专题02 常用逻辑用语大题（42题）（举一反三专项训练）高一数学苏教版必修第一册

专题02 常用逻辑用语大题（42题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 充分、必要条件中的求参问题 1．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知命题，命题． (1)已知，命题都是真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）代入，根据命题为真命题分别表示出对应的取值范围，再由集合交集运算可知结果； （2）根据和进行分类讨论，然后可求结果. 【解答过程】（1）当时，， 当为真命题时，的取值范围是，当为真命题时，的取值范围是， 当都是真命题时，因为，所以的取值范围是. （2）若为真命题，则， 根据区间的定义可知, 为真命题时，， 要使是的充分不必要条件，则以，解得(经检验，取等号时满足条件)， 综上所述，的取值范围是. 2．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)是的必要不充分条件 (2) 【解题思路】（1）利用充分条件、必要条件的定义判断即可； （2）根据题意得集合包含关系，进一步列不等式即可求解参数范围. 【解答过程】（1）若，则，而， 又因为，且不能推出， 所以是的必要不充分条件； （2）， 若是的充分不必要条件， 则是的真子集， 所以，且等号不同时成立，解得， 所以的取值范围是. 3．（25-26高一上·上海松江·阶段检测）已知，. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）令，，由条件得到，列出不等式求解即可； （2）由条件得到，通过和两类情况讨论即可. 【解答过程】（1）令，， 因为是的必要条件， 所以, 可得：解得：， 即实数的取值范围是； （2）由是的充分条件， 可得：， 当时，满足题意，此时，即； 当时，需满足此时，解集为； 综上：实数的取值范围. 4．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知. (1)若是的必要不充分条件，求实数的范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据必要不充分条件的定义，先求出的范围，在确定即可； （2）由题意可转化为是的充分不必要条件，再根据充分不必要条件的定义求解即可. 【解答过程】（1）由题意可得，不是空集， 因为是的必要不充分条件，所以，解得， 即实数的范围. （2）因为是的必要不充分条件， 所以是的充分不必要条件，故，解得， 所以实数的范围为. 5．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)必要不充分条件（必要条件也正确） (2) 【解题思路】（1）根据集合关系判断是的必要不充分条件； （2）根据是的必要不充分条件，得是的真子集， 然后根据集合关系列不等式组求解即可. 【解答过程】（1）当时，， 显然是的真子集， 所以是的必要不充分条件（注：必要条件也正确）． （2）若是的必要不充分条件， 则是的真子集， 则有或解得， 故实数的取值范围为． 6．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，． (1)若p是q是充分不必要条件，求a的取值范围； (2)若是p的必要不充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先解绝对值不等式得p，根据充分条件的定义转化集合关系计算参数即可； （2）先分类讨论计算，再利用必要条件的定义转化集合关系计算参数即可； 【解答过程】（1）由题意可知． 因为p是q的充分不必要条件，所以，解得， 即a的取值范围是． （2）当，即时，，满足题意； 当，即时，或． 因为是p的必要不充分条件，所以或， 解得或． 综上，a的取值范围是． 题型二 充要条件的证明 7．（2026高一·全国·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 【答案】证明见解析 【解题思路】分别证明充分性和必要性即可. 【解答过程】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 8．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 【答案】答案见解析 【解题思路】直接根据立方和公式因式分解即可得证. 【解答过程】 ， 而，所以， 所以时，， 综上所述，时，的充要条件是． 9．（25-26高一上·上海·阶段检测）（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析 【解题思路】（1）应用判别式恒大于零证明方程总有两个不相等的实数根； （2）应用充分必要条件的定义证明即可. 【解答过程】（1）关于的一元二次方程. 因为，所以无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）必要性：若关于的方程有一个根为1，则， 充分性：若， 则关于的方程有一个根为1， 所以关于的方程有一个根为1的充要条件是. 10．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 【答案】(1)，，，，，，， (2)证明见解析 【解题思路】（1）结合子集的概念列出即可； （2）分别判断充分性和必要性，结合集合的互异性判断取值即可. 【解答过程】（1）若，则，所以的所有子集为： ，，，，，，，. （2）证明：若，则，所以，故充分性成立； 若，则，因为，所以， 解得或，当时，，不满足互异性，故舍去， 当时，，满足互异性，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 11．（2026高一·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【解题思路】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【解答过程】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 12．（25-26高一上·全国·课后作业）设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 【答案】，证明见解析 【解题思路】为锐角三角形的充要条件为.作出图形，根据勾股定理计算化简分别证明充分性和必要性即可. 【解答过程】为锐角三角形的充要条件为. 证明：充分性：若，则不是直角三角形. 若为钝角三角形，因为，则. 过点B作的延长线的垂线，垂足为D（如图（1））， 由勾股定理知 ，矛盾， 故为锐角三角形，充分性成立. 必要性：过点A作边的垂线，垂足为D(如图(2))， 由勾股定理知， ， 故必要性成立. 故为锐角三角形的充要条件为.    题型三 充分、必要条件与集合交汇 13．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合和集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据集合的交集运算讨论，，列不等式即可得实数的取值范围； （2）根据必要不充分条件得⫋，从而列不等式组即可解得实数的取值范围. 【解答过程】（1）由，得： ①若，即时，，符合题意； ②若，即时，此时，要满足， 则需或，解得； 综上，实数的取值范围为； （2）∵q是p的必要不充分条件， ∴⫋， 则或，解得：， 故实数的取值范围为. 14．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用并集和补集运算即可； （2）利用充分条件转化为子集关系，再结合分类讨论即可求解. 【解答过程】（1）当时，代入集合得, 由，因此， 求补集得. （2）因为“”是“”的充分条件，所以，分两种情况讨论： 当为空集，空集是任意集合的子集，此时满足，解得，符合要求； 当不为空集，需同时满足，解不等式组可得， 综上可得，的取值范围是. 15．（25-26高一上·重庆·期中）已知全集，集合，. (1)将下图中的阴影部分表示的集合.    (2)已知，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用交集运算求解即可； （2）把必要不充分条件转化为集合的真包含关系，再讨论端点取值范围即可求解. 【解答过程】（1）由，， 结合图象可得阴影部分表示的集合为； （2）由“”是“”的必要不充分条件，则， 因为，所以， 即， 所以， 故实数的取值范围. 16．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知集合，，． (1)求，； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【解题思路】（1）由题问题为求集合的交并补运算，可先解出集合B，再由集合运算的定义求解，注意求解中可借助数轴进行； （2）由是的充分不必要条件，即，结合（1）中的结果，可借助数轴进行直观分析，注意的情况. 【解答过程】（1）因为 ， 因为，所以. ，所以 或， 所以或. （2）由（1）知，， 因为是的充分不必要条件， 所以是的真子集. 当时，满足是，此时，解得； ② 当，即时，要使是，当且仅当等号不能同时成立， 解得，故． 综上所述，实数的取值范围为． 17．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）设集合， (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】若是的充分不必要条件，则是的真子集，结合集合包含关系即可求解； 若是的必要条件，则，结合集合包含关系即可求解． 【解答过程】（1）若是的充分不必要条件，则是的真子集， 所以， 解得， 故实数m的取值范围为； （2）若是的必要条件，则， 当时，，即， 当时，，解得， 故实数m的取值范围为. 18．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，全集，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【解题思路】（1）先求出，根据交集的概念得到答案； （2）分和两种情况，得到不等式，求出答案； （3）先得到为的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【解答过程】（1）时，，故或， ， 故或 ； （2）， ，当时，，解得， 当时，需满足或，解得， 综上，实数m的取值范围为； （3）命题p是命题q的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解得， 若，需满足或， 解得， 综上，实数m的取值范围为. 题型四 命题的否定及真假判断 19．（25-26高一上·甘肃白银·期中）写出下列命题的否定，并判断真假. (1)正方形都是菱形； (2)； (3)； (4)所有能被2整除的数都是偶数. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【解题思路】根据含有量词的命题的否定写出命题的否定，结合常识及特例判断即可. 【解答过程】（1）否定为：正方形不都是菱形. 正方形都是菱形，故为假命题； （2）否定为：. 当时，，故为假命题； （3）否定为：. 当时，，故为真命题. （4）否定为：存在能被2整除的数不是偶数. 能被2整除的数都是偶数，故为假命题. 20．（2026高一上·江苏南通·专题练习）判断下列命题的真假，并写出它们的否定. (1)，； (2)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (3)正数的绝对值是它本身. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【解题思路】根据含有存在量词的命题的定义进行真假判断，然后利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可. 【解答过程】（1）因为，所以该命题为真命题，命题的否定为：，. （2）因为方程无解，所以该命题为真命题，命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解. （3）省略了量词“所有的”，该命题是全称量词命题，由绝对值的定义可得，正数的绝对值都等于其本身，所以该命题为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身． 21．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）写出下列命题的否定，并判断该命题否定的真假： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)非负数的平方是正数； (3)有的四边形没有外接圆； (4)，，使得． 【答案】(1)“存在一个平行四边形的对边不平行”，假命题 (2)“存在一个非负数的平方不是正数”，真命题 (3)“所有四边形都有外接圆”，假命题 (4)“，都有”，假命题 【解题思路】（1）写出原命题的否定，由平行四边形的性质可判断真假； （2）写出原命题的否定，通过取特殊值，即可判断真假； （3）写出原命题的否定，由原命题的真假可判断命题否定的真假； （4）写出原命题的否定，由原命题的真假可判断命题否定的真假. 【解答过程】（1）命题的否定为“存在一个平行四边形的对边不平行”， 由平行四边形的定义知该命题的否定是假命题． （2）命题的否定为“存在一个非负数的平方不是正数”， 因为，不是正数，所以该命题的否定是真命题． （3）命题的否定为“所有四边形都有外接圆”， 因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题． （4）命题的否定为“，都有”， 因为当时，，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题． 22．（25-26高一上·河南周口·阶段检测）写出下列命题的否定，并判断你写出的命题的真假： (1)，； (2)，； (3)所有三角形的三个内角都是锐角. 【答案】(1)，，为假命题 (2)，，为假命题 (3)存在一个三角形的三个内角不都是锐角，为真命题 【解题思路】（1）根据特称量词命题的否定为全量词命题写出其否定，再判断其真假； （2）（3）根据全称量词命题的否定为特称量词命题写出其否定，再判断其真假； 【解答过程】（1）命题“，”的否定为：，，为假命题； 因为当 ，，即命题，，为假命题； （2）命题“，”的否定为：，，为假命题； 因为恒成立，所以不存在使得， 故命题，，为假命题； （3）命题“所有三角形的三个内角都是锐角”的否定为：存在一个三角形的三个内角不都是锐角，为真命题； 因为直角三角形、钝角三角形的三个内角不都是锐角，所以命题：存在一个三角形的三个内角不都是锐角，为真命题. 23．（25-26高一上·全国·课后作业）写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)，方程有实数根； (3)，，方程都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0． 【答案】(1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行 (2)，方程没有实数根 (3)，，使方程的解不唯一或不存在 (4)存在被5整除的整数，末位不是0 【解题思路】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可写出原命题的否定. 【解答过程】（1）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为： 存在一个平行四边形，它的对边不都平行. （2）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为： ，方程没有实数根. （3）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为： ，，使方程的解不唯一或不存在。 （4）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为： 存在被5整除的整数，末位不是0. 24．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)； (2)； (3)s：至少有一个直角三角形不是等腰三角形． (4)， (5) 【答案】(1)，假 (2)，假 (3)任意直角三角形都是等腰三角形，假 (4)，假 (5)，假 【解题思路】根据全称量词命题和存在量词命题的否定的方法写出否定，再结合命题判断其真假． 【解答过程】（1）全称命题的否定是特称命题，因此的否定是：，由平方的定义知任意实数的平方都是非负数，因此原命题的否定是假命题； （2）全称命题的否定是特称命题，的否定是：，事实上，当时，都有，因此原命题的否定是假命题； （3）至少有一个的反面是至多有0个，即没有一个，因此“有一个直角三角形不是等腰三角形”的否定是：没有直角三角形不是等腰三角形， 即任意直角三角形都是等腰三角形，例如边长分别为3，4，5的三角形是直角三角形，但不是等腰三角形，因此原命题的否定是假命题； （4）全称命题的否定是特称命题， 的否定是：， 由于，因此，不可能为，因此原命题的否定为假命题； （5）全称命题的否定是特称命题，的否定是：，由平方的定义知只有或时才有，因此原命题的否定是假命题． 题型五 全称量词、存在量词命题中的求参问题 25．（25-26高一上·云南昭通·阶段检测）已知命题：，.命题：，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）问题转化为，求解. （2）先根据命题和均为真命题，分别求实数的取值范围，再求它们的交集即可. 【解答过程】（1）命题为真命题，， ，，则， 实数的取值范围是． （2）为真命题，由（1）得. ，为真命题， ，得. 由命题和均为真命题，得. 实数的取值范围是． 26．（25-26高一上·河北张家口·期中）已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题均为假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）命题为真命题时，分和两种情况讨论，得到的取值范围，最后取并集即可. （2）先求出命题是真命题时，的取值范围，再取其补集得到为假命题时的取值范围，同时由（1）求得为假命题时的取值范围，最后取交集即可. 【解答过程】（1）由题意知对于命题，不等式恒成立， 当时，恒成立， 当时，则需，解得， 综上，，即实数的取值范围为. （2）若是真命题，则，解得， 则若是假命题，实数的取值范围为或. 由（1）知，若为假命题，则的取值范围为或， 综上，若命题均为假命题，则实数的取值范围为或. 27．（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）已知命题关于的方程有两个不相等的正实数根，命题，. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若，均为假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据命题真假，以及一元二次方程判别式，列出不等式组，求出参数范围； （2）根据命题真假，分别求出两个命题为假的参数范围，进而求出同时为假的参数范围即可. 【解答过程】（1）若是真命题，则，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由题意可知命题为真命题等价于在上的最小值小于等于0， 所以，解得， 所以若命题为假命题，则， 由（1）知，若是假命题，则或， 若，均为假命题，则， 即实数的取值范围是. 28．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知命题：，，命题：，． (1)若是真命题，求实数的最大值； (2)若，一个为真命题，一个为假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【解题思路】（1）为真命题可转化为对于恒成立，由此可求的范围，再求的最大值即可， （2）由为真命题可得，由此可求的范围， 【解答过程】（1）要使：，为真命题， 只需对于恒成立， 则，所以实数的最大值为1． （2）若：，为真命题， 则，即，解得或． 当真假时，只需，解得； 当假真时，只需或，解得． 综上所述，实数的取值范围为． 29．（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知，：关于的方程的两根均大于，，. (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）首先求出命题为真时参数的取值范围，即可得解； （2）首先求出命题为真时实数的取值范围，再分真假、假真两种情况讨论，分别计算可得. 【解答过程】（1）若命题：关于的方程的两根均大于为真命题， 则，解得， 所以当命题为假命题时或， 即实数的取值范围为； （2）若，，即，， 设，故只需，所以， 即命题为真时实数的取值范围为； 因为，有且只有一个是真命题， (i)若真假，结合(1)中结论可知，则，解得； (ii)若假真，结合(1)中结论可知， ，解得或， 综上所述，实数的取值范围为. 30．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由题意得出，即可求得实数的取值范围； （2）由题意可知，是真命题，则，即可求得实数的取值范围； （3）求出当命题、都是真命题时的取值范围，结合补集思想可求得结果. 【解答过程】（1）若是真命题，则，得， 故实数的取值范围为. （2）若是假命题，则，是真命题， 由解得，即实数的取值范围是. （3）可知为真命题时，， 由（2）可知，为真命题时，或， 若、都是真命题，则， 所以若、至多有一个为真命题，则，即实数的取值范围是. 题型六 全称量词、存在量词命题与集合交汇 31．（25-26高一上·山东菏泽·期中）设全集，集合，集合. (1)求； (2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2). 【解题思路】（1）由补集运算即可求解； （2）由和两种情况讨论求解即可. 【解答过程】（1）因为， 所以或； （2）命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意， 当时，而，， 则，无解， 综上所述，实数的取值范围. 32．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）根据为真命题列不等式，由此求得的取值范围. （2）求得均为假命题时的取值范围，进而求得命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围. 【解答过程】（1）若为真命题，则，所以，所以. （2）当为假命题时，即“ ”为真命题， 所以， 当时，，等号成立当且仅当， 所以的取值范围为， 由（1）知命题为假命题时，的取值范围为. 所以当均为假命题时的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或. 33．（2026高一上·福建厦门·专题练习）设全集，集合，，其中． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）先求出集合A，再应用补集及交集定义计算求解； （2）根据必要不充分条件得出集合间关系列式计算求解； （3）应用特称命题为真分和列式计算求解参数. 【解答过程】（1）当时，，所以， 所以； （2）， “”是“”的必要而不充分条件， 是的真子集， ，解得， 即实数的取值范围为； （3）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 34．（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由，得到，根据集合的包含关系，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，得到，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解； （3）由，根据集合交集的运算，列出等价不等式组，即可求解. 【解答过程】（1）解：由集合， 因为，可得，则满足所以，解得， 所以实数的取值范围为：. （2）解：由命题“，都有”为真命题，则； ①当时，，即，此时； ②当时，需满足，此时方程组无解； 所以实数的取值范围为：． （3）解：因为， 则满足或或， 解得或或， 所以实数的取值范围为. 35．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合，集合，命题，命题，命题． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意确定，即可求解； （2）通过真真和假假两种情况讨论即可求解. 【解答过程】（1）因为命题为真命题，所以，故，故， 于是．因为，所以，即． （2）①为真命题时，则，由于，所以，故， 于是．由知，所以； ②命题为真命题时， （i）时，，符合题意； （ii）时，，即，此时且； 故命题为真命题时，有； 由命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题可知， 由两种情况：真真和假假， 所以，当真真时a不存在；当假假时． 综上所述，实数的取值范围． 36．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由题意得是的真子集，然后根据真子集关系列不等式组求解即可. （2）由已知条件得集合的关系，然后按照和分类讨论，根据子集关系列不等式组求解即可. （3）方法一：由题意，然后根据集合关系列不等式组求解即可． 方法二：由题意，先求时的取值范围，求解时按照和分类讨论，根据集合关系列不等式组求解，最后利用补集思想求解即可. 【解答过程】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集． 当时，满足，此时，得； 当时，若，则，不等式组无解． 综上，实数的取值范围为． （3）方法一：“，”是真命题，则，所以，所以． 所以，解得，所以实数的取值范围为． 方法二：“，”是真命题，则． 当时，若，则； 若，则或，解得． 综上，当时，． 所以当时，，即实数的取值范围为． 题型七 充分、必要条件与全称量词、存在量词命题综合 37．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合，且． (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意，可得，根据集合间的关系，列出不等式组，即可得答案. （2）由题意，可得A，根据包含关系，列出不等式组，综合即可得答案. 【解答过程】（1）若“命题，”是真命题，则， 因为，所以，解得， 所以实数的取值范围. （2）若是的必要不充分条件，则A， 因为，所以，等号不能同时取到， 解得， 所以实数的取值范围. 38．（25-26高一上·安徽·期中）已知命题，，设为假命题时实数的取值范围为集合． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据判别式求解出为真命题时的范围，再根据补集思想求得结果； （2）分析条件得到⫋，列出不等式组求解出结果. 【解答过程】（1）当为真命题时，即“，”为真命题， 所以，所以或， 所以若为假命题，则的范围是， 所以. （2）因为是的必要不充分条件，所以⫋， 因为时，若⫋，只需，解得， 经检验，和时满足条件， 综上所述，的取值范围是. 39．（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）已知集合，. (1)若全集，写出集合的补集； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2)； (3)或. 【解题思路】（1）由补集的定义求解； （2）根据求解； （3）根据，为真命题求解. 【解答过程】（1）由题意 或； （2）若“”是“”的充分条件，则，所以，解得； （3）若命题“，”是假命题，则命题“，”为真命题， 所以①，解得， ②时，或，解得或， 综上，或. 40．（25-26高一上·湖南·阶段检测）设集合，，其中． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题q：“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据“”是“”的必要不充分条件，可得集合是集合的真子集，列出不等关系，即可求解. （2）根据命题为真，结合集合的性质，可得，列出不等关系，即可求解. 【解答过程】（1）∵“”是“”的必要不充分条件， ∴集合是集合的真子集， ∴， 解得， 即实数a的取值范围为． （2）若命题q：“，使得”是真命题，则，则有， ∵， 则， 解得， 即实数a的取值范围为． 41．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 (3)当时，若与有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）根据命题p是真命题，则列式计算即可； （2）记，，依题意可得，即可得到不等式组，解之即得； （3）分命题为真，命题为假或命题为假，命题为真两种情况讨论求解即可. 【解答过程】（1）因为命题是真命题， 所以． 即，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）由（1）可知：， 记，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以或， 解得，所以实数的取值范围是； （3）当时，命题：， 当命题为真，命题为假时，此时； 当命题为假，命题为真时，此时； 综上，实数得取值范围为：或. 42．（25-26高一上·青海西宁·阶段检测）已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据已知条件得是的真子集，列不等式组即可求解； （2）根据已知条件得是的子集，讨论和，列不等式组即可求解； （3）讨论和，列不等式组即可求解. 【解答过程】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集， 当时，，得； 当时，，不等式组无解， 综上实数的取值范围为； （3）若， 当时，，得； 当时，或，解得或无解， 综上， 所以实数的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 常用逻辑用语大题（42题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 充分、必要条件中的求参问题 1．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知命题，命题． (1)已知，命题都是真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 2．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 3．（25-26高一上·上海松江·阶段检测）已知，. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 4．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知. (1)若是的必要不充分条件，求实数的范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的范围. 5．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 6．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，． (1)若p是q是充分不必要条件，求a的取值范围； (2)若是p的必要不充分条件，求a的取值范围． 题型二 充要条件的证明 7．（2026高一·全国·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 8．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 9．（25-26高一上·上海·阶段检测）（1）已知关于的一元二次方程.求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）求证：关于的方程有一个根为1的充要条件是. 10．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 11．（2026高一·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 12．（25-26高一上·全国·课后作业）设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 题型三 充分、必要条件与集合交汇 13．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合和集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 14．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 15．（25-26高一上·重庆·期中）已知全集，集合，. (1)将下图中的阴影部分表示的集合.    (2)已知，且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知集合，，． (1)求，； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 17．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）设集合， (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 18．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，全集，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 题型四 命题的否定及真假判断 19．（25-26高一上·甘肃白银·期中）写出下列命题的否定，并判断真假. (1)正方形都是菱形； (2)； (3)； (4)所有能被2整除的数都是偶数. 20．（2026高一上·江苏南通·专题练习）判断下列命题的真假，并写出它们的否定. (1)，； (2)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (3)正数的绝对值是它本身. 21．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）写出下列命题的否定，并判断该命题否定的真假： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)非负数的平方是正数； (3)有的四边形没有外接圆； (4)，，使得． 22．（25-26高一上·河南周口·阶段检测）写出下列命题的否定，并判断你写出的命题的真假： (1)，； (2)，； (3)所有三角形的三个内角都是锐角. 23．（25-26高一上·全国·课后作业）写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)，方程有实数根； (3)，，方程都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0． 24．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假： (1)； (2)； (3)s：至少有一个直角三角形不是等腰三角形． (4)， (5) 题型五 全称量词、存在量词命题中的求参问题 25．（25-26高一上·云南昭通·阶段检测）已知命题：，.命题：，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围． 26．（25-26高一上·河北张家口·期中）已知命题，不等式恒成立，命题：关于的方程有两个不相等的正实数根. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题均为假命题，求实数的取值范围. 27．（25-26高一上·山西临汾·阶段检测）已知命题关于的方程有两个不相等的正实数根，命题，. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若，均为假命题，求实数的取值范围. 28．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知命题：，，命题：，． (1)若是真命题，求实数的最大值； (2)若，一个为真命题，一个为假命题，求实数的取值范围． 29．（25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知，：关于的方程的两根均大于，，. (1)若为假命题，求实数的取值范围； (2)若，有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 30．（25-26高一上·江苏淮安·期中）设命题，；命题，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若为假命题，求实数的取值范围； (3)若、至多有一个为真命题，求实数的取值范围. 题型六 全称量词、存在量词命题与集合交汇 31．（25-26高一上·山东菏泽·期中）设全集，集合，集合. (1)求； (2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围. 32．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 33．（2026高一上·福建厦门·专题练习）设全集，集合，，其中． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 34．（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”为真命题，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 35．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合，集合，命题，命题，命题． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题，求实数的取值范围． 36．（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 题型七 充分、必要条件与全称量词、存在量词命题综合 37．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合，且． (1)若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 38．（25-26高一上·安徽·期中）已知命题，，设为假命题时实数的取值范围为集合． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 39．（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）已知集合，. (1)若全集，写出集合的补集； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是假命题，求实数的取值范围. 40．（25-26高一上·湖南·阶段检测）设集合，，其中． (1)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题q：“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 41．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 (3)当时，若与有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 42．（25-26高一上·青海西宁·阶段检测）已知集合，集合，． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $