功了，那么________． 12．（2026·北京市西城区·二模）某商店共有种不同型号的口罩，每种型号的口罩都有红、白、蓝三种颜色，每种型号的红色口罩价格均为每包50元，白色口罩价格均为每包元，蓝色口罩价格均为每包元（，且，均为整数）．甲、乙、丙三家公司各买一包每种型号的口罩，且对于同种型号的口罩，三家公司选择的颜色各不相同．结账时，甲、乙各自花费了1200元，丙花费了1400元． （1）若，，则的值为________； （2）若丙购买的口罩包含三种颜色，则丙用于购买白色和蓝色的口罩最多一共花费________元． 13．（2026·北京密云·一模）某烘焙小组为制作一款庆典蛋糕，需完成（胚体烘烤）、（奶油打发）、（水果处理）、（糖霜制作）、（胚体抹面）、（裱花装饰）、（料胚组装）七道工序，工序完成需满足以下流程要求： （1）只能在均完成后才能开始； （2）只能在完成后才能开始； （3）只能在和均完成后才能开始； （4）可与并行进行，无先后干扰； （5）一项工序同一时间只能由一名学生完成，完成后可接续其他工序，各工序所需时间如下表： 工序 胚体烘烤 奶油打发 水果处理 糖霜制作 胚体抹面 裱花装饰 料胚组装 时间/分钟 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成，至少需要________分钟才能全部完成；若要在最短时间内完成，最少需要________名学生参与． 新定义 考点02 一、解答题 1．（2026·北京密云·一模）在平面直角坐标系中，若将点P沿x轴翻折得到点，再将点绕点Q顺时针旋转得到点，则称点为点P的“折旋点”．例如：点的“折旋点”是点． (1)如图1，已知点． ①点，若点B是点A的“折旋点”，则点B的坐标为________； ②若点是点的“折旋点”，则点E的坐标为________； (2)已知点． ①如图2，的半径为2，若上存在点M，使得点是点M的“折旋点”，且点在直线上，求b的取值范围； ②已知是y轴上的动点，的半径为2，若上存在点N，使得点是点N的“折旋点”，且点在直线上，直接写出t的取值范围． 2．（2026·北京市西城区·二模）在平面直角坐标系中，对于半径为1的和它的一条弦，若点满足是以为腰的等腰三角形，且劣弧上的所有点均在上及其内部，则称点为弦的关联点． (1)已知点，，，则在的弦，，中，存在关联点的弦是________； (2)直线：与轴，轴交于点，，若线段上存在的某条长度为的弦的关联点，直接写出的取值范围； (3)是的一条弦，，点是的中点，若直线上有且仅有两个弦的关联点，直接写出点的纵坐标的取值范围． 3．（2026·北京燕山教育集团·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和图形M，若存在以点A为直角顶点的直角，使得图形M都在该直角内部，就称点A是图形M的“直盖点”．如图①即为点A是图形M的“直盖点”的示例． （1）若图形M是线段PQ，其中点，点，则以下三点：，，是线段PQ的“直盖点”的为________； （2）若的半径为，直线l：，求直线l上的“直盖点”E的横坐标的取值范围； （3）设的半径为，圆心T是x轴上的动点，直线与x轴，y轴分别交于点G、H，若线段GH上存在的“直盖点”，直接写出圆心T的横坐标的取值范围． 4．（2026·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，对于和外一点P，给出如下定义：若上存在两个不同的点A，B，使得且，则称点P是的“关联点”． (1)如图，的半径为2． ①在点，，中，的“关联点”是________； ②点P在直线上，记点P的横坐标为．若点P是的“关联点”，则的取值范围是________； (2)已知点，，，的半径为．若线段上至少存在两个的“关联点”，直接写出t的取值范围． 5．（2026·北京平谷·二模）定义：如图1，的半径为，若平面内以为线段一端点的长度为的线段上存在的切点，则称点为的切线段端点，简称“切端点”． (1)以下各点中，是半径为2的的“切端点”的有：__________； ，，， (2)在（1）的条件下，若直线上存在的“切端点”，则的取值范围为__________； (3)在平面直角坐标系中，的半径为，直线分别与轴，轴交于点，，若线段上的所有点都是的“切端点”，则的半径的取值范围为__________． 6．（2026·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，对于不重合的点A和点B以及正实数m有如下定义：过B点的任意一条直线上都存在点C，D（B，C，D互不重合），满足，称点B是点A的“m－区域点”，线段的长度的最小值叫做点B关于点A的“m－区域距离”． (1)若点A坐标为，在，，这三个点中________是点A的“2－区域点”，此时这个点关于点A的“2－区域距离”是________； (2)若点A是直线上一动点，记点A的横坐标为t，则使得坐标原点O是点A的“5－区域点”的t的取值范围是________，点O关于点A的“5－区域距离”的最大值是________； (3)若点，是半径为的上的两动点，且，，，若对于线段上的任意一点M，都存在，，使得M既是的“－区域点”也是的“－区域点”，直接写出t的取值范围是________． 7．（2026·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，对于和外一点给出如下定义：在上任取两个不同的点，，连接，，当的大小取得最大值时，连接，相交于点，则称点是点关于的弦分点． (1)如图，的半径为． ①若点坐标为，则的最大值为________，此时在点，，中，点________是点关于的弦分点； ②若点在直线上，点是点关于的弦分点，则长的最大值为________； (2)已知的半径为，点，，，正方形以原点为中心．若在正方形的边上存在一点，使得点关于的弦分点在线段上，直接写出的取值范围． 8．（2026·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，的半径为，对于的弦和线段，给出如下定义：若弦上存在点，使线段关于点中心对称的线段是的弦（点，分别是点，的对应点），则称线段是弦的关联线段． (1)与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点． ①点，．在线段，，中，线段___________是弦的关联线段； ②若直线上存在两个不同的点，，使线段是弦的关联线段，直接写出的取值范围； (2)已知点，．若中存在长为的弦，使线段是弦的关联线段，直接写出t的取值范围． 9．（2026·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，给定图形和两点，．若图形上存在两个不重合的点，，使得将点沿方向平移线段的长度后得到的点与将点沿方向平移线段的长度后得到的点重合，则称点与点关于图形双向合． 已知点，，． (1)在点，，中，与原点关于线段双向合的点是________； (2)若点是的边上一点，且点与点关于线段双向合，求点的坐标； (3)点是直线上一动点，以为圆心作半径为的．当点运动时，对于上任意一点，都能在的边上找到一点，使得，两点关于双向合，直接写出点的纵坐标的取值范围． 10．（2026·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和给出如下定义：若存在的弦，使得点关于直线的对称点在上，则称点是的关联点，称弦是点与的关联线段． (1)如图，在点，，中，点______是的关联点； (2)已知点，，若弦是点与的关联线段，则线段长的取值范围是______； (3)直线（）分别与轴，轴交于，两点，当线段上存在的关联点时，记这些点与的关联线段长的最大值为，若，直接写出的取值范围． 11．（2026·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，是图形上的任意一点，将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点的对应点，所有的点组成的图形称为图形的关联图形．能完全覆盖图形和它的关联图形的最小的圆称为图形和它的关联图形的最小覆盖圆（图形和它的关联图形上的所有点都在圆上或内部，且该圆的半径最小）． (1)点的关联图形的坐标为________，点的关联图形的坐标为________； (2)点的关联图形的坐标为，用含的代数式表示：________； (3)已知点在直线上，点，直接写出线段和它的关联图形的最小覆盖圆的半径的最小值，及此时点的坐标． 12．（2026·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，对于点P和线段，给出如下定义：记点关于点的对称点为点Q（特别地，当时，P与Q重合），若线段上存在点M，N，使得，且，则称点P是线段的“称角点”． (1)已知点，在点，，中，线段的“称角点”是 ； (2)已知点，点． ①若点，点，线段上存在线段的“称角点”，直接写出m的取值范围； ②已知点，C的半径为1，若存在一个m值，使得上存在线段的“称角点”，直接写出t的取值范围． 6/12 5/12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 新定义与填空压轴 2大考点概览 考点01填空压轴 考点02新定义 填空压轴 考点01 一、填空题 1．（2026·北京东城·二模）某中学组织300名师生前往距学校13千米的研学基地，为践行“绿色出行、高效协同”的研学理念，校方经综合评估，调度一辆额定载客50人的新能源巴士，该车行驶的平均速度为60千米/小时，师生步行的平均速度为4千米/小时．为安全高效抵达，将师生平均分为6组，采取步行与乘车相结合的方式，以实现“各组同时出发、尽早抵达”． （1）若第一组师生先步行2千米，余下的路程坐车，则第一组师生到达研学基地用时________分钟（不考虑上、下车时间）； （2）若从全体师生出发开始，到全体师生都到达研学基地为止，所经历的时间称为总耗时，则总耗时最少为________分钟（不考虑上、下车时间）． 【答案】 【分析】（1）分别计算步行和乘车的时间，求和后换算单位即可得到结果； （2）总耗时最少时所有组同时到达，每组乘车路程和步行路程分别相等，结合巴士行驶总时间等于全体到达终点的总时间列方程求解，即可得到最少总耗时． 【详解】解：（1）（小时），（分钟）； （2）设每组乘车千米，则步行千米，全体到达终点的总时间为小时， 将人分为组，巴士送完一组需要空车返回接下一组，共空车返回次， ∵车速和步行速度比为， ∴每次空车返回路程为， 巴士行驶总路程为，行驶总时间也为， 因此， 联立等式得， 解得， 将代入得总时间（小时），（分钟）． 2．（2026·北京朝阳·二模）某校举办的创新能力大赛共有5个环节．九年级代表队有A，B，C，D，E五名选手，每个人完成一个环节后获得的积分如下表所示： 选手 积分（单位：分） 环节1 环节2 环节3 环节4 环节5 A 16 17 17 19 19 B 23 24 22 25 22 C 16 11 12 15 14 D 13 9 13 11 11 E 16 15 13 17 17 现要求每个人只完成一个环节． （1）若A，B，C，D，E五名选手分别完成环节1，环节2，环节3，环节4，环节5，则九年级代表队共获得________分； （2）若九年级代表队要获得最多积分，则选手B应完成环节________． 【答案】 2 【分析】①根据对应分配关系提取对应积分，利用有理数加法计算即可； ②计算B分配到每个环节时的最大总积分，比较得到结果． 【详解】解：①根据题意，提取对应选手对应环节的积分计算得： ； ②由题意，五名选手各对应一个不同环节，总积分为各选手积分之和， 依次计算B分配到各环节时的最大总积分： B分配到环节1（积分23分）：剩余环节为2、3、4、5，最优分配为A(环节5)分、E(环节2)分、C(环节4)分、D(环节3)分，剩余选手最大积分和为分，总积分为（分）； B分配到环节2（积分24分）：剩余环节为1、3、4、5，最优分配为A(环节4)分、E(环节5)分、C(环节1)分、D(环节3)分，剩余选手最大积分和为分，总积分为（分）； B分配到环节3（积分22分）：剩余环节为1、2、4、5，最优分配为A(环节5)分、E(环节2)分、C(环节4)分、D(环节1)分，剩余选手最大积分和为分，总积分为（分）； B分配到环节4（积分25分）：剩余环节为1、2、3、5，最优分配为A(环节5)分、E(环节2)分、C(环节1)分、D(环节3)分，剩余选手最大积分和为分，总积分为（分）； B分配到环节5（积分22分）：剩余环节为1、2、3、4，最优分配为A(环节4)分、E(环节2)分、C(环节1)分、D(环节3)分，剩余选手最大积分和为分，总积分为（分）； 比较得最大总积分为分，此时选手B应完成环节． 3．（2026·北京顺义·二模）两名同学玩取棋子游戏，游戏规则如下： ①两名同学轮流取棋子； ②每次至少取走一颗棋子； ③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定； ④取走最后一颗棋子的同学获胜． 例如：一共有5颗棋子，两名同学约定每次最多取走2颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走2颗棋子． （1）如果一共有6颗棋子，两名同学约定每次最多取走3颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子； （2）如果一共有28颗棋子，两名同学约定每次最多取走4颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子． 【答案】 【分析】要确保先手获胜，先手取完第一次后，接下来需保证每一轮两人取棋子的总和为每次最多取棋子数，计算总棋子数除以每次最多取棋子数的余数，余数就是先手首次应该取走的棋子数，之后每轮对手取颗，先手取“每次最多取棋子数”颗，即可保证先手取走最后一颗棋子． 【详解】（1）已知总棋子数为，每次最多取颗， 由， ，余数为， ∴先手首次应该取走颗棋子． 剩余颗棋子，之后无论对手取颗，先手取颗，一轮共取走颗，先手可取走最后一颗获胜． （2）已知总棋子数为，每次最多取颗， 由 ， ，余数为， 因此先手首次应该取走颗棋子． 剩余颗棋子，之后无论对手取颗，先手取颗，每轮共取走颗，经过轮后，先手可取走最后一颗获胜． 4．（2026·北京石景山·二模）某校运动会上，名运动员参加米跑、立定跳远、实心球、跳高四项全能比赛．每个单项计分规则：第一名分，第二名分，第三名分，第四名分．四项比赛全部结束后，统计比赛结果，发现每个单项无并列名次，总分第一名得分，且该运动员实心球得分低于另外三个单项得分；总分第三名得分，且该运动员实心球得分高于另外三个单项得分． （1）总分第一名的运动员，获得________个单项第一名； （2）总分第二名的运动员，在实心球项目中的得分为________分． 【答案】 【分析】先根据第一名的总分结合计分规则计算获得单项第一名的数量，再计算所有项目的总得分，结合第三名的得分条件和排名要求，推出剩余唯一的7分只能由第二名获得，即可得到结果． 【详解】解: （1）设总分第一名获得个单项第一名，若，总分为，不符合题意， 若，总分为，剩余一项得分为，满足总分，且符合实心球得分低于另外三个单项的条件，符合题意， 若，最高总分为，不可能，因此第一问结果为； （2）所有选手总分为，已知第一名得分，第三名得分，因此第二名和第四名总分为， 由排名可知，第二名总分，第四名总分， 因此，得， 由（1）可知，总分第一名拿了个分，剩余个分，且该分只能在实心球项目， 若该分由第三名获得，则第三名剩余三个项目总分为，三个项目每个至少得分，总分至少为，不可能， 若该分由第四名获得，则第四名总分至少为，超过第三名总分，不符合排名要求， 因此该分只能由第二名获得， 即第二名实心球得分为． 5．（2026·北京丰台·二模）某工厂生产一种产品，每个产品由甲、乙各一个零件组成．该工厂有四条流水线A，B，C，D生产这两种零件，每条流水线一天只能生产同一种零件，第二天可以更换零件类型．每条流水线每天生产零件的数量如下表： 流水线 A B C D 甲零件/个 32 42 34 45 乙零件/个 35 50 56 60 若四条流水线都开通，1天最多生产该产品________个，5天最多生产该产品________个． 【答案】 87 460 【分析】本题为方案最值问题，每个产品需要甲、乙零件各1个，因此生产产品数等于甲零件总数与乙零件总数的较小值，解题思路为：1天生产枚举所有分工方案，取最小数的最大值；多天生产按各流水线生产甲的相对效率排序，优先安排相对效率高的流水线生产甲，使甲、乙总数尽可能接近，得到最大产量． 【详解】解：若A，B流水线生产甲零件，有个，C，D流水线生产乙零件，则有个，此时生产该产品74个； 若A，C流水线生产甲零件，有个，B，D流水线生产乙零件，则有个，此时生产该产品66个； 若A，D流水线生产甲零件，有个，B，C流水线生产乙零件，则有个，此时生产该产品77个； 若B，C流水线生产甲零件，有个，A，D流水线生产乙零件，则有个，此时生产该产品76个； 若B，D流水线生产甲零件，有个，A，C流水线生产乙零件，则有个，此时生产该产品87个； 若C，D流水线生产甲零件，有个，A，B流水线生产乙零件，则有个，此时生产该产品79个； ∵， ∴四条流水线都开通，1天最多生产该产品87个； 四条流水线生产甲零件与生产乙零件的个数比分别为， ∴优先安排相对效率高的流水线生产甲零件， 设A流水线5天全生产甲，B流水线5天全生产甲，C流水线5天全生产乙，D流水线 x天生产甲零件，天生产乙零件，则生产甲零件共有个， 生产乙零件共有个， 当生产甲零件的个数等于生产乙零件的个数时， ， 解得：，符合实际要求， 所以生产零件的个数为个， 即5天最大产量为460个． 6．（2026·北京丰台·二模）某日小王将一辆小型车停到路边收费停车区域内，第二天离开时缴费24元．该区域停车收费标准如图： 根据以上信息，判断他离开的时刻可能是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分段计费问题的实际应用，先计算白天停车产生的费用，再计算夜间停车的费用，最后根据剩余费用推算第二天白天停车的时长． 【详解】解：小王停小型车， 处于白天停车， 此时白天的停车时长为：， 根据小型车的收费标准，分为首小时和首小时后， ， 首小时费用：（元），首小时后的费用：（元）， 第一天白天的费用：（元）， 则剩余费用为：（元）， 夜间时段为：次日， 共小时， ， 夜间费用为：（元）， 则扣除夜间费用还剩（元）， 此时的3元为第二天白天收费阶段， （个）， ， 离开时间为：（答案不唯一）． 7．（2026·北京房山·二模）某校举办“机器人武术动作编程”比赛，要求选手按固定顺序对组武术动作进行编程．每组动作按完成情况分为良好和优秀两个等级，可获得对应得分；若连续组及以上动作被评为优秀，则从该段连续优秀的第组动作开始（包含第二组动作），每一组动作还可获得表格中对应的额外加分．如：动作、、均评为优秀，则总得分为． 动作顺序及对应得分如下： 动作序号 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作名称 抱拳礼起势 开步双劈 按掌前推 搂手勾踢 缠腕斩拳 闪身冲拳 弹踢穿顶 掼拳戳脚 闪身砍推收势 良好 优秀 额外加分 —— 小宇参加了此次比赛，若他在动作中未获得额外加分，在动作中被评为优秀但未获得额外加分，全程最多连续组动作评为优秀，且连续组动作评为优秀的情况仅出现次．则小宇在前组动作中的得分之和最高为________分，他参加此次比赛的总得分最高为________分． 【答案】 【分析】需根据题干给出的得分规则和限制条件，先分析前两组动作的最高得分，再通过合理安排优秀动作的顺序，满足限制条件，计算得到最高总得分． 【详解】小宇在动作中未获得额外加分， 排除动作同时优秀的情况， 所有可能的得分： 优秀，良好：分； 良好，优秀：分； 均为良好：分； 小宇在前组动作得分之和最高为分； 动作中被评为优秀但未获得额外加分， 动作一定不是优秀，为良好； 全程最多连续组动作评为优秀，且连续组优秀仅出现次， 要使总得分最高，存在可能的得分情况如下： 动作序号 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 动作 总得分 情况1 优秀6 良好3 优秀6 优秀7 优秀8 良好3 优秀8 优秀8 良好6 情况2 良好3 优秀5 优秀6 优秀7 良好5 良好3 优秀8 优秀8 良好6 情况3 优秀6 良好3 良好3 优秀7 优秀8 良好3 优秀8 优秀8 优秀8 情况4 优秀6 良好3 优秀6 优秀7 良好5 良好3 优秀8 优秀8 优秀8 他参加此次比赛的总得分最高为分． 8．（2026·北京大兴·二模）某兴趣小组有3件打印模型需要制作，每个模型都要按四道工序的顺序完成．现安排甲、乙、丙3名同学来做，甲只负责A、D工序，乙只负责B工序，丙只负责C工序．同一模型同一时间只能进行一道工序，完成一道工序后才能开始下一道工序．一个人只有完成一个模型的一道工序后，才能进行下一个模型的工序．各工序耗时（单位：分钟）如下表： 模型1 模型2 模型3 A 3 6 4 B 5 3 4 C 4 7 5 D 2 9 3 （1）只完成模型1和模型3的制作，最少需要________分钟； （2）要完成这3件模型的制作，最少需要________分钟． 【答案】 19 30 【分析】（1）分别计算先制作模型1后制作模型3，以及先制作模型3后制作模型1的总耗时，比较得出最小值； （2）根据工序先后顺序及人员分工，依次分析关键路径，计算各工序完成时刻得出总耗时，通过比较即可得出结果． 【详解】解：（1）由题意知， 若先制作模型1，后制作模型3： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型1为，模型3为， 丙完成C工序时间：模型1为，模型3为， 甲完成D工序时间：模型1为，模型3为， ∴总耗时20分钟； 若先制作模型3，后制作模型1： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型3为，模型1为， 丙完成C工序时间：模型3为，模型1为， 甲完成D工序时间：模型3为，模型1为， ∴总耗时19分钟， ∵， ∴最少需要19分钟； （2）要完成3件模型的制作，则有“模型1-模型2-模型3”、“模型1-模型3-模型2”、“模型2-模型1-模型3”、“模型2-模型3-模型1”、“模型3-模型1-模型2”“模型3-模型2-模型1”共六种顺序制作： ①模型1-模型2-模型3： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型1为，模型2为，模型3为， 丙完成C工序时间：模型1为，模型2为，模型3为， 甲完成D工序时间：模型1为，模型2为，模型3为， ∴总耗时31分钟； ②模型1-模型3-模型2： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型1为，模型3为，模型2为， 丙完成C工序时间：模型1为，模型3为，模型2为， 甲完成D工序时间：模型1为，模型3为，模型2为， ∴总耗时33分钟； ③模型2-模型1-模型3： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型2为，模型1为，模型3为， 丙完成C工序时间：模型2为，模型1为，模型3为， 甲完成D工序时间：模型2为，模型1为，模型3为， ∴总耗时30分钟； ④模型2-模型3-模型1： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型2为，模型3为，模型1为， 丙完成C工序时间：模型2为，模型3为，模型1为， 甲完成D工序时间：模型2为，模型3为，模型1为， ∴总耗时30分钟； ⑤模型3-模型1-模型2： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时刻：模型3为，模型1为，模型2为， 丙完成C工序时间：模型3为，模型1为，模型2为， 甲完成D工序时间：模型3为，模型1为，模型2为， ∴总耗时33分钟； ⑥模型3-模型2-模型1： 甲完成A工序时间：， 乙完成B工序时间：模型3为，模型2为，模型1为， 丙完成C工序时间：模型3为，模型2为，模型1为， 甲完成D工序时间：模型3为，模型2为，模型1为， ∴总耗时31分钟， 综上所述，要完成这3件模型的制作，最少需要30分钟． 9．（2026·北京平谷·二模）某工厂需要加工4种零部件，每个零部件必须先经过加工工序，再经过组装工序．两道工序分别在两条独立的生产线上并行完成，各零部件在两道工序上的所需时间（单位：分钟）如下表所示： 零部件 甲 乙 丙 丁 加工时间 9 4 8 6 组装时间 7 5 3 10 （1）若按零部件顺序甲→乙→丙→丁依次进行加工（即零部件在加工工序上的处理顺序为甲、乙、丙、丁，组装工序在不违反“先加工后组装”的前提下，可按实际完成顺序安排），则全部零部件完成两道工序至少需要__________分钟； （2）若要使全部零部件完成两道工序的总时间最短，则加工工序上的处理顺序应为__________（写出一种即可）． 【答案】 37 乙，丁，甲，丙 【分析】（1）加工顺序固定，根据先加工后组装，组装线同一时间只能加工一个零部件的规则，依次计算各零部件组装完成时间，即可得到总时间． （2）根据两道工序的最短时间调度规则，将加工时间小于组装时间的零部件按加工时间从小到大排前，加工时间大于组装时间的零部件按组装时间从大到小排后，即可得到总时间最短的加工顺序． 【详解】（1）解:加工顺序为甲→乙→丙→丁，先计算各零部件加工完成时间： 甲加工完成时间：分钟， 乙加工完成时间：分钟， 丙加工完成时间：分钟， 丁加工完成时间：分钟. 组装开始时间取当前零部件加工完成时间与上一零部件组装完成时间的最大值，依次计算组装完成时间： 甲组装完成时间：分钟， 乙组装完成时间的最大值： 分钟， 丙组装完成时间的最大值： 分钟， 丁组装完成时间的最大值： 分钟， 因此第一问总时间为分钟. （2）列出各零部件的加工时间和组装时间： 甲：，，满足， 乙：，，满足， 丙：，，满足， 丁：，，满足， 将满足的零部件按从小到大排序，得到顺序：乙，丁， 将满足的零部件按从大到小排序，得到顺序：甲，丙， 拼接后得到加工组装顺序：乙→丁→甲→丙，该顺序总时间最短，验证得总时间为分钟，符合要求． 10．（2026·北京海淀·二模）某地推出4种特色农产品，每种农产品货源充足，均为独立包装且不可拆分．各农产品每包的重量与价值如下表： 农产品 A B C D 重量（kg） 7 12 8 5 价值（元） 60 100 58 45 在某批农产品的销售中，根据客户需求，助农志愿者使用纸箱装运农产品，且每箱所装农产品的总重量不超过28kg． （1）若每箱只装同一种农产品，则一箱农产品的总价值最大是________元； （2）若每箱中每种农产品最多装包，则一箱农产品的总价值最大是________元． 【答案】 【分析】第一问，分别计算只装同一种农产品时，每箱最多可装的包数，计算对应总价值，比较得到最大值；第二问，根据每种农产品最多装2包的限制，列举所有符合总重量要求的组合，计算总价值后比较得到最大值． 【详解】解：（1）对于每箱只装同一种农产品的情况： 农产品A：总价值元； 农产品B：总价值元； 农产品C：总价值元； 农产品D：总价值元； 比较可知，一箱农产品的总价值最大为240元； （2）设装A，B，C，D的包数分别为a，b，c，d，满足，，，，a，b，c，d为非负整数， 且， 总价值，计算得： 当，，，时，，； 当，，，时，，； 当，，，时，，； 当，，，时，，； 其余符合重量限制的组合，总价值均小于223，因此第二问最大总价值为223元． 11．（2026·北京燕山教育集团·二模）小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有40盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现40盏小灯中，已知有15盏灯亮，其余都是暗的．要求玩家蒙上双眼，将40盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功． （1）若将灯平均分成两组，经检查第一组里有5盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍________盏，挑战成功． （2）小云的做法是：从40盏灯中任意选出n盏作为一组，然后将这n盏灯逐一拍一下，结果他挑战成功了，那么________． 【答案】 5 15 【分析】（1）先求出第二组初始亮灯数和第一组的暗灯数，要使拍灯盏数最少，那么所拍的灯都是暗的灯，据此可得答案； （2）设选出的盏灯中原有盏亮灯，表示出拍灯前选出的组和另一组中亮灯的数量，进而表示出拍灯后选出的组和另一组中亮灯的数量，根据拍灯规则得到拍完后两组的亮灯数，根据相等条件列等式，消去变量得到的值． 【详解】解：（1）∵一共有40盏小灯， ∴每组有盏小灯 ∵一共有15盏灯亮，第一组有盏灯亮， ∴第一组有盏灯暗，第二组有盏灯亮， ∵只拍第一组灯，第二组亮灯数不变，且要使两组中亮着的小灯数一样多， ∴拍完灯后第一组有10盏灯亮， ∵要使拍灯盏数最少， ∴所拍的灯都是暗的灯，使它们都变亮后满足第一组有10盏灯亮， ∴最少需拍盏灯； （2）设选出的盏灯中原有盏亮灯，则剩余一组的原有亮灯数为， 将选出的盏灯每一盏都拍一下后，原有盏亮灯变为暗，原有盏暗灯变为亮， 因此拍完后选出组的亮灯数为， ∵拍完后两组中亮着的小灯数一样多 ∴ 解得． 12．（2026·北京市西城区·二模）某商店共有种不同型号的口罩，每种型号的口罩都有红、白、蓝三种颜色，每种型号的红色口罩价格均为每包50元，白色口罩价格均为每包元，蓝色口罩价格均为每包元（，且，均为整数）．甲、乙、丙三家公司各买一包每种型号的口罩，且对于同种型号的口罩，三家公司选择的颜色各不相同．结账时，甲、乙各自花费了1200元，丙花费了1400元． （1）若，，则的值为________； （2）若丙购买的口罩包含三种颜色，则丙用于购买白色和蓝色的口罩最多一共花费________元． 【答案】 【分析】根据题意，三家总花费等于所有口罩的总价，可得核心等式 ，结合的取值范围分析求解，第一问直接代入计算即可，第二问根据丙包含三种颜色的条件，将所求目标转化为找最小的正整数，结合整数性质验证得到最大值． 【详解】解：由题意，每个型号的三种颜色被甲、乙、丙各购买一包，因此所有口罩总售价等于三家总花费，即． （1）将，代入等式得：， 解得． （2）由，且为整数，可得：， ∵是正整数， ∴，即，， 设丙购买红色口罩包，白色口罩包，蓝色口罩包， 由题意得：，且，均为正整数， ∴， ∴要使最大，需取最小的，即， 当时，，即， 将，代入得， 将代入得， ∴， ∵为正整数， ∴须为偶数， ∴须是奇数， ∴，或， ∵， ∴， ∴， 当时，，此时，则，均为正整数，满足条件，此时（元）； ∴丙用于购买白色和蓝色的口罩最多一共花费1350元． 13．（2026·北京密云·一模）某烘焙小组为制作一款庆典蛋糕，需完成（胚体烘烤）、（奶油打发）、（水果处理）、（糖霜制作）、（胚体抹面）、（裱花装饰）、（料胚组装）七道工序，工序完成需满足以下流程要求： （1）只能在均完成后才能开始； （2）只能在完成后才能开始； （3）只能在和均完成后才能开始； （4）可与并行进行，无先后干扰； （5）一项工序同一时间只能由一名学生完成，完成后可接续其他工序，各工序所需时间如下表： 工序 胚体烘烤 奶油打发 水果处理 糖霜制作 胚体抹面 裱花装饰 料胚组装 时间/分钟 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成，至少需要________分钟才能全部完成；若要在最短时间内完成，最少需要________名学生参与． 【答案】 【分析】本题为工序统筹优化问题，首先根据工序先后约束，计算学生数量足够时的最短总时间，再在最短总时间要求下，通过合理安排工序得到最少学生数量． 【详解】解：首先梳理所有工序：工序可并行进行，其中耗时最长的是，需要分钟， 工序：只能在都完成后开始，需要分钟，因此结束的最早时间为分钟, 工序：只能在完成后开始，需要分钟，因此结束的最早时间为分钟， 工序：需要和都完成后开始，分钟就可以完成并不受其他工序约束，因此的开始时间取决于的结束时间（第分钟），需要分钟，因此结束的最早时间为分钟， ∴最短总时间即为结束的最早时间，即分钟， ∵工序可并行进行， ∴工序需由至少两名同学来完成才能保证在分钟内完成， ∴学生负责完成工序需要的时间为分钟，后续三道工序可由最初完成工序的学生接续完成，无需其他人手， ∵如果工序均由一人完成，工序完成后还要保证后续工序的顺利进行，不影响总时长为分钟， ∴工序的时长：分钟，无法保证完成工序的同时，工序也同时完成， ∴工序至少需要由两人完成，即由学生负责完成工序，共计分钟，由学生负责完成工序，为分钟， ∴可以保证在学生完成工序用了分钟的同时，工序也同时完成，不影响后续工序的顺利进行，并保证总时长为分钟， ∴至少需要人完成． 新定义 考点02 一、解答题 1．（2026·北京密云·一模）在平面直角坐标系中，若将点P沿x轴翻折得到点，再将点绕点Q顺时针旋转得到点，则称点为点P的“折旋点”．例如：点的“折旋点”是点． (1)如图1，已知点． ①点，若点B是点A的“折旋点”，则点B的坐标为________； ②若点是点的“折旋点”，则点E的坐标为________； (2)已知点． ①如图2，的半径为2，若上存在点M，使得点是点M的“折旋点”，且点在直线上，求b的取值范围； ②已知是y轴上的动点，的半径为2，若上存在点N，使得点是点N的“折旋点”，且点在直线上，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】（1）根据“折旋点”的定义，先求出点关于x轴的对称点，再利用旋转的性质构造全等三角形或利用坐标变换规律求解目标点坐标即可； （2）①设出点M的坐标，根据定义表示出的坐标，代入直线方程得到M满足的直线方程，转化为直线与圆有交点的问题，利用圆心到直线的距离小于等于半径求解即可； ②先求出点N满足的直线方程，转化为圆心T到该直线的距离小于等于半径，解不等式求t的取值范围． 【详解】（1）解：①点关于x轴翻折，横坐标不变，纵坐标取相反数，得到， ∵绕点顺时针旋转至B， ∴，， 如图，过点B作x轴的垂线，垂足为点H， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵点B在第三象限， ∴点B的坐标为； ②点沿x轴翻折得， 在直线上方作， ∴，， ∴点D可以看作点绕点E顺时针旋转得到， ∴点是点的“折旋点”， 如图，过点E作，则，， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴点E与点A的纵坐标相同，点E与G的横坐标相同， ∵点E在第二象限， ∴点E的坐标为． （2）解：①设动点，折旋后对应点， ∵点在直线上， ∴，即， ∴点M在直线上， 当直线与圆相切时，与y轴交点最高或最低， 如图，当点M在第二象限时，连接，记与y轴交点L，与x轴交点I， ∴， 令，则；令，则， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 同理可得：当点M在第四象限时，连接，记与y轴交点J，与x轴交点K， ∴， 令，则；令，则， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴b的取值范围为； ②由题意知，关于“折旋点”坐标为， ∴点N关于x轴—点的折旋点在以为圆心，半径为2的圆上， 如图，当圆在直线左侧与直线相切时， 过点作轴交x轴于点Q，交于点R，过点作交于点P， ∴， 将代入得：，即， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，，， ∴，解得：； 如图，当圆在直线右侧与直线相切时， 过点作交于点S，过点作轴交y轴于点V，与交点W， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，解得：， 综上所述，t的取值范围为． 2．（2026·北京市西城区·二模）在平面直角坐标系中，对于半径为1的和它的一条弦，若点满足是以为腰的等腰三角形，且劣弧上的所有点均在上及其内部，则称点为弦的关联点． (1)已知点，，，则在的弦，，中，存在关联点的弦是________； (2)直线：与轴，轴交于点，，若线段上存在的某条长度为的弦的关联点，直接写出的取值范围； (3)是的一条弦，，点是的中点，若直线上有且仅有两个弦的关联点，直接写出点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先明确“关联点”P需满足两个条件：① 是以()为腰的等腰三角形；② 劣弧上的所有点都在上或内部（即劣弧AB被包含在内）．条件②实际上限制了∠AOB（圆心角）的大小，当圆心角小于等于，即弦长小于等于时，的弦存在关联点．再根据坐标计算、、即可判断； （2）确定轨迹：由（1）可知，长度为的弦，其关联点P到圆心距离的最大值和最小值，根据圆旋转不变性得出长度为的弦的关联点在以为圆心，以、为半径的圆环上，再根据直线与圆的位置关系寻找b的取值范围，需考虑线段与轨迹圆相切或过端点的临界状态．最小值：当线段经过轨迹区域的最低点时，最大值：当直线与圆环相切时，利用圆心到直线的距离等于半径求解． （3）根据“关联点”的存在性，可得当到直线的距离小于1时，直线存在两个点满足，但满足关联点在位于过点的切线上或与圆不同侧，故以的等腰三角形在的关联点若存在，则只有一个，再分情况讨论，根据临界位置确定得出点的纵坐标的取值范围． 【详解】（1）解：如图解，设以为腰的等腰中，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵劣弧上的所有点均在上及其内部， ∴，， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， 当，，则， ∴当圆心角小于等于，即弦长小于等于时，的弦存在关联点， ∵点，，， ∴，故存在关联点， ，故存在关联点， ，故弦不存在关联点； 综上：存在关联点的弦为． （2）解：如图解，是长为的弦，过、作的切线，分别以、为圆心，为半径画弧，分别交两条切线于、、、， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是切线， ∴，， 结合（1）和辅助线作法可知：的关联点在、， 当在位置时，，此时取最大值， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 当时，取最小值，最小值为， 根据圆的旋转不变性可知，长度为的弦的关联点在以为圆心，以、为半径的圆环上，如图解图所示 ∵直线， 令，得；令，得，解得：； ∴，， ∴， 当直线经过内环与轴的交点时，取最小值，此时，得； 当直线与外环（外环半径）相切时， 取最大值， 设切点坐标为，切点到的距离为． 整理得， ∴方程有相等的实数根，即， 整理得：，解得；(负值不合题意已经舍去) 综上：． （3）解：∵与相切，设切点为，弦在直线上的关联点为， ∴，， 连接、， ∵， ∴为等边三角形， 结合（1）可知：当到直线的距离小于1时，直线存在两个点满足，但满足关联点在位于过点的切线上或与圆不同侧，故以的等腰三角形在的关联点若存在，则只有一个，或在轴下方时，即到直线距离大于1，直线上不存在关联点， 同理，以的等腰三角形在的关联点若存在也只有一个， ①当、位于轴两侧时，在不存在关联点， ②当在时，即与点重合时，直线上有且仅有两个弦的关联点，如解所示： 又∵是等边三角形， ∴点横坐标为，点纵坐标为， ∴此时点， ∴此时， ∴点的纵坐标为， ③当向下移动，到达时，此时到直线距离为1，此时到直线距离小于1，直线上有且仅有两个弦的关联点，如解所示： ∵是等边三角形，此时 ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点，的中点， ∴此时点的纵坐标为， ④当向下移动过程中是等边三角形时，即， 此时以为腰，以或为顶点的等腰三角形的关联点点重合，即此时只有一个关联点；如解所示： ∵， ∴四边形是菱形， ∴此时点为的中点， ∴点到直线的距离为， ∴点的纵坐标为，即此时只有一个关联点； ⑤当在第二象限时，纵坐标变化同第一象限． 综上：或． 3．（2026·北京燕山教育集团·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和图形M，若存在以点A为直角顶点的直角，使得图形M都在该直角内部，就称点A是图形M的“直盖点”．如图①即为点A是图形M的“直盖点”的示例． （1）若图形M是线段PQ，其中点，点，则以下三点：，，是线段PQ的“直盖点”的为________； （2）若的半径为，直线l：，求直线l上的“直盖点”E的横坐标的取值范围； （3）设的半径为，圆心T是x轴上的动点，直线与x轴，y轴分别交于点G、H，若线段GH上存在的“直盖点”，直接写出圆心T的横坐标的取值范围． 【答案】（1）B、C；（2）或；（3）或． 【分析】（1）根据“直盖点”的定义解答即可； （2）根据定义可得在其“直盖点”E为直角顶点的直角内部，引两条切线相交于点P，可求得的直盖点在以O为圆心，以2为半径的圆外，作以O为圆心，2为半径的圆与直线交于、两点，求出两点的坐标即可求解； （3）由（2）得的“直盖点”在以6为半径的圆外，可得当线段GH全部在半径为6的圆内时不能满足题意，分两种情况讨论①当圆心T在线段GH左侧时； ②当圆心T在线段GH右侧时. 【详解】（1）根据定义可得线段PQ的“直盖点”均在以该线段为直径的圆外，如图，作以PQ长为直径的圆，线段PQ的“直盖点”为点B、C． 故答案为：B、C （2）根据定义可得在其“直盖点”E为直角顶点的直角内部，如图，引两条切线相交于点P， ∵的半径为， ∴当两条切线夹角为90°时，． ∴的直盖点在以O为圆心，以2为半径的圆外． 作以O为圆心，2为半径的圆与直线交于、两点， 设、两点的坐标为、， 由勾股定理得，解得，， ∴点E的横坐标的取值范围为或； （3）∵， ∴由（2）得的“直盖点”在以6为半径的圆外， ∴当线段GH全部在半径为6的圆内时不能满足题意， ①当圆心T在线段GH左侧时，如图，作以T为圆心，6为半径的圆，当线段GH全部在大圆内时，设此时的圆心为，此时大圆过点G，易得圆心的坐标为； ②当圆心T在线段GH右侧时，如图，作以T为圆心，6为半径的圆，当线段GH全部被大圆包含时，设此时的圆心为，此时大圆过点H，在中，由勾股定理得，则的坐标为； 综上所述，观察图象可得圆心T的横坐标的取值范围是或． 【点睛】本题考查的是新定义问题，理解新定义并正确的画出图形是关键. 错因分析：较难题．失分原因：第（1）问：不能由定义得出线段的“直盖点”均在以该线段为直径的圆外；第（2）问：①不能由定义想到引出切线，从而得到的“直盖点”是在以2为半径的圆外；②不能正确求点、的坐标；第（3）问：①不能正确画出图象，找到线段GH全部被以T为圆心，6为半径的圆包含的两种极限情况；②不能正确观察图象，找到满足题意的情形 4．（2026·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，对于和外一点P，给出如下定义：若上存在两个不同的点A，B，使得且，则称点P是的“关联点”． (1)如图，的半径为2． ①在点，，中，的“关联点”是________； ②点P在直线上，记点P的横坐标为．若点P是的“关联点”，则的取值范围是________； (2)已知点，，，的半径为．若线段上至少存在两个的“关联点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2)或 【分析】（1）①根据“关联点”的定义结合图象即可判断； ②根据题意作出对应的图形，利用解直角三角形，相似三角形的判定与性质得出点P的运动轨迹为圆环，并求出圆环的半径范围，最后根据点P在直线上求出点P横坐标取值范围； （2）结合题意，先分析出的“”关联点，利用解直角三角形，相似三角形的判定与性质及勾股定理求出点P的运动轨迹为圆环，并得到圆环半径的取值范围，再分情况分析出圆环与线段的交点情况，得到其临界值，最终可求出t的取值范围． 【详解】（1）解：①由题意知，对于的“关联点”，则是等边三角形， 如图，，能与上不同两点A，B生成等边三角形， ∵与切线与y轴夹角小于，无法构成等边三角形， ∴的“关联点”是，； ②由题意知，若点P是的“关联点”，即，， ∴， 如图，在上任取两点A、B，作，使得，取，作，使，， ∴， 在中，， ∴， 易证得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 以点C为圆心，长为半径画圆，当点B固定，点A绕运动时，点P在优弧上， 当弦在上运动时，点P所在的轨迹为阴影部分的圆环，内环半径为2，外环半径为，即， 若点P在直线上，结合圆环半径，可得或． （2）解：对于的“关联点”， 如图，任作，取弦，作使得，，作交延长线于点C， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 作，使得，， 易证得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在以点Q为圆心，半径的圆上运动，则， 即点P的运动轨迹是一个圆环， ∵，，，的半径为， 设点T沿从上向下运动， 此时分情况讨论临界点的情况： ①当点N在以T为圆心，为半径的上时，则， 解得：； ②当线段与T为圆心，为半径的相切时，则， 解得：； ③当点M在以T为圆心，为半径的上时，则， 解得：，（舍去）， 综上所述，t的取值范围是或． 5．（2026·北京平谷·二模）定义：如图1，的半径为，若平面内以为线段一端点的长度为的线段上存在的切点，则称点为的切线段端点，简称“切端点”． (1)以下各点中，是半径为2的的“切端点”的有：__________； ，，， (2)在（1）的条件下，若直线上存在的“切端点”，则的取值范围为__________； (3)在平面直角坐标系中，的半径为，直线分别与轴，轴交于点，，若线段上的所有点都是的“切端点”，则的半径的取值范围为__________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据“切端点”定义可得，满足点是半径为的的“切端点”则，据此逐个判断即可； （2）设与轴交点为，与轴交点为，边上的高为，则，，，，，再根据“切端点”定义可得，，得到解得； （3）先求出，，则，，，设边上的高为，，设点是线段上任意一点，则，根据“切端点”定义可得，，即可得到，解得． 【详解】（1）解：根据“切端点”定义可得，，，与相切， ∴，， ∴， ∴， 根据垂线段最短可得最小值为， 即满足点是半径为的的“切端点”则， ∵半径为2的， ∴，， 对于，，故不是半径为2的的“切端点”； 对于，，故是半径为2的的“切端点”； 对于，，满足，故是半径为2的的“切端点”； 对于，，故不是半径为2的的“切端点”； 综上所述，是半径为2的的“切端点”的有，； （2）解：设与轴交点为，与轴交点为，边上的高为， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 即到直线的距离为， 在（1）的条件下，若直线上存在半径为2的的“切端点”，即直线上存在点，满足， ∴时，会存在在点，满足， 解得； （3）解：令得到，令得到，解得， ∴直线与轴交点，与轴交点， ∴，， ∴， 设边上的高为， ∴， ∴， 即到直线的距离为， 设点是线段上任意一点，则最小值为，最大值为， ∴， ∵线段上的所有点都是的“切端点”， ∴线段上的任意一点满足， ∴， 解得． 6．（2026·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，对于不重合的点A和点B以及正实数m有如下定义：过B点的任意一条直线上都存在点C，D（B，C，D互不重合），满足，称点B是点A的“m－区域点”，线段的长度的最小值叫做点B关于点A的“m－区域距离”． (1)若点A坐标为，在，，这三个点中________是点A的“2－区域点”，此时这个点关于点A的“2－区域距离”是________； (2)若点A是直线上一动点，记点A的横坐标为t，则使得坐标原点O是点A的“5－区域点”的t的取值范围是________，点O关于点A的“5－区域距离”的最大值是________； (3)若点，是半径为的上的两动点，且，，，若对于线段上的任意一点M，都存在，，使得M既是的“－区域点”也是的“－区域点”，直接写出t的取值范围是________． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】（1）根据“m－区域点”和“m－区域距离”的定义即可求解； （2）根据“m－区域点”的定义结合图象可得出，求得t的临界值并得出范围，再根据“m－区域距离”的定义可得出点O关于点A的“5－区域距离”存在最大值，则点O到点A的距离须为最小，即当时，存在最小值，利用勾股定理求得最大值即弦长最大值； （3）由题意可得，点M既在以为圆心，为半径的圆内，又在以为圆心，为半径的圆内，点M是线段上的动点，可得出线段均在如图所示的阴影部分内，结合图象并根据定义可得出与，与的交点坐标，从而得出t的临界值并得出范围． 【详解】（1）解：由题意知，点A的“m－区域点”是对过点B的任意直线与以A为圆心，m为半径的都有两个交点，点A的“m－区域距离”是与过点B的直径垂直的弦长， 如图，作以点A为圆心，半径为2的， 观察图象可知，点在内部，点在外部，点在上， ∴符合题意的点为，即点是点A的“2－区域点”， 过点作轴，交于点C，D，连接， ∴，， 在中，， 同理可得：， ∴，即点关于点A的“2－区域距离”是． （2）解：由题意知，点A是直线上一动点，且横坐标为t， ∴纵坐标为， 要使得坐标原点O是点A的“5－区域点”， 如图，分别作半径为5，且过点O的，，连接，， ∴， ∴， 解得：，， ∴t的取值范围是， 要使点O关于点A的“5－区域距离”存在最大值，则点O到点A的弦心距必为最小， ∴当时，存在最小值， 如图，作的平行线，连接，，设分别交x轴，y轴于点G，H， ∴， 易得，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 同理可得：， ∴， 即点O关于点A的“5－区域距离”的最大值是． （3）解：由题意可得，点M既在以为圆心，为半径的圆内，又在以为圆心，为半径的圆内， ∵点M是线段上的动点， ∴线段均在如图所示的阴影部分内， 如图，作半径为的，作直线交于点，，使得，交x轴于点P，分别以点，为圆心，为半径作，，两圆分别交，，连接，， ∴， 在中，， 同理可得：， ∴，， ∴，， ∵，在阴影区域内，且不与边界重合， ∴，解得：， 同理，作交于点，，使得，交x轴于点，分别以点，为圆心，为半径作，，两圆分别交，，连接，， ∴，， ∵，在阴影区域内，且不与边界重合， ∴，解得：， 综上所述，t的取值范围是或． 7．（2026·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，对于和外一点给出如下定义：在上任取两个不同的点，，连接，，当的大小取得最大值时，连接，相交于点，则称点是点关于的弦分点． (1)如图，的半径为． ①若点坐标为，则的最大值为________，此时在点，，中，点________是点关于的弦分点； ②若点在直线上，点是点关于的弦分点，则长的最大值为________； (2)已知的半径为，点，，，正方形以原点为中心．若在正方形的边上存在一点，使得点关于的弦分点在线段上，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，，② (2)或 【分析】（1）①当角的两条边分别与相切时（两条边不重合），此时构成的取最大值，据此计算判断即可； ②先证明，将用表示出来，即可求解； （2）先用待定系数法求出直线的解析式，根据点A关于的弦分点（记为M点）在线段上，设点，即，且，根据（1）中的方法表示出，此时可求出的范围，可确定点A的横坐标的最小值，当从最小值向最大值的变化过程中，在其中间必有点A的横坐标取最大值的位置点，点M在线段上，不含端点，根据待定系数法可得直线的解析式，根据点在射线上，设出点的坐标，再一次表示出，根据两次的代数式列等式，最后可用m表示出点A的横坐标，即可求出其最大值，要保证点在正方形的边上，且，即可求解． 【详解】（1）解：①当，分别与相切时，构成的取最大值，如图， 根据切线的性质有：，， 即有：， ∵，的半径为． ∴，， ∵， ∴在中，有， ∴， 同理有：， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴点是点关于的弦分点， ②如图， 根据①中方法，同理可证明， 又∵， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， 当取最小值时，有最大值， ∵点在直线上， ∴当点A在y轴上时，最小为， ∴最长的； （2）解：设直线的解析式为：， ∵点，， ∴，， ∴，即直线的解析式为：， ∵点A关于的弦分点（记为M点）在线段上， ∴设点，即，且， ∴， 根据（1）的方法同理可得：， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为：， 即， ∴直线的解析式为：， 此时点A在直线上； 当或时，取最小值，最小为：， 即或者， 此时点A在坐标轴上，且点A的横坐标的最小值为：4， 根据图形的对称性，如图， 当从最小值向最大值的变化过程中，点A的横坐标最小值为4，且在其中间必有点A的横坐标取最大值的位置点， 此时点M在线段上，不含端点，即，且， ∵， 根据待定系数法可得直线的解析式为：， ∵点A在射线上， ∴设，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当且仅当，即时，点A的横坐标取最大值，最大值为：； 综上有：， ∵要保证点在正方形的边上，， ∴， ∵正方形， ∴点P移动至其正方形对角顶点的位置同样满足条件，此时， 综上有：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，切线的性质等知识，正确理解弦分点的含义，是解答本题的关键． 8．（2026·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，的半径为，对于的弦和线段，给出如下定义：若弦上存在点，使线段关于点中心对称的线段是的弦（点，分别是点，的对应点），则称线段是弦的关联线段． (1)与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点． ①点，．在线段，，中，线段___________是弦的关联线段； ②若直线上存在两个不同的点，，使线段是弦的关联线段，直接写出的取值范围； (2)已知点，．若中存在长为的弦，使线段是弦的关联线段，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 或 【分析】（1）①设与轴的负半轴交于点，则，根据题意画出图形，得出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质结合新定义即可得出结论． ②设与轴交于点，则，关于点中心对称的点记为，关于点中心对称的点记为，分别求得，，进而得出直线的表达式为，上存在线段是线段是弦的关联线段，进而求得临界值，即当与相切时，求得的值，即可求解． （2）反向思考，作分别关于的对称点，分别以2为半径作圆，则在关于的中心对称的圆的内部，根据得出在半径为的上，在圆心为，半径分别为，的圆环内部，求得，则，据此列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：∵的半径为，与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点． ∴， 如图，设与轴的负半轴交于点，则 ∴， ∵，． ∴，且，轴 ∴四边形是平行四边形，为对角线 ∴与关于的中点中心对称，且为的一条弦， 与关于的中点中心对称，且为的直径， ∴线段，是弦的关联线段； 关于的中心对称点在上，且轴，则关于的中心对称的线段不是的一条弦， ∴线段 不 是弦 的关联线段； ②解：设与轴交于点，则， ∴， 当时，如图所示， 依题意，为上任意一点， 关于点中心对称的点记为，关于点中心对称的点记为 当重合时，则，即 当重合时，则，即 设直线的表达式为 代入， 解得： ∴直线的表达式为 ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， 同理可得直线的解析式为 ∴直线与直线平行， ∴与轴的夹角为 ∵直线上存在两个不同的点，，使线段是弦的关联线段， ∴上存在线段是线段是弦的关联线段 当与相切时，如图， 设切点为， ∴，则是等腰直角三角形， ∴，则 ∵ ∴ 解得；； 当时，同理可得 ∴直线上存在两个不同的点，，使线段是弦的关联线段，则与相交， ∴； （2）解：如图，，，则，为的中点，则 作分别关于的对称点，分别以2为半径作圆， ∴关于的中心的圆与重合， ∵， ∴， ∵中存在长为的弦，使线段是弦的关联线段， ∴在关于的中心对称的圆的内部， ∵，， ∴， 当在上滑动时，绕点旋转， ∵，则在半径为的上， ∵线段是弦的关联线段， ∴如图，在圆环内部（包括边界，图中阴影部分），圆环的内、外圆圆心皆为，半径分别为，6， ∴，即 ∵，， 的半径为，以为斜边作等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ 解得： 或 9．（2026·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，给定图形和两点，．若图形上存在两个不重合的点，，使得将点沿方向平移线段的长度后得到的点与将点沿方向平移线段的长度后得到的点重合，则称点与点关于图形双向合． 已知点，，． (1)在点，，中，与原点关于线段双向合的点是________； (2)若点是的边上一点，且点与点关于线段双向合，求点的坐标； (3)点是直线上一动点，以为圆心作半径为的．当点运动时，对于上任意一点，都能在的边上找到一点，使得，两点关于双向合，直接写出点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由，，设，，，且，得，设，根据双向合的定义可得，，，即可判断； （2）由，，设，，，且，得，设，根据双向合的定义可得，，，再由点是的边上一点，分点在上，点在上，点在上进行讨论即可求解； （3）由题意设圆心的坐标为，，是上任意两个不重合的点，点是的边上一点，设，，，，且或，根据双向合的定义可得，，由，是上任意两个不重合的点， 的半径为，可得，则上最远点到的边的最小距离，即圆心到的边的最小距离，再分圆心与上的点的最小距离，圆心与上的点的最小的距离，圆心与上的点的最小的距离进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴设，，，且， ∴， 设， ∵， 根据双向合的定义可得，或， ∴或， ∴，， ∴点与原点关于线段双向合，点，不与原点关于线段双向合． （2）解：∵，， ∴设，，，且， ∴， 设， ∵， 根据双向合的定义可得，或， ∴或， ∴，， ∵点是的边上一点， 当点在上时， ∵，， ∴，符合， ∴点的坐标为； 当点在上时，设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，符合， ∴； 当点在上时， ∵，， 则，不满足，不符合题意； 综上所述，点的坐标为或． （3）解：由题意设圆心的坐标为，，是上任意两个不重合的点，点是的边上一点， 设，，，，且或， 根据双向合的定义可得，或， ∴或， 即， ∵，， ∴， ∵，是上任意两个不重合的点， 的半径为， ∴， ∴， ∵对于上任意一点，都能在的边上找到一点，使得，两点关于双向合， ∴上最远点到对应的边的最小距离， ∵的半径为， ∴圆心到的边的最小距离， 如图，当圆心与上的点的最小距离时，过点作于点，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当圆心与上的点的最小的距离时，设与直线相交于点，连接，则 ， 由（2）可知，直线的解析式为， 联立， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴无论取何值，都成立， 当，即， 令 ， 当时， ， 解得，， ∴的解集为； 如图，当圆心与上的点的最小的距离时，连接，即 ， ∵，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴无论取何值， 都成立， 当 ，即 ， 令 ， 当时，， 解得，， ∴ 的解集为； 综上所述，或． 10．（2026·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于点和给出如下定义：若存在的弦，使得点关于直线的对称点在上，则称点是的关联点，称弦是点与的关联线段． (1)如图，在点，，中，点______是的关联点； (2)已知点，，若弦是点与的关联线段，则线段长的取值范围是______； (3)直线（）分别与轴，轴交于，两点，当线段上存在的关联点时，记这些点与的关联线段长的最大值为，若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由关联点的定义可得：若点是的关联点，即上存在点，使得点、能关于的某条弦所在的直线对称，的某条弦所在的直线是对称轴，寻找关联点的临界位置得出的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点，即，据此即可判断的关联点； （2）作与关于弦对称，得出点在上，连接，并延长交于点，，为最小值，为最大值，即可得出长的取值范围； （3）由（1）得：的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点，当线段上存在的关联点时，即要使线段与以点为圆心，以为半径的圆有两个交点，当线段与以点为圆心，以为半径的圆相切时，切点为，连接，由锐角三角函数求出此时的值，即可得出的取值范围，再由中最长的弦为直径得出关联线段长的最大值一定满足． 【详解】（1）解：由关联点的定义可得：若点是的关联点，即上存在点，使得点、能关于的某条弦所在的直线对称，的某条弦所在的直线是对称轴， 我们来寻找关联点的临界位置：如图，点为上的一点，过点作的直径， ∴临界状态为：当对称轴为过点的的切线时，此时点、关于对称， ∴， ∴， ∴临界位置的点是在以点为圆心，以为半径的圆上的， ∵此时对称轴是的切线，不是的弦， ∴的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点，并不包括圆上的点， ∴若点是的关联点，则， ∵，，， ∴，，， ∴点，为关联点，不是关联点． （2）解：作与关于弦对称，如图所示： ∴上的点是的关联点，关联线段为弦， 连接，并延长交于点，， ∴为最小值，为最大值， ∵点，， ∴， ∴，， ∴． （3）解：由（1）得：的关联点为以点为圆心，以为半径的圆内的点， ∴当线段上存在的关联点时，即要使线段与以点为圆心，以为半径的圆有两个交点， 当线段与以点为圆心，以为半径的圆相切时，切点为，连接，如图所示： ∴，， ∵直线的解析式为， 令，得；令，得，解得：， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴在中，， ∴， ∴当时，线段上存在的关联点， ∵中最长的弦为的直径，的直径为， ∴线段上存在的关联点与的关联线段一定小于等于 ∵记这些点与的关联线段长的最大值为， ∴， ∵， ∴也一定成立， 综上：即可使线段上存在的关联点，且关联线段长的最大值为满足． 11．（2026·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，是图形上的任意一点，将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点的对应点，所有的点组成的图形称为图形的关联图形．能完全覆盖图形和它的关联图形的最小的圆称为图形和它的关联图形的最小覆盖圆（图形和它的关联图形上的所有点都在圆上或内部，且该圆的半径最小）． (1)点的关联图形的坐标为________，点的关联图形的坐标为________； (2)点的关联图形的坐标为，用含的代数式表示：________； (3)已知点在直线上，点，直接写出线段和它的关联图形的最小覆盖圆的半径的最小值，及此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）根据题意可得，点的关联图形的坐标为，即可求解； （2）根据题意可得点的关联图形的坐标，即可求解； （3）根据题意可得点的关联图形为，点的关联图形为，记线段和线段的最小覆盖圆为，取的中点，取的中点，连接，，，，，线段和线段的最小覆盖圆的半径取得最小值，由勾股定理可得的最小值，由中点坐标公式可得点的坐标． 【详解】（1）解：根据题意可得，点的关联图形的坐标为， ，，，， ∴点的关联图形的坐标为，点的关联图形的坐标为． （2）解：，， 根据题意可得，点的关联图形的坐标为， ∵点的关联图形的坐标为， ∴，， ∴． （3）解：∵点在直线上，点， ∴，， 又∵，，，， ∴点的关联图形为，点的关联图形为， ∴，，点、在直线上， 记直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点， 在中，令，得，令，得， ∴，， ∴， ∴，， 在中，令，得，令，得， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 记线段和线段的最小覆盖圆为，取的中点，取的中点，连接，，，，， ∴，， 当点、、、都在上时，， ∴，， 又∵， ∴此时，点、在上， ∴，， 又∵，， ∴点为的中点，点为的中点， ∴，，， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵点的关联图形为，点的关联图形为，， ∴当时，随着增大，线段和线段向右上方运动，线段的速度大于线段的速度，线段和线段的最小覆盖圆变大， 当时，随着减小，线段和线段向左下方运动，线段的速度大于线段的速度，线段和线段的最小覆盖圆变大， ∴当时，线段和线段的最小覆盖圆的半径最小，此时，点、、、都在上，， ∴线段和它的关联图形的最小覆盖圆的半径的最小值为，此时点的坐标为． 12．（2026·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，对于点P和线段，给出如下定义：记点关于点的对称点为点Q（特别地，当时，P与Q重合），若线段上存在点M，N，使得，且，则称点P是线段的“称角点”． (1)已知点，在点，，中，线段的“称角点”是 ； (2)已知点，点． ①若点，点，线段上存在线段的“称角点”，直接写出m的取值范围； ②已知点，C的半径为1，若存在一个m值，使得上存在线段的“称角点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据点关于点的对称点为点Q得，，由此画图即可判断； （2）①由于点 ，点，得，以为边向上和向下构造等边三角形和，则，，且四边形为菱形， 作点关于轴的对称点，作点关于的对称点，连接，的解析式为，当菱形与线段有交点时，线段上存在线段的“称角点”，由此即可求解； ②利用逆向思维，根据的轨迹确定的轨迹为菱形，根据（1）和①可得，，，，则满足条件时，与菱形有交点，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，则，，， 如图， 根据图象可知，，符合题意； （2）①由于点 ，点，则是和1的直角三角形的斜边，故，且和轴的夹角为， 以为边构造等边三角形和，则，， 由于， 则四边形为菱形， 对于上任意，,使得且成立的点都在菱形的边上或内部， 作点关于轴的对称点，作点关于的对称点，连接， 当线段上存在线段的“称角点”，则菱形与线段有交点， 设的解析式为，将和代入得， ，解得， 则； 当在上时，，即， 当在上时，，即， 综上所述，； ②由①可知，对于上任意，,使得且成立的点都在菱形的边上或内部， ∵关于点的对称点为点， ∵菱形所对应的点都在菱形的边上或内部，由于，，，，则变化前菱形顶点的坐标为，，，， 如图， 当与菱形有交点时，上存在线段的“称角点”， 当在左边与直线相切时，，即， 当在右边与直线相切时，，即， 综上所述，． 【点睛】本题考查了对称点坐标的特点，等腰三角形的性质，菱形的判定和性质，一次函数的解析式，圆与直线的位置，能够掌握逆向思维，准确确定动点轨迹是解题的关键． 66/67 67/67 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $